Aula 19 Matemtica Aula 03 Parte 03

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PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL 
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1. Pares Ordenados
Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é 
irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de par 
ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que os números a e b são 
considerados. Um par ordenado é indicado entre parêntesis e os elementos são separados 
por vírgula (ou ponto e vírgula). 
Considere o par ordenado ሺܽ, ܾ ሻ. O número ܽ é chamado abscissa do par e o número ܾ é 
chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se possuírem a 
mesma abscissa e a mesma ordenada. 
ሺܽ, ܾ ሻ ൌ ሺܿ, ݀ ሻ ֞ ܽ ൌ ܿ ݁ ܾ ൌ ݀
Exemplo: 
Os pares ordenados ሺ2, 3ሻ ݁ ቀ√4, 
଺
ଶ
ቁ são iguais porque: 
2 ൌ 4 ݁ 3 ൌ 
6
2
Observe que em geral ሺܽ, ܾ ሻ ് ሺܾ, ܽሻ. Só teremos a igualdade ሺܽ, ܾ ሻ ൌ ሺܾ, ܽ ሻ nos casos em 
que ܽ ൌ ܾ.
2. Plano Cartesiano
Considere duas retas orientadas ݔ e ݕ. Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere
ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90o) e se cortam no ponto O.
O eixo ݔ é o eixo das abscissas. O eixo ݕ é o eixo das ordenadas. A origem do plano 
cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. A 
numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário. 
ݔ
ݕ
Ponto O ՜ Origem do plano cartesiano
 
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Como representamos o par ordenado ሺܽ, ܾ ሻ no plano cartesiano? 
- Localizamos o número ܽ no eixo ݔ e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto 
encontrado. 
- Localizamos o número ܾ no eixo ݕ e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto 
encontrado. 
- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto ሺܽ, ܾ ሻ.
 Localize no mesmo plano cartesiano os pontos ܣሺ2,4ሻ, ܤሺെ1, െ3ሻ, ܥሺ3,0ሻ ݁ ܦሺ0,2ሻ.
Observações 
i) O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo ࢞
possuem a ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que 
pertencem ao eixo ࢞ possuem ࢟ ൌ ૙.
ii) O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo ࢟
possuem a abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que 
pertencem ao eixo ࢟ possuem ࢞ ൌ ૙.
ܥሺ3,0ሻ
ܣሺ2,4ሻ
ݔ
ݕ
2
ܤሺെ1, െ3ሻ
ܦሺ0,2ሻ
3
െ3
െ1
4
2
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
 
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3. Funções
João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi. Como ele é um bom aluno
de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a lei que calcula o valor a ser pago pela
corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$ 3,50 – valor inicial a ser
pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então ele pagará 9 vezes R$
0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para fazer o percurso de 9 quilômetros. João achou
caro e começou a fazer as contas de quanto pagaria na corrida dependendo da quantidade de
quilômetros rodados – decidiu que faria o restante do percurso andando.
8 quilômetros
7 quilômetros
՜ 3,50 ൅ 8 ൈ 0,50 ൌ 7,50
6 quilômetros
՜ 3,50 ൅ 7 ൈ 0,50 ൌ 7,00
5 quilômetros
՜ 3,50 ൅ 6 ൈ 0,50 ൌ 6,50
4 quilômetros
՜ 3,50 ൅ 5 ൈ 0,50 ൌ 6,00
՜ 3,50 ൅ 4 ൈ 0,50 ൌ 5,50
João percebeu que o valor a ser pago pela corrida depende da quantidade de quilômetros rodados.
Quilômetros rodados Valor a ser pago
?? 2,00
?? 2,50
4 5,50
5 6,00
6 6,50
7 7,00
8 7,50
9 8,00
Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos calcular o valor
correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um valor a
ser pago. Nem todos os valores “a serem pagos” possuem uma quilometragem correspondente. No
exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$ 2,00 ou R$ 2,50.
está em função
AAA 
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O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com os elementos de B
(possíveis valores a serem pagos).
Observe que cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
Esta relação é denominada função de A em B. Podemos garantir, matematicamente, que se trata de
uma função porque:
i) Todos os elementos de A participam da relação (mandam flecha).
ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam apenas uma flecha).
Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação entre dois conjuntos não seja função:
i) Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha).
ii) Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar mais de uma
flecha).
A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar com 
um elemento do conjunto imagem, e esse elemento deve ser único. 
Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções? 
A
4
5
6
7
8
9
2,00
2,50
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
B
A B
Não é função, pois existe elemento de A que não
se relaciona.
 
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A
B
É função, pois todos os elementos de A se
relacionam apenas uma vez.
A B
É função, pois todos os elementos de A se
relacionam apenas uma vez.
Não é função, pois existe elemento de A que se
relaciona mais de uma vez.
A B
 
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4. Domínio e Imagem
No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado 
contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que recebem as 
flechas formam o conjunto imagem. Desta forma: 
ܦ݋݉í݊݅݋ ݀݁ ݂: ܦ௙ ൌ ܣ ൌ ሼ4,5,6,7,8,9ሽ
ܥ݋݊ݐݎܽ݀݋݉í݊݅݋ ݀݁ ݂: ܥܦ௙ ൌ ܤ ൌ ሼ2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00ሽ 
ܫ݉ܽ݃݁݉ ݀݁ ݂: ܫ݉௙ ൌ ሼ5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00ሽ 
Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os 
elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio. 
5. Reconhecimento gráfico de uma função
Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma função de 
A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos os pontos do 
conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a 
dada relação binária é uma função. 
Exemplos 
݂: ܣ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܣ ൌ ሾെ1,2ሾ
A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais encontram o gráfico apenas uma
vez.
݃: ܤ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܤ ൌ ሾ0,6ሾ
 
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A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que encontram o gráfico
mais de uma vez.
01. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma 
função y = f(x). 
 
