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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 6 – Aplicac¸o˜es de Derivadas 1. Seja f(x) = (x2−6x+9) ex . Determine os intervalos nos quais f e´ crescente, aqueles nos quais e´ decrescente e, se existirem, os extremos relativos de f . 2. Dada a func¸a˜o f(x) = ex (x− 4)2 determine os intervalos onde o gra´fico de f e´ crescente e aqueles nos quais o gra´fico de f e´ decrescente. 3. Esboce o gra´fico de f(x) = x2 x2 − 4 , indicando seus principais elementos, ra´ızes, crescimento, concavidade, inflexa˜o, extremos, ass´ıntotas, etc. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 x y 4. Seja f(x) = ln(4x2 + 1). a) Calcule f ′(x). b) Determine o(s) ponto(s) cr´ıtico(s) de f(x). c) Determine o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ crescente e tambe´m o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ decrescente. d) Encontre os pontos de ma´ximo e/ou mı´nimo relativos (locais), caso existam. e) Calcule f ′′(x), determine o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima, o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo e, caso exista(m), o(s) ponto(s) de inflexa˜o. f) Na grade abaixo, esboce o gra´fico de f usando os resultados dados e os resultados obtidos nesta questa˜o. (assuma ln(2) = 0.7) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 y x 5. Ao lado, temos o gra´fico da DERIVADA f ′ de uma func¸a˜o f, definida e cont´ınua no intervalo [−1, 10]. Justificando sempre suas respos- tas, determine se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira (V) ou falsa (F): -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y x Gra´fico de f ′ b b a) ( ) f e´ crescente no intervalo (3, 5) . b) ( ) x = 2 e´ ponto de mı´nimo relativo de f. c) ( ) A reta T , tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f(0)), tem coeficiente angular mT > 1. d) ( ) Q = (4, f(4)) e´ ponto de inflexa˜o de f. e) ( ) O gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo [−1, 2]. 6. Considere a func¸a˜o g(x) = ln (x2 − 2x+ 3) . a) Determine os intervalos nos quais g e´ crescente e aqueles nos quais e´ decrescente. b) Com base no item a), determine os ma´ximos e os mı´nimos relativos de g, caso existam. c) Com base nos itens anteriores, identifique, entre as opc¸o˜es abaixo, os gra´ficos de g e g′. O gra´fico de g e´ o da figura .... abaixo e o gra´fico de g′ e´ o da figura .... abaixo. 1 2−1−2 y x Figura A 1 2−1−2 y x Figura B 1 2−1−2 y x Figura C 7. Seja f(x) = x3 4x− 8 . a) Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais e verticais. Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada uma delas. b) Determine os intervalos nos quais f e´ crescente, aqueles nos quais e´ decrescente e, se existirem, os extremos relativos de f . c) Usando a tabela ao lado, determine os in- tervalos nos quais a concavidade do gra´fico de f e´ voltada para cima, aqueles nos quais a conca- vidade e´ para baixo e, se existirem, os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f. intervalo sinal f ′′ x < 0 + 0 < x < 2 − 2 < x + d) Usando as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y 8. Na grade abaixo, esboce o gra´fico de UMA func¸a˜o f que satisfac¸a a TODAS as condic¸o˜es a seguir a) f ′(x)< 0 para todo x ∈ (0,+∞); b) f ′(x)> 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (−2, 0); c) f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (−2, 3); d) f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (3,+∞); e) lim x→±∞ f(x) = −1; f) f(0) = 5 e −2 6∈ Dom(f). -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y x 9. Uma armac¸a˜o de arame, que consiste em dois quadrados ideˆnticos cujos ve´rtices sa˜o ligados por quatro fios retos de mesmo comprimento (veja figura), delimita um volume de 1000cm3. Determine as dimenso˜es da armac¸a˜o que utiliza a menor quantidade de arame na sua construc¸a˜o. 10. Considere a func¸a˜o f(x) = −x x2 + 1 definida nos reais. Determine o valor de x onde a inclinac¸a˜o da reta tangente a f(x) e´ mı´nima. 11. Considere a func¸a˜o polinomial definida por f(x) = x3 + x2 + kx− 1. a) Determine o valor de k para que f tenha um u´nico ponto cr´ıtico. b) Com o valor de k determinado em a), verifique se esse u´nico ponto cr´ıtico e´ de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de inflexa˜o. c) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo globais (absolutos) de f no intervalo [−2, 1]. 12. Quais os extremos absolutos da func¸a˜o g(x) = x− 2 sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ pi? 13. Um retaˆngulo R e´ inscrito em um triaˆngulo retaˆngulo de lados 6 cm e 8 cm. Qual deve ser a medida dos lados do retaˆngulo para que a sua a´rea seja a maior poss´ıvel? Qual o valor da a´rea ma´xima? OBS: Especifique o domı´nio da func¸a˜o obtida. 6 8 R 14. Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo absolutos da func¸a˜o f(x) = arctan(x2 − 2x), no intervalo I = [0, 2]. 15. Para uma festa de aniversa´rio, os confeitos de chocolate devem ser colocados em uma caixa retangular de vidro, sem tampa, de base quadrada, com a capacidade de 500 cm3. Encontre as dimenso˜es da caixa que pode ser constru´ıda usando a menor quantidade de vidro. 16. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforc¸ada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto que o lado restantes recebem uma cerca padra˜o de R$ 2,00 o metro. Quais sa˜o as dimenso˜es do terreno de maior a´rea que pode ser cercado com R$ 6.000,00 ? 17. Um pedac¸o de arame medindo 100 cm e´ dividido em duas pec¸as e cada uma e´ dobrada para formar um quadrado. Determine o comprimento de cada lado de cada quadrado de forma que a soma das suas a´reas seja mı´nima.
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