aula3 - O Espectro Contínuo da Luz

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Terceira Aula
Reinaldo R. de Carvalho (rrdecarvalho2008@gmail.com)
Introdução à Astrofísica
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 3!
!
O Espectro Contínuo da Luz!!
!
- Paralaxe estelar e Escala de Magnitude!
- A Natureza Ondulatória da Luz!
- A Quantização da energia!
- Indice de Cor!
Paralaxe Estelar
Medir o brilho intrínseco das estrelas está diretamente ligado à medida de 
distância. Um dos métodos utilizados é a paralaxe trigonométrica.
Hipparcos Space Astrometry Mission (ESA) - 118.000 estrelas, precisão ~ 0.001ʺ, < 
1kpc
Gaia Mission (ESA) - 1 bilhão de estrelas, precisão ~ 0.00001ʺ, nossa Galáxia e 
outras próximas.
http://www.worldwidetelescope.org/
A Escala de Magnitude
➼ Desde a antiguidade que os astrônomos estabeleceram uma escala para 
falar do “brilho” dos objetos. A magnitude aparente reflete somente como o 
brilho do objeto “aparece” para um observador na Terra.
➼ No século XIX os astrônomos desenvolveram melhores formas de medir a 
magnitude das estrelas e mostraram que uma estrela de “primeira magnitude” 
era 100 vezes mais brilhante do que uma estrela de “sexta-magnitude”, ou seja 
precisaria 100 estrelas de magnitude +6 para prover tanta luz quanto uma 
estrela de magnitude +1.
➼ Para tornar os cálculos mais simples, os astrônomos re-definiram a escala 
de magnitude tal que uma diferença de 5 corresponde exatamente a um fator 
100 em brilho. Uma diferença de 1 magnitude, então corresponde a um fator 
2.512 em brilho, porque	
 2.512 x 2.512 x 2.512 x 2.512 x 2.512 = (2.512)5 = 100
Fluxo e Luminosidade
O brilho de um objeto é medido em termos do fluxo recebido da fonte. O fluxo 
é a quantidade total de energia em todos os comprimentos de onda que 
atravessam uma área unitária do detector por unidade de tempo. O fluxo de 
um objeto depende da luminosidade intrínseca do objeto (energia emitida por 
segundo)
Seja um objeto de luminosidade 
L a uma distância r da Terra. 
Assumindo que nenhuma luz é 
absorvida ao longo do percurso, 
o fluxo é dado por:
Esta é a chamada lei do inverso do quadrado da distância. 	
Exemplo: a luminosidade do Sol é L⊙ = 3.839 x 1026 W. A uma distância de 
1UA = 1.496 x 1011 m a Terra recebe um fluxo (acima da atmosfera) do Sol 
de:
Um observador a uma distância de 10 pc = 2.063 x 106 UA, mediria um fluxo 
de 3.208 x 10-10 W m-2
Magnitude Absoluta
A magnitude absoluta é definida como a magnitude aparente que um objeto teria 
se fosse colocado a uma distância de 10pc. 	
Lembremos que uma diferença de 5 magnitudes corresponde a uma diferença de 
100 vezes o brilho. Assim:
onde F10 é o fluxo que o objeto teria se estivesse a 10 pc, e d é a distância do objeto 
em pc. A quantidade (m-M) é denominada módulo de distância.
Exemplo: a magnitude aparente do Sol é -26.83 e sua distância é 1UA = 4.848 x 
10-6 pc. Determine a magnitude absoluta do Sol e o seu módulo de distância.
Para dois objetos à mesma distância temos que F2 / F1 = L2/L1 , o que vem 
diretamente da lei do inverso do quadrado, F = L/4πr2. Para distâncias iguais, 
da equação do módulo de distância temos que m1 - M1 = m2 - M2, assim:
Exercício: Mostre que a magnitude aparente de uma estrela, m, está 
relacionada ao fluxo F pela expressão abaixo, onde FSun,10 é o fluxo recebido do 
Sol a uma distância de 10pc.
O Experimento de Young
Grande parte da história da física se concentra na evolução de nossas idéias sobre a 
natureza da luz.	
Para Newton, a luz consistia de um conjunto de partículas enquanto que para Huygens a 
luz poderia ser descrita pelas quantidades usuais que descrevem uma onda.
onde c = λν, λ é o comprimento de onda (figura) e ν a 
freqüência, ou seja o numero de ondas por segundo que 
passam num determinado ponto do espaço. Dada a 
reputação de Newton, a luz foi preferencialmente 
interpretada como onda, embora ambas propostas 
explicassem os fenômenos de reflexão e refração.	
Somente o experimento de dupla fenda de Young elucidou o problema, mostrando a 
natureza ondulatória da luz. 
Principio de superposição para a luz, criando interferência construtiva e destrutiva.
Um objeto opaco emite radiação eletromagnética de acordo com sua temperatura.
