Aula 02 Matemtica Aula 01

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PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL
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Aula 1 – Matemática e Raciocínio Lógico para BB
Apresentação . .............................................................................................................................. 2 
Razão e Proporção . ...................................................................................................................... 3 
Regra de Três. ............................................................................................................................. 19 
Porcentagem . ............................................................................................................................. 26 
Percentual de um valor . ............................................................................................................. 27 
Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual . .................................................. 27 
Variação Percentual . .................................................................................................................. 28 
Variações percentuais sucessivas . ............................................................................................. 29 
CONJUNTOS NUMÉRICOS . ......................................................................................................... 42 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS . ..................................................................................... 42 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS . .................................................................................. 43
Propriedade comutativa da adição . ....................................................................................... 44 
Propriedade associativa da adição. ........................................................................................ 44 
Existência do elemento neutro da adição. ............................................................................. 44 
Propriedade do fechamento da adição. ................................................................................. 45 
Propriedade comutativa da multiplicação . ............................................................................ 46 
Propriedade associativa da multiplicação. ............................................................................. 46 
Existência do elemento neutro da multiplicação. .................................................................. 46 
Propriedade do fechamento da multiplicação. ...................................................................... 47 
Propriedade Distributiva . ....................................................................................................... 47
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ....................................................................................... 51
REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS . ....................................... 52 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. .................................................................................... 54 
Relação das questões comentadas nesta aula. .......................................................................... 73 
Gabaritos . ................................................................................................................................... 87 
 
 
 
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Apresentação
Olá pessoal! 
Esta é a primeira aula do curso de exercícios para o concurso do Banco do Brasil. 
Meu nome é Guilherme Neves. Sou matemático e comecei a lecionar em cursos 
preparatórios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o meu 
curso de Bacharelado em Matemática na UFPE. Minha vida como professor sempre 
esteve conectada com os concursos públicos nas matérias de índole matemática 
(matemática financeira, estatística e raciocínio lógico). Sou autor do livro Raciocínio 
Lógico Essencial – Editora Campus-Elsevier. 
Em 2010 ministrei vários cursos no Ponto dentre os quais: 
AFRE-SC, Curso Regular de Matemática Financeira, ANVISA, SEFAZ-SP, SEFAZ-RJ, 
SEPLAG-RJ, TJ-SP, MPU, Pacote para Iniciantes, Raciocínio Lógico para 
Desesperados, INSS, Senado Federal, TCM-RJ, CVM, PREVIC, TRT 24ª Região. 
Seguiremos o seguinte cronograma de acordo com o conteúdo programático. 
Aula 1 Números inteiros, racionais e reais; Razões 
e proporções; divisão proporcional; regras 
de três simples e compostas; porcentagens. 
Aula 2 Sistema legal de medidas. Equações e 
inequações de 1.º e 2.º graus; sistemas 
lineares. Funções; gráficos. Sequências 
numéricas. Funções exponenciais e 
logarítmicas. 
Aula 3 Lógica sentencial e de primeira ordem. 
Aula 4 Enumeração por recurso. Contagem: 
problemas de contagem. Princípio aditivo e 
multiplicativo. Arranjo. Permutação. 
Combinação simples e com repetição. 
Noções de probabilidade e estatística. 
Aula 5 Juros simples e compostos: capitalização e 
descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, 
equivalentes, proporcionais, real e 
aparente. 
Aula 6 Rendas uniformes e variáveis. Planos de 
amortização de empréstimos e 
financiamentos. 
Cálculo financeiro: custo real efetivo de 
operações de financiamento, empréstimo e 
investimento. Avaliação de alternativas de 
investimento. Taxas de retorno. 
 
 
 
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Razão e Proporção
Vamos começar nossa aula com algumas definições formais que serão 
fundamentais para um bom entendimento dos assuntos subsequentes. 
Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o 
quociente de a por b. 
Então quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos lembrar que 
haverá uma divisão!! 
Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é 
chamado de antecedente e o número b de consequente. 
O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois 
números. 
Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala. 
A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as 
correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho 
e o correspondente na medida real. 
real
desenhodoMedida
Medida
Escala =
Desta forma, quando você lê em um mapa que a escala é de 1 : 100, isto 
significa que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100 
unidades de comprimento na realidade. 
 
Escala = 1 :100 
Isto significa que: 
1 centímetro no desenho equivale a 100 centímetros na realidade. 
1 decímetro no desenho equivale a 100 decímetros na realidade. 
1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade. 
E assim por diante... 
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
d 
c e 
b
a é a 
igualdade: 
d
c 
b
a = . Podemos escrever 
 
 
 
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ܽ
ܾ 
ൌ
ܿ
݀ 
֞ ܽ/ܾ ൌ ܿ/݀
Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d
são os consequentes. 
Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são 
os meios. 
Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade 
Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
ܽ
ܾ 
ൌ
ܿ
݀ 
֞ ܾ · ܿ ൌ ܽ · ݀
Por exemplo, 
4 
6 
ൌ
8 
12 
֞ 6 · 8 ൌ 4 · 12 ൌ 48
É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para 
a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu 
consequente. 
ܽ
ܾ 
ൌ
ܿ
݀ 
ൌ
ܽ ൅ ܿ
ܾ ൅ ݀
Por exemplo, 
4 
6 
ൌ
8
12 
ൌ
4 ൅ 8
6 ൅ 12 
ൌ
12
18
Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somandoos numeradores das 
frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta 
propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional. 
Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões, 
proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões, 
colocarei mais algumas propriedades e definições. 
Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questões de 
concursos recentes. 
Exemplo: A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o 
número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma 
pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da 
região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: 
a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na 
 
 
 
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localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele 
concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de: 
Resolução 
O enunciado informou que a definição de densidade demográfica é dada pela 
razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
Vimos anteriormente que a palavra RAZÃO tem o mesmo significado de 
quociente (divisão)!!! 
ܦ݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݁݉݋݃ݎá݂݅ܿܽ ൌ 
݊ú
á
݉݁ݎ݋ ݀݁ ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ
ݎ݁ܽ ݀ܽ ݎ݁݃݅ã݋ 
ൌ
151.107 ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ
2.651 ݇݉ଶ
ܦ݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݁݉݋݃ݎá݂݅ܿܽ ൌ 57 ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ/݇݉ଶ 
Exemplo: Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do 
sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o 
número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino. 
Resolução 
Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o 
número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de 
mulheres. 
ܪ݋݉݁݊ݏ
ܯݑ݈݄݁ݎ݁ݏ 
ൌ
135
81 
ൌ
45
27 
ൌ
15
9 
ൌ
5
3
A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse 
percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto. 
Exemplo: Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 
e 5 é igual a: 
Resolução 
Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma 
proporção do tipo 
ܽ
ܾ 
ൌ
ܾ
ܿ
E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b. 
 