Resolução 
O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o 
gráfico da letra C não representa uma função. 
Letra C 
 
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6. Imagem de um elemento
Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função ݂. O elemento y é chamado 
valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma: ݕ ൌ ݂ሺݔሻ. 
Exemplo 
Dada a função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔ² +1calcule: 
݂ሺ0ሻ ൌ 0ଶ ൅ 1 ൌ 1
݂ሺെ1ሻ ൌ ሺെ1ሻଶ ൅ 1 ൌ 2
݂൫√2൯ ൌ ሺ√2ሻଶ ൅ 1 ൌ 3
Isto significa que o gráfico da função݂ passa pelos pontos ሺ0,1ሻ, ሺെ1,2ሻ, ሺ√2, 3ሻ. Podemos 
também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o número െ1 manda 
uma flecha para o número 2 e o número √2 manda uma flecha para o número 3.
02. (BB 2006/FCC) Seja y = 12,5x - 2000 uma função descrevendo o lucro mensal y de 
um comerciante na venda de x unidades de um determinado produto. Se, em um 
determinado mês, o lucro auferido foi de R$ 20 000,00, significa que a venda realizada foi, 
em número de unidades, de 
(A) 1 440 
(B) 1 500 
(C) 1 600 
(D))1 760 
(E) 2 000 
Resolução 
O lucro mensal é representado pela variável ݕ. Se, em determinado mês, o lucro auferido foi 
de R$ 20.000,00, podemos dizer queݕ ൌ 20.000. 
ݕ ൌ 12,5ݔ െ 2.000
20.000 ൌ 12,5ݔ െ 2.000
20.000 ൅ 2.000 ൌ 12,5ݔ
12,5ݔ ൌ 22.000
ݔ ൌ 
22.000
12,5 
ൌ 1.760
Como ݔ é o número de unidades vendidas do produto, então a resposta é a alternativa D. 
Letra D 
 
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03. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o conjunto 
A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A 
função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x . 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) 
e) 
݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5
݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Resolução 
A função ݂ associa a cada elemendo ݔ em A o número de letras distintas desse elemento ݔ. 
Ana Æ possui 2 letras distintas. 
José Æ possui 4 letras distintas. 
Maria Æ possui 4 letras distintas. 
Paulo Æ possui 5 letras distintas. 
Pedro Æ possui 5 letras distintas. 
Desta maneira, podemos afirmar que: 
݂ሺܣ݊ܽሻ ൌ 2
݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. 
ܣ݊ܽ
ܬ݋ݏé
ܯܽݎ݅ܽ
ܲܽݑ݈݋
ܲ݁݀ݎ݋
A
1
2
3
4
5
B
 
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Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao mesmo 
elemento no contradomínio. Por exemplo, ݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado com 
algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado. 
c) f não é uma função. 
Esta alternativa é falsa, pois ݂ é uma função. Todos os elementos de A se relacionam uma 
única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e ninguém manda mais 
de uma flecha. 
d) 
Falso. Maria tem 4 letras distintas.
݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
 ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4. 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Verdadeiro. Como foi visto, ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5. 
Letra E 
04. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado 
que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era 
dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, 
então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
Resolução 
a) O número ݊ representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. 
Obviamente, este número ݊ é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 12 por 
um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e 
maior que 3. 
Desta maneira, a letra A é falsa. 
b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos 
substituir ݊ por 5. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅ 
12
݊
 
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ܥሺ5ሻ ൌ 3 ൅ 
12
5 
ൌ 5,4 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 ݉݅݊ݑݐ݋ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 · 60 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ
A alternativa B é falsa. 
ܥሺ5ሻ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ݁ 24 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ
c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 3. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅ 
12
݊
ܥሺ3ሻ ൌ 3 ൅ 
12
3 
ൌ 7 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
A alternativa C é falsa. 
d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 10. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅ 
12
݊
ܥሺ10ሻ ൌ 3 ൅ 
12
10 
ൌ 4,2 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
A alternativa D é falsa. 
e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos. 
3 ൅ 
12
݊ 
ൌ 3,5
12
݊ 
ൌ 0,5
0,5݊ ൌ 12
݊ ൌ 
12
0,5 
ൌ
120 
Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa. 
5 
ൌ 24 
Letra E 
 
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7. Zero de uma função
Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem seja igual a 0, 
i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos os zeros de uma função 
obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x. 
Exemplo: Determine os zeros da função definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6. 
Resolução 
Basta resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0.
ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6 ൌ 0
ݔ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ 
ൌ
െሺെ5ሻ േ ඥሺെ5ሻଶ െ 4 · 1 · 6
2 · 1 
ൌ
5 േ 1
2
Isto significa que o gráfico da função 
ݔ ൌ 2 ݋ݑ ݔ ൌ 3
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6 toca o eixo ݔ nos pontos de 
abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre função 
quadrática). 
ݔ
ݕ
Zeros da função
 
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8. Função Afim
A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano muitas 
pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau). 
Uma função ݂ é chamada de função afim quando for do tipo: 
݂: ܴ ՜ ܴ 
݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ , ܽ ് 0.
Vejamos alguns exemplos: 
ܽ ܾ ݂ሺݔሻ
2 4 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4
3 െ2 ݂ሺݔሻ ൌ 3ݔ െ 2
െ1 5 ݂ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 5
2 0 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ
1 0 ݂ሺݔሻ ൌ ݔ
O coeficiente ܽ é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante 
ou coeficiente líder. 
O coeficiente ܾ é chamado de coeficiente linear ou termo independente. 
 Dependendo dos valores de ܽ e ܾ, a função afim pode receber alguns nomes especiais. 
Sempre que ܾ ൌ 0, a função afim é chamada de função linear. 
A função linear ݂ሺݔሻ ൌ ݔ é chamada de função identidade. Ou seja, quando ܽ ൌ 1 e ܾ ൌ 0, a 
função é chamada de identidade. 
• Gráfico ՜ o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos coordenados. 
Dois pontos distintos determinam uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da 
função afim devemos seguir os seguintes passos: 
i) Escolher dois valores arbitrários para ݔ. 
ii) Calcular os valores correspondentes de ݕ. 
iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. 
iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados. 
Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4. 
Vamos utilizar ݔ ൌ 1 ݁ ݔ ൌ െ1.
Quando temos ݔ ൌ 1, ݂ሺ1ሻ ൌ 2 · 1 ൅ 4 ൌ 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6). 
Quando ݔ ൌ െ1, temos ݂ሺെ1ሻ ൌ 2 · ሺെ1ሻ ൅ 4 ൌ 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto (-1,2). 
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Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os eixos 
coordenados? 
Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do gráfico com o 
eixoݔ, devemos resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0.
2ݔ ൅ 4 ൌ 0
2ݔ ൌ െ4
ݔ ൌ െ2
Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela afim, 
quadrática, exponencial, trigonométrica, etc. 
Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݕ? 
Basta calcular ݂ሺ0ሻ, ou seja, substituir ݔ por 0. 
݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4
݂ሺ0ሻ ൌ 2 ڄ 0 ൅ 4 ൌ 4
ݔ
ݕ
1‐1
2
6
ݔ
ݕ
1‐1
2
6
െ૛
െ૛
ݔ
ݕ
1‐1
2
6૝
 