Radiação de Corpo Negro
A conexão entre a cor da luz emitida por um corpo quente e a sua temperatura foi feita 
pela primeira vez por Thomas Wedgewood, um artesão de porcelana. Posteriormente, 
investigações feitas por físicos mostraram que qualquer objeto com temperatura acima 
do zero absoluto emite luz em todos os comprimentos de onda. A temperatura de um 
corpo é determinada pela energia cinética média dos átomos, assim um corpo 
absorvendo energia aumenta sua temperatura. Os elétrons são acelerados e emitem 
radiação o que reduz a energia cinética dos átomos, diminuindo a temperatura. Se a 
taxa de absorção é igual a taxa de emissão o corpo está em equilíbrio térmico com o 
ambiente. A radiação eletromagnética emitida desta forma é denominada de radiação 
térmica.
Como um emissor ideal não reflete luz, é 
chamado corpo negro e a radiação que este 
emissor re-emite é chamada radiação de corpo 
negro. 	
!
A figura mostram espectro de corpo negro a uma 
temperatura T com o lixo em λmax. A relação 
entre λmax e T é conhecida como Lei do 
deslocamento de Wien, λmax T = 0.002897755 mK
Betelgeuse tem uma temperatura superficial de 3600 K logo λmax = 8.05 x 10-7 nm que 
está na região infravermelho do espectro.	
Rigel com uma temperatura superficial de 13000 K, tem λmax = 2.23 x 10-7 nm que está 
na região ultravioleta do espectro.
A equação de Stefan-Boltzmann
Experimentos realizados por Josef Stefan mostraram que a luminosidade, L, de um 
corpo negro de área A e temperatura T (em Kelvin) é dada pela expressão
Mais tarde Boltzmann demonstrou esta equação usando as leis da termodinâmica e a 
expressão para a pressão de radiação obtida por Maxwell. A equação, agora 
conhecida como Lei de Stefan-Boltzmann, tem um valor de σ = 5.6704 x 10-8 W m-2 
K-4. Para uma estrela esférica de raio R, cuja área é A = 4 π R2 temos:
Como estrelas não são corpos negros perfeitos, definimos uma temperatura efetiva na 
superfície da estrela. Combinando com a lei do inverso do quadrado temos que o 
fluxo na superfície da estrela é dado por:
Exemplo: A luminosidade do Sol é L⊙ = 3.839 x 1026 W, e seu raio é R⊙ = 6.95508 x 108 m. A 
temperatura efetiva pode então ser obtida como:
o fluxo na superfície solar é:
de acordo com a Lei de Wien, o espectro contínuo do Sol tem um máximo em 
Este comprimento de onda cai na região “verde” do espectro eletromagnético. No entanto, 
o Sol emite em toda a faixa de comprimento de onda e o olho humano percebe o Sol como 
“amarelo”. O Sol emite grande parte de sua energia na região do visível e sendo a 
atmosfera transparente a estes comprimentos de onda, o processo de seleção natural levou 
o olho humano a ser mais sensível a este intervalo de comprimento de onda.
A quantização da energia
Um dos grandes problemas para os físicos do final do século XIX era derivar a curva 
representando a radiação do corpo negro a partir de princípios físicos fundamentais. 
Lord Rayleigh tentou chegar a uma expressão utilizando as equações de Maxwell junto 
com as equações da termodinâmica. 	!
De maneira simplificada consideremos a função de distribuição espectral R(λ) para um 
corpo negro, que determina a densidade de energia para ondas eletromagnéticas no 
interior de uma cavidade.	!
A probabilidade de um raio sair da cavidade pelo furo antes de ser absorvido pelas 
paredes internas é muito pequena. A potência irradiada para fora é proporcional à 
densidade total de energia, U (energia por unidade de volume), no interior da cavidade. É 
possível demonstrar que esta constante de proporcionalidade é igual a c/4. Assim, R(λ) = 
Uc/4	
Mas se u(λ)dλé a fração de energia por unidade de volume no interior da cavidade no 
intervalo de comprimento de onda entre λ e λ+dλ , então R(λ) = u(λ) c /4	
Para calcular u(λ) basta determinar o numero de modos de oscilações do campo 
eletromagnético no interior da cavidade, cujos comprimentos de onda estão no intervalo	
λ e λ+dλ. 
Pode-se mostrar que o número de modos de oscilação por unidade de volume, n(λ), não 
depende da forma da cavidade e é dado por n(λ) = 8π λ-4. 	
De acordo com a teoria clássica, a energia média por modo de oscilação é igual a kT onde 
k é a constante de Boltzmann. Assim a distribuição espectral da densidade de energia é 
dada por
Esta expressão é conhecida como Lei de Rayleigh-Jeans.
Veja que para λ tendendo a zero u(λ) tende a infinito, em desacordo óbvio com os dados 
experimentais. A enorme discrepância foi denominada “catástrofe do ultravioleta”.