 
 
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Assim, 
1 
5 
ൌ
5
ܿ
1 · ܿ ൌ 5 · 5
Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5. 
ܿ ൌ 25 
O momento é oportuno para lembrar que na proporção 
ܽ
ܾ 
ൌ
ܿ
݀
O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c. 
Exemplo: A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão 
entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a: 
Resolução 
Pelo enunciado, podemos escrever que 
ݔ
ݕ 
ൌ
2
5
Queremos calcular a seguinte razão: 
5ݔ
ݕ
2
Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, 
invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma, 
5ݔ
ݕ
2
ൌ 5ݔ · 
2 
ݕ 
ൌ 10 ·
ݔ
ݕ 
ൌ 10 ·
2 
5 
ൌ
20
5 
ൌ 4
Exemplo: Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y 
será de: 
Resolução 
ݔ
ݕ 
ൌ
2
5
Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números 
no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou 
trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é 
 
 
 
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válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem 
dos fatores não altera o produto. 
Assim, a mesma proporção pode ser escrita como 
ݔ 
2 
ൌ
ݕ
Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente. 
5 
Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e 
somando os denominadores. 
ݔ 
2 
ൌ
ݕ
5 
ൌ
ݔ ൅ ݕ
2 ൅ 5 
ൌ
49
7 
ൌ 7
Dessa forma, 
ݔ 
2 
ൌ 7 ֞ ݔ ൌ 14 ݁ 
ݕ
5 
ൌ 7 ֞ ݕ ൌ 35 
Exemplo: Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais 
a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). 
Resolução 
Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos 
escrever 
ݔ 
8 
ൌ
ݕ
3 
E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os 
numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim, 
ݔ 
8 
ൌ
ݕ
3 
ൌ
ݔ െ ݕ
8 െ 3 
ൌ
60
5 
ൌ 12
ݔ 
8 
ൌ 12 ֞ ݔ ൌ 96 ݁ 
ݕ
3 
ൌ 12 ֞ ݕ ൌ 36
Portanto, 
ݔ ൅ ݕ ൌ 96 ൅ 36 ൌ 132 
Exemplo: Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é 
de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é: 
Resolução 
Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então 
 
 
 
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݉ 
ݎ 
ൌ
3
2
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no 
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando 
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 
݉
3 
ൌ
ݎ
2
Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de 
pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então 
quantos serão rapazes? 
݉
3 
ൌ
ݎ 
2 
ൌ
݉ ൅ ݎ
3 ൅ 2 
ൌ
100
5 
ൌ 20
ݎ 
2 
ൌ 20 ֜ ݎ ൌ 40
Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o 
percentual de rapazes é 40%. 
Exemplo: Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-
se afirmar que a diferença entre eles é: 
Resolução 
Sejam x e y os números. 
ݔ
ݕ 
ൌ 5 ֜ ݔ ൌ 5ݕ
Como a soma deles é 30, 
ݔ ൅ ݕ ൌ 30
Vamos substituir ݔ por 5ݕ.
5ݕ ൅ ݕ ൌ 30 ֜ 6ݕ ൌ 30 ֜ ݕ ൌ 5
Como ݔ ൌ 5ݕ, ݁ ݊ݐã݋ ݔ ൌ 5 · 5 ൌ 25
A diferença entre eles é 25 – 5 = 20. 
Exemplo: Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e 
Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em 
valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo 
deve receber é: 
Resolução 
 
 
 
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Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 
20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, 
respectivamente. 
Assim, 
ܴ݋
15 
ൌ
ܴ݅
20 
ൌ
ܴ݁
25
Obviamente ܴ݋ ൅ ܴ݅ ൅ ܴ݁ ൌ 3.000. 
Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos 
prolongar a proporção. 
ܴ݋
15 
ൌ
ܴ݅
20 
ൌ
ܴ݁
25 
ൌ
ܴ݋ ൅ ܴ݅ ൅ ܴ݁
15 ൅ 20 ൅ 25 
ൌ
3.000 
60 
ൌ 50
Temos então: 
ܴ݋
15 
ൌ 50 ֜ ܴ݋ ൌ 15 · 50 ൌ 750 
Exemplo: Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um 
deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a 
divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que 
trabalhou mais dias recebeu: 
Resolução 
Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 
dias. Assim, temos a seguinte proporção: 
ܽ
2 
ൌ
ܾ 
4 
ൌ
ܿ
6
Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa 
forma, 
ܽ
2 
ൌ
ܾ 
4 
ൌ
ܿ 
6 
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
2 ൅ 4 ൅ 6 
ൌ
12 
ൌ 295
3.540
O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu 
ܿ 
6 
ൌ 295 ֜ ܿ ൌ 6 · 295 ൌ 1.770 ݎ݁ܽ݅ݏ
Exemplo: Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três 
funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão 
inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno 
 
 
 
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com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais 
velho receberá: 
Resolução 
Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e 
inversamente proporcional às idades. 
Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma: 
ܽ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ 
ܾ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ 
ܿ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 
(ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 
(ficam no denominador). 
ܽ
2
30
ൌ 
ܾ
3
36
ൌ 
ܿ
6
48
Podemos simplificar as frações: 
ܽ
1
15
ൌ 
ܾ
1
12
ൌ 
ܿ
1
8
Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento: 
Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos 
calcular o m.m.c dos denominadores das frações. 
No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 
15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos 
dividir 120 por 8 e multiplicar por 1. 
ܽ
8 
ൌ
ܾ
10 
ൌ
ܿ
15
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. 
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 
ܽ
8 
ൌ
ܾ
10 
ൌ
ܿ 
15 
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
8 ൅ 10 ൅ 15 
ൌ
5.280 
33 
ൌ 160
O mais velho, Carlos, receberá: 
ܿ 
15 
ൌ 160 ֜ ܿ ൌ 15 · 160 ൌ 2.400 ݎ݁ܽ݅ݏ
 
 
 
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01. (FCC-TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição 
Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na 
razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos 
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o 
outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva 
entre os números de processos que cada um arquivou é 
(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
Resolução 
Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão 
inversamente proporcional aos tempos de serviços. 
A proporção terá a seguinte forma: 
ܽ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ 
ܾ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
27 42
9 3
a b=
 
O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 
por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar 
por 42, resultando 42. 
164 4
81 42 81 42 123 3
a b a b+= = = =+ 
4 81 108 
3
4 42 56 
3
108 56 52
a
b
a b
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − =
Letra C 
 
 
 
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02. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 
alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que 
cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do 
filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do 
filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho 
mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais 
novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
Resolução 
Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do 
filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3. 
Temos a seguinte proporção: 
࢜
૜
૛
ൌ 
࢓
૛
૜
ൌ 
࢔
૛
૚
O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a 
proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos 
pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por 
exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e 
multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, 
vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, 
vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará: 
࢜ 
ૢ 
ൌ
࢓
૝ 
ൌ
࢔
૚૛
Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12. 
࢜ 
ૢ 
ൌ
࢓
૝ 
ൌ
࢔
૚૛ 
ൌ
࢜ ൅ ࢓ ൅ ࢔
ૢ ൅ ૝ ൅ ૚૛ 
ൌ
૞૙૙
૛૞ 
ൌ ૛૙
Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires. 
Letra A 
03. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal são funcionários da 
Prefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foram 
incumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos comerciais 
ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partes 
inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na 
Prefeitura. Com base nessas informações, é correto afirmar que coube a 
Lourival inspecionar 
 
 
 
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(A) 50 estabelecimentos. 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. 
(D) 40% do total de estabelecimentos. 
(E) 60% do total de estabelecimentos. 
Resolução 
Vamos considerar que Lourival inspecionará ݈ estabelecimentos e Juvenal 
inspecionará ݆ estabelecimentos. 
Já que a divisão será em partes inversamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço na Prefeitura, a proporção ficará assim: 
݈
1
8
ൌ 
݆
1
12
Vamos adotar a mesma estratégia da questão anterior. O mínimo múltiplo 
comum entre 8 e 12 é igual a 24. Olhe para as frações dos denominadores. 
Devemos dividir 24 por 8 e 24 por 12. A proporção ficará assim: 
݈ 
3 
ൌ
݆
2
Aplicando a propriedade das proporções. Devemos somar os numeradores e 
somar os denominadores. Lembre-se que o total de estabelecimentos 
inspecionados é igual a 75. 
݈ 
3 
ൌ
݆ 
2 
ൌ
݈ ൅ ݆
3 ൅ 2 
ൌ
75
5 
ൌ 15
݈ ൌ 3 · 15 ൌ 45
݆ ൌ 2 · 15 ൌ 30
Desta forma, Lourival inspecionou 45 estabelecimentos e Juvenal inspecionou 
30 estabelecimentos. 
Vamos agora analisar as alternativas: 
É correto afirmar que coube a Lourival inspecionar: 
(A) 50 estabelecimentos (FALSO) 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
 
