Aula 17 Matemtica Aula 03 Parte 01

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Olá pessoal! 
De acordo com a nossa programação, a aula de hoje será sobre: 
Sistema legal de medidas. Equações e inequações de 1.º e 2.º graus; sistemas 
lineares. Funções; gráficos. Sequências numéricas. Funções exponenciais e 
logarítmicas. 
Esta aula será dividida em 3 partes por causa da grande quantidade de 
questões. 
01. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Uma pessoa tinha 12 bolas 
iguais, todas com o mesmo “peso”. Para determinar o “peso” de cada bola, ela 
usou uma balança de dois pratos, colocando: 8 bolas em um prato e, no outro, 
as demais bolas e mais um objeto que “pesava” 436 gramas, ficando, então, a 
balança equilibrada. Dessa forma ela pôde concluir corretamente que o “peso” 
de cada bola era, em gramas, 
(A) 87 
(B) 95 
(C) 103 
(D) 109 
(E) 115 
Resolução 
Vamos supor que o “peso” de cada bola seja igual a ݔ gramas. Em um prato da 
balança há 8 bolas. Isto significa que o “peso” que está neste prato é igual a 8ݔ
gramas. Como são 12 bolas no total, sobram 4 bolas que serão colocadas no 
outro prato. Portanto, o peso total que será colocado no outro prato é igual a 
4ݔ ൅ 436 gramas. Se a balança está equilibrada, então os “pesos” dos dois 
pratos são iguais. 
8ݔ ൌ 4ݔ ൅ 436
8ݔ െ 4ݔ ൌ 436
4ݔ ൌ 436
ݔ ൌ 
436 
4 
ൌ 109 ݃ݎܽ݉ܽݏ
Letra D 
02. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Em uma prova com X questões 
a nota máxima é 10,0 e todas elas têm o mesmo valor. Suponha que um aluno 
acerte 18 das 32 primeiras questões e, das restantes, ele acerte 40%. Assim 
sendo, se esse aluno tirou nota 5,0 nessa prova, então X é um número 
(A) múltiplo de 4. 
(B) divisível por 17. 
(C) menor que 50. 
 
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(D) primo. 
(E) quadrado perfeito. 
Resolução 
A nota máxima é 10,0 e todas as questões têm o mesmo valor. Como são X 
questões, para calcular o valor de cada questão devemos dividir a nota máxima 
10,0 pelo número de questões X. Desta forma, o valor de cada questão é igual 
a 
10
ݔ
É fácil verificar que isto é válido. Por exemplo, se fossem duas questões, cada 
uma valeria 5,0 pontos = 10/2. 
As questões foram divididas em dois grupos, a saber: as 32 primeiras e o grupo 
restante. Como são X questões, então o grupo restante é composto por ܺ െ 32
questões. 
O aluno em questão acertou 18 das 32 primeiras questões e 40% do restante. 
Desta forma, o número de questões acertadas pelo aluno é igual a: 
18 ൅ 
40
100 
· ሺܺ െ 32ሻ ൌ 18 ൅ 0,4ܺ െ 12,8 ൌ 0,4ܺ ൅ 5,2 
Para descobrir a nota final do aluno, devemos multiplicar o número de questões 
acertadas (0,4X+5,2) pelo valor de cada questão. O resultado deve ser igual a 
5,0 que é a nota do aluno. 
ሺ0,4ܺ ൅ 5,2ሻ · 
10 
ܺ 
ൌ 5 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por X. O nosso intuito é 
transportar o X que está dividindo no primeiro membro para o segundo membro 
(multiplicando). 
ሺ0,4ܺ ൅ 5,2ሻ · 10 ൌ 5ܺ
4ܺ ൅ 52 ൌ 5ܺ 
4ܺ െ 5ܺ ൌ െ52
െܺ ൌ െ52
ܺ ൌ 52 
O número de questões é múltiplo de 4 (basta dividir 52 por 4: o quociente é 13 
e o resto é 0). 
Letra A 
 
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03. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Numa reunião técnica: 
− O número de mulheres que não são Agentes de Segurança é o triplo do 
número de homens que são Agentes de Segurança. 
− O número de homens que não são Agentes de Segurança é a metade do 
número de mulheres que são Agentes de Segurança. 
− Entre os Agentes de Segurança, o número de mulheres é o quádruplo do 
número de homens. 
Sabendo-se que existem 90 pessoas na reunião, é verdade que o número de 
(A) homens que são Agentes de Segurança é 8. 
(B) mulheres que são Agentes de Segurança é 32. 
(C) pessoas que não são Agentes de Segurança é 44. 
(D) homens é 27. 
(E) mulheres é 62. 
Resolução 
Vamos separar a reunião em 4 grupos. 
 Homens Mulheres 
Agentes de Segurança a b 
Não são Agentes de Segurança c d 
− O número de mulheres que não são Agentes de Segurança é o triplo do 
número de homens que são Agentes de Segurança. 
O número de mulheres que não são agentes de segurança é igual a ݀ (olhar a 
tabela acima) e o número de homens que são agentes de segurança é igual a 
ܽ. 
݀ ൌ 3ܽ
− O número de homens que não são Agentes de Segurança é a metade do 
número de mulheres que são Agentes de Segurança. 
ܿ ൌ 
ܾ
2
. 
− Entre os Agentes de Segurança, o número de mulheres é o quádruplo 
do número de homens. 
Dos agentes de segurança, são ܽ homens e ܾ mulheres. 
 
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ܾ ൌ 4ܽ
Como o total de pessoas é igual a 90, tem-se que: 
Temos um sistema de equações: 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ ݀ ൌ 90
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ ݀ ൌ 3ܽ
ܿ ൌ 
ܾ
2
ܾ ൌ 4ܽ
Vamos substituir a expressão 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ ݀ ൌ 90
ܾ ൌ 4ܽ na segunda equação. 
ܿ ൌ 
ܾ
2
ܿ ൌ 
4ܽ
2
ܿ ൌ 2ܽ
Vamos agora substituir as expressões ݀ ൌ 3ܽ, ܿ ൌ 2ܽ, ܾ ൌ 4ܽ na quarta 
equação do sistema. 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ ݀ ൌ 90
ܽ ൅ 4ܽ ൅ 2ܽ ൅ 3ܽ ൌ 90
10ܽ ൌ 90
ܽ ൌ 9
Desta forma: 
ܾ ൌ 4ܽ ൌ 4 ൈ 9 ൌ 36
ܿ ൌ 2ܽ ൌ 2 ൈ 9 ൌ 18
A tabela ficará assim: 
݀ ൌ 3ܽ ൌ 3 ൈ 9 ൌ 27
 Homens Mulheres 
Agentes de Segurança 9 36 
Não são Agentes de Segurança 18 27 
Há no total 9 ൅ 18 ൌ 27 homens. 
 