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Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ ൅ 6. 
Resolução 
Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico com um 
pouco mais de velocidade. 
ܾ ൌ 6, logo o gráfico corta o eixo ݕ no ponto de ordenada igual a 6. 
Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݔ, devemos resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0.
െ3ݔ ൅ 6 ൌ 0
െ3ݔ ൌ െ6
3ݔ ൌ 6
ݔ ൌ 2
IMPORTANTE
Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo ݕ basta calcular ݂ሺ0ሻ. Ora, a função
afim é definida por ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ. Desta maneira, ݂ሺ0ሻ ൌ ܽ ڄ 0 ൅ ܾ ൌ ܾ. Resumindo: a
ordenada do ponto em que a reta toca o eixo ݕ é igual a b. Note que no exemplo anterior, o
valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo ݕ.
IMPORTANTE 
Vimos que a função afim é chamada de função linear quando ܾ ൌ 0. Como o valor de ܾ é o
intercepto do gráfico com o eixo ݕ, concluímos que o gráfico de uma função linear é uma reta
que passa pela origem do plano cartesiano.
 
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Resumindo: a reta corta o eixo ݔ no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo ݕ no ponto de 
ordenada igual a 6. 
Vamos comparar os dois gráficos construídos. 
Observe que: 
Quando ܽ ൐ 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda). 
Quando ܽ ൏ 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita). 
Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ. 
Resolução 
Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano 
cartesiano. Além disso, como ܽ ൌ െ3 ൏ 0, a função é decrescente. 
Vamos calcular o valor da função para ݔ ൌ 1. 
݂ሺ1ሻ ൌ െ3 ڄ 1 ൌ െ3
ݕ
ݔ
2
6
െ૛
ݔ
ݕ
1‐1
2
6૝
ݕ
ݔ
2
6
ݕ ൌ 2ݔ ൅ 4
ݕ ൌ െ3ݔ ൅ 6
 
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Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto ሺ1, െ3ሻ.
Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ.
Resolução 
Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular ( ܽ ). 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado 
como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ 
∆ݕ 
∆ݔ 
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
Já que o gráfico passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ, então o coeficiente “a” é dado por 
ܽ ൌ 
∆ݕ
∆ݔ 
ൌ
െ4 െ 5
െ1 െ 2 
ൌ
െ9 
െ3 
ൌ ൅3
Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo ݕ ൌ ܽݔ ൅ ܾ. 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para 
calcular o coeficiente “b”. 
ݕ
ݔ
3
1
Vale a pena lembrar! 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de 
variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este 
coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , 
a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função 
é decrescente (reta descendente). 
 
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O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto 
do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto ሺ2,5ሻ. Este ponto nos informa que quando 
x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores na lei. 
3 · 2 ൅ ܾ ൌ 5
6 ൅ ܾ ൌ 5
Assim, a lei de formação da função é 
ܾ ൌ െ1
ݕ ൌ 3ݔ െ 1. 
05. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-
1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x) = 3x + 3 
Resolução 
Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também 
chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau. 
Amplamente definida, seu gráfico é uma reta. 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante 
ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a 
função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta 
descendente). 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado 
como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ 
∆ݕ
∆ݔ 
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado por 
ܽ ൌ 
∆ݕ
∆ݔ 
ൌ
7 െ ሺെ5ሻ
5 െ ሺെ1ሻ 
ൌ
12 
Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B. 
6 
ൌ 2 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se ݕ ൌ 2ݔ ൅
ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o 
coeficiente “b”. 
 
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O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto 
do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando 
x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 2ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores na lei. 
2 · 5 ൅ ܾ ൌ 7
10 ൅ ܾ ൌ 7
Assim, a lei de formação da função é 
ܾ ൌ െ3
ݕ ൌ 2ݔ െ 3. 
Letra B 
06. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, 
utiliza-se a fórmula ܥ ൌ ହ௣ାଶ଼
ସ
, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do 
pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o 
comprimento de seu pé é 
(A) 24,1cm. 
(B) 23,6cm. 
(C) 23,2cm. 
(D) 22,4cm. 
(E) 21,3cm. 
Resolução 
O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º grau do 
comprimento do pé. 
Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7. 
Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36. 
36 ൌ 
5݌ ൅ 28 
O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º membro”. Assim, 
4 
5݌ ൅ 28 ൌ 144
5݌ ൌ 116
݌ ൌ 23,2
Letra C 
07. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma 
função do tipo f (x) = ax + b. 
 
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Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
(A) possui duas raízes reais. 
(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
Resolução 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante 
ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a 
função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta 
descendente). 
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto 
do gráfico com o eixo y. 
Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em que o 
gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para determinaro zero ou 
raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0. 
Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa). 
 