 
 
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(D) 40% do total de estabelecimentos. (FALSO, pois 40% de 75 é igual a 30). 
(E) 60% do total de estabelecimentos (VERDADEIRO, pois 60% de 75 é igual a 
45). 
Resposta: Letra E 
04. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, três 
funcionários da Companhia do Metropolitano de São Paulo foram incumbidos 
de distribuir folhetos informativos contendo orientações aos usuários dos trens. 
Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, em partes 
inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Metrô: 
2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos, 
a soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 
(A) 448 
(B) 630 
(C) 954 
(D) 1 512 
(E) 1 640 
Resolução 
Vamos considerar que as quantidades de folhetos de cada um dos funcionários 
são iguais a ܽ, ܾ , ܿ (em ordem crescente do tempo de serviço). 
Já que a divisão é inversamente proporcional ao tempo de serviço, então a 
proporção ficará assim: 
ܽ
1
2
ൌ 
ܾ
1
9
ൌ 
ܿ
1
12
O mínimo múltiplo comum entre 2, 9 e 12 é igual a 36. Devemos dividir 36 por 
2, por 9 e por 12, obtendo 18, 4 e 3, respectivamente. 
ܽ
18 
ൌ
ܾ 
4 
ൌ
ܿ
3
O funcionário que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos, portanto ܾ ൌ 288. 
ܽ
18 
ൌ
288
4 
ൌ
ܿ
3
ܽ 
18 
ൌ 72 ൌ
ܿ
3
ܽ ൌ 18 · 72 ൌ 1.296
ܾ ൌ 3 · 72 ൌ 216
Portanto, ܽ ൅ ܾ ൌ 1.512.PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL
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A soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 1.512. 
Letra D 
05. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herança de R$ 
28.500,00, quatro irmãos, que nasceram em dias diferentes, marcaram 
encontro em um sábado. O testamento determinava que eles receberiam 
partes diretamente proporcionais às respectivas idades, em anos completos, 
que nesse sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmão mais novo só 
compareceu no domingo, um dia depois do combinado, e que era exatamente 
o dia de seu aniversário. Supondo que a partilha tenha sido feita no domingo, a 
quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por conta 
do adiamento de um dia é: 
(A) R$ 50,00. 
(B) R$ 155,00. 
(C) R$ 180,00. 
(D) R$ 205,00. 
(E) R$ 215,00. 
Resolução 
As divisões foram feitas em partes diretamente proporcionais. Se a partilha 
fosse feita no sábado, então a proporção ficaria assim: 
ܽ
15 
ൌ
ܾ
17 
ൌ
ܿ 
21 
ൌ
݀
22
Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradores 
e somando os denominadores: 
ܽ
15 
ൌ
ܾ
17 
ൌ
ܿ 
21 
ൌ
݀
22 
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ ݀ 
15 ൅ 17 ൅ 21 ൅ 22 
ൌ
28.500 
75 
ൌ 380
O irmão que tem 21 anos receberia ܿ ൌ 21 · 380 ൌ 7.980 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
O irmão que tem 22 anos receberia ݀ ൌ 22 · 380 ൌ 8.360 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Mas a partilha foi feita no domingo, dia de aniversário do irmão mais novo. No 
domingo, o irmão mais novo completou 16 anos e a partilha foi feita de acordo 
com a seguinte proporção: 
ܽ
16 
ൌ
ܾ
17 
ൌ
ܿ 
21 
ൌ
݀
22
Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradores 
e somando os denominadores: 
ܽ
16 
ൌ
ܾ
17 
ൌ
ܿ 
21 
ൌ
݀
22 
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ ݀ 
16 ൅ 17 ൅ 21 ൅ 22 
ൌ
28.500 
76 
ൌ 375
 
 
 
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O irmão que tem 21 anos recebeu ܿ ൌ 21 · 375 ൌ 7.875 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
7.980 െ 7.875 ൌ 105 ݎ݁ܽ݅ݏ.
O irmão que tem 22 anos recebeu ݀ ൌ 22 · 375 ൌ 8.250 ݎ݁ܽ݅ݏ.
O irmão de 21 anos deixou de receber 
O irmão de 22 anos deixou de receber 8.360 െ 8.250 ൌ 110 ݎ݁ܽ݅ݏ.
A quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por 
conta do adiamento de um dia é 105 ൅ 110 ൌ 215 reais. 
Letra E 
06. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Foi solicitada, à Guarda Municipal, a 
distribuição de colaboradores que se responsabilizassem por ações que 
garantissem a preservação dos parques públicos de três municípios da região 
metropolitana do Salvador. Fez-se a opção de distribuir os 72 colaboradores, 
de forma diretamente proporcional à população de cada um dos municípios. 
Tabela de valores aproximados de população 
Qual é o número de colaboradores destinados ao município Lauro de Freitas? 
(A) 36 
(B) 30 
(C) 26 
(D) 13 
(E) 10 
Resolução 
Vamos considerar que os números de colaboradores aos municípios de 
Camaçari, Dias D’Ávila e Lauro de Freitas são iguais a ܿ, ݀ ݁ ݈, 
respectivamente. 
A divisão é feita de forma proporcional à população de cada cidade. 
ܿ
180.000 
ൌ
݀
50.000 
ൌ
݈
130.000
Podemos simplificar a proporção dividindo todos os termos dos denominadores 
por 10.000 (cortar 4 zeros). 
 
 
 
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ܿ 
18 
ൌ
݀
5 
ൌ
݈
13
Vamos agora somar os numeradores e somar os denominadores. 
ܿ 
18 
ൌ
݀
5 
ൌ
݈ 
13 
ൌ
ܿ ൅ ݀ ൅ ݈
18 ൅ 5 ൅ 13 
ൌ
72 
36 
ൌ 2
Desta forma, ݈ ൌ 13 · 2 ൌ 26. 
O município de Lauro de Freitas receberá 26 colaboradores. 
Letra C 
07. (MPE-AP 2009/FCC) O dono de uma loja resolveu distribuir a quantia de 
R$ 3.570,00 entre seus funcionários, como premiação. Cada um dos cinco 
funcionários receberá uma parte diretamente proporcional ao número de anos 
completos trabalhados na loja. A tabela mostra o número de anos completos 
trabalhados na loja pelos cinco funcionários. 
A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebido 
pelo funcionário K, em reais, é 
(A) 127,50 
(B) 255,00 
(C) 382,50 
(D) 510,00 
(E) 892,50 
Resolução 
A divisão será feita em partes diretamente proporcionais ao número de anos 
completos trabalhados na loja. A proporção será a seguinte: 
݆ 
2 
ൌ
݇
3 
ൌ
݈ 
4 
ൌ
݉
7 
ൌ
݊
12
A soma das quantias recebidas pelos funcionários é igual a R$ 3.570,00. 
݆ 
2 
ൌ
݇
3 
ൌ
݈ 
4 
ൌ
݉
7 
ൌ
݊
12 
ൌ
ܬ ൅ ݇ ൅ ݈ ൅ ݉ ൅ ݊
2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ 7 ൅ 12 
ൌ
3.570 
28 
ൌ 127,5
 
 
 