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(D) homens é 27. 
Letra D 
04. (ALESP 2010/FCC) A tabela a seguir mostra a distribuição das notas dos 
alunos de uma classe numa prova constituída de dez testes de múltipla 
escolha, cada um valendo 1 ponto. 
Se a média da classe nesta prova foi 6, então o número de alunos que tiraram 
5 é igual a 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
Resolução 
Para calcular a média na sala, devemos calcular uma média ponderada onde 
os pesos são as quantidades de alunos. Em suma, para calcular a média das 
notas, devemos multiplicar cada nota pela respectiva quantidade de alunos que 
tiraram aquela nota, somar todos os resultados e dividir pela quantidade total 
de alunos. 
Vamos considerar que ݔ alunos tiraram a nota 5. Lembre-se que a média da 
classe foi 6. 
3 · 1 ൅ 4 · 5 ൅ 5 · ݔ ൅ 6 · 11 ൅ 7 · 8 ൅ 8 · 4 ൅ 9 · 2
1 ൅ 5 ൅ ݔ ൅ 11 ൅ 8 ൅ 4 ൅ 2 
ൌ 6
3 ൅ 20 ൅ 5ݔ ൅ 66 ൅ 56 ൅ 32 ൅ 18
31 ൅ ݔ 
ൌ 6
195 ൅ 5ݔ
31 ൅ ݔ 
ൌ 6
6 · ሺ31 ൅ ݔሻ ൌ 195 ൅ 5ݔ
 
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186 ൅ 6ݔ ൌ 195 ൅ 5ݔ
6ݔ െ 5ݔ ൌ 195 െ 186
ݔ ൌ 9
Letra E 
05. (MPE-RS 2008/FCC) No ano de 2007, uma Unidade do Ministério Público 
recebeu mensalmente apenas um lote de certo tipo de suprimento. 
Relativamente às quantidades de suprimentos desses lotes, sabe-se que: 
– a média aritmética das quantidades recebidas nos doze meses era igual a 61; 
– excluído o lote de dezembro, a média aritmética das quantidades recebidas 
nos meses restantes passou a ser 60. 
Nessas condições, quantas unidades de suprimento havia no lote de 
dezembro? 
(A) 48 
(B) 54 
(C) 60 
(D) 72 
(E) 78 
Resolução 
Para calcular a média aritmética das quantidades recebidas nos doze meses, 
devemos somar as quantidades referentes aos 12 meses e dividir por 12. 
Vamos considerar que esta soma seja igual a S. 
ܵ 
12 
ൌ 61 
ܵ ൌ 61 · 12 
Isto significa que foram recebidas 732 unidades ao longo dos 12 meses. 
ܵ ൌ 732 
Vamos considerar que foram ݔ unidades em dezembro. Desta maneira, 
excluindo a quantidade referente a dezembro, o total será igual a 732 െ ݔ
unidades. 
Excluído o lote de dezembro, a média aritmética das quantidades recebidas 
nos meses restantes passou a ser 60.Para calcular esta média, devemos dividir o total que restou 732 െ ݔ pelo total 
de meses considerados (11 meses). 
732 െ ݔ
11 
ൌ 60
 
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11 · 60 ൌ 732 െ ݔ
660 ൌ 732 െ ݔ
ݔ ൌ 732 െ 660
ݔ ൌ 72
Letra D 
06. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um 
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu 
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 52 
Resolução 
De acordo com o enunciado, ݔଶ െ 4ݔ ൌ 1.845. 
Vamos calcular o discriminante: 
ݔଶ െ 4ݔ െ 1.845 ൌ 0
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396. 
Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺെ4ሻଶ െ 4 · 1 · ሺെ1.845ሻ ൌ 7.396
Observe o seguinte fato: 
50ଶ ൌ 2.500
60ଶ ൌ 3.600
70ଶ ൌ 4.900
80ଶ ൌ 6.400
90ଶ ൌ 8.100
Como 6.400 ൏ 7.396 ൏ 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que 
está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 
concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 
6 x 6 = 36). 
84ଶ ൌ 7.056
Deu errado... Só pode ser 86! 
 
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86ଶ ൌ 7.396
Voltando à equação: 
ݔଶ െ 4ݔ െ 1.845 ൌ 0
ݔ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ݔ ൌ 
െሺെ4ሻ േ 86 
2 · 1 
ൌ
4 േ 86
2 
Como x representa o número de soldados, obviamente ݔ ൐ 0, portanto, 
devemos utilizar apenas o + na fórmula. 
x ൌ 
4 ൅ 86
2 
ൌ 45 soldados
Letra B 
07. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir 
igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em 
que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, 
coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente 
previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
Resolução 
Digamos que há ݊ funcionários e que cada um arquivará ݌ processos. 
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo 
número de processos que cada um arquivará. Desta forma: 
݊ · ݌ ൌ 108
݌ ൌ 
108
݊
No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, 
assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o 
inicialmente previsto. 
 
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Ou seja, cada um dos ሺ݊ െ 2ሻ funcionários arquivará ሺ݌ ൅ 9ሻ processos. 
ሺ݊ െ 2ሻ · ሺ݌ ൅ 9ሻ ൌ 108
݊ · ݌ ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 108
Sabemos que ݊ · ݌ ൌ 108, logo: 
108 ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 108
108 ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 െ 108 ൌ 0
9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 0
Vamos substituir o valor de ݌ por ଵ଴଼
௡
.
9݊ െ 2 · 
108
݊ 
െ 18 ൌ 0
9݊ െ 
216 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 
݊ 
െ 18 ൌ 0
݊. 
9݊ · ݊ െ 
216
݊ 
· ݊ െ 18 · ݊ ൌ 0 · ݊
Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9. 
9݊ଶ െ 18݊ െ 216 ൌ 0 
݊ଶ െ 2݊ െ 24 ൌ 0
݊ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ 
ൌ
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 1 · ሺെ24ሻ
2 · 1 
ൌ
2 േ 10
Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +. 
2
݊ ൌ 
2 ൅ 10
2 
ൌ
12
2 
ൌ 6 funcionários.
݌ ൌ 
108
݊ 
ൌ
108
6 
ൌ 18 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ ݌ܽݎܽ ܿܽ݀ܽ ݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋
Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. 
Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um 
 
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deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 
processos. 
Letra E 
08. (ALESP 2010/FCC) Um lote com 120 objetos postais deve ser dividido 
igualmente entre um grupo de X Agentes, para posterior encaminhamento a 
diferentes setores da Assembleia. Sabendo-se que se o grupo tivesse 1 Agente 
a menos caberia a cada um deles encaminhar 6 objetos a mais do que a 
quantidade prevista inicialmente, então, é verdade que X é um número 
(A) maior que 6. 
(B) múltiplo de 3. 
(C) quadrado perfeito. 
(D) primo. 
(E) par. 
Resolução 
Vamos supor que, inicialmente, ao dividir os 120 objetos postais pelos X 
agentes cada um deva encaminhar ݊ objetos. 
120
ܺ 
ൌ ݊
݊ܺ ൌ 120 
Se o grupo tivesse 1 agente a menos, portanto X – 1 agentes, caberia a cada 
um deles encaminhar 6 objetos a mais do que a quantidade prevista 
inicialmente. 
120 
ܺ െ 1 
ൌ ݊ ൅ 6
ሺ݊ ൅ 6ሻ · ሺܺ െ 1ሻ ൌ 120
݊ܺ െ ݊ ൅ 6ܺ െ 6 ൌ 120
Lembre-se que ݊ܺ ൌ 120, portanto: 
120 െ ݊ ൅ 6ܺ െ 6 ൌ 120
െ݊ ൅ 6ܺ െ 6 ൌ 0
Sabemos também que ݊ ൌ 120/ܺ, portanto: 
െ 
120 
Vamos multiplicar os dois membros da equação pelo denominador X. 
ܺ 
൅ 6ܺ െ 6 ൌ 0 
െ 
120
ܺ 
· ܺ ൅ 6ܺ · ܺ െ 6 · ܺ ൌ 0 · ܺ
 
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Vamos dividir os dois membros da equação por 6. 
6ܺଶ െ 6ܺ െ 120 ൌ 0
ܺଶ െ ܺ െ 20 ൌ 0
Esta é uma equação do segundo grau com ܽ ൌ 1, ܾ ൌ െ1, ܿ ൌ െ20. Para 
resolver esta equação do segundo grau, devemos utilizar a seguinte fórmula: 
ܺ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ܺ ൌ 
െሺെ1ሻ േ ඥሺെ1ሻଶ െ 4 · 1 · ሺെ20ሻ
2 · 1
ܺ ൌ 
1 േ √81
2 
ൌ
1 േ 9
2
Como X é um número positivo, então 
ܺ ൌ 5 ݋ݑ ܺ ൌ െ4
ܺ ൌ 5. O número 5 é um número primo, 
pois só admite dois divisores naturais: 1 e 5. 
Letra D 
09. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá 
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao 
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
Resolução 
Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e 
tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de 
tempo. 
A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso 
dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
 
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Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. 
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso 
dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do 
tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. 
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda 
torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 
1
24 
൅
1
48 
ൌ
2 ൅ 1
48 
ൌ
3
48 
ൌ
1
16
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ
horas, em 1 hora encherão 1/x. 
Assim: 
1 
ݔ 
ൌ
1
16
ݔ ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
Letra E 
Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? 
 