Função de Planck para o corpo negro
Diante do problema da catástrofe do ultravioleta, Planck reformulou o problema de 
determinação da distribuição de energia das partículas na cavidade. Na época, 
classicamente se escrevia a função distribuição de energia como f(E) = Ae-E/kT, onde A é uma 
constante e f(E) é a fração dos osciladores com energia entre E e E+dE. A energia média 
pode ser escrita como:
Planck, ao invés de supor que a energia das cargas oscilantes era uma variável contínua 
como está implícito na equação acima, era necessário assumir que a energia era discreta e 
assumisse valores 0, ε, 2ε, 3ε … nε, onde n é um número inteiro. Além disso, ε deve ser 
proporcional à freqüência, ou seja En = nhν, onde ν é a freqüência. Logo
Multiplicando este resultado pelo número de osciladores por unidade de 
volume, entre λ e λ+dλ obtemos a função distribuição da densidade de energia 
no interior da cavidade
Esta equação é denominada Lei de Planck e é representada na figura abaixo. 
Para λ muito grande, usamos a aproximação ex ~ 1+x com x = hc/λKT. Assim 
temos:
que é a fórmula de Rayleigh-Jeans. 
Para valores muito pequenos de λ, 
desprezamos o 1 no denominador e 
temos	
!
u(λ) ➝ 8πhcλ-5 e-hc/λKT ➝ 0
A Lei de Stefan-Boltzmann como !
conseqüência da Lei de Planck
A densidade total de energia pode ser calculada integrando a função 
distribuição de densidade de energia para todos os comprimentos de onda.
Para calcular a integral, definimos uma variável adimensional x = hc/λKT e 
neste caso dx = -hc dλ/λ2KT. Explicitando dλ temos dλ = -λ2(KT/hc)dx. Assim,
O valor da integral é π4/15 e nesse caso escrevemos 	
U = (8π5 K4/15h3c3)T4 ➝ U = σT4.
A Função de Planck na Astrofísica
Consideremos em coordenas esféricas a quantidade de energia por unidade de 
tempo tendo comprimento de onda entre λ e λ+dλ emitida por um corpo negro 
de temperatura T e área dA que define um angulo sólido dΩ = senθdθdΦ.
As vezes é mais conveniente expressar em 
termos de freqüência.
Assim, em coordenadas esféricas temos que a expressão acima para a 
quantidade de energia escreve-se como:
A função de Planck pode ser usada para fazer a conexão entre propriedades 
observadas (fluxo, magnitude aparente) e as correspondentes propriedades 
intrínsecas (raio, temperatura)
Consideremos um modelo de estrela consistindo de um corpo negro esférico de 
raio R e temperatura T. Vamos assumir que cada elemento de área dA emita 
radiação de corpo negro isotropicamente. Assim, a energia por segundo tendo 
comprimento de onda entre λ e λ+dλ que é emitida pela estrela será
A integração angular fornece um fator π e a integral sobre a área da esfera 
fornece um termo 4 π R2. O resultado é então:
A quantidade Lλ dλ é denominada luminosidade monocromática. Da mesma 
forma pode ser escrito o fluxo monocromático:
onde r é a distância à estrela. O termo Fλ dλ é o número de Joules de energia 
da estrela com comprimento de onda entre λ e λ+dλ que chega por segundo em 
um metro quadrado de um detector apontado para a estrela
Índice de Cor
O índice de cor é definido simplesmente como a razão de fluxos medidos em 
duas regiões distintas do espectro eletromagnético.
g r
O indice de cor é medido como a diferença entre a magnitude g e r, g-r, o que 
representa uma razão de fluxos nas duas bandas passantes.
Exercícios
1 - Utilizando detetores fora da atmosfera terrestre, os astrônomos mediram o fluxo 
médio de energia solar que chega à Terra (este valor é denominado constante solar), e 
encontraram um valor de 1370 W m-2. Com esta informação calcule a temperatura na 
superfície do Sol. 
2 - A que distância devo colocar uma lâmpada de 100 W para que a mesma tenha um 
fluxo radiante igual ao fluxo solar medido na superfície da Terra ? (utilize a constante 
solar dada na questão 1
3 - Mostre que a magnitude aparente de uma estrela, m, está relacionada ao fluxo F pela 
expressão abaixo, onde FSun,10 é o fluxo recebido do Sol a uma distância de 10pc.
4 - Uma estrela na constelação de Scorpius tem uma temperatura superficial de 28000 
K, um raio R = 5.16 x 109 m e se encontra a uma distância de 123 pc. Calcule a) sua 
luminosidade em unidades da luminosidade solar; b) sua magnitude absoluta, sabendo 
que a magnitude absoluta do Sol é 4.74; c) seu módulo de distancia sabendo que sua 
magnitude aparente é de -1.02; d) o fluxo na superfície da estrela; e) o fluxo na 
superfície da Terra (compare com a constante solar); e f) o comprimento de onda 
máximo da radiação recebida.