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Desta forma: 
݉ ൌ 7 · 127,5 ൌ 892,50
݇ ൌ 3 · 127,5 ൌ 382,50 
A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebido 
pelo funcionário K, em reais, é 892,50 െ 382,50 ൌ 510. 
Letra D 
08. (DPE-SP 2010/FCC) O orçamento de um município para transporte 
público é de R$ 770.000,00. Esse orçamento será repartido entre três regiões 
(A, B e C) do município em proporção direta ao número de habitantes de cada 
uma. Sabe-se que o número de habitantes da região A é o dobro da região B, 
que por sua vez é dobro da região C. Nas condições dadas, as regiões B e C 
receberão, juntas, 
(A) R$ 280.000,00. 
(B) R$ 290.000,00. 
(C) R$ 300.000,00. 
(D) R$ 310.000,00. 
(E) R$ 330.000,00. 
Resolução 
Não foi informada a população de cada uma das regiões. Apenas foi dito que o 
número de habitantes da região A é o dobro da região B, que por sua vez é 
dobro da região C. 
Vamos considerar que a população da região C seja igual a 1. Desta forma, a 
população da região B será igual a 2 e a população da região A será igual a 4. 
Desta maneira, devemos dividir R$ 770.000,00 em partes diretamente 
proporcionais a 4,2 e 1. 
ܽ
4 
ൌ
ܾ 
2 
ൌ
ܿ 
1 
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
4 ൅ 2 ൅ 1 
ൌ
770.000
7 
ൌ 110.000
ܾ ൌ 2 · 110.000 ൌ 220.000
As regiões B e C receberão juntas, 220.000+110.000 = 330.000 reais. 
ܿ ൌ 1 · 110.000 ൌ 110.000 
Letra E 
 
 
 
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Regra de Três
Vamos agora resolver questões sobre Regra de Três. Lembremos que para 
resolver questões deste assunto, devemos construir uma tabela agrupando as 
grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as 
grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida devemos 
determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. O último 
passo é montar a proporção. 
Quando as grandezas são diretamente proporcionais (ou seja, quando uma 
delas aumenta (diminui), a outra também aumenta (diminui) na mesma 
proporção), devemos armar as frações no mesmo sentido das setas. 
Quando as grandezas são inversamente proporcionais (ou seja, quando uma 
delas aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta) na mesma proporção), 
devemos armar as frações no sentido oposto aos das setas. 
Por fim, a seta da coluna da grandeza desconhecida sempre fica para baixo! 
09. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Suponha que 8 máquinas de 
terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, sejam capazes 
de nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 dias, se 
funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, 
quantos metros quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, 
em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de funcionamento ininterrupto? 
(A) 16 000 
(B) 20 000 
(C) 64 000 
(D) 78 000 
(E) 84 000 
Resolução 
Trata-se de um enunciado típico de uma questão de regra de três. 
Vamos relacionar as grandezas com uma tabela: 
Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
8 8.000 8 8 
16 ݔ 1616 
Para facilitas as contas, vamos simplificar as colunas. Cada coluna pode ser 
simplificada por 8. 
 
 
 
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Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
1 8.000 1 1 
2 ݔ 2 2 
Devemos comparar cada uma das grandezas conhecidas com a grandeza 
desconhecida. 
Aumentando o número de máquinas, a área a ser nivelada aumenta. As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
Aumentando a quantidade de dias, a área a ser nivelada aumenta. As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
Aumentando a carga horária diária, a área a ser nivelada aumenta. As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
1 8.000 1 1 
2 ݔ 2 2 
Vamos armar a proporção: 
8.000 
ݔ 
ൌ
1
2 
·
1
2 
·
1
2
8.000 
ݔ 
ൌ
1
8
ݔ · 1 ൌ 8.000 · 8
Serão nivelados 64.000 metros quadrados. 
ݔ ൌ 64.000
Letra C 
10. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 
minutos para percorrer o trajeto entre duas estações, o esperado é que outro 
trem, cuja velocidade média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o 
mesmo trajeto em 
(A) 2 minutos e 40 segundos. 
(B) 2 minutos e 30 segundos. 
(C) 2 minutos e 20 segundos. 
(D) 2 minutos e 15 segundos. 
(E) 2 minutos e 5 segundos. 
Resolução 
 
 
 
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Vamos considerar que a velocidade do trem na primeira situação é igual a 100. 
Neste caso, o trem gasta 2 minutos para percorrer o trajeto. Como a velocidade 
do outro trem é igual a 80% da velocidade do primeiro trem, então a sua 
velocidade será igual a 80. Qual o tempo gasto por ele? 
Vamos armar a regra de três. 
Velocidade Tempo (min) 
100 2 
80 ݔ
Diminuindo a velocidade, o tempo gasto para percorrer o trajeto aumentará. As 
grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das 
velocidades no momento de armar a proporção. 
Velocidade Tempo (min) 
100 2 
80 ݔ
2 
ݔ 
ൌ
80
100
80 · ݔ ൌ 2 · 100
ݔ ൌ 
200 
80 
ൌ 2,5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
ݔ ൌ 2 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ݁ 30 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ.
Letra B 
11. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um certo número de guardas municipais 
foram encaminhados, em Salvador, para ações comunitárias de proteção às 
crianças. No ano anterior, para as mesmas ações, participaram 24 guardas, 
durante 6 dias, trabalhando 8 horas por dia. Sabendo que, neste ano, os 
guardas trabalharão durante 8 dias, 4 horas por dia, quantos guardas serão 
necessários para a execução das mesmas tarefas? 
(A) 12 
(B) 16 
(C) 24 
(D) 36 
(E) 64 
Resolução 
Vamos montar uma tabela para relacionar as grandezas envolvidas. 
Guardas Dias Horas por dia 
24 6 8 
ݔ 8 4 
 
 
 
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A coluna dos dias pode ser simplificada por 2 e a coluna das “horas por dia” 
pode ser simplificada por 4. 
Guardas Dias Horas por dia 
24 3 2 
ݔ 4 1 
Aumentando a quantidade de dias, devemos diminuir a quantidade de guardas. 
As grandezas são inversamente proporcionais. 
Diminuindo a quantidade de horas trabalhadas por dia, podemos aumentar a 
quantidade de guardas. As grandezas são inversamente proporcionais. 
Guardas Dias Horas por dia 
24 3 2 
ݔ 4 1 
24 
ݔ 
ൌ
4
3 
·
1
2
24 
ݔ 
ൌ
4
6
4 · ݔ ൌ 24 · 6
4ݔ ൌ 144
ݔ ൌ 36 ݃ݑܽݎ݀ܽݏ
Letra D 
12. (DPE-SP 2010/FCC) Um professor tem de corrigir 48 trabalhos de seus 
alunos. Nos primeiros 40 minutos de trabalho ele corrige 6 trabalhos. Se 
continuar corrigindo no mesmo ritmo, ele utilizará para corrigir os 48 trabalhos 
(A) 5 horas e 20 minutos. 
(B) 5 horas e 10 minutos. 
(C) 4 horas e 50 minutos. 
(D) 4 horas e 40 minutos. 
(E) 4 horas e 30 minutos. 
Resolução 
Quem já tem um pouquinho mais de experiência pode já seguir o seguinte 
raciocínio: 
Ele gasta 40 minutos para corrigir 6 trabalhos. Para corrigir 48 trabalhos 
(observe que o número de trabalhos é 8 vezes maior), gastará 8 vezes mais 
tempo. 
O tempo necessário será igual a 8 · 40 ൌ 320 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ.
 
 
 
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Podemos, alternativamente, armar a tabela da regra de três. 
Trabalhos Tempo (min) 
6 40 
48 ݔ
A coluna referente ao número de trabalhos pode ser simplificada por 6. 
Trabalhos Tempo (min) 
1 40 
8 ݔ 
Aumentando a quantidade de trabalhos a serem corrigidos, aumenta-se o 
tempo gasto para efetuar o serviço. As grandezas são diretamente 
proporcionais. 
40 
ݔ 
ൌ
1
8
ݔ · 1 ൌ 40 · 8
ݔ ൌ 320 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
Para transformar esta resposta para “horas e minutos”, devemos dividir o 
resultado por 60. 
320/ 60 
 20 5 ݄݋ݎܽݏ 
Portanto: 
320 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ 5 ݄݋ݎܽݏ ݁ 20 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Letra A 
13. (TRF 2ª Região 2007/FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1 200 
panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi 
impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de 
funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas 
deveriam funcionar durante 15 horas, 
(A) 10 minutos e 40 segundos. 
(B) 24 minutos e 20 segundos. 
(C) 37 minutos e 30 segundos. 
(D) 42 minutos e 20 segundos. 
(E) 58 minutos e 30 segundos. 
Resolução 
Temos que 1.200 panfletos foram impressos por 3 máquinas em 2 horas e 
meia de funcionamento. 
 