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Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute 
um serviço o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço 
em ܿ horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos 
executem o serviço em ݔ horas. Temos a seguinte relação: 
1 
ܽ 
൅
1 
ܾ 
൅ ڮ ൌ
1
ݔ
No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda 
torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em ݔ ݄݋ݎܽݏ.
1
24 
൅
1
48 
ൌ
1
ݔ
2 ൅ 1
48 
ൌ
1 
ݔ 
֞
3
48 
ൌ
1
ݔ
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
3 · ݔ ൌ 1 · 48
ݔൌ 
48
3 
ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
10. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a 
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, 
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de 
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
(A) 6 horas e 30 minutos. 
(B) 7 horas e 30 minutos. 
(C) 6 horas. 
(D) 7 horas. 
(E) 8 horas. 
Resolução 
Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha 
em ݃ horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 
1 
5 
൅
1 
݃ 
ൌ
1
3
1 
݃ 
ൌ
1 
3 
െ
1 
5 
֞
1 
݃ 
ൌ
5 െ 3
15
 
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1 
݃ 
ൌ
2
15
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
2 · ݃ ൌ 1 · 15
ݔ ൌ 
15 
2 
ൌ 7,5 ݄݋ݎܽݏ ൌ 7 ݄݋ݎܽݏ ݁ 30 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Letra B 
11. (TRF 2ª Região 2007/FCC) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos 
judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles 
realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o 
outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por 
um período de 
(A) 6 horas. 
(B) 6 horas e 10 minutos. 
(C) 6 horas e 54 minutos. 
(D) 7 horas e 12 minutos. 
(E) 8 horas e meia. 
Resolução 
Questão idêntica!! 
Lembra da solução geral? 
Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute 
um serviço o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço 
em ܿ horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos 
executem o serviço em ݔ horas. Temos a seguinte relação: 
1 
ܽ 
൅
1 
ܾ 
൅ ڮ ൌ
1
ݔ
1 
9 
൅
1 
ܾ 
ൌ
1
4
1 
ܾ 
ൌ
1 
4 
െ
1
9
1 
ܾ 
ൌ
9 െ 4
36
1 
ܾ 
ൌ
5
36
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
 
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5ܾ ൌ 36
ܾ ൌ 
36
Para marcar a resposta, podemos verificar que 36 dividido por 5 é igual a 7,2. 
5 
݄݋ݎܽݏ 
Desta maneira já poderíamos marcar a alternativa D. Mas como transformar no 
modelo horas/minutos? 
Vamos efetuar a divisão: 
36 ݄݋ݎܽݏ / 5 
 1݄݋ݎܽ 7݄݋ݎܽݏ 
Para continuar a divisão devemos transformar o resto em minutos. Como 1 
hora é igual a 60 minutos, devemos dividir 60 minutos por 5. 
60 ݉݅݊ / 5 
 0 12 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Portanto, ܾ ൌ 7 ݄݋ݎܽݏ ݁ 12 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Letra D 
12. (DPE-SP 2010/FCC) Com relação ao peso dos objetos A, B e C sabe-se 
que: 
− peso de A é o triplo do peso de C; 
− peso de C é a quarta parte do peso de B. 
Nas condições dadas, é correto dizer que o peso de B é 
(A) 12 vezes o peso de A. 
(B) 4/3 do peso de A. 
(C) 3/4 do peso de A. 
(D) 1/2 do peso de A. 
(E) 25% do peso de A. 
Resolução 
Vamos considerar que os pesos dos objetos A, B e C são ܽ, ܾ , ݁ ܿ
respectivamente. 
− peso de A é o triplo do peso de C. 
ܽ ൌ 3ܿ
− peso de C é a quarta parte do peso de B. 
ܿ ൌ 
ܾ
4 
Vamos substituir esta segunda expressão na primeira. 
 
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ܽ ൌ 3ܿ
ܽ ൌ 3 · 
ܾ
4
ܽ ൌ 
3ܾ
4 
Queremos expressar o peso de B em função do peso de A. Portanto, devemos 
isolar o b. O número 4 que está dividindo, passa para o primeiro membro 
multiplicando. 
4ܽ ൌ 3ܾ
Finalmente, 
ܾ ൌ 
4ܽ
Desta forma o peso de B é igual a 4/3 do peso de A. 
3 
Letra B 
13. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura 
abaixo há um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números 
dos quadradinhos sombreados. 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
Resolução 
Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de ݔ, o segundo número 
de ݕ e o terceiro de ݖ. 
ݔ ݕ ݖ
 
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Concluímos que: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16
ݔ ൅ ݖ ൌ 21
ݕ ൅ ݖ ൌ 11
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um 
sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas 
das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema 
é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita 
escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita 
escolhida é ݔ. 
A equação que não aparece o ݔ é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os 
dois membros da terceira equação por -1. 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16
ݔ ൅ ݖ ൌ 21
െݕ െ ݖ ൌ െ11
Ao somar as três equações, ݕ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݔ ൅ ݔ ൌ 16 ൅ 21 െ 11
2ݔ ൌ 26
ݔ ൌ 13
Letra E 
14. (SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de 
canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a 
soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 
8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe 
(A) X foi 4 200 m. 
(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
 
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Resolução 
De acordo com o enunciado temos: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
ݔ ൅ ݖ ൌ 9,7
O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita 
escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Vamos multiplicar a última equação por ሺെ1ሻ.
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
െݔ െ ݖ ൌ െ9,7
o somar as três equações, ݔ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݕ ൅ ݕ ൌ 8,2 ൅ 8,9 െ 9,7
2ݕ ൌ 7,4 
ݕ ൌ 3,7
Substituindo este valor na primeira equação: 
ݔ ൅ 3,7 ൌ 8,2
ݔ ൌ 4,5
Como ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9: 
3,7 ൅ ݖ ൌ 8,9
ݖ ൌ 5,2 
Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: 
ܺ foi ݔ ൌ 4,5 ݇݉ ൌ 4.500 ݉
 
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ܻ foi ݕ ൌ 3,7 ݇݉ ൌ 3.700 ݉
ܼ foi ݖ ൌ 5,2 ݇݉ ൌ 5.200 ݉
Letra B 
15. (TCE-SP 2010/FCC) Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau 
ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo 
que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma 
máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte 
e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, 
perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia 
com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de 
novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 
reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, 
então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso 
totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre 
(A) 2,25 e 3,00. 
(B) 3,00 e 3,75. 
(C) 3,75 e 4,50. 
(D) 4,50 e 5,25. 
(E) 5,25 e 6,00. 
Resolução 
Vamos considerar que a quantia inicial que Estanislau possuía era iguala ݔ
reais. Primeiramente ele duplicou a quantia e ficou com 2ݔ. Em seguida perdeu 
4 reais e ficou com 2ݔ െ 4. Na terceira jogada ele duplicou a quantia que ficara:Em seguida perdeu 4 reais e ficou com 
2 · ሺ2ݔ െ 4ሻ ൌ 4ݔ െ 8
4ݔ െ 8 െ 4 ൌ 4ݔ െ 12. 
Na quinta jogada ele duplicou novamente a quantia que ficara: 
Em seguida perdeu 4 reais e ficou com 
2 · ሺ4ݔ െ 12ሻ ൌ 8ݔ െ 24
8ݔ െ 24 െ 4 ൌ 8ݔ െ 28. Neste momento, 
Estanislau ficou sem moeda alguma, portanto: 
8ݔ െ 28 ൌ 0
8ݔ ൌ 28
ݔ ൌ 
28
8 
ൌ 3,50
Letra B 
 