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Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que 
b > 0 (a alternativa C é verdadeira). 
Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa). 
Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real (as 
alternativas A e E são falsas). 
Letra C 
08. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β
interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
Resolução 
Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), 
concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante. 
Vejamos a reta ݎଵ. Seu coeficiente linear (ܾሻ é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa pela 
origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas possibilidades. 
Se ߙ ൐ 0, a função é crescente. 
Se ߙ ൏ 0, a função é decrescente. 
Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta ݎଵ deve ser ascendente 
(função crescente). 
Portanto, ߙ ൐ 0. 
Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é 
negativo e, portanto, a reta é descendente. 
ݔ
ݕݕ
ݔ
3º quadrante
 
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Sabemos que ߚ é o coeficiente linear da reta ݎଶ. O coeficiente linear indica onde a reta corta 
o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta ݎଶ deve cortar o 
eixo ݕ abaixo da origem, portanto, ߚ ൏ 0.
Letra B 
r1
ݕ
ݔ
ߚ
 
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9. Função Quadrática
A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no 
cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau). 
Uma função ݂ é chamada de função quadrática quando for do tipo ݂: ܴ ՜ ܴ definida por 
 ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ , ܽ ് 0
O coeficiente ܽ é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente ܾ é o 
coeficiente do primeiro grau e o coeficiente ܿ é o termo independente. 
A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva 
com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais sobre a 
parábola). 
A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem 
decide isso é o coeficiente dominante ܽ. Se ܽ ൐ 0, a concavidade da parábola está voltada 
para cima. Se ܽ ൏ 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
ܽ ൐ 0
ܽ ൏ 0
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Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo ݕ, basta 
calcular o valor de ݂ሺ0ሻ.
Como a função quadrática é regida pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ : 
fሺ0ሻ ൌ a. 0² ൅ b. 0 ൅ c
׵ fሺ0ሻ ൌ c
Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo 
independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo ࢟.
Aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo ݔ devemos resolver a 
equação ݂ሺݔሻ ൌ 0.
Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo ݔ devemos resolver 
a equação 
ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0
ݔ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
Vimos que há três casos a considerar: 
0 Duas raízes reais e distintas 
0 Duas raízes reais e iguais 
0 Não há raízes reais
Δ > ⇔
Δ = ⇔
Δ < ⇔
Assim, a parábola pode cortar o eixo ݔ em dois pontos distintos, pode tangenciar 
(“encostar”) o eixo ݔ ou pode não tocar o eixo ݔ. 
São 6 possibilidades. 
ܿ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
൏ 0ܽ ൏ 0
ܽ ൏ 0
Δ ൐ 0
ܽ ൐ 0
Δ ൏ 0ܽ ൐ 0
Δ ൌ 0ܽ ൐ 0
Δ ൐ 0
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Vértice da Parábola 
O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando ܽ ൐ 0, a 
concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. 
Quando ܽ ൏ 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um ponto 
de máximo. 
Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente ሺݔ, ݕሻ. As coordenadas do 
vértice são dadas pelas fórmulas: 
ݔ ൌ 
െܾ
2ܽ
 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ
Quando ܽ ൐ 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada 
y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante. 
Quando ܽ ൏ 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada 
y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante. 
Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções quadráticas. 
Em geral, vamos seguir os seguintes passos. 
i) Desenhar o eixo ݔ. 
ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). 
iii) De acordo com o valor de ܽ e Δ desenhar um esboço da parábola. 
V
V
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ܽ ൏ 0
Δ ൏ 0
ܽ ൏ 0
Δ ൌ 0
ܽ ൏ 0
Δ ൐ 0
ܽ ൐ 0
Δ ൏ 0ܽ ൐ 0
Δ ൌ 0ܽ ൐ 0
Δ ൐ 0
 
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iv) Calcular as coordenadas do vértice. 
ݔ ൌ 
െܾ
2ܽ
 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ
v) Traçar o eixo ݕ. 
vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo ݕ (lembre-se que este intercepto é 
dado pelo valor do termo independente). 
Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8
Resolução 
Temos que ܽ ൌ 1, ܾ ൌ െ6 ݁ ܿ ൌ 8.
Como ܽ ൐ 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
Vamos calcular o valor do discriminante: 
Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺെ6ሻଶ െ 4 ڄ 1 ڄ 8 ൌ 4
Como Δ ൐ 0, a parábola corta o eixo ݔ em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as 
raízes: 
ݔ ൌ 
െܾ േ √Δ
2ܽ 
ൌ
െሺെ6ሻ േ √4
2 ڄ 1 
ൌ
6 േ 2
2
ݔ ൌ 2 ݋ݑ ݔ ൌ 4
Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto: 
Vamos calcular as coordenadas do vértice: 
ݔ ൌ 
െܾ
2ܽ 
ൌ
െሺെ6ሻ
2 ڄ 1 
ൌ 3 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ 
ൌ
െ4 
4 ڄ 1 
ൌ െ1
42
 
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Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes 
e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as 
raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por: 
ݔ ൌ 
2 ൅ 4 
2 
ൌ 3
Lembrando agora que o coeficiente ܿ ൌ 8 é o intercepto do gráfico com o eixo ݕ. 
09. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro 
obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do 
fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na 
figura abaixo. 
െ1
3
42
ݔ
ݕ
8
െ1
3
42
 
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Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
Resolução 
Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ com 
ܽ ് 0. 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de 
mínimo. 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de 
máximo. 
Se a < 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor máximo 
ݕ௠á௫ ൌ 
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠á௫ ൌ
െb
2ܽ
Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor máximo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é denominado 
maximante.Se a > 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor mínimo 
ݕ௠í௡ ൌ 
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠í௡ ൌ
െb
2ܽ
Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor mínimo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é denominado 
minimante. 
O ponto ܸ ቀିୠ
ଶ௔ 
, ିΔ
ସ௔
ቁ é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. 
 
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Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e 
o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis. 
Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a 
resposta só pode ser a letra D. 
Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. 
O valor máximo da função é dado por 
ݕ௠á௫ ൌ 
െΔ
4ܽ
Lembrando que Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ. 
A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800. 
Então Δ 
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é 
ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺ90ሻଶ െ 4 · ሺെ1ሻ · ሺെ800ሻ ൌ 4.900
ݕ௠á௫ ൌ 
െΔ
4ܽ 
ൌ
െ4.900
4 · ሺെ1ሻ 
ൌ
4.900 
4 
ൌ 1.225
Letra D 
Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo 
bastaríamos calcular xmáx. 
ݔ௠á௫ ൌ 
െܾ 
2ܽ 
ൌ
െ90
2 · ሺെ1ሻ 
ൌ 45
Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x). 
Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As 
raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que a 
parábola toca o eixo x em 
x = 10 e em x = 80. 
 