 
 
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Queremos calcular o tempo que duas máquinas gastam para imprimir 5.000 
panfletos. 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 1.200 
2 ݔ 5.000 
Podemos simplificar a coluna dos panfletos. Dividindo 1.200 por 100 e dividindo 
5.000 por 100 obtemos 12 e 50, respectivamente. 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 12 
2 ݔ 50 
Diminuindo a quantidade de máquinas, o tempo gasto para imprimir os 
panfletos aumenta. As grandezas são inversamente proporcionais. Portanto, 
devemos inverter a coluna das máquinas no momento de armar a proporção. 
Aumentando a quantidade de panfletos, aumenta-se o tempo para imprimi-los. 
As grandezas são diretamente proporcionais. 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 12 
2 ݔ 50 
2,5 
ݔ 
ൌ
2
3 
·
12
50
2,5 
ݔ 
ൌ
24
150
24 · ݔ ൌ 150 · 2,5
24ݔ ൌ 375
ݔ ൌ 
375
Podemos simplificar esta fração por 3. 
24
ݔ ൌ 
375
24 
ൌ
125
8 
݄݋ݎܽݏ
Vamos dividir 125 horas por 8. 
125 ݄݋ݎܽݏ/ 8 
 5 15 ݄݋ݎܽݏ 
As 5 horas do resto devem ser convertidas para minutos para continuar a 
divisão. Para transformar 5 horas em minutos, devemos multiplicar por 60. 
 
 
 
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5 ݄݋ݎܽݏ ൌ 5 · 60 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ 300 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
300 min / 8 
 4 37݉݅݊
Neste momento já podemos marcar a letra C. 
Para continuar a divisão, devemos transformar os 4 minutos do resto em 
segundos. Para isto, devemos multiplicar 4 por 60 obtendo 240 segundos. 
240 ݏ/ 8 
Portanto, o tempo gasto é igual a 15 horas, 37 minutos e 30 segundos. 
 0 30 ݏ 
Letra C 
14. (MPE-AP 2009/FCC) Em um escritório, três digitadores de produtividade 
idêntica realizam a tarefa de digitar 2400 páginas em 20 dias. Para realizar 
uma tarefa de digitação de 6000 páginas em 15 dias, o número mínimo de 
digitadores que devem ser incorporados à equipe, com a mesma produtividade 
dos três primeiros é 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
Resolução 
Vamos montar uma tabela para relacionar as grandezas. 
Digitadores Páginas Dias 
3 2.400 20 
ݔ 6.000 15 
Vamos simplificar as colunas: 
A segunda coluna pode ser simplificarinicialmente por 100. Serão cortados os 
2 zeros de cada um dos números. Ficamos com 24 e 60 que podem ser 
simplificados por 12. 24 dividido por 12 é igual a 2 e 60 dividido por 12 é igual a 
5. 
A terceira coluna pode ser simplificada por 5. 
Digitadores Páginas Dias 
3 2 4 
ݔ 5 3 
 
 
 
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Aumentando o número de páginas, deve-se aumentar o número de digitadores. 
As grandezas são diretamente proporcionais. 
Diminuindo o prazo, devemos aumentar a quantidade de digitadores. As 
grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a terceira coluna 
no momento de armar a proporção. 
Digitadores Páginas Dias 
3 2 4 
ݔ 5 3 
3 
ݔ 
ൌ
2
5 
·
3
4
3 
ݔ 
ൌ
6
20
6 · ݔ ൌ 3 · 20
Como há 3 digitadores, são necessários, no mínimo, 7 digitadores. 
6ݔ ൌ 60 ֞ ݔ ൌ 10 
Letra B
Porcentagem
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões 
centesimais, 
percentagem ou porcentagem. 
Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). 
Ou seja, 
݌ 
100 
ൌ ݌%
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para 
obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100. 
75% ൌ 
75
100 
ൌ 0,75
33% ൌ 
33
100 
ൌ 0,33
 
 
 
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100% ൌ 
100
100 
ൌ 1
350% ൌ 
350 
100 
ൌ 3,5
Percentual de um valor
Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100. 
Exemplo: Calcular 30% de 500. 
Resolução 
30% ݀݁ 500 ൌ 
30 
100 
· 500 ൌ 150
Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta 
multiplicá-la por 100%. 
Esse fato é matematicamente correto, pois 100% ൌ 1 e o número 1 é o 
elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por 100% não altera o 
resultado. 
Exemplo: Transformar a fração 3/4 em taxa percentual. 
Resolução 
3
4 
ൌ
3
4 
· 100% ൌ
300
4 
% ൌ 75%
Exemplo: Transformar a fração 5/8 em taxa percentual. 
Resolução 
૞ 
ૡ 
ൌ
૞ 
ૡ 
· ૚૙૙% ൌ
૞૙૙ 
ૡ 
% ൌ ૟૛, ૞%
Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual. 
Resolução 
૙, ૜૞૛ ൌ ૙, ૜૞૛ · ૚૙૙% ൌ ૜૞, ૛%
 
 
 
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Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a 
vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, 
então deveremos adicionar zeros a direita. 
Variação Percentual
i) Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com uma bolsa. Vai ao Shopping Center e encontra a 
bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Esqueceu a 
carteira em casa. Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando 
você retorna ao Shopping Center, encontra a mesma bolsa por 
R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00. 
ii) Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra 
o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima! 
Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de 
semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$ 
4.080,00. Obviamente o valor do anel aumentou em R$ 80,00. 
Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do 
valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor 
inicial do objeto? Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que 
custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00 
em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses 
aumentos é a chamada variação percentual. 
Definição 
A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, 
é chamada variação percentual. 
Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ na data 0 e valor 
final ௙ܸ௜௡௔௟ em uma data futura ݐ. A variação percentual dessa grandeza entre 
as datas consideradas é o número ݅ (expresso em porcentagem) dado por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟ 
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Voltemos aos nossos exemplos: 
i) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 200,00 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 280,00
Assim, a taxa percentual é: 
݅ ൌ 
280 െ 200
200 
ൌ
80
200
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
 
 
 
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݅ ൌ 
80
200 
ൌ
80 
200 
· 100% ൌ 40%
ii) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 4.000,00 e 
Assim, a taxa percentual é: 
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 4.080,00
݅ ൌ 
4.080 െ 4.000
4.000 
ൌ
80
4.000 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
݅ ൌ 
80
4.000 
ൌ
80
4.000 
· 100% ൌ 2%
 
Exemplo: João decidiu comprar uma calça no valor de R$ 160,00. O vendedor 
informou que se o pagamento fosse feito à vista, então a calça seria vendida 
por R$ 140,00. Qual a taxa percentual de desconto? 
݅ ൌ 
140 െ 160 
160 
ൌ
െ20
160 
ൌ
െ20
160 
· 100% ൌ െ12,5%
Portanto, o desconto foi de 12,5%. 
Variações percentuais sucessivas
Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse 
pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, 
com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para 
calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 
70%=70/100. 
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 
100% - p%. 
Atenção!
Se , a taxa percentual é de crescimento.
Se , o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto).
 