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16. (TRF 2ª Região 2007/FCC) De acordo com um relatório estatístico de 2006, 
um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1 347 documentos. 
Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de 
agosto e o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 
853 unidades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em 
setembro e a de agosto foi 
(A) 165 
(B) 247 
(C) 426 
(D) 427 
(E) 1 100 
Resolução 
Vamos considerar que a quantidade de documentos expedidos nos meses de 
setembro e outubro são iguais a ݏ e ݋ respectivamente. 
A soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de 
agosto. 
ݏ ൅ ݋ ൌ 3 · 1.347
ݏ ൅ ݋ ൌ 4.041 
O número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 853 
unidades. 
Vamos substituir esta expressão na primeira equação obtida. 
ݏ ൌ ݋ ൅ 853 
ݏ ൅ ݋ ൌ 4.041 
݋ ൅ 853 ൅ ݋ ൌ 4.041
2݋ ൌ 3.188
݋ ൌ 1.594
Como ݏ ൌ ݋ ൅ 853, então: 
ݏ ൌ 1.594 ൅ 853 ൌ 2.447 
A diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de 
agosto foi 2.447 െ 1.347 ൌ 1.100. 
Letra E 
 
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17. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de 
papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em 
cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos 
números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
Resolução 
Se o primeiro número par for ݔ,então os próximos números pares sucessivos 
serão ݔ ൅ 2, ݔ ൅ 4 ݁ ݔ ൅ 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68. 
ݔ ൅ ݔ ൅ 2 ൅ ݔ ൅ 4 ൅ ݔ ൅ 6 ൌ 68
4ݔ ൅ 12 ൌ 68 
4ݔ ൌ 56 ֞ ݔ ൌ 14
Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras 
haverá 16, 18 e 20 pacotes. 
Letra C 
18. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em 
uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 
3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para 
poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Resolução 
Digamos que o homem caridoso possua ݔ reais e que existam ݉ mendigos. 
Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-
ão R$ 3,00.” 
O homem entrega 5 reais para cada um dos ݉ mendigos. Portanto, ele gastou 
5݉ reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem 
possui é igual a 5݉ ൅ 3 ݎ݁ܽ݅ݏ.
ݔ ൌ 5݉ ൅ 3
 
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“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a 
cada um deles R$ 6,00.” 
O homem possui ݔ reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 
reais. Esta quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos 
ݔ ൅ 5
݉
mendigos. 
ݔ ൅ 5 ൌ 6݉
ݔ ൌ 6݉ െ 5
Ora, se ݔ ൌ 5݉ ൅ 3 e ݔ ൌ 6݉ െ 5, então 5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5
5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5
5݉ െ 6݉ ൌ െ5 െ 3
െ݉ ൌ െ8
׵ ݉ ൌ 8
São 8 mendigos. 
Letra D 
19. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a 
metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça 
parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, 
calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome 
das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... 
Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z... 
Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P. 
Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, ܬ ൌ ெ
ଶ
. Assim, 
ܯ ൌ 2 · ܬ. 
Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. 
Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A 
idade João era a terça parte da idade de seu pai. 
 
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ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊࢋ ࡶ࢕ã࢕ ൌ 
ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊ࢕ ࢖ࢇ࢏ 
૜
ࡶ െ ૝ ൌ 
ࡼ െ ૝ 
૜ 
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ሺࡶ െ ૝ሻ 
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛ ൅ ૝
A soma das idades dos três é 100 anos hoje. 
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ 
ࡶ ൅ ࡹ ൅ ࡼ ൌ ૚૙૙
ࡶ ൅ ૛ · ࡶ ൅ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૚૙૙
૟ · ࡶ ൌ ૚૙ૡ
Assim, a mãe de João tem 
ࡶ ൌ ૚ૡ
 ࡹ ൌ ૛ · ࡶ ൌ ૜૟. 
O pai de João tem ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૜ · ૚ૡ െ ૡ ൌ ૝૟.
O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe. 
Letra B 
20. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de 
dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu 
o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. 
Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da 
idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais 
velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Considere que o irmão mais novo tem ݔ anos. Portanto, as idades dos outros 
irmãos são iguais a ݔ ൅ 3, ݔ ൅ 6, ݔ ൅ 9 ݁ ݔ ൅ 12. 
A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho. 
 
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ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݊݋ݒ݋ ൌ 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݒ݈݄݁݋ 
2
ݔ ൌ 
ݔ ൅ 12
2 
2ݔ ൌ ݔ ൅ 12 
ݔ ൌ 12 
Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. 
O irmão mais velho está com 24 anos. 
Letra D 
21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 
o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. 
Digamos que a pessoa tenha ݔ anos em 2009. Dessa maneira, terá ݔ ൅ 3 anos 
em 2012 e ݔ െ 15 anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 
15. 
Ano 1994 2009 2012 
Idade ݔ െ 15 ݔ ݔ ൅ 3
A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994. 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 2012 ൌ 3 · ሺܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 1994ሻ
ݔ ൅ 3 ൌ 3 · ሺݔ െ 15ሻ 
ݔ ൅ 3 ൌ 3ݔ െ 45 
ݔ െ 3ݔ ൌ െ45 െ 3
 
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െ2ݔ ൌ െ48
ݔ ൌ 24 ܽ݊݋ݏ
Letra C 
22. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio 
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos 
reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia 
que Carlos tinha inicialmente era de: 
a) 12 reais 
b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome 
das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... 
No nosso caso, Carlos tem ࢉ reais e Márcio tem ࢓ reais. 
1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui. 
Já que Márcio possui ݉ reais, Carlos dará ݉ reais para Márcio. Vejamos o que 
acontece com as quantias de cada um: 
 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓
Carlos dá ࢓ reais para 
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓
É óbvio notar que se Carlos dá ݉ reais para Márcio, então Carlos perde݉
reais e Márcio ganha 
1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. 
݉ ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Atualmente, Carlos possui ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ. Portanto, Márcio dará a Carlos 
ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ.
 
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 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓
Carlos dá 
reais para 
࢓
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓
Márcio dá 
(ࢉ െ ࢓ሻ reais a 
Carlos 
ࢉ െ ࢓ ൅ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૛ࢉ െ ૛࢓ ૛࢓ െ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૜࢓ െ ࢉ
As duas quantias são iguais a 16 reais. 
ቄ2ܿ െ 2݉ ൌ 16
Olhemos para a primeira equação: 
3݉ െ ܿ ൌ 16
Podemos dividir os dois membros da equação por 2. 
2ܿ െ 2݉ ൌ 16
ܿ െ ݉ ൌ 8 
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. 
ܿ ൌ ݉ ൅ 8 
3݉ െ ܿ ൌ 16 
3݉ െ ሺ݉ ൅ 8ሻ ൌ 16 
3݉ െ ݉ െ 8 ൌ 16 
2݉ ൌ 16 ൅ 8 ֞ 2݉ ൌ 24 ֞ ݉ ൌ 12
Como ܿ ൌ ݉ ൅ 8: 
ܿ ൌ 12 ൅ 8 ൌ 20 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra D 
23. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia 
dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela 
dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente 
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 
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tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três 
meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
Resolução 
Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. 
 Alice Bela Cátia 
Início ܽ ܾ 36
Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada 
uma possui. 
Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber ܾ reais. Para que Cátia 
duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais. 
Alice Bela Cátia 
ܽ ܾ 36
ܽ െ ܾ െ 36 ܾ ൅ ܾ ൌ 2ܾ 36 ൅ 36 ൌ 72 
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia 
que possui. 
Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber ܽ െ ܾ െ 36. Para que 
Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais. 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 2ܾ െ ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ െ 72 2 · 72 ൌ 144
Manipulando a expressão da quantia de Bela: 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 3ܾ െ ܽ െ 36 2 · 72 ൌ 144
 
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Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma 
duplique a quantia que possui. 
Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ. Para 
que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3ܾ െ ܽ െ 36.
Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ para Alice e 3ܾ െ ܽ െ 36
para Bela, então ficou com: 
No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto, 
144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ
144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ ൌ 36
144 െ 2ܽ ൅ 2ܾ ൅ 72 െ 3ܾ ൅ ܽ ൅ 36 ൌ 36
Multiplicando os dois membros por 
െܽ െ ܾ ൌ െ216
ሺെ1ሻ: 
A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: 
ܽ ൅ ܾ ൌ 216 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 216 ൅ 36 ൌ 252
Letra B 
24. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do 
dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe 
restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos 
com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
Resolução 
Vamos assumir que Rui possui ݎ reais e que Pedro possui ݌ reais. 
“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com 
uma quantia igual ao dobro do que lhe restará.” 
Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. 
 