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Assim, 
ݔ௠á௫ ൌ 
10 ൅ 80 
2 
ൌ 45
E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45. 
ܮሺݔሻ ൌ – ݔଶ ൅ 90ݔ – 800
ܮሺ45ሻ ൌ – ሺ45ሻଶ ൅ 90 · 45 – 800 ൌ 1.225
10. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Dentre os pares (x, y) de números inteiros tais que a 
soma do primeiro número com o dobro do segundo número é igual a 64, considere o par em 
que o produto x.y é máximo. Os números x e y são tais que 
(A))x é uma potência de 2 
(B) y é um múltiplo de 3 
(C) y é um divisor de 8 
(D) x = y 
(E) x = y/2 
Resolução 
O problema informa que a soma do primeiro (x) com o dobro do segundo número (y) é igual 
a 64. Assim: 
ݔ ൅ 2ݕ ൌ 64
2ݕ ൌ 64 െ ݔ
Queremos calcular x e y de modo que o produto 
ݕ ൌ 32 െ 
ݔ
2
ݔ · ݕ seja máximo, ou seja, o maior 
possível. Vamos chamar de P este produto. 
ܲ ൌ ݔ · ݕ
Como ݕ ൌ 32 െ ௫
ଶ
, então: 
ܲ ൌ ݔ · ቀ32 െ 
ݔ
2
ቁ
ܲ ൌ െ 
1
2 
· ݔ² ൅ 32ݔ 
Temos uma função polinomial do 2º grau. Uma função polinomial do segundo grau é aquela 
cuja lei de formação é do tipo ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ. No nosso caso, temos: 
ܽ ൌ െ 
1
2
 ܾ ൌ 32 ܿ ൌ 0 
Queremos saber o valor de x tal que a função assuma um valor máximo. Este valor é dado 
pela seguinte fórmula: 
 
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ݔ ൌ 
െܾ
2ܽ 
ൌ
െ32
2 · ቀെ 12ቁ
ൌ 
െ32
െ1 
ൌ 32
Assim, ݔ ൌ 32. 
Vamos substituir este valor para calcular ݕ. 
ݕ ൌ 32 െ 
ݔ
2
ݕ ൌ 32 െ 
32
2 
ൌ 32 െ 16 ൌ 16
Portanto, temos: 
A resposta é alternativa A, pois 
ݔ ൌ 32 ݕ ൌ 16
ݔ ൌ 32 ൌ 2ହ. 
Letra A 
11. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
Sabendo que A é o conjunto solução de 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0.
݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de ݃ሺݔሻ, então 
o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ 
൏ ݔ ൑ 2ቅa) 
ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ 
൑ ݔ ൑ 2ቅb) 
c) 
d) 
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ
e) 
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ
Resolução 
Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos reais 
pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ com ܽ ് 0. 
Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a concavidade 
da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da parábola está 
voltada para baixo. 
As raízes da função são dadas pela fórmula 
ݔ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
O número ∆ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ é chamado de discriminante. 
Se ∆൐ 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico intercepta o 
eixo x em dois pontos distintos. 
 
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Se ∆ൌ 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o 
gráfico tangencia o eixo x. 
Se ∆൏ 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o eixo x. 
Considere a função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1. O gráfico é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes. 
ݔ ൌ 
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 1 · 1
2 · 1
ݔ ൌ 
2 േ 0
2 
ൌ 1 
Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla). 
Resolver a inequação ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0, significa responder quando é que a 
função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o gráfico 
exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas para 
x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ. 
Olhemos a segunda inequação. ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. O gráfico da função g é 
uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes: 
ݔ ൌ 
െ3 േ ඥ3ଶ െ 4 · ሺെ2ሻ · 2
2 · ሺെ2ሻ
ݔ ൌ 
െ3 േ 5
െ4
ݔ ൌ 
െ3 ൅ 5
െ4 
ൌ െ
1
2
 ݋ݑ ݔ ൌ
െ3 െ 5
െ4 
ൌ 2
Temos o seguinte gráfico. 
 
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Resolver a inequação ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0 significar responder quando a 
função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto solução 
dessa inequação é o conjunto ܤ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ 
൏ ݔ ൑ 2ቅ. 
O enunciado pede o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ. 
A interseção resume-se ao ponto x=1. ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ
Letra C 
12. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta a 
solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0.
a) 
b) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ
c) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
d) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
e) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
Resolução 
Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções. 
i) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4
 
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Cálculo das raízes: 
ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 ൌ 0
ݔ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ݔ ൌ 
െሺെ4ሻ േ ඥሺെ4ሻଶ െ 4 · 1 · 4
2 · 1 
ൌ
4 േ 0
2 
ൌ 2
Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de ݂ é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo ݔ no ponto de abscissa igual 
a 4. 
ii) ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 ൌ 5ݔ െ 5
Cálculo da raiz: 
5ݔ െ 5 ൌ 0
ݔ ൌ 1
Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função crescente) e 
que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1. 
Vejamos a solução da inequação ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0 lembrando as regras dos sinais na 
multiplicação. 
2
1
 
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Assim, a solução da inequação é o conjunto ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ. 
Letra B 
ATENÇÃO!!! 
Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e achava 
que o correto era ݃ሺݔሻ ൌ െݔ૛ ൅ 6ݔ െ 5 iria marcar a letra D!!!!! 
Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar... 
Eles colocaram ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 para que você usasse ݃ሺݔሻ ൌ 5ݔ െ 5.
13. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a 
seguir representa a função ݂, de domínio real, dada pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ. 
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que 
(A) a < 0, b < 0 e c < 0 
(B) a < 0, b < 0 e c >0 
2
1
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ
1 2
 
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(C) a < 0, b > 0 e c < 0 
(D) a < 0, b > 0 e c > 0 
(E) a > 0, b < 0 e c < 0 
Resolução 
Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que ܽ ൏ 0. 
A parábola corta o eixo ݕ abaixo da origem do plano, portanto ܿ ൏ 0. 
Precisamos descobrir o sinal do coeficiente ܾ. 
Obviamente a coordenada ݔ do vértice é negativa. 
െܾ
Multiplicando os dois membros por 
2ܽ 
൏ 0
ሺെ1ሻ devemos inverter o sentido da desigualdade. 
ܾ 
2ܽ 
൐ 0
Como ܽ ൏ 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva, o numerador 
também deve ser negativo. Portanto, ܾ ൏ 0. 
Letra A 
14. (BB 2006/FCC) Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função 
que melhor descreve a produção (y) de um bem é uma função do segundo grau y = ax2 + bx 
+ c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é 
dado pela figura abaixo. 
ݔ௩
 