 
 
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Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por 
100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar 
100% + 20% = 120%. 
Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu 
um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a 
mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual 
a variação percentual acumulada? 
Resolução 
Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que 
pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. 
Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, 
após o aumento, vale: 
140% ݀݁ ܴ$300,00 ൌ 
140 
100 
· 300 ൌ 420 ݎ݁ܽ݅ݏ.
A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não 
pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. 
O cliente pagará 
100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o 
desconto, vale: 
75% ݀݁ ܴ$ 420,00 ൌ 
75
Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00. 
100 
· 420 ൌ ܴ$ 315,00
Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se 
o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos. 
Assim, 
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 300 · 
140
100 
·
75 
100 
ൌ 315 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de 
R$ 315,00. Ou seja: 
A taxa de variação acumulada é de: 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 300 ݁ ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 315
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟ 
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
ൌ
315 െ 300
300
݅ ൌ 
15
300 
ൌ
15 
300 
· 100% ൌ 5%
 
 
 
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Assim, o aumento de 40% seguidodo desconto de 25% equivale a um único 
aumento de 5%. 
15. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou 
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a 
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, 
será necessário um aumento de 
a) 60% 
b) 80% 
c) 150% 
d) 160% 
e) 180% 
Resolução 
Considere que o número inicial de espécies nativas em 02/01/2004 foi de 100. 
Como esse número diminuiu 60%, então em 02/01/2005 havia 40 espécies. 
Queremos que em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o 
mesmo observado em 02-01-2004. Portanto o número de espécies nativas em 
02/01/2006 será igual a 100. 
02/01/2004 02/01/2005 02/01/2006 
100 40 100 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟ 
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Valor inicial (02/01/2005): 40 espécies nativas. 
Valor final (02/01/2006): 100 espécies nativas. 
Diferença entre os valores: 100 – 40 = 60 
݅ ൌ 
60
40 
· 100% ൌ
6000
40 
% ൌ 150%
Letra C 
 
 
 
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16. (ALESP 2010/FCC) Costuma-se dizer que em dias de jogos do Brasil na 
Copa do Mundo de Futebol o país literalmente “para”. Suponha que durante um 
jogo do Brasil na última Copa houve uma diminuição do fluxo de veículos que 
passaram por uma praça de pedágio de certa rodovia: a média habitual de 50 
veículos por minuto passou a ser de 57 veículos por hora. Considerando esses 
dados, no momento de tal jogo o fluxo de veículos nessa praça foi reduzido em 
(A) 98,1%. 
(B) 98,4%. 
(C) 98,6%. 
(D) 981%. 
(E) 984%. 
Resolução 
A média habitual é de 50 veículos por minuto. Como uma hora é igual a 60 
minutos, então a média habitual pode ser escrita como 50 · 60 ൌ 3.000 veículos 
por hora. 
Valor inicial: 3.000 veículos 
Valor final: 57 veículos. 
Diferença entre os valores: 57 – 3.000 = - 2.943. 
݅ ൌ 
െ2.943
3.000 
· 100% ൌ െ98,1%
O fluxo de veículos foi reduzido em 98,1%. 
Letra A 
17. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Das 96 pessoas que 
participaram de uma festa de confraternização dos funcionários do 
Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do 
sexo masculino. Se, num dado momento antes do término da festa, foi 
constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido a 60% do total 
das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres permaneceu 
inalterado, até o final da festa, então a quantidade de homens que haviam se 
retirado era 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 40. 
(D) 42. 
(E) 44. 
Resolução 
A quantidade de mulheres é constante. Se no início 75% das pessoas 
presentes na confraternização eram homens, então 25% eram mulheres. 
 
 
 
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25% ݀݁ 96 ൌ 
25
100 
· 96 ൌ
1 
4 
· 96 ൌ 24 ݉ݑ݈݄݁ݎ݁ݏ
Então, no início da festa havia 96 െ 24 ൌ 72 ݄݋݉݁݊ݏ.
Antes do término da festa, o percentual de homens se reduziu a 60%. Então as 
mulheres correspondem a 40% do total de pessoas na festa. Como o número 
de mulheres permaneceu constante, então estes 40% correspondem a 24 
pessoas. 
Porcentagem Pessoas 
40% 24 
60% ݔ 
Vamos calcular quantos homens estavam presentes no final da festa. 
Aumentando o percentual, aumenta-se o número de pessoas. As grandezas 
(porcentagem e número de pessoas) são diretamente proporcionais. 
40
60 
ൌ
24
ݔ
2
3 
ൌ
24
ݔ
2 · ݔ ൌ 3 · 24
2ݔ ൌ 72
ݔ ൌ 
72
2 
ൌ 36 ݄݋݉݁݊ݏ 
Tínhamos inicialmente 72 homens. Como no final ficaram 36 homens, então o 
número de homens que saiu é igual a: 
72 െ 36 ൌ 36
Letra A 
18. (METRO-SP 2007/FCC) Em um relatório sobre as atividades 
desenvolvidas em um dado mês pelos funcionários lotados em certa estação 
do Metrô, foi registrado que: 
− 25% do total de funcionários eram do sexo feminino e que, destes, 45% 
haviam cumprido horas-extras; 
− 60% do número de funcionários do sexo masculino cumpriram horas-extras; 
− 70 funcionários não cumpriram horas-extras. 
Com base nessas informações, nesse mês, o total de funcionários lotados em 
tal estação era 
(A) 120 
 
 
 
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(B) 150 
(C) 160 
(D) 180 
(E) 190 
Resolução 
Vamos considerar que há ݔ funcionários. Sabemos que 25% são mulheres e, 
portanto, 75% são homens. Podemos escrever: 
݉ ൌ 0,25ݔ
݄ ൌ 0,75ݔ 
O enunciado informou que 45% das mulheres cumpriram horas-extras. Desta 
forma, concluímos que 55% (= 100% - 45%) não cumpriram horas-extras. 
Não cumpriram horas extras: 55% das mulheres ൌ ૙, ૞૞࢓. 
Sabemos também que 60% dos homens cumpriram horas-extras. Assim, 40% 
(=100% - 60%) não cumpriram horas-extras. 
Não cumpriram horas extras: 40% dos homens ൌ ૙, ૝૙ࢎ. 
Como 70 funcionários não cumpriram horas-extras, então: 
૙, ૞૞࢓ ൅ ૙, ૝૙ࢎ ൌ ૠ૙
Vamos substituir ݉ ݌݋ݎ 0,25ݔ ݁ ݄ ݌݋ݎ 0,75ݔ. 
૙, ૞૞ · ૙, ૛૞࢞ ൅ ૙, ૝૙ · ૙, ૠ૞࢞ ൌ ૠ૙
૙, ૚૜ૠ૞࢞ ൅ ૙, ૜࢞ ൌ ૠ૙
૙, ૝૜ૠ૞࢞ ൌ ૠ૙
࢞ ൌ 
ૠ૙
૙, ૝૜ૠ૞ 
ൌ ૚૟૙ ࢌ࢛࢔ࢉ࢏࢕࢔á࢘࢏࢕࢙
Letra C 
19. (METRO-SP 2007/FCC) Sabe-se que a área de uma superfície 
retangular é calculada pelo produto ܥ · ܮ, em que C e L são as respectivas 
medidas do comprimento e da largura do retângulo, numa dada unidade. 
Suponha que a plataforma de embarque nos trens que servem certa estação 
do Metrô tenha a forma de um retângulo e que, após uma reforma, uma de 
suas dimensões foi diminuída em 20%, enquanto que a outra foi acrescida de 
20%. Nessas condições, é correto afirmar que, após a reforma, a área da 
superfície original 
(A) não foi alterada. 
(B) foi aumentada em 2,4%. 
(C) foi diminuída de 2,4%. 
(D) foi aumentada de 4%. 
 