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Ou seja, se Pedro possuía ݌ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com ସ
ହ 
· ݌. 
Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía ݎ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com 
ݎ ൅ ଵ
ହ 
· ݌. 
Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro. 
ݎ ൅ 
1
5 
· ݌ ൌ 2 ·
4
5 
· ݌
ݎ ൅ 
1
5 
· ݌ ൌ
8 
5 
· ݌
ݎ ൌ 
8
5 
· ݌ െ
1 
5 
· ݌
ݎ ൌ 
7
5 
· ݌
5ݎ ൌ 7݌
Rui diz a Pedro: 
“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com 
quantias iguais.” 
Pedro ficará com ݌ ൅ 6 reais e Rui ficará com ݎ െ 6 reais. Estas duas quantias 
devem ser iguais. 
݌ ൅ 6 ൌ ݎ െ 6
Substituindo esta expressão na equação obtida acima: 
݌ ൌ ݎ െ 12
5ݎ ൌ 7݌
5ݎ ൌ 7 · ሺݎ െ 12ሻ
5ݎ ൌ 7ݎ െ 84
െ2ݎ ൌ െ84 ֞ 2ݎ ൌ 84 ֞ ݎ ൌ 42 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra A 
 
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25. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram 
um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos 
pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
Então Carlos pagou: 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
Resolução 
Vamos utilizar as letras ܽ, ܾ , ܿ para indicar as quantias pagas por Antônio, 
Bruno e Carlos, respectivamente. 
1ª informação ՜ Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600
2ª informação ՜ Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos 
pagaram. 
ܽ ൌ 
ܾ ൅ ܿ 
2 
֞ ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ
3ª informação ՜ Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos 
pagaram. 
ܾ ൌ 
ܽ ൅ ܿ
3 
֞ ܽ ൅ ܿ ൌ 3ܾ
Voltemos à primeira equação: 
ܽ ൅ ࢈ ൅ ࢉ ൌ 600
Sabemos que ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ. Portanto, 
ܽ ൅ ૛ࢇ ൌ 600
3ܽ ൌ 600
ܽ ൌ 200 
Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. 
 
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Sabemos que ࢇ ൅ ࢉ ൌ ૜࢈ e que ࢇ ൅ ܾ ൅ ࢉ ൌ 600. 
ܾ ൅ ૜࢈ ൌ 600
4ܾ ൌ 600
ܾ ൌ 150 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600
200 ൅ 150 ൅ ܿ ൌ 600
350 ൅ ܿ ൌ 600
ܿ ൌ 250
Letra C 
Vamos fazer uma breve revisão sobre potências e radicais e resolver algumas 
questões. 
Potenciação 
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. 
Observe: 
4ହ ൌ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ൌ 1.024
Na potência 4ହ ՜ 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de 
vezes que o fator se repete). 
Sendo ܽ um número real e ݊ um número inteiro maior que 1, define-se: 
ܽ௡ ൌ ܽ · ܽ · … · ܽ ሺ݊ ݂ܽݐ݋ݎ݁ݏሻ
Exemplos: 
5ଷ ൌ 5 · 5 · 5 ൌ 125
ሺെ8ሻଶ ൌ ሺെ8ሻ · ሺെ8ሻ ൌ 64
൬െ 
2
3
൰
ଶ
ൌ ൬െ 
2
3
൰ · ൬െ 
2
3
൰ ൌ 
4
9
ሺെ2ሻଷ ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ ൌ െ8
 
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• Toda potência de expoente 1 é igual a base. 
ܽଵ ൌ ܽ
• Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 
ܽ଴ ൌ 1, ݏ݁݊݀݋ ܽ ് 0
Observação: 0଴ é ݑ݉ܽ ݅݊݀݁ݐ݁ݎ݉݅݊ܽçã݋ ݉ܽݐ݁݉áݐ݅ܿܽ.
• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de 
expoente positivo. 
ܽି௡ ൌ 
1
ܽ௡
Exemplos: 
5ଵ ൌ 5
൬
3
4
൰
଴
ൌ 1
൬
2
5
൰
ିଷ
ൌ ൬
5
2
൰
ଷ
ൌ 
125
8
5ିଵ ൌ ൬
1
5
൰
ଵ
ൌ 
1
5
Propriedades Operatórias 
ݔ௔ · ݔ௕ ൌ ݔ௔ା௕
ݔ௔ 
ݔ௕ 
ൌ ݔ௔ି௕
ሺݔ௠ሻ௡ ൌ ݔ௠௡
Em palavras: 
IMPORTANTE 
Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.
Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da
potência é negativo.
Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.
 
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• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os 
expoentes são adicionados. 
• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os 
expoentes são subtraídos. 
• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os 
expoentes são multiplicados. 
Exemplos 
5ଶ · 5ସ ൌ 5ଶାସ ൌ 5଺ 
5଺ 
5ଶ 
ൌ 5଺ିଶ ൌ 5ସ
ሺ5ଶሻ଺ ൌ 5ଶ·଺ ൌ 5ଵଶ
26. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 
10ଵ଴ െ 3 é: 
a) 88 
b) 89 
c) 91 
d) 95 
e) 97 
Resolução 
Qual o significado de 
Com dez fatores “x”. 
ݔଵ଴ ൌ ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ
Portanto, 10ଵ଴ ൌ 10.000.000.000
A soma dos algarismos é 
10ଵ଴ െ 3 ൌ 10.000.000.000 െ 3 ൌ 9.999.999.997 
9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 7 ൌ 88.
Letra A 
27. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando ଶ
భవమబାଶ
ଶభఴ
 , encontra-se: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
 
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d) 8 
e) 221 
Resolução 
Vamos relembrar algumas propriedades das potências. 
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, 
repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de 
mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, 
࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈
࢞ࢇ/࢞࢈ ൌ ࢞ࢇି࢈
E da mesma forma que ࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈ , temos que ࢞ࢇା࢈ ൌ ࢞ࢇ · ࢞࢈ (óbvio não?). 
Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? 
Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 
2ଶ଴ ൌ 2ଵ଼ାଶ ൌ 2ଵ଼ · 2ଶ
2ଵଽ ൌ 2ଵ଼ାଵ ൌ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଶ଴ ൅ 2ଵଽ
2ଵ଼ 
ൌ
2ଵ଼ · 2ଶ ൅ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଵ଼
Podemos colocar 218 em evidência: 
2ଵ଼ · 2ଶ ൅ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଵ଼ 
ൌ
2ଵ଼ · ሺ2ଶ ൅ 2ଵሻ
2ଵ଼ 
ൌ 2ଶ ൅ 2ଵ ൌ 4 ൅ 2 ൌ 6
Letra C 
28. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão 
ଷ೙షభାଷ೙షమାଷ೙షయ
ଷ೙శమାଷ೙శభାଷ೙
 onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o 
seguinte resultado: 
a) 1/3 
b) 1/27 
c) 3 
d) 27 
e) 1/9 
Resolução 
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas 
na questão anterior. 
 
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3௡ିଵ ൅ 3௡ିଶ ൅ 3௡ିଷ 
3௡ାଶ ൅ 3௡ାଵ ൅ 3௡ 
ൌ
3௡ · 3ିଵ ൅ 3௡ · 3ିଶ ൅ 3௡ · 3ିଷ
3௡ · 3ଶ ൅ 3௡ · 3ଵ ൅ 3௡ · 3଴ 
Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador. 
3௡ · 3ିଵ ൅ 3௡ · 3ିଶ ൅ 3௡ · 3ିଷ 
3௡ · 3ଶ ൅ 3௡ · 3ଵ ൅ 3௡ · 3଴ 
ൌ
3௡ · ሺ3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷሻ 
3௡ · ሺ3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴ሻ 
ൌ
3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷ
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴
3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷ 
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴ 
ൌ
1 
3 ൅
1 
9 ൅
1
27
9 ൅ 3 ൅ 1 
ൌ
9 ൅ 3 ൅ 1
27 
13 
ൌ
13
27
13/1 
ൌ
13
27 
·
1
13 
ൌ
1
27
Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! 
Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de ݊ não influencia 
na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que 
vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria 
o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos. 
3௡ିଵ ൅ 3௡ିଶ ൅ 3௡ିଷ
3௡ାଶ ൅ 3௡ାଵ ൅ 3௡ 
Esta é a expressão. Vamos substituir ݊ por 3. 
3ଷିଵ ൅ 3ଷିଶ ൅ 3ଷିଷ
3ଷାଶ ൅ 3ଷାଵ ൅ 3ଷ 
ൌ
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴
3ହ ൅ 3ସ ൅ 3ଷ 
ൌ
9 ൅ 3 ൅ 1 
243 ൅ 81 ൅ 27 
ൌ
13
351
Simplificando por 13... 
13
351 
ൌ
1
27
Bem melhor, não?! 
Letra B 
29. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10଴,ସ଻଻ ൌ 3 . O valor 
de ݔ tal que 10௫ ൌ 9.000 é: 
a) 3,628 
b) 3,746 
c) 3,882 
d) 3,015 
e) 3,954 
Resolução 
Perceba que 
Mas o enunciado nos disse que 
9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ
3 ൌ 10଴,ସ଻଻.
 
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Portanto: 
9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ ൌ ሺ10଴,ସ଻଻ሻଶ · 10ଷ 
Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar 
a base e multiplicar os expoentes. 
9.000 ൌ ሺ10଴,ସ଻଻ሻଶ · 10ଷ ൌ 10଴,ସ଻଻ൈଶ · 10ଷ ൌ 10଴,ଽହସ · 10ଷ ൌ 10଴,ଽହସାଷ ൌ 10ଷ,ଽହସ
10௫ ൌ 9.000 
10௫ ൌ 10ଷ,ଽହସ 
ݔ ൌ 3,954
Letra E 
30. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Considere as seguintes 
afirmações: 
I. Se ݔ é um número inteiro, então 
3௫ିଶ ൅ 3௫ିଵ ൅ 3௫ ൅ 3௫ାଵ ൅ 3௫ାଶ
121 
ൌ 3௫ିଶ
II. 0,36363612480215... é um número racional. 
III. A expressão ሺ8,8 · 10ିଽሻ · ሺ6,025 · 10଺ሻ é equivalente a 5,302 ൈ 10ିଶ. 
Relativamente a essas afirmações, é correto afirmar que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e III são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
Resolução 
I. Se ݔ é um número inteiro, então 
3௫ିଶ ൅ 3௫ିଵ ൅ 3௫ ൅ 3௫ାଵ ൅ 3௫ାଶ
121 
ൌ 3௫ିଶ
Vamos colocar 3௫ em evidência. 
3௫ିଶ ൅ 3௫ିଵ ൅ 3௫ ൅ 3௫ାଵ ൅ 3௫ାଶ
121 
ൌ
3௫ · 3ିଶ ൅ 3௫ · 3ିଵ ൅ 3௫ · 1 ൅ 3௫ · 3ଵ ൅ 3௫ · 3ଶ
121 
ൌ
ൌ 
3௫ · ሺ3ିଶ ൅ 3ିଵ ൅ 1 ൅ 3ଵ ൅ 3²ሻ
121 
ൌ
3௫ · ቀ19 ൅
1 
3 ൅ 1 ൅ 3 ൅ 9ቁ
121 
ൌ
 
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ൌ
3௫ · 1 ൅ 3 ൅ 9 ൅ 27 ൅ 81 9
121 
ൌ
3௫ · 1 ൅ 3 ൅ 9 ൅ 27 ൅ 81 9
121 
ൌ
3௫ · 1219
121 
ൌ
ൌ 3௫ · 
121
9 
·
1
121 
ൌ
3௫
9 
ൌ
3௫
3ଶ 
ൌ 3௫ିଶ
A proposição I é verdadeira. 
II. 0,36363612480215... é um número racional. 
Esta proposição II é falsa. O número apresentado é um número irracional 
porque apresenta um número decimal com infinitas casas decimais não-
periódicas. 
III. A expressão ሺ8,8 · 10ିଽሻ · ሺ6,025 · 10଺ሻ é equivalente a 5,302 ൈ 10ିଶ. 
Lembre-se que para multiplicar potências de mesma base devemos conservar 
a base e somar os expoentes. 
ሺ8,8 · 10ିଽሻ · ሺ6,025 · 10଺ሻ ൌ 53,02 · 10ିଽା଺ ൌ 53,02 · 10ିଷ ൌ 
53,02
1.000 
ൌ 0,05302
O problema pede para comparar este valor com 5,302 ൈ 10ିଶ. 
5,302 ൈ 10ିଶ ൌ 
5,302
100 
ൌ 0,05302
Desta forma, ሺ8,8 · 10ିଽሻ · ሺ6,025 · 10଺ሻ ൌ 5,302 ൈ 10ିଶ. 
A proposição III é verdadeira. 
Letra B 
Radiciação 
Se ܽ é um número não-negativo (ܽ ൒ 0) e ݊ é um número natural maior que 1, 
então a raiz enésima de ܽ é um número ܾ não-negativo (ܾ ൒ 0) tal que ܾ௡ ൌ ܽ. 
Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito. 
√9 ൌ 3 ݌݋ݎݍݑ݁ 3ଶ ൌ 9. 
√32ఱ ൌ 2 ݌݋ݎݍݑ݁ 2ହ ൌ 32. 
√0ల ൌ 0 ݌݋ݎݍݑ݁ 0଺ ൌ 0. 
√ܽ೙ ൌ ܾ ՜ ݊ é ݋ í݊݀݅ܿ݁, ܽ é ݋ ݎܽ݀݅ܿܽ݊݀݋ ݁ ܾ é ܽ ݎܽ݅ݖ.
Raízes de índice par 
 
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Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer 
outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os 
exemplos: 
ሺ൅5ሻଶ ൌ 25
ሺെ5ሻଶ ൌ 25
Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. 
Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um 
número positivo. 
Portanto: 
√25 ൌ 5 ሺܸ݁ݎ݀ܽ݀݁݅ݎ݋ሻ
√25 ൌ െ5 ሺܨ݈ܽݏ݋ሻ
Desta maneira, é falso afirmar que √49 ൌ േ7. 
Por outro lado, podemos escrever que െ√25 ൌ െ5. Não é o radical que “causa” 
o sinal, e sim o sinal que o antecede. 
É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do 
radical for par (trabalhando com números reais). 
Por exemplo, √െ16 não existe porque não há um número real que elevado ao 
quadrado dê െ16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser 
negativo. 
Note a diferença: 
െ√16 ൌ െ4
√െ16 ՜ ݊ã݋ ݁ݔ݅ݏݐ݁ ݁݉ Թ
Raízes de índice ímpar 
Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando 
negativo. 
√8య ൌ 2 ݌݋ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8
√െ8య ൌ െ2 ݌݋ݎݍݑ݁ ሺെ2ሻଷ ൌ െ8
ܴܽ݀݅ܿܽ݊݀݋ ݌݋ݏ݅ݐ݅ݒ݋ ՜ ݎܽ݅ݖ ݌݋ݏ݅ݐ݅ݒܽ
 
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ܴܽ݀݅ܿܽ݊݀݋ ݊݁݃ܽݐ݅ݒ݋ ՜ ݎܽ݅ݖ ݊݁݃ܽݐ݅ݒܽ
Propriedades 
Considere ܽ, ܾ números reais não-negativos (ܽ ൒ 0 ݁ ܾ ൒ 0), ݊ um número 
naturalmaior que 1 e ݉ um número inteiro qualquer. 
√ܽ೙ · √ܾ
೙ ൌ √ܾܽ೙ 
√ܽ೙
√ܾ೙ 
ൌ ට
ܽ
ܾ
೙
՜ ܽݍݑ݅ ݀݁ݒ݁݉݋ݏ ܿ݋݊ݏ݅݀݁ݎܽݎ ݍݑ݁ ܾ ് 0
൫ √ܽ೙ ൯
௠ 
ൌ √ܽ௠೙ 
ට √ܽ೙
೘
ൌ √ܽ೘೙ ՜ ܽݍݑ݅ ݉ ൐ 1
Efetue √3 · ሺ√12 െ 2√27 ൅ 3√75) 
√3 · √12 െ 2√3 · √27 ൅ 3√3 · √75 ൌ √3 · 12 െ 2√3 · 27 ൅ 3√3 · 75 ൌ
Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: 
ൌ √36 െ 2√81 ൅ 3√225 ൌ 6 െ 2 · 9 ൅ 3 · 15 ൌ 33
√28 ൌ √4 · 7 ൌ √4 · √7 ൌ 2√7
√300 ൌ √100 · 3 ൌ √100 · √3 ൌ 10√3
ඥ0,444 … ൌ ඨ
4
9 
ൌ
√4
√9 
ൌ
2
3
Potência de expoente racional 
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número 
natural não nulo, temos: 
√ܽ௠೙ ൌ ܽ
௠
௡
Observe: 
√ܽ௠೙ ൌ ܽ
௠
௡
 
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Exemplos: 
3
ଵ
ଶ ൌ ඥ3ଵ
మ
ൌ √3
5
ଶ
ଷ ൌ ඥ5ଶ
య
ൌ √25య 
27଴,ଷଷଷଷ… ൌ 27
ଵ 
ଷ ൌ √27య ൌ 3
Racionalização de Denominadores 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que 
aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração. 
Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador. 
Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração 
por um número chamado fator racionalizante do denominador. 
1º caso ՜ Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2 
Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, 
multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, 
assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical. 
Lembre-se que se ܽ é um número não-negativo, √ܽ · √ܽ ൌ √ܽଶ ൌ ܽ. 
Veja os exemplos: 
8
√2 
ൌ
8 · √૛
√2 · √૛ 
ൌ
8√2
2 
ൌ 4√2
10
2√5 
ൌ
10 · √૞
2√5 · √૞ 
ൌ
10√5
2 · 5 
ൌ
10√5 
O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!! 
10 
ൌ √5 
2º caso ՜ Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 
diferente de 2 
Lembre-se que se a é um número não-negativo, √ܽ௡೙ ൌ ܽ. 
8
√2ଷఱ 
ൌ 
8 · √૛૛૞
√2ଷఱ · √૛૛૞ 
ൌ 
8√4ఱ
√2ହఱ 
ൌ 
8√4ఱ
2 
ൌ 4√4ఱ 
Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 െ 3 ൌ 2
 
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3º caso ՜ Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de 
dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical 
Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”. 
ሺܽ ൅ ܾሻ · ሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽଶ െ ܾଶ 
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
Pois bem, vamos ver um exemplo: 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ െ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ െ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ
6
√5 ൅ √2 
ൌ
6 · ൫√૞ െ √૛൯
൫√5 ൅ √2൯ · ൫√૞ െ √૛൯ 
ൌ
6 · ൫√5 െ √2൯
൫√5൯
ଶ
െ ൫√2൯
ଶ ൌ 
6 · ൫√5 െ √2൯ 
5 െ 2
ൌ 
6 · ൫√5 െ √2൯
3 
ൌ
ൌ 2 · ൫√5 െ √2൯ ൌ 2√5 െ 2√2
7 
4 െ √3 
ൌ
7 · ൫૝ ൅ √૜൯
൫4 െ √3൯ · ൫૝ ൅ √૜൯ 
ൌ
7 · ൫4 ൅ √3൯
ሺ4ሻଶ െ ൫√3൯
ଶ ൌ 
7 · ൫4 ൅ √3൯
16 െ 3 
ൌ
7 · ൫4 ൅ √3൯
13
Observe que o fator racionalizante de √5 ൅ √2 é √૞ െ √૛ (troca o sinal). 
O fator racionalizante de 4 െ √3 é ૝ ൅ √૜.
31. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √଻ା√ହ
√଻ି√ହ 
ൌ ܽ ൅ √ܾ , o valor de ܽଶ െ ܾ é: 
a) 1 
b) 3 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o 
denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou 
seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o 
radical. 
4
√2
 
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Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o 
denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”. 
Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2. 
4
√2 
·
√2
√2 
ൌ
4√2
2 
ൌ 2√2
Desta forma: 
4 
√2 
ൌ 2√2
Vamos lembrar o seguinte produto notável: 
ሺܽ ൅ ܾሻ · ሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽ2 െ ܾ2 
Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o 
do enunciado. 
Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos 
multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre 
que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o 
numerador e o denominador pela soma dos radicais. 
√7 ൅ √5
√7 െ √5
· 
√7 ൅ √5
√7 ൅ √5
ൌ 
√49 ൅ √35 ൅ √35 ൅ √25
൫√7൯
2
െ ൫√5൯
2 ൌ
7 ൅ 2√35 ൅ 5
7 െ 5
ൌ
12 ൅ 2√35
2
√7 ൅ √5
√7 െ √5
ൌ 6 ൅ ඥ35
Como √7ା√5
√7ି√5
ൌ ܽ ൅ √ܾ , concluímos que ܽ ൌ 6 ݁ ܾ ൌ 35 
O valor de ܽ2 െ ܾ é 62 െ 35 ൌ 36 െ 35 ൌ 1 
Letra A 
32. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números 
racionais. Sabe-se, também, que 
ݖ ൌ 
ݔ െ 2√3
3 െ ݕ√3
 .
Com essas informações, conclui‐se que:
a)
b)
ݔ · ݕ ൌ െ6 
c)
ݔ ൅ ݕ ൌ 6
ݔ · ݕ ൌ 0
 
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d)
e)
ݔ/ݕ ൌ 6
ݔ · ݕ ൌ 6
Resolução 
Racionalizando o denominador:
ݖ ൌ 
ݔ െ 2√3
3 െ ݕ√3
 ·
3 ൅ ݕ√3
3 ൅ ݕ√3
ݖ ൌ 
3ݔ ൅ ݔݕ√3 െ 6√3 െ 6ݕ 
9 െ 3ݕଶ
ݖ ൌ 
ሺ3ݔ െ 6ݕሻ ൅ ሺݔݕ െ 6ሻ · √3
9 െ 3ݕଶ
Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto,
ݔݕ െ 6 ൌ 0
ݔݕ ൌ 6
Letra E 
33. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Simplificando a expressão 
ሺ଴,ହሻ మయିሺ଴,଴଺ሻ
√଴,଴଴଴ସ
 obtém-se 
a) 0,0607 
b) 0,607 
c) 6,07 
d) 60,7 
e) 607 
Resolução 
ሺ0,5ሻଷ െ ሺ0,06ሻଶ
√0,0004 
ൌ
0,125 െ 0,0036
ට 4
10.000
ൌ 
0,1214
2
100
ൌ 
0,1214
0,02
Para efetuar esta divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e 
em seguida “apagar” as vírgulas. 
0,1214
0,02 
ൌ
0,1214
0,0200 
ൌ
1.214
200 
ൌ 6,07
Letra C 
 
 
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Relação das questões comentadas 
01. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Uma pessoa tinha 12 bolas 
iguais, todas com o mesmo “peso”. Para determinar o “peso” de cada bola, ela 
usou uma balança de dois pratos, colocando: 8 bolas em um prato e, no outro, 
as demais bolas e mais um objeto que “pesava” 436 gramas, ficando, então, a 
balança equilibrada. Dessa forma ela pôde concluir corretamente que o “peso” 
de cada bola era, em gramas, 
(A) 87 
(B) 95 
(C) 103 
(D) 109 
(E) 115 
02. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Em uma prova com X questões 
a nota máxima é 10,0 e todas elas têm o mesmo valor. Suponha que um aluno 
acerte 18 das 32 primeiras questões e, das restantes, ele acerte 40%. Assim 
sendo, se esse aluno tirou nota 5,0 nessa prova, então X é um número 
(A) múltiplo de 4. 
(B) divisível por 17. 
(C) menor que 50. 
(D) primo. 
(E) quadrado perfeito. 
03. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Numa reunião técnica: 
− O número de mulheres que não são Agentes de Segurança é o triplo do 
número de homens que são Agentes de Segurança. 
− O número de homens que não são Agentes de Segurança é a metade do 
número de mulheres que são Agentes de Segurança. 
− Entre os Agentes de Segurança, o número de mulheres é o quádruplo do 
número de homens. 
Sabendo-se que existem 90 pessoas na reunião, é verdade que o número de 
(A) homens que são Agentes de Segurança é 8. 
(B) mulheres que são Agentes de Segurança é 32. 
(C) pessoas que não são Agentes de Segurança é 44. 
(D) homens é 27. 
(E) mulheres é 62. 
04. (ALESP 2010/FCC) A tabela a seguir mostra a distribuição das notas dos 
alunos de uma classe numa prova constituída de dez testes de múltipla 
escolha, cada um valendo 1 ponto. 
 
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Se a média da classenesta prova foi 6, então o número de alunos que tiraram 
5 é igual a 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
05. (MPE-RS 2008/FCC) No ano de 2007, uma Unidade do Ministério Público 
recebeu mensalmente apenas um lote de certo tipo de suprimento. 
Relativamente às quantidades de suprimentos desses lotes, sabe-se que: 
– a média aritmética das quantidades recebidas nos doze meses era igual a 61; 
– excluído o lote de dezembro, a média aritmética das quantidades recebidas 
nos meses restantes passou a ser 60. 
Nessas condições, quantas unidades de suprimento havia no lote de 
dezembro? 
(A) 48 
(B) 54 
(C) 60 
(D) 72 
(E) 78 
06. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um 
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu 
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 52 
07. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir 
igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em 
 
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que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, 
coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente 
previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
08. (ALESP 2010/FCC) Um lote com 120 objetos postais deve ser dividido 
igualmente entre um grupo de X Agentes, para posterior encaminhamento a 
diferentes setores da Assembleia. Sabendo-se que se o grupo tivesse 1 Agente 
a menos caberia a cada um deles encaminhar 6 objetos a mais do que a 
quantidade prevista inicialmente, então, é verdade que X é um número 
(A) maior que 6. 
(B) múltiplo de 3. 
(C) quadrado perfeito. 
(D) primo. 
(E) par. 
09. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá 
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao 
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
10. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a 
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, 
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de 
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
(A) 6 horas e 30 minutos. 
(B) 7 horas e 30 minutos. 
(C) 6 horas. 
(D) 7 horas. 
(E) 8 horas. 
11. (TRF 2ª Região 2007/FCC) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos 
judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles 
realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o 
outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por 
um período de 
(A) 6 horas. 
 
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(B) 6 horas e 10 minutos. 
(C) 6 horas e 54 minutos. 
(D) 7 horas e 12 minutos. 
(E) 8 horas e meia. 
12. (DPE-SP 2010/FCC) Com relação ao peso dos objetos A, B e C sabe-se 
que: 
− peso de A é o triplo do peso de C; 
− peso de C é a quarta parte do peso de B. 
Nas condições dadas, é correto dizer que o peso de B é 
(A) 12 vezes o peso de A. 
(B) 4/3 do peso de A. 
(C) 3/4 do peso de A. 
(D) 1/2 do peso de A. 
(E) 25% do peso de A. 
13. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura 
abaixo há um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números 
dos quadradinhos sombreados. 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
14. (SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de 
canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a 
soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 
8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe 
(A) X foi 4 200 m. 
(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
15. (TCE-SP 2010/FCC) Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau 
ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo 
que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma 
máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte 
e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, 
perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia 
 
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com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de 
novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 
reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, 
então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso 
totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre 
(A) 2,25 e 3,00. 
(B) 3,00 e 3,75. 
(C) 3,75 e 4,50. 
(D) 4,50 e 5,25. 
(E) 5,25 e 6,00. 
16. (TRF 2ª Região 2007/FCC) De acordo com um relatório estatístico de 2006, 
um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1 347 documentos. 
Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de 
agosto e o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 
853 unidades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em 
setembro e a de agosto foi 
(A) 165 
(B) 247 
(C) 426 
(D) 427 
(E) 1 100 
17. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de 
papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em 
cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos 
números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
18. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em 
uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 
3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para 
poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
19. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a 
metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça 
parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, 
calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. 
a) 8 
 
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b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
20. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de 
dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu 
o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. 
Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da 
idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais 
velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 
o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
22. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio 
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantosreais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia 
que Carlos tinha inicialmente era de: 
a) 12 reais 
b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
23. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia 
dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela 
dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente 
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 
tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três 
meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
 
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b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
24. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do 
dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe 
restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos 
com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
25. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram 
um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos 
pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
Então Carlos pagou: 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
26. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 
10ଵ଴ െ 3 é: 
a) 88 
b) 89 
c) 91 
d) 95 
e) 97 
27. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando ଶ
భవమబାଶ
ଶభఴ
 , encontra-se: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 221 
28. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão 
ଷ೙షభାଷ೙షమାଷ೙షయ
ଷ೙శమାଷ೙శభାଷ೙
 onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o 
seguinte resultado: 
 
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a) 1/3 
b) 1/27 
c) 3 
d) 27 
e) 1/9 
29. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10଴,ସ଻଻ ൌ 3 . O valor 
de ݔ tal que 10௫ ൌ 9.000 é: 
a) 3,628 
b) 3,746 
c) 3,882 
d) 3,015 
e) 3,954 
30. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Considere as seguintes 
afirmações: 
IV. Se ݔ é um número inteiro, então 
3௫ିଶ ൅ 3௫ିଵ ൅ 3௫ ൅ 3௫ାଵ ൅ 3௫ାଶ
121 
ൌ 3௫ିଶ
V. 0,36363612480215... é um número racional. 
VI. A expressão ሺ8,8 · 10ିଽሻ · ሺ6,025 · 10଺ሻ é equivalente a 5,302 ൈ 10ିଶ. 
Relativamente a essas afirmações, é correto afirmar que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e III são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
31. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √଻ା√ହ
√଻ି√ହ 
ൌ ܽ ൅ √ܾ , o valor de ܽଶ െ ܾ é: 
a) 1 
b) 3 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
32. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números 
racionais. Sabe-se, também, que 
ݖ ൌ 
ݔ െ 2√3
3 െ ݕ√3
 .
 
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Com essas informações, conclui‐se que:
a)
b)
ݔ · ݕ ൌ െ6 
c)
ݔ ൅ ݕ ൌ 6
d)
ݔ · ݕ ൌ 0
e)
ݔ/ݕ ൌ 6
ݔ · ݕ ൌ 6
33. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Simplificando a expressão 
ሺ଴,ହሻ మయିሺ଴,଴଺ሻ
√଴,଴଴଴ସ
 obtém-se 
a) 0,0607 
b) 0,607 
c) 6,07 
d) 60,7 
e) 607 
 
 
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Gabaritos 
01. D 
02. A 
03. D 
04. E 
05. D 
06. B 
07. E 
08. D 
09. E 
10. B 
11. D 
12. B 
13. E 
14. B 
15. B 
16. E 
17. C 
18. D 
19. B 
20. D 
21. C 
22. D 
23. B 
24. A 
25. C 
26. A 
27. C 
28. B 
29. E 
30. B 
31. A 
32. E 
33. C