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Tem-se, então, que: 
(A)) a = −3, b = 60 e c = 375 
(B) a = −3, b = 75 e c = 300 
(C) a = −4, b = 90 e c = 240 
(D) a = −4, b = 105 e c = 180 
(E) a = −6, b = 120 e c = 150 
Resolução 
A maneira mais rápida de resolver esta questão é testar separadamente cada uma das 
alternativas. O gráfico claramente mostra que a coordenada X do vértice da parábola é igual 
a 10 e que a coordenada ݕ do vértice é igual a 675. Assim, a alternativa correta deve 
satisfazer as seguintes condições: 
െܾ
2ܽ 
ൌ 10 ݁ 
െΔ
4ܽ 
ൌ 675
Da primeira condição, concluímos que: 
െܾ ൌ 20ܽ
ܾ ൌ െ20ܽ
Ou seja, o número ܾ deve ser igual ao número a multiplicado por െ20. 
A priori, apenas duas alternativas servem: A e E. 
(A) a = −3, b = 60 e c = 375 
Neste caso, ܾ ൌ െ20ܽ ൌ െ20 · ሺെ3ሻ ൌ ൅60
(E) a = −6, b = 120 e c = 150 
Neste caso, ܾ ൌ െ20ܽ ൌ െ20 · ሺെ6ሻ ൌ ൅120 
A outra condição a ser satisfeita é a seguinte: 
െΔ
4ܽ 
ൌ 675
 
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E neste caso, só precisamos testar a alternativa A. Se ela estiver correta, ótimo. Se não 
estiver, a resposta será a alternativa E. 
(A) a = −3, b = 60 e c = 375 
∆ൌ ܾ² െ 4ܽܿ ൌ 60² െ 4 · ሺെ3ሻ · 375 ൌ 3.600 ൅ 4.500 ൌ 8.100 
െΔ
4ܽ 
ൌ
െ8.100
4 · ሺെ3ሻ 
ൌ
െ8.100
െ12 
ൌ 675
A alternativa A está correta. 
Gabarito: Letra A 
10. Logaritmos
Considere dois números reais e positivos ܽ e ܾ. Por motivos que ficam além dos objetivos 
desta aula, consideraremos que ܽ ് 1. Denominamos logaritmo ܾ na base ܽ o expoente que 
se deve dar à base ܽ de modo que a potência obtida seja igual a ܾ. 
Na simbologia algébrica, temos: 
log௔ ܾ ൌ ݊ ֞ ܽ௡ ൌ ܾ
Nomenclaturas
Na expressão log௔ ܾ ൌ ݊: 
Î ܽ é a base. 
Î ܾ é o logaritmando ou antilogaritmo. 
Î ݊ é o logaritmo. 
Logaritmação
Qual o significado da expressão logଷ 9? 
Em suma, como se calcula o valor de logଷ 9? 
Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A resposta é 2. 
Portanto, logଷ 9 ൌ 2. 
Ou seja, logଷ 9 ൌ 2 ֞ 3ଶ ൌ 9. 
Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de logହ 125. 
Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125? A resposta é 
3. 
 
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Portanto, logହ 125 ൌ 3. 
Ou seja, logହ 125 ൌ 3 ֞ 5ଷ ൌ 125. 
Propriedades decorrentes da definição
i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. 
Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a 0 é igual a 1. 
log௔ 1 ൌ 0 
Exemplo: Qual o valor de logସ 1? 
Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0. 
Portanto, logସ 1 ൌ 0 ֞ 4଴ ൌ 1. 
ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1. 
log௔ ܽ ൌ 1 
Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1 é igual a ele 
mesmo. 
Portanto, temos que: 
logହ 5 ൌ 1
logଵ଴ 10 ൌ 1
log௘ ݁ ൌ 1
iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais. 
log௔ ݔ ൌ log௔ ݕ ֞ ݔ ൌ ݕ 
Observe, que já que se trata de um “se e somente se”, podemos utilizar essa propriedade 
nos dois sentidos. Ou seja: 
Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais. 
Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em qualquer base 
também são. 
Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais. 
Bases especiais
Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em Matemática 
Financeira), que são: 
i) Sistema de logaritmos decimais 
 
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É o sistema de base 10. 
Utilizaremos a seguinte notação: 
logଵ଴ ݔ ൌ log ݔ
Observe que: 
logଵ଴ 10 ൌ log 10 ൌ 1. 
ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais. 
É o sistema de base ݁ ൌ 2,71828182 …
O número ݁ tem uma infinidade de aplicações na Matemática. 
Utilizaremos o número ݁ em Matemática Financeira no estudo das Capitalizações 
Contínuas. 
Adotaremos a seguinte notação: 
log௘ ݔ ൌ ݈݊ݔ
Observe que: 
log௘ ݁ ൌ ݈݊݁ ൌ 1
Propriedades operatórias
i) Logaritmo do produto 
O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma dos 
logaritmos dos fatores (em qualquer base). 
log௔ሺݔ · ݕሻ ൌ log௔ ݔ ൅ log௔ ݕ
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଶ 8 ൌ 3, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8.
logଶ 16 ൌ 4, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ସ ൌ 16.
Vamos calcular o logaritmo de 128 ൌ 8 ൈ 16 na base 2. 
logଶ 128 ൌ logଶሺ8 · 16ሻ ൌ logଶ 8 ൅ logଶ 16 ൌ 3 ൅ 4 ൌ 7
Portanto, 
logଶ 128 ൌ 7
O que é verdade, já que 2଻ ൌ 128.
 
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ii) Logaritmo do Cociente 
O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o 
logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base). 
log௔ ൬
ݔ 
ݕ
൰ ൌ log௔ ݔ െ log௔ ݕ
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଷ 9 ൌ 2, ݌݋ݎݍݑ݁ 3ଶ ൌ 9.
logଷ 243 ൌ 5, ݌݋ݎݍݑ݁ 3ହ ൌ 243.
Vamos calcular o logaritmo de 27 ൌ 243/9 na base 3. 
logଷ 27 ൌ logଷ ൬
243
9
൰ ൌ logଷ 243 െ logଷ 9 ൌ 5 െ 2 ൌ 3
Portanto, 
logଷ 27 ൌ 3
O que é verdade, já que 3ଷ ൌ 27.
iii) Logaritmo da potência 
O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do 
expoente pelo logaritmo da base da potência. 
log௔ ݔ௬ ൌ ݕ · log௔ ݔ
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଶ 8 ൌ 3, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8.
Vamos calcular o logaritmo de 512ൌ 8ଷ na base 2. 
logଶ 512 ൌ logଶ 8ଷ ൌ 3 · logଶ 8 ൌ 3 · 3 ൌ 9
Portanto, 
logଶ 512 ൌ 9
O que é verdade, já que 2ଽ ൌ 512.
15. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos 
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, 
responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de 
células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam 
riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. 
 
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Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em 
semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o 
tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. 
(Considere: log10 2 = 0,3) 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
Resolução 
O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo necessário para 
que entre no padrão é a raiz da equação20 · 2௧ ൌ 20.000 
O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto “logaritmar” 
2௧ ൌ 1.000 
ambos os membros na base 10. 
logଵ଴ 2௧ ൌ logଵ଴ 1.000
logଵ଴ 2௧ ൌ logଵ଴ 10ଷ
Lembrando que log௔ ݔ௬ ൌ ݕ · log௔ ݔ, 
ݐ · logଵ଴ 2 ൌ 3 · logଵ଴ 10
Lembrando também que log௔ ܽ ൌ 1, 
ݐ · 0,3 ൌ 3 · 1
ݐ ൌ 
3
0,3 
ൌ 10
Letra C 
16. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 
0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. 
a) 2,22. 
b) 2,19. 
c) 2,06. 
d) 2,14. 
e) 2,27. 
Resolução 
Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os logaritmos 
escritos no enunciado são todos de base 10. 
Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar 144. 
 
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Temos então que 144 ൌ 2ସ · 3ଶ
Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. 
log 144 ൌ log ሺ2ସ · 3ଶሻ
logሺ2ସ · 3ଶሻ ൌ log 2ସ ൅ log 3ଶ 
Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo logaritmo da 
base. 
log 2ସ ൅ log 3ଶ ൌ 4 · ݈݋݃2 ൅ 2 · ݈݋݃3
Portanto, 
Letra D 
݈݋݃144 ൌ 4 · ݈݋݃2 ൅ 2 · ݈݋݃3 ൌ 4 · 0,3 ൅ 2 · 0,47 ൌ 1,2 ൅ 0,94 ൌ 2,14
17. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação 
ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t 
para que a população dobre em relação a hoje é de 
a) ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଵ,଴ଵ
b) log 2 െ ݈݋݃1,01
c) 2 · ሺ݈݋݃2ሻ · ሺ݈݋݃1,01ሻ
d) ଶ ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଴,଴ଵ
e) 50 
Resolução 
Para calcular a população hoje, basta fazer t = 0. 
௛ܰ௢௝௘ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ଴ ൌ 30.000 · 1 ൌ 30.000
Portanto, queremos saber quando a população será 60.000. 
Basta fazer N = 60.000 
 
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O 30.000 que está multiplicando “passa para o segundo membro dividindo”. 
30.000 · ሺ1,01ሻ௧ ൌ 60.000 
ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2
i) Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer base também 
são. 
Logaritmando os dois membros: 
ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2
݈݋݃ሺ1,01ሻ௧ ൌ ݈݋݃2
ݐ · ݈݋݃1,01 ൌ ݈݋݃2
ݐ ൌ 
݈݋݃2
log 1,01
Letra A 
18. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após 
determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞௧, em 
que k é uma constante positiva, ଴ܲ é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 
e ݁ é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado 
para ௟௡ଶ
௟௡ଷ
 e que a população ଴ܲ triplique em 6 anos, então ଴ܲ será duplicada em 
a) 3,38 anos. 
b) 3,48 anos. 
c) 3,58 anos. 
d) 3,68 anos. 
e) 3,78 anos. 
Resolução 
Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P0. Isto ocorrerá em 6 anos. Logo: 
3 · ଴ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞·଺
Ou seja: 
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. 
݁଺௞ ൌ 3 
݈݊݁଺௞ ൌ ݈݊3
6݇ · ݈݊݁ ൌ ݈݊3
Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1.
 
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6݇ ൌ ݈݊3
݇ ൌ 
݈݊3 
Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P0. Isso ocorrerá em t anos. Logo: 
6 
2 · ଴ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞·௧ 
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. 
݁௞௧ ൌ 2 
݈݊݁௞௧ ൌ ݈݊2
݇ݐ · ݈݊݁ ൌ ݈݊2
Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1.
݇ݐ ൌ ݈݊2
ݐ ൌ 
݈݊2
݇
Como sabemos que ݇ ൌ ௟௡ଷ
଺ 
׷
ݐ ൌ 
݈݊2
݈݊3
6
ൌ ݈݊2 · 
6
݈݊3
ݐ ൌ 6 · 
݈݊2
݈݊3 
ൌ 6 · 0,63 ൌ 3,78 ܽ݊݋ݏ.
Letra E 
19. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é 
(A) 4. 
(B) 0,5. 
(C) log3 5. 
(D) log5 3. 
(E) 5. 
Resolução 
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e 
somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e 
subtraímos os expoentes. Assim, 
ܽ௫ · ܽ௬ ൌ ܽ௫ା௬
ܽ௫/ܽ௬ ൌ ܽ௫ି௬
E da mesma forma que ܽ௫ · ܽ௬ ൌ ܽ௫ା௬, temos que ܽ௫ା௬ ൌ ܽ௫ · ܽ௬ (óbvio não?). 
Assim, o primeiro termo da equação, 32x + 1=32x .31=3.32x 
 
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Lembremos outra propriedade das potências: 
ሺܽ௫ሻ௬ ൌ ܽ௫௬
Assim, 32x = (3x)2. 
Podemos reescrever a equação 32x + 1 – 16 . 3x + 5 = 0 da seguinte forma: 
3 · ሺ3௫ሻଶ െ 16 · 3௫ ൅ 5 ൌ 0
Fazendo 3௫ ൌ ݕ, a equação toma a seguinte forma: 
3 · ݕଶ െ 16 · ݕ ൅ 5 ൌ 0 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do 
segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 3, b = -16 e c = 5) devemos 
utilizar a seguinte fórmula: 
ݕ ൌ 
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ݕ ൌ 
െሺെ16ሻ േ ඥሺെ16ሻଶ െ 4 · 3 · 5
2 · 3
ݕ ൌ 
16 േ √256 െ 60
6
ݕ ൌ 
16 േ 14 
6
Assim, 
ݕ ൌ ଵ଺ାଵସ
଺ 
ൌ 5 ou ݕ ൌ ଵ଺ିଵସ
଺ 
ൌ ଵ
ଷ
Mas como 3௫ ൌ ݕ, então 3௫ ൌ 5 ou 3௫ ൌ 1/3. 
Temos agora duas equações exponenciais para resolver. 
i) 
Sabemos que a expressão 
3௫ ൌ 5 
ܽ௫ ൌ ݕ pode ser escrita na forma ݔ ൌ log௔ ݕ. 
Assim 3௫ ൌ 5 pode ser escrito como ݔ ൌ logଷ 5. 
ii) 3௫ ൌ 1/3. 
3௫ ൌ 3ିଵ
ݔ ൌ െ1
 
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Assim as raízes da equação são logଷ 5 e െ1. A maior raiz é logଷ 5 e a resposta é a letra C. 
20. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = ekx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 15 
d) 125 
e) 130 
Resolução 
Para calcular ݂ሺ2ሻ basta substituir ݔ por 2. 
݂ሺݔሻ ൌ ݁௞௫
݂ሺ2ሻ ൌ 5 ֜ ݁ଶ௞ ൌ 5
Queremos calcular ݂ሺ6ሻ. 
Observe que utilizamos as propriedades de “trás para frente”. 
݂ሺ6ሻ ൌ ݁଺௞ ൌ ݁ଶ௞·ଷ ൌ ൫݁ଶ௞൯
ଷ 
ൌ 5ଷ ൌ 125
Letra D 
 
 
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11. Relação das questões comentadas nesta aula
01. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma 
função y = f(x). 
 
02. (BB 2006/FCC) Seja y = 12,5x - 2000 uma função descrevendo o lucro mensal y de 
um comerciante na venda de x unidades de um determinado produto. Se, em um 
determinado mês, o lucro auferido foi de R$ 20 000,00, significa que a venda realizada foi, 
em número de unidades, de 
(A) 1 440 
(B) 1 500 
(C) 1 600 
(D))1 760 
(E) 2 000 
03. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o conjunto 
A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A 
função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x . 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) 
e) 
݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5
݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
 
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04. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado 
que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era 
dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, 
então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
05. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-
1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x)= 3x + 3 
06. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, 
utiliza-se a fórmula ܥ ൌ ହ௣ାଶ଼
ସ
, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do 
pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o 
comprimento de seu pé é 
(A) 24,1cm. 
(B) 23,6cm. 
(C) 23,2cm. 
(D) 22,4cm. 
(E) 21,3cm. 
07. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma 
função do tipo f (x) = ax + b. 
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
(A) possui duas raízes reais. 
(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
 
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08. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β
interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
09. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro 
obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do 
fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na 
figura abaixo. 
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
10. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Dentre os pares (x, y) de números inteiros tais que a 
soma do primeiro número com o dobro do segundo número é igual a 64, considere o par em 
que o produto x.y é máximo. Os números x e y são tais que 
(A))x é uma potência de 2 
(B) y é um múltiplo de 3 
(C) y é um divisor de 8 
(D) x = y 
(E) x = y/2 
 
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11. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
Sabendo que A é o conjunto solução de 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0.
݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de ݃ሺݔሻ, então 
o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
a) 
b) 
ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ 
൏ ݔ ൑ 2ቅ
c) 
ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ 
൑ ݔ ൑ 2ቅ
d) 
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ
e) 
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ
ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ
12. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta a 
solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0.
a) 
b) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ
c) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
d) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
e) 
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ
13. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a 
seguir representa a função ݂, de domínio real, dada pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ. 
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que 
(A) a < 0, b < 0 e c < 0 
(B) a < 0, b < 0 e c > 0 
(C) a < 0, b > 0 e c < 0 
(D) a < 0, b > 0 e c > 0 
(E) a > 0, b < 0 e c < 0 
 
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14. (BB 2006/FCC) Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função 
que melhor descreve a produção (y) de um bem é uma função do segundo grau y = ax2 + bx 
+ c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é 
dado pela figura abaixo. 
Tem-se, então, que: 
(A)) a = −3, b = 60 e c = 375 
(B) a = −3, b = 75 e c = 300 
(C) a = −4, b = 90 e c = 240 
(D) a = −4, b = 105 e c = 180 
(E) a = −6, b = 120 e c = 150 
15. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos 
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, 
responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de 
células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam 
riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. 
Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em 
semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o 
tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. 
(Considere: log10 2 = 0,3) 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
16. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 
0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. 
a) 2,22. 
b) 2,19. 
c) 2,06. 
d) 2,14. 
e) 2,27. 
17. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação 
ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t 
para que a população dobre em relação a hoje é de 
a) ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଵ,଴ଵ
 
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b) log 2 െ ݈݋݃1,01
c) 2 · ሺ݈݋݃2ሻ · ሺ݈݋݃1,01ሻ
d) ଶ ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଴,଴ଵ
e) 50 
18. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após 
determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞௧, em 
que k é uma constante positiva, ଴ܲ é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 
e ݁ é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado 
para ௟௡ଶ
௟௡ଷ
 e que a população ଴ܲ triplique em 6 anos, então ଴ܲ será duplicada em 
a) 3,38 anos. 
b) 3,48 anos. 
c) 3,58 anos. 
d) 3,68 anos. 
e) 3,78 anos. 
19. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é 
(A) 4. 
(B) 0,5. 
(C) log3 5. 
(D) log5 3. 
(E) 5. 
20. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = ekx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 15 
d) 125 
e) 130 
 
 
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Gabaritos
01. C
02. D
03. E
04. E
05. B
06. C
07. C
08. B
09. D
10. A
11. C
12. B
13. A
14. A
15. C
16. D
17. A
18. E
19. C
20. D