 
 
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(E) foi diminuída de 4%. 
Resolução 
Vamos considerar que o comprimento seja igual a 10 e a largura também seja 
igual a 10. Assim, a área da superfície é igual a 10 ൈ 10 ൌ 100. 
Diminuindo 20% do comprimento (o comprimento agora mede 8) e aumentando 
20% da largura (a largura agora mede 12), a área será igual a 8 ൈ 12 ൌ 96. 
Resumindo: originalmente a área era de 100 e foi reduzida para 96, diminuindo, 
portanto, 4%. 
Letra E 
Vamos agora resolver algebricamente esta questão. 
A área é o produto do comprimento pela largura. 
Ao reduzir o comprimento em 20%, devemos multiplicá-lo por 100% - 20% = 
ܣ ൌ ܥ · ܮ 
80%. Ao aumentar a largura em 20%, devemos multiplicá-la por 100% + 20% = 
120%. Assim, a nova área será igual a: 
80 
100 
· ܥ ·
120 
100 
· ܮ ൌ 0,96 · ܥ · ܮ ൌ
96 
100 
· ܥ · ܮ
Ou seja, área final é igual a área inicial multiplicada por 96%. Significando uma 
diminuição de 4%. 
20. (METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro 
bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso se o quociente 
do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%. Se 
o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então NÃO é vantajoso usar álcool 
quando o preço por litro de álcool 
(A) é no máximo de R$ 1,70. 
(B) é superior a R$ 1,82. 
(C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. 
(D) é igual a R$ 1,78. 
(E) é menor que R$ 1,80. 
Resolução 
Os especialistas dizem que o uso de álcool só é vantajoso se o quociente do 
preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%. 
Podemos concluir que o uso de álcool NÃO é vantajoso usar álcool se o 
referido quociente for maior que 70%.PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL
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Á݈ܿ݋݋݈
ܩܽݏ݋݈݅݊ܽ 
൐ 70%
Á݈ܿ݋݋݈
ܩܽݏ݋݈݅݊ܽ 
൐ 0,70
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 0,70 · ሺܩܽݏ݋݈݅݊ܽሻ
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 0,70 · 2,60
Assim, não é vantajoso usar álcool se o preço do seu litro for maior que 
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 1,82 
R$ 1,82. 
Letra B 
21. (METRO-SP 2010/FCC) A área de um círculo é igual ao produto do 
número π pelo quadrado da medida do seu raio. Se a razão entre os raios de 
dois círculos concêntricos é 4, então a área do menor é quantos por cento da 
área do maior? 
(A) 25%. 
(B) 12,5%. 
(C) 6,25%. 
(D) 4%. 
(E) 3,25%. 
Resolução 
Vamos considerar que o raio do círculo menor é igual a ݎ e a raio do círculo 
maior é igual a ܴ. A razão entre os raios é igual a 4, portanto: 
ܴ 
ݎ 
ൌ 4 ֞ ܴ ൌ 4ݎ
Para saber a porcentagem pedida, devemos dividir a área do menor pela área 
do maior. 
ߨݎ²
ߨܴ²
Podemos cortar ߨ com ߨ. 
ݎ² 
ܴ² 
ൌ ቀ
ݎ
ܴ
ቁ
ଶ
ൌ ቀ 
ݎ
4ݎ
ቁ
ଶ
ൌ ൬
1
4
൰
ଶ
ൌ 
1
16 
ൌ 0,0625 ൌ 6,25%
Letra C 
 
 
 
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22. (SERGIPE GAS 2010/FCC) Do total de novos clientes de uma 
companhia de gás em 2009, sabe-se que: 25% eram residenciais, 55% eram 
industriais e os 180 restantes eram comerciais. Nessas condições, com relação 
aos novos clientes dessa companhia em 2009, é correto afirmar que os 
(A) industriais eram 1 200. 
(B) residenciais eram 210. 
(C) industriais eram 455. 
(D) residenciais eram 245. 
(E) industriais eram 495. 
Resolução 
Sabe-se que 25% dos clientes eram residenciais e 55% eram industriais. Já 
temos um total de 80%. Desta forma, 20% dos clientes são comerciais. 
Vamos supor que o número total de clientes novos seja igual a ݔ. 
20% ݀݁ ݔ ൌ 180
20 
100 
· ݔ ൌ 180
ݔ ൌ 180 · 
100
Tem-se 900 novos clientes nesta companhia de gás. 
20 
ൌ 900
Vamos calcular o número de clientes residenciais: 
25% ݀݁ 900 ൌ 
25
Calculemos agora o número de clientes industriais. 
100 
· 900 ൌ 225
55% ݀݁ 900 ൌ 
55
100 
· 900 ൌ 495
Letra E 
23. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com 
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu 
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A 
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez 
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo 
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu 
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou 
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para 
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a 
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início 
dessa seqüência de visitas, ficou: 
 
 
 
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a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
Resolução 
Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso. 
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela 
perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa 
mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100. 
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que 
fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu 
peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de 
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também 
emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos 
multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100. 
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que 
acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 
100% + 25% = 125% = 125/100. 
Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira: 
Seu peso final será: 
100 · 
80
100 
·
120
100 
·
75
100 
·
125 
100 
ൌ 90 ݇݃
Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor. 
Letra D 
24. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida 
de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é 
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. 
a) 12% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
Resolução 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 
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݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟ 
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Valor inicial: R$ 1200,00 
Valor final: R$ 1440,00 
Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00. 
݅ ൌ 
240 
1200 
· 100% ൌ
240
12 
% ൌ 20%
Letra C 
25. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um 
número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
Resolução 
Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o 
valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5. 
Letra C 
26. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse 
valor, ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o 
que sobrou do salário de Flávio foi 
A) inferior a R$ 180,00. 
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. 
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. 
D) superior a R$ 280,00. 
Resolução 
Flávio gastou 25% pagando dívidas, portanto ele gastou: 
25 
100 
· 720 ൌ
1 
4 
· 720 ൌ 180 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Flávio gastou 1/3 com alimentação, portanto ele gastou: 
1 
3 
· 720 ൌ 240 ݎ݁ܽ݅ݏ.
 
 
 
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Total dos gastos: 180 ൅ 240 ൌ 420 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Quanto sobrou para Flávio? 
ܴ$ 720,00 െ ܴ$ 420,00 ൌ ܴ$ 300,00
Letra D 
27. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da 
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em 
A) exatamente 25% do valor à vista. 
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. 
C) exatamente 30% do valor à vista. 
D) mais de 30% do valor à vista. 
Resolução 
O valor total do pagamento a prazo na compra da lavadora é de: 
Este valor supera o valor do pagamento à vista em: 
10 ൈ 162,50 ൌ 1.625 ݎ݁ܽ݅ݏ
1.625 െ 1.300 ൌ 325 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Para saber qual o percentual deste valor em relação ao valor à vista, devemos 
efetuar a divisão entre os valores: 
325
1.300 
ൌ 0,25 ൌ 25%
Letra A 
 
 
 
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28. (Fiscal do trabalho 2003/ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende 
apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% 
agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como 
gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais 
hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes 
agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 
gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: 
a) 50 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 70 
Resolução: 
Na clínica temos 10 gatos. 90% destes agem como gatos e 10% agem como 
cães. Logo: 
Nove gatos agem como gatos e um gato age como cão. 
Vamos considerar que há ݔ cães na clínica.Destes, 90% agem como cães e 
10% agem como gatos. Logo: 
0,9ݔ cães agem com cães e 0,1ݔ cães agem como gatos 
Em resumo, temos: 
Nove gatos e ૙, ૚࢞ cães agem como gatos. 
Um gato e 0,9ݔ cães agem como cães. 
Há 10 gatos e ݔ cães. Desta forma, o total de animais é igual a 10 ൅ ݔ. 
Sabemos pelo enunciado que 20% dos animais desta clínica agem como 
gatos. Assim: 
20% ݀݋ݏ ܽ݊݅݉ܽ݅ݏ ܽ݃݁݉ ܿ݋݉݋ ݃ܽݐ݋ݏ
20% ݀݁ ሺ10 ൅ ݔሻ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
0,20 · ሺ10 ൅ ݔሻ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
2 ൅ 0,2ݔ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
0,2ݔ െ 0,1ݔ ൌ 9 െ 2
0,1ݔ ൌ 7
ݔ ൌ 
7
0,1 
ൌ 70
 
 
 
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Há 70 cães. 
Letra E 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Não podemos ministrar um curso de Matemática sem falar sobre números. O 
engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. 
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... 
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. 
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), 
escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., 
posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra 
agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o 
desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-
européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; 
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara 
para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los. 
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção 
bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os 
números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: 
“Os números governam o mundo”. 
Nesta primeira parte, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e 
suas propriedades. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao 
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um 
número do tipo: 
Գ ൌ ሼ0,1,2,3 … ሽ 
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não 
poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. 
A este conjunto Գ denominamos conjunto dos números naturais. 
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos 
com um asterisco sobrescrito à letra N. 
ܰכ ൌ ሼ1,2,3,4 … ሽ
 
 
 
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Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. 
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações 
básicas: adição e multiplicação. 
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” 
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando 
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre 
possível somar dois números naturais? É claro que sim!! 
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. 
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por 
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à 
adição. 
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que 
sim!! 
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... 
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um 
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em 
relação à multiplicação. 
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora 
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! 
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto 
dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um 
número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais 
NÂO É FECHADO em relação à subtração. 
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É 
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos 
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma 
fração que não é um número natural). 
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como 
soma, adição, multiplicação, produto, etc. 
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto 
dos números naturais: adição e multiplicação. 
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. 
 
 
 
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Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. 
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é 
chamado de soma. 
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da 
operação. Soma é o resultado da adição. 
Definimos então a operação de adição: 
a,b parcelas 
c soma
a b c
→⎡+ = ⎢ →⎣ 
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. 
Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 
Propriedade comutativa da adição
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. 
Em símbolos: 
para todos a,b Na b b a+ = + ∈ 
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. 
Ex.: 4554 945
954 +=+
⎭⎬
⎫
=+
=+
Propriedade associativa da adição
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas 
primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que 
devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos 
parêntesis. 
5)(3253)(2 
10825)(32
105553)2( ++=++
⎭⎬
⎫
=+=++
=+=++
Existência do elemento neutro da adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 
ܽ ൅ 0 ൌ 0 ൅ ܽ ൌ ܽ
 
 
 
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Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de 
elemento neutro da adição. 
Propriedade do fechamento da adição
A soma de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é 
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar 
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número 
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, 
etc. 
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte 
cálculo: 
3 ൈ 4 ൌ 12 
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou 
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ൈ ݋ݑ ·. 
Assim, 3 ൈ 4 ൌ 3 · 4 ൌ 12.
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de 
parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a 
multiplicação. Assim, 
3ܽ ݏ݂݅݃݊݅݅ܿܽ 3 ݒ݁ݖ݁ݏ ܽ.
Ou seja, 3ܽ ൌ 3 · ܽ ൌ 3 ൈ ܽ. 
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: ሺݔ ൅ 2ሻሺݔ െ 1ሻ.
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta 
expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos 
parêntesis. 
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos 
ሺݔ ൅ 2ሻሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ ൅ 2ሻ · ሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ ൅ 2ሻ ൈ ሺݔ െ 1ሻ
ൈ ݁ ·. Normalmente 
utilizaremos ൈ quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e 
utilizaremos · quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você 
pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor 
esteticamente e utilize... Ok? 
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e 
nomenclaturas. 
a,b fatores 
c produto
a b c
→⎡× = ⎢ →⎣ 
 
 
 
PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL
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www.pontodosconcursos.com.brDa mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém 
observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome 
da operação e produto é o resultado da multiplicação. 
Propriedade comutativa da multiplicação
A ordem dos fatores não altera o produto. 
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o 
mesmo 12. 
Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ . 
Lembre-se que ܾܽ significa a vezes b. Ou seja, 
ܾܽ ൌ ܾܽ ൌ ܽ · ܾ ൌ ܾ · ܽ ൌ ܽ ൈ ܾ ൌ ܾ ൈ ܽ 
2772 
1427
1472 ⋅=⋅
⎭⎬
⎫
=⋅
=⋅
Propriedade associativa da multiplicação
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois 
primeiros ou os dois últimos fatores. 
5)(4354)(3 
602035)(43
6051254)3( ⋅⋅=⋅⋅⎭⎬
⎫
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
Existência do elemento neutro da multiplicação
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 
ܽ · 1 ൌ 1 · ܽ ൌ ܽ
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. 
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 
 
 
 
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Propriedade do fechamento da multiplicação
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a 
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. 
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) 
será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, 
um número irracional, etc. 
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a 
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou 
simplesmente propriedade distributiva. 
Propriedade Distributiva
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, 
vejamos um exemplo. Efetue 2 · ሺ3 ൅ 5ሻ.
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem 
escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 ൅ 5, deveríamos efetuar primeiramente 
2 · 3 ൌ 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 ൅ 5 ൌ 6 ൅ 5 ൌ 11.
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia 
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão 
dentro dos parêntesis. 
2 · ሺ3 ൅ 5ሻ ൌ 2 · 8 ൌ 16 
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um 
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em 
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · ሺ3 ൅ 5ሻ podemos 
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 
2 · ሺ3 ൅ 5ሻ ൌ 2 · 3 ൅ 2 · 5 ൌ 6 ൅ 10 ൌ 16 
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a 
expressão 2 · ሺݔ ൅ 3ሻ pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 
Ou simplesmente: 
2 · ሺݔ ൅ 3ሻ ൌ 2 · ݔ ൅ 2 · 3 ൌ 2 · ݔ ൅ 6
2 · ሺݔ ൅ 3ሻ ൌ 2ݔ ൅ 6
 
 
 
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29. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de 
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário 
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte 
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números 
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos 
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, 
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros 
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
Resolução 
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou 
os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras 
distintas correspondem a algarismos distintos. 
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um 
número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele 
mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, 
que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento 
neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. 
M 0 R R 0
M 0 R R 0
T O R T 0
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente 
realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso 
se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a 
acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o 
seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 
10). 
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao 
efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas 
 
 
 
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correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e 
consequentemente R não pode ser 5. 
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12. 
M 0 R=6 R=6 0
M 0 R=6 R=6 0
T O=1 R=3 T=2 0
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo 
das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos 
efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, 
então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que 
R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. 
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos 
com o caso R = 6. 
Chega-se a conclusão de que R=9. 
 0 9 9 0
 0 9 9 0
 9 8 0
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 
4 0 9 9 0
4 0 9 9 0
8 1 9 8 0
Logo, MARRA=81980. 
Letra D 
30. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada 
letra representa um algarismo 
O valor de A+B+C é: 
 
 
 
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a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
Resolução 
3 1 3, 3 2 6, 3 3 9
3 4 12, 3 5 15, 3 6 18 
3 7 21, 3 8 24, 3 9 27
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo 
algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao 
efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao 
resultado. 
1 A B 8
 x 3
A B 8 4
O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 
6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo 
das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = . 
1 A 2 8
 X 3
A 2 8 4
Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = . 
1 4 2 8
 X 3
4 2 8 4
Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = . 
8C = 3 8 24× =
 
 
 
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Letra E 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em 
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação 
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. 
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela 
letra Z (inicial de zahl - número em alemão). 
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Dizemos que o número – ݔ é o simétrico ou oposto do número ݔ. 
Por exemplo, o número െ5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico