Aula 24 Matemtica Aula 04

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Aula 4 
1. Exemplos introdutórios . .................................................................................................... 2
2. Princípio Fundamental da Contagem . ............................................................................ 4
3. Permutações Simples . . .................................................................................................. 14
4. Permutações de elementos nem todos distintos. . ..................................................... 15
5. Combinações Simples . . ................................................................................................. 18
6. Exercícios sobre Combinação com repetição. . .......................................................... 24
7. Exercícios sobre probabilidades . . ................................................................................ 27
8. Noções de Estatística . . .................................................................................................. 38
9. Relação das questões comentadas . . ................................................................................. 48
10. Gabaritos . . ......................................................................................................................... 60
 
 
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Olá pessoal! 
Nesta aula resolveremos questões dos seguintes assuntos: 
Enumeração por recurso. Contagem: problemas de contagem. Princípio aditivo e 
multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Noções de 
probabilidade e estatística. 
1. Exemplos introdutórios 
Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma 
moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima?
Como podemos ver no diagrama de árvore, são 4 possibilidades. No primeiro 
lançamento há duas possibilidades (cara ou coroa) e no segundo lançamento há duas 
possibilidades (cara ou coroa) gerando os seguintes resultados: (CARA,CARA), 
(CARA,COROA), (COROA,CARA), (COROA,COROA). 
Lançamento
das moedas
Cara
Cara Cara,Cara
Coroa Cara,Coroa
Coroa
Cara Coroa,Cara
Coroa Coroa,Coroa
 
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Exemplo 2: Em uma urna, há existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma 
bola é retirada, observada e é devolvida para a urna. Qual o número de resultados 
possíveis em 3 extrações sucessivas? 
` 
Extração
das bolas
V
V
V
P
A
P
V
P
A
A
V
P
A
P
V
V
P
A
P
V
P
A
A
V
P
A
A
V
V
P
A
P
V
P
A
A
V
P
A
 
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Temos 3 possibilidades para a primeira extração (V, P ou A), 3 possibilidades para a 
segunda extração (V,P ou A) e 3 possibilidades para a terceira extração (V,P ou A). 
Temos um total de 27 possibilidades. 
Exemplo 3: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos é possível 
selecionar um casal (homem-mulher)? 
Vamos chamar os homens de H1,H2,H3 e as mulheres de M1,M2. Para escolher o 
homem temos 3 possibilidades e para escolher a mulher temos 2 possibilidades. 
Existem 3 possibilidades para a primeira etapa (a primeira etapa é escolher o homem), 
2 possibilidades para a segunda etapa (a segunda etapa é escolher a mulher). O 
número de diferentes casais que podem ser formados é igual a 3 · 2 ൌ 6. Este é o 
princípio fundamental da contagem que pode ser assim enunciado. 
2. Princípio Fundamental da Contagem 
Se um experimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal 
modo que: 
- ݌ଵ é o número de possibilidades da 1ª etapa. 
- ݌ଶ é o número de possibilidades da 2ª etapa. 
ڭ 
- ݌௡ é o número de possibilidades da n-ésima etapa. 
O número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é igual a 
݌ଵ · ݌ଶ · ڮ · ݌௡
Casais
H1
M1 H1‐M1
M2 H1‐M2
H2
M1 H2‐M1
M2 H2‐M2
H3
M1 H3‐M1
M2 H3‐M2
 
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Vamos resolver novamente os exemplos introdutórios com o auxílio do princípio 
fundamental da contagem. 
Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma 
moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima? 
Resolução 
São duas etapas: lançar a primeira moeda e lançar a segunda moeda. Há 2 
possibilidades no lançamento da primeira moeda e 2 possibilidades no lançamento da 
segunda moeda. Portanto, são 2 · 2 ൌ 4 resultados possíveis. 
Exemplo 2: Em uma urna, há existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). 
Uma bola é retirada, observada e é devolvida para a urna. Qual o número de 
resultados possíveis em 3 extrações sucessivas? 
Resolução 
São três etapas: observar a cor da primeira bola, observar a cor da segunda bola e 
observar a cor da terceira bola. Há 3 possibilidades para a primeira etapa, 3 
possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. São, 
portanto, 3 · 3 · 3 ൌ 27 resultados possíveis. 
Exemplo 3: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos é possível 
selecionar um casal (homem-mulher)? 
Resolução 
São duas etapas: escolher o homem do casal e escolher a mulher do casal. Existem 3 
possibilidades para a escolha do homem e 2 possibilidades para a escolha da mulher. 
Podemos selecionar o casal de 3 · 2 ൌ 6 modos diferentes. 
Æ Os passos básicos para resolver os problemas com o Princípio Fundamental da 
Contagem são os seguintes: 
i) Identificar as etapas do problema. 
ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. 
iii) Multiplicar. 
Exemplo: Para fazer uma viagem Recife-Petrolina-Recife, posso escolher como 
transporte ônibus, carro, moto ou avião. De quantos modos posso escolher os 
transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? 
Resolução 
Vejamos novamente os passos: 
i) Identificar as etapas do problema. 
Escolher o transporte da ida e escolher o transporte da volta. 
ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. 
 
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Temos 4 possibilidades para a ida e 3 possibilidades para a volta (pois não desejo 
utilizar o mesmo meio de transporte). 
iii) Multiplicar. 
4 · 3 ൌ 12 modos. 
Quais seriam os 12 modos? 
(ônibus, carro);(ônibus, moto);(ônibus, avião); 
(carro, ônibus); (carro, moto); (carro, avião); 
(moto, ônibus); (moto, carro); (moto,avião); 
(avião, ônibus); (avião, carro); (avião, moto). 
Obviamente não precisamos descrever quais são os 12 modos. Mas para um exemplo 
inicial, fica interessante mostrá-los. 
01. (BB 2010/FCC) Chama-se palíndromo qualquer número, palavra ou frase que 
se pode ler da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, sem que o seu 
sentido seja alterado. Por exemplo, são palíndromos: o número 5 538 355 e a palavra 
ROTOR. 
Certo dia, um funcionário de uma Agência do Banco do Brasil, contabilizando as 
cédulas que havia em caixa, verificou que elas totalizavam X reais, 
300.000<X<800.000. Sabendo que o número X é um palíndromo em que os 
algarismos das unidades, das dezenas e das centenas são distintos entre si, os 
possíveis valores de X são 
(A) 1 296 
(B) 648 
(C) 450 
(D) 360 
(E) 256 
Resolução 
Ora, se o número X é tal que 300.000 ൏ ܺ ൏ 800.000, então X possui 6 algarismos. 
Digamos que ܺ ൌ ܣܤܥ. ܦܧܨ em que F é o algarismo das unidades, E é o algarismo 
das dezenas e assim sucessivamente. 
Como X é um palíndromo, então ܣ ൌ ܨ, ܤ ൌ ܧ e ܥ ൌ ܦ. 
Com estas informações,precisamos apenas escolher os algarismos A, B e C. 
Como o número X é maior que 300.000 e menor que 800.000, então o algarismo das 
centenas de milhar (A) só pode ser 3, 4, 5, 6 ou 7. Há, portanto, 5 possibilidades 
para o algarismo A. 
Dentre os algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) apenas um será utilizado na posição 
A. Portanto, há 9 possibilidades para o algarismos B e 8 possibilidades para o 
algarismo C. 
O total de possíveis valores para X é igual a 5 · 9 · 8 ൌ 360. 
Letra D 
 
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02. (BB 2010/FCC) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato 
retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo. 
Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-
Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice-
Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se 
acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião? 
(A) 36 
(B) 72 
(C) 120 
(D) 360 
(E) 720 
Resolução 
Vamos colocar o Presidente e o Vice-Presidente nas cabeceiras. Há apenas 2 
possibilidades. Vamos dispor a posição dos 4 membros da Diretoria. 
Há 6 possibilidades para o primeiro membro, 5 possibilidades para o segundo 
membro, 4 possibilidades para o terceiro membro e 3 possibilidades para o quarto 
membro. Há, portanto, 6 ൈ 5 ൈ 4 ൈ 3 ൌ 360 possibilidades. 
Pelo princípio fundamental da contagem, há 2 ൈ 360 ൌ 720 modos de acomodar todas 
as pessoas que participam da reunião. 
Letra E 
03. (PM BA 2009/FCC) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade por 
uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no local tentou 
anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu fazê-lo por 
completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte numérica, lembrava somente 
que o algarismo da esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas 
informações, o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é 
(A) 2 500 
(B) 2 000 
(C) 1 000 
(D) 250 
(E) 100 
Resolução 
A questão está incompleta, pois deveria afirmar que tal fato ocorreu no Brasil e que no 
Brasil as placas possuem 3 letras e 4 algarismos. 
 
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Sendo 4 algarismos, o problema afirma que o algarismo da esquerda era ímpar e o da 
direita era par. 
Sendo assim, há 5 possibilidades para o algarismo da esquerda (ele só pode ser 
1,3,5,7 ou 9) e há 5 possibilidades para o algarismo da direita (ele só pode ser 0,2,4,6 
ou 8). 
Há 10 possibilidades para cada um dos outros dois algarismos que faltam. 
O total de possíveis placas, pelo princípio fundamental da contagem, é igual a 
5 ൈ 5 ൈ 10 ൈ 10 ൌ 2.500. 
Letra A 
04. (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a 
mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a 
classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: 
a) 24.360 
b) 25.240 
c) 24.460 
d) 4.060 
e) 4.650 
Resolução 
i) Identificar as etapas do problema. 
Escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocado. 
ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. 
Temos 30 possibilidades para o primeiro colocado, 29 possibilidades para o segundo 
colocado e 28 possibilidades para o terceiro colocado. 
iii) Multiplicar. 
30 · 29 · 28 ൌ 24.360 diferentes maneiras. 
Letra A 
05. (AFRE-MG 2005/ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, 
vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as 
modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente 
quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou 
Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. 
Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: 
a) 420 
b) 480 
c) 360 
d) 240 
e) 60 
 
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Resolução 
Sabemos que Ana ou Beatriz ou Carla ou Denise devem, obrigatoriamente, estar na 
última posição da fila. 
Sabemos também que Denise não pode ocupar a primeira posição das filas. 
Vamos separar em 4 casos: 
i) Ana está no último lugar da fila. 
____ _____ _____ Ana 
São 7 pessoas no total e Ana já está posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise não 
pode ocupar a primeira posição, portanto, há 5 possibilidades para a primeira 
posição. 
Após escolher a pessoa que ocupará a primeira posição (das 7 pessoas já 
posicionamos duas), sobram 5 possibilidades para a segunda posição e 4 
possibilidades para a terceira posição. 
5 ൈ 5 ൈ 4 ൌ 100 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
ii) Beatriz está no último lugar da fila. 
____ _____ _____ Beatriz 
São 7 pessoas no total e Beatriz já está posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise não 
pode ocupar a primeira posição, portanto, há 5 possibilidades para a primeira 
posição. 
Após escolher a pessoa que ocupará a primeira posição (das 7 pessoas já 
posicionamos duas), sobram 5 possibilidades para a segunda posição e 4 
possibilidades para a terceira posição. 
5 ൈ 5 ൈ 4 ൌ 100 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
iii) Carla está no último lugar da fila. 
____ _____ _____ Carla 
São 7 pessoas no total e Carla já está posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise não 
pode ocupar a primeira posição, portanto, há 5 possibilidades para a primeira 
posição. 
Após escolher a pessoa que ocupará a primeira posição (das 7 pessoas já 
posicionamos duas), sobram 5 possibilidades para a segunda posição e 4 
possibilidades para a terceira posição. 
5 ൈ 5 ൈ 4 ൌ 100 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
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iv) Denise está no último lugar da fila. Agora não há restrições para o primeiro 
lugar. Há 6 possibilidades para o primeiro lugar, 5 possibilidades para o 
segundo lugar e 4 possibilidades para o terceiro lugar. 
Somando todas as possibilidades temos: 
6 ൈ 5 ൈ 4 ൌ 120 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
100 ൅ 100 ൅ 100 ൅ 120 ൌ 420 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
Letra A 
06. (APO-MPOG 2005/ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 
cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e 
Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma 
cadeira vazia entre eles, é igual a: 
a) 80 
b) 72 
c) 90 
d) 18 
e) 56 
Resolução 
Se Pedro se sentar na primeira cadeira da esquerda, há 8 possibilidades de se 
escolher uma cadeira para Paulo de forma que fique pelo menos uma cadeira vazia 
entre eles. 
Pedro _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 
Se Pedro se sentar na última cadeira da direita, há 8 possibilidades de se escolher 
uma cadeira para Paulo de forma que fique pelo menos uma cadeira vazia entre eles. 
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ Pedro 
Se Pedro se sentar em qualquer outra cadeira que não seja uma das extremidades, 
haverá 7 possibilidades de se escolher uma cadeira para Paulo. 
Por exemplo: 
_____ _____ _____ _____ _____ Pedro _____ _____ _____ _____ 
8 possíveis lugares para Paulo
8 possíveis lugares para Paulo
Possíveis lugares para Paulo Possíveis lugares para Paulo
 
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Como são 8 lugares que ficam no meio da fila, há um total de 8 ൈ 7 ൌ 56
possibilidades. 
Então, somando todas as possibilidades, tem-se: 8 ൅ 8 ൅ 56 ൌ 72 possibilidades. 
Podemos seguir o seguinte raciocínio: 
Se não houvesse restrições no problema, teríamos 10 possibilidades para escolher o 
lugar de Pedro e 9 possibilidades para escolher olugar de Paulo. O total é igual a: 
Vamos excluir os casos que Pedro e Paulo estão juntos. 
10 ൈ 9 ൌ 90
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 
Temos 9 casos para colocar Pedro e Paulo juntos (nesta ordem) e 9 casos para 
colocar Paulo e Pedro juntos (nesta ordem). Devemos excluir 9 ൅ 9 ൌ 18 casos. 
Resposta: 90 െ 18 ൌ 72 possibilidades. 
Letra B 
07. (AFC-STN 2002/ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 
algarismo e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o 
prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatros últimos dígitos são 0 e o 
prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser 
instalados nas farmácias é igual a: 
a) 504 
b) 720 
c) 684 
d) 648 
e) 842 
Resolução 
Os números de telefones das farmácias seguem o seguinte modelo: _ _ _ - 0000. 
O enunciado fala que o primeiro algarismo não pode ser 0. Portanto, há 9 
possibilidades para o primeiro dígito (podemos utilizar os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9). 
Para o segundo dígito podemos utilizar qualquer algarismo com exceção do primeiro 
algarismo. Ficamos novamente com 9 possibilidades. 
Para o terceiro dígito podemos ter todos os algarismos com exceção do primeiro e do 
segundo algarismo. Ficamos com 8 possibilidades. 
Desta maneira, pelo princípio fundamental da contagem temos um total de 9 · 9 · 8 ൌ
648 possibilidades. 
 
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Letra D 
08. (TFC-CGU 2008 ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um 
excêntrico cliente. Ele ─ o cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua 
filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores 
diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores 
disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é 
igual a: 
a) 56 
b) 5760 
c) 6720 
d) 3600 
e) 4320 
Resolução 
Há 8 possibilidades de cores para a primeira listra, 7 possibilidades para segunda 
listra, 6 possibilidades para a terceira listra, 5 possibilidades para a quarta listra e 4 
possibilidades para a quinta listra. Pelo princípio fundamental da contagem, Ágata 
pode pintar a sua parede de 
8 · 7 · 6 · 5 · 4 ൌ 6.720 ݉ܽ݊݁݅ݎܽݏ.
Letra C 
09. (AFC-STN 2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos 
devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede 
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira 
do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode 
realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: 
a) 681384 
b) 382426 
c) 43262 
d) 7488 
e) 2120 
Resolução 
O problema pede explicitamente que a terceira caixa seja a de número 20. Portanto, a 
ordem das caixas a serem retiradas é relevante. Temos apenas uma possibilidade 
para a terceira caixa porque ela deve ser a de número 20. Sobram 89 possibilidades 
para a primeira caixa, 88 possibilidades para a segunda caixa e 87 possibilidades para 
a quarta caixa. O número de retiradas possíveis é igual a: 
89 · 88 · 1 · 87 ൌ 681.384
Letra A 
 
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10. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Quantos números 
naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos? 
(A) 27.216 
(B) 59.760 
(C) 62.784 
(D) 69.760 
(E) 72.784 
Resolução 
Os números naturais de 5 algarismos começam em 10.000 e terminam em 99.999. Há, 
portanto, 90.000 números de 5 algarismos. 
O problema pede a quantidade desses números que apresentam dígitos repetidos. 
Observe que o problema não especifica QUANTOS dígitos devem ser repetidos: 
podem ser 2, 3, 4 ou 5 dígitos. 
Existe uma maneira rápida de calcular este valor. Vamos calcular primeiramente o que 
o problema NÃO quer. O problema se interessa em números que apresentam dígitos 
repetidos. Obviamente, não nos interessa números com todos os dígitos diferentes. É 
este número que vamos calcular. 
São 5 algarismos: __ __ __ __ __ 
O primeiro não pode ser 0. Ele deve ser escolhido dentre os algarismos 
1,2,3,4,5,6,7,8,9. Há, portanto, 9 possibilidades para o primeiro algarismo. 
Não há restrições para os outros algarismos. O segundo algarismo só não pode ser 
igual ao primeiro. Há, portanto, 9 possibilidades para o segundo algarismo (já que o 
zero pode ser escolhido agora). Analogamente, existem 8 possibilidades para o 
terceiro algarismo, 7 possibilidades para o quarto algarismo e 6 possibilidades para o 
quinto algarismos. O total de números de 5 algarismos todos distintos é igual a: 
9 ൈ 9 ൈ 8 ൈ 7 ൈ 6 ൌ 27.216 
Esta é a quantidade de algarismos que NÃO nos interessa. Portanto, a quantidade de 
números de 5 algarismos que apresentam dígitos repetidos é igual a: 
90.000 െ 27.216 ൌ 62.784
Letra C 
11. (PETROBRAS 2008/CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são 
produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a 
lado, como mostra a figura. 
 
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As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é 
possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última 
contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da 
mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? 
(A) 336 
(B) 392 
(C) 448 
(D) 556 
(E) 612 
Resolução 
Vamos começar “pintando” as contas das extremidades. Elas devem ser pintadas da 
mesma cor e, portanto, há 8 possibilidades para pintá-las. 
Como cores adjacentes não podem ser pintadas da mesma cor, então há 7 
possibilidades para pintar as contas 2 e 4. 
A conta de número 3 não pode ter a mesma cor das contas 2 e 4, mas ela pode repetir 
a cor das contas 1 e 5. Portanto, há 7 possibilidades para pintar a conta número 3. 
O total de maneiras para pintar as contas do colar obedecendo as exigências é igual a 
8 · 7 · 7 ൌ 392. 
Letra B 
3. Permutações Simples 
De quantas maneiras é possível ordenar ݊ objetos distintos? 
Vamos começar o problema com 4 objetos. O problema pode ser separado em 4 
etapas: escolher o primeiro objeto, escolher o segundo objeto, escolher o terceiro 
objeto e escolher o quarto objeto. 
Temos 4 objetos possíveis para o primeiro lugar, 3 objetos possíveis para o segundo 
lugar, 2 objetos possíveis para o terceiro lugar e 1 objeto possível para o último lugar. 
O total de maneiras é igual a 4 · 3 · 2 · 1 ൌ 4! ൌ 24. 
No caso geral, temos ݊ modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, 
݊ െ 1 modos de escolher o objeto que ocupará o segundo lugar,..., 1 modo de escolher 
o objeto que ocupará o último lugar. Portanto, o número de modos de ordenar ݊
objetos distintos é: 
 
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݊ · ሺ݊ െ 1ሻ · ڮ · 1 ൌ ݊!
Cada uma destas ordenações é chamada permutação simples de ݊ objetos e o 
número de permutações simples de ݊ objetos distintos é representado por ௡ܲ. Desta 
maneira, ௡ܲ ൌ ݊!. 
EP 1. Quantos são os anagramas da palavra BOLA? 
Resolução 
Cada anagrama de BOLA é uma ordenação das letras B,O,L,A. Desta maneira, o 
número de anagramas de BOLA é ସܲ ൌ 4! ൌ 4 · 3 · 2 · 1 ൌ 24. 
4. Permutações de elementos nem todos distintos 
Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? 
O problema surge quando há letras repetidas como na palavra ARARAQUARA. 
Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. Aparentemente a 
quantidade de anagramas seria 10! (pois há 10 letras na palavra). Devemos fazer uma 
“correção” por conta das letrasrepetidas. Devemos dividir o 10! por 5! e por 3! que são 
as quantidades de letras repetidas. Assim, o número de anagramas da palavra 
ARARAQUARA é igual a 
ଵܲ଴
ହ,ଷ ൌ 
10!
5! · 3! 
ൌ
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!
5! · 3 · 2 · 1 
Observe que ao expandirmos o 10!, podemos “travá-lo” onde quisermos para efetuar 
os cancelamentos. Dessa forma, 
ଵܲ଴
ହ,ଷ ൌ 
10!
5! · 3! 
ൌ
10 · 9 · 8 · 7 · 6
3 · 2 · 1 
ൌ 5.040 ܽ݊ܽ݃ݎܽ݉ܽݏ
12. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos 
para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes 
maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em 
lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as 
mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, 
a) 1112 e 1152. 
b) 1152 e 1100. 
c) 1152 e 1152. 
d) 384 e 1112. 
e) 112 e 384. 
Resolução 
 
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a) H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 
Vamos permutar os 4 homens nos lugares indicados e as 4 mulheres nos lugares 
indicados. Devemos multiplicar o resultado por 2, pois não necessariamente devemos 
começar por homem: poderíamos ter começado a fila com uma mulher. 
ସܲ · ସܲ · 2 ൌ 4! · 4! · 2 ൌ 4 · 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 · 2 ൌ 1.152
b) 
Em todos os problemas de permutação onde houver pessoas ou objetos que 
obrigatoriamente fiquem juntos, deveremos colocá-los dentro de “caixas”. Assim, os 4 
homens serão permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheres 
serão permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemos 
permutar as duas caixas, pois as caixas não obrigatoriamente estarão na ordem 
descrita acima. 
Letra C 
ସܲ · ସܲ · ଶܲ ൌ 4! · 4! · 2! ൌ 4 · 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 · 2 · 1 ൌ 1.152
Percebendo que os dois resultados são claramente os mesmos já que ସܲ · ସܲ · 2 é igual 
a ସܲ · ସܲ · ଶܲ só poderíamos marcar a letra C. 
13. (ANEEL Analista 2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - 
entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram 
ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. 
Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo 
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque 
querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas 
querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas 
informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é 
igual a: 
a) 1920 
b) 1152 
c) 960 
d) 540 
e) 860 
H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3 M4
 
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Resolução 
Como falamos na questão anterior, quando houver pessoas ou objetos que 
obrigatoriamente devam ficar juntos, devemos colocá-los em caixas. Chegamos ao 
desenho base feito acima. Vejamos as permutações que devemos fazer. 
i) Permutar as duas caixas maiores, pois podemos ter meninos à esquerda e meninas 
à direita ou o contrário. Essa permutação corresponde a P2. 
ii) Permutar Beto e Caio: P2 
iii) Permutar o grupo (caixa) formado por Beto e Caio com o terceiro menino H1. 
Estamos permutando dois objetos (a caixa e o terceiro menino) e assim escrevemos 
P2. 
iv) Permutar Ana e Beatriz: P2 
v) Permutar a caixa formada por Ana e Beatriz e as 4 meninas. Teremos a permutação 
de 5 objetos (4 meninas e 1 caixa): P5. 
O número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a 
ଶܲ · ଶܲ · ଶܲ · ଶܲ · ହܲ ൌ 2! · 2! · 2! · 2! · 5! ൌ 2 · 2 · 2 · 2 · 120 ൌ 1.920
Letra A 
14. (Oficial de Chancelaria 2002/ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas 
amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O 
número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que 
Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 46 
e) 48 
Resolução 
 Caio Caco Biba 
Devemos permutar Chico e Beti “dentro da caixa”: P2 
Devemos permutar Caio, Caco, Biba e a Caixa: P4
ସܲ · ଶܲ ൌ 4! · 2! ൌ 4 · 3 · 2 · 1 · 2 · 1 ൌ 48
Letra E 
H1 Beto Caio M1 M2 M3 M4 Ana Beatriz
Chico Beti 
 
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5. Combinações Simples 
Imagine que dispomos das seguintes frutas: maçãs, bananas, mamões e abacates. 
Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas, então picamos 
separadamente cada fruta e, em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: maçã, 
banana,mamão no primeiro prato e banana, maçã e mamão no segundo prato. É óbvio 
que obtemos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que têm a característica 
de não mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, são chamados de 
combinações. 
A pergunta aqui é a seguinte: Dispomos de um conjunto com ݊ elementos. Queremos 
formar um subconjunto deste conjunto com ݌ elementos. De quantos modos podemos 
escolher estes ݌ elementos? 
Estamos utilizando a linguagem dos conjuntos porque não existe ordem entre os 
elementos de um conjunto. Por exemplo, os conjuntos ሼܽ, ܾ ሽ ݁ ሼܾ, ܽ ሽ são iguais. 
Vamos ilustrar: temos o conjunto {1,2,3,4,5} e queremos formar um subconjunto com 2 
elementos deste conjunto. 
Temos as seguintes possibilidades: 
{1,2},{1,3},{1,4},{1,5} ՜ fixando o número 1 
{2,3},{2,4},{2,5} ՜ fixando o número 2 
{3,4},{3,5} ՜ fixando o número 3 
{4,5} ՜ fixando o número 4 
Temos um total de 4+3+2+1=10 subconjuntos com 2 elementos. 
Repare que corremos o risco de esquecer algum subconjunto, sobretudo se houver 
um número grande de elementos. É para isto que serve a análise combinatória. Contar 
agrupamentos sem precisar descrevê-los. 
Pois bem, tendo um conjunto com ݊ elementos, o número de subconjuntos com ݌
elementos é igual ao número de combinações de ݊ elementos tomados ݌ a ݌ e é 
calculado da seguinte maneira: 
ܥ௡,௣ ൌ ܥ௡
௣ ൌ ቀ
݊
݌ቁ ൌ
݊! 
݌! ሺ݊ െ ݌ሻ!
Esta é a fórmula que aparece nos livros. Em breve iremos simplificá-la. 
No nosso caso, temos 5 elementos no conjunto (݊ ൌ 5) e queremos escolher 2 destes 
5 elementos (݌ ൌ 2). 
ܥହ
ଶ ൌ 
5! 
2! · ሺ5 െ 2ሻ! 
ൌ
5! 
2! 3! 
ൌ
5 · 4 · 3!
2 · 1 · 3! 
ൌ
5 · 4 
2 · 1 
ൌ 10
Que é exatamente o número de subconjuntos que havíamos encontrado. 
 
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A maneira mais fácil de utilizar esta fórmula é a seguinte: 
O número de combinações sempre será uma fração. 
ܥହ
ଶ ൌ
No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número. 
ܥହ
ଶ ൌ 
2 · 1 
Quantos fatores há no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o outro 
número, no caso o número 5, em dois fatores. 
ܥହ
ଶ ൌ 
5 · 4 
2 · 1 
ൌ 10
Muito mais fácil, não? 
Pronto! Pode esquecer a fórmula agora!! 
Vamos ver um exemplo em uma questão... 
15. (EBDA 2006/CETRO) Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos 
diferentes. O total de triângulos distintos que podem ser formados com vértices nesses 
pontos é: 
(A) 56 
(B) 24 
(C) 12 
(D) 336 
(E) 28 
Resolução 
Vejamos o desenho acima. O triângulo ABC é congruente ao triângulo ACB, que é 
congruente ao triângulo BAC e assim por diante. Portanto, a ordem dos vértices não é 
relevante na definição do triângulo. Assim, não podemos aplicar o Princípio 
Fundamental da Contagem. Se assim o fizéssemos, estaríamos contando os 
triângulos ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA como triângulos diferentes, o que não é 
verdade. E como fazer essa correção? 
 
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20
www.pontodosconcursos.com.brVejamos o problema genericamente: temos 8 objetos e devemos escolher três, sem 
levar em consideração a ordem dos elementos. 
A resposta desse problema é o número de combinações de 8 objetos tomados 3 a 3, 
representado por ܥ଼ଷ. 
Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial 
do menor dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. 
Ficamos assim por enquanto: 
ܥ଼
ଷ ൌ 
3 · 2 · 1 
E o numerador? Devemos expandir o número 8 na mesma quantidade de fatores do 
denominador (3 fatores). 
ܥ଼
ଷ ൌ 
8 · 7 · 6 
3 · 2 · 1 
ൌ 56 ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ݏ.
Letra A 
16. (Prefeitura da Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Com seis tipos de 
doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois 
tipos de doce e dois tipos de fruta? 
(A) 300 
(B) 150 
(C) 75 
(D) 50 
(E) 25 
Resolução 
Obviamente, em um prato de doces e frutas a ordem dos objetos não é relevante. 
Assim, temos 6 tipos de doces disponíveis dos quais desejamos escolher apenas 2 e 
temos 5 tipos de frutas das quais desejamos escolher 2. 
O total de possibilidades é 
ܥ଺
ଶ · ܥହ
ଶ ൌ 
6 · 5
2 · 1 
·
5 · 4 
2 · 1 
ൌ 150 ݌ݎܽݐ݋ݏ.
Letra B 
17. (EBDA 2006/CETRO) Um hospital tem três médicos e cinco enfermeiras. 
Quantas equipes de plantões com cinco profissionais podem ser formadas contendo 
no mínimo um médico? 
(A) 15 
(B) 20 
(C) 40 
(D) 45 
(E) 55 
Resolução 
 
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A equipe terá no mínimo um médico. Temos três possibilidades: 
i) Um médico (dentre 3 disponíveis) e 4 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
ܥଷ
ଵ · ܥହ
ସ ൌ 
3
1 
·
5 · 4 · 3 · 2
4 · 3 · 2 · 1 
ൌ 15
ii) Dois médicos (dentre 3 disponíveis) e 3 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
ܥଷ
ଶ · ܥହ
ଷ ൌ 
3 · 2
2 · 1 
·
5 · 4 · 3
3 · 2 · 1 
ൌ 30
iii) Três médicos (dentre 3 disponíveis) e 2 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
ܥଷ
ଷ · ܥହ
ଶ ൌ 
3 · 2 · 1
3 · 2 · 1 
·
5 · 4 
2 · 1 
ൌ 10
Total de possibilidades: 15 + 30 + 10 = 55. 
Letra E 
18. (TFC-CGU 2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta 
de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 
15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? 
a) 3003 
b) 2980 
c) 2800 
d) 3006 
e) 3005 
Resolução 
Quando alguém realiza uma prova, não é relevante a ordem que resolvemos as 
questões. Assim, Ana tem 15 questões e deve escolher 10 para resolver. A resposta é 
ܥଵହ
ଵ଴ ൌ 
15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Trabalhoso? 
Quando a quantidade de objetos que queremos escolher for muito grande, podemos 
utilizar um artifício. 
Veja bem, a decisão de escolher as 10 questões para responder é a mesma decisão 
de escolher as 5 questões que não vai responder! 
Assim, 
Grosso modo, “para trocar o número de cima” basta subtrair (15 – 10 = 5). 
ܥଵହ
ଵ଴ ൌ ܥଵହ
ହ 
ܥଵହ
ଵ଴ ൌ ܥଵହ
ହ ൌ 
15 · 14 · 13 · 12 · 11
5 · 4 · 3 · 2 · 1 
ൌ 3.003
Letra A 
 
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Ao descobrir que a resposta é ܥଵହହ poderíamos marcar a resposta sem fazer a conta 
toda. Veja: 
ܥଵହ
ହ ൌ 
15 · 14 · 13 · 12 · 11
5 · 4 · 3 · 2 · 1 
Já que 4 x 3 = 12, então podemos cancelar estes números na divisão. 14 dividido por 
2 é igual a 7 e 15 dividido por 5 é igual a 3. 
ܥଵହ
ହ ൌ 3 · 7 · 13 · 11 ൌ 21 · 13 · 11 
Percebe-se aqui que o algarismo das unidades é igual a 3 e já podemos marcar a 
alternativa A. 
19. (AFC 2002/ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto 
de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou 
aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que 
as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão 
entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas 
simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter 
certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: 
a) 8 
b) 28 
c) 40 
d) 60 
e) 84 
Resolução 
Para começar: a ordem dos números que escolhemos para jogar na Mega-Sena não é 
relevante. Imagine se você além de ter que acertar os números tivesse que acertar a 
ordem!!! 
Temos 8 números a nossa disposição e devemos escolher 6. 
ܥ଼
଺
Observe que 6 é “grande”, podemos então trocá-lo por 8 – 6 = 2. 
ܥ଼
଺ ൌ ܥ଼
ଶ ൌ 
8 · 7
2 · 1 
ൌ 28
Letra B 
Aproveitando a oportunidade, só por mera curiosidadade, quantos resultados 
possíveis há no jogo da Mega-Sena? 
Temos 60 números dos quais apenas 6 serão escolhidos. 
 
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ܥ଺଴
଺ ൌ 
60 · 59 · 58 · 57 · 56 · 55 
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 
ൌ 50.063.860 ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ
20. (Fiscal do Trabalho 2006 ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 
bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha 
exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. 
Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, 
sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de 
diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de 
candidatas é igual a: 
a) 120 
b) 1220 
c) 870 
d) 760 
e) 1120 
Resolução 
Temos uma bailarina com 15 anos, outra com 16 anos, e assim sucessivamente até 
termos uma bailarina com 29 anos. Temos, portanto, 15 candidatas. 
Temos 8 bailarinas com menos de 23 anos e devemos escolher 5. 
Temos 1 bailarina com 23 anos e ela deve ser escolhida. 
Temos 6 bailarinas com mais de 23 anos e devemos escolher 3. 
Assim, o número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados é 
ܥ଼
ହ · ܥଵ
ଵ · ܥ଺
ଷ ൌ 
8 · 7 · 6 · 5 · 4
5 · 4 · 3 · 2 · 1 
·
1
1 
·
6 · 5 · 4
3 · 2 · 1 
ൌ 1.120
Letra E 
Agora que já temos um bom embasamento teórico, vamos resolver questões variadas 
de análise combinatória. 
21. (ANEEL 2006/ESAF) Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e 
somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes 
triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual 
a: 
a) 2.180 
b) 1.180 
c) 2.350 
d) 2.250 
e) 3.280 
Resolução 
Inicialmente, vamos supor que não há pontos colineares, ou seja, não há pontos em 
linha reta. Desta maneira, temos 25 pontos disponíveis e precisamos escolher 3 
pontos para determinar um triângulo.Temos no total: 
 
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ܥଶହ
ଷ ൌ 
25 · 24 · 23 
3 · 2 · 1 
ൌ 2.300 ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ݏ 
O problema é que entre estes 2.300 triângulos, há alguns que na realidade não são 
triângulos e sim segmentos. Se por acaso os 3 pontos escolhidos estiverem na mesma 
reta não teremos triângulos. Quantos “falsos triângulos” existem? Para contar os falsos 
triângulos devemos escolher 3 pontos dentre os 10 que estão na mesma reta. Temos 
no total: 
ܥଵ଴
ଷ ൌ 
10 · 9 · 8 
3 · 2 · 1 
ൌ 120 ݂݈ܽݏ݋ݏ ݐݎ݅â݊݃ݑ݈݋ݏ
Assim, o número de triângulos verdadeiros é igual a 2.300 െ 120 ൌ 2.180. 
Letra A 
6. Exercícios sobre Combinação com repetição 
Este é um assunto extremamente raro em provas de concursos. Vamos resolver as 
questões sobre este assunto com a ajuda de um artifício utilizando permutações com 
repetições. 
22. (Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 
marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de 
refrigerante, sem que haja preferência poruma determinada marca, pode escolhê-las 
de N formas. O valor de N é 
(A) 3 
(B) 10 
(C) 15 
(D) 35 
(E) 125 
Resolução 
Precisamos ter uma imaginação fértil para resolver esta questão. Brincadeira! Esta é 
uma questão “clássica” que aparece nos livros de análise combinatória. Por outro lado, 
se a pessoa nunca viu uma questão parecida com esta, é muito difícil que ela venha a 
ter este raciocínio SOZINHO na hora da prova. 
Imagine que temos um armário para armazenar os refrigerantes. 
Temos 5 marcas diferentes de refrigerante. Para separar as 5 marcas diferentes de 
refrigerante neste armário, eu preciso de 4 divisórias. Vamos considerar algumas 
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marcas conhecidas de refrigerante. Coca-Cola, Guaraná Antartica, Fanta, Tuchaua, 
Sprite (para quem não conhece, Tuchaua é um refrigerante de guaraná famoso na 
cidade de Manaus). 
Temos agora 3 latinhas de refrigerante para distribuir nestas divisórias. 
Há várias disposições possíveis. Vejamos algumas: 
Nesta disposição acima, o cliente está levando uma Coca-Cola e 2 Tuchauas. 
Na disposição acima, o cliente está levando um Guaraná Antarctica, 1 Fanta e 1 
Sprite. 
Coca‐Cola Guaraná Antarctica Fanta Tuchaua Sprite
Coca‐Cola Guaraná Antarctica Fanta Tuchaua Sprite
Coca‐Cola Guaraná Antarctica Fanta Tuchaua Sprite
Coca‐Cola Guaraná Antarctica Fanta Tuchaua Sprite
 
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Na disposição acima, o cliente está levando 3 Tuchauas. 
Bom, resumindo: estamos permutando 7 objetos, a saber: as 4 divisórias e as 3 
latinhas. 
Vamos apagar agora os nomes das marcas. 
O número total de possibilidades que há para o cliente comprar 3 refrigerantes dentre 
5 marcas disponíveis sem preferência em relação a alguma marca é igual ao número 
permutações de 7 objetos dos quais 4 são iguais (as divisórias) e 3 são iguais (as 
bolinhas). 
଻ܲ
ସ,ଷ ൌ 
7!
4! · 3!
Podemos expandir o fatorial de 7 até o fatorial de 4 e “travar” para simplificar. 
଻ܲ
ସ,ଷ ൌ 
7 · 6 · 5 · 4! 
4! · 3 · 2 · 1 
ൌ
7 · 6 · 5
3 · 2 · 1 
ൌ 35
Letra D 
23. (BB 2009/CESPE-UnB) Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade 
de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. 
Resolução 
Questão praticamente idêntica com a anterior. Lá, tínhamos 5 marcas de refrigerante e 
queríamos comprar 3 refrigerantes. Agora temos 3 marcas de cadernos e queremos 
utilizar 5 cadernos para formar um pacote. 
Vamos novamente construir o nosso armário. Como há 3 marcas de cadernos, 
precisamos de apenas 2 divisórias. Os 5 cadernos que serão utilizados na formação 
dos pacotes serão representados por bolinhas. 
Temos novamente 7 objetos para permutar. Só que agora temos 2 divisórias iguais e 5 
bolinhas iguais. 
଻ܲ
ଶ,ହ ൌ 
7!
2! · 5!
Podemos expandir o fatorial de 7 até o fatorial de 5 e “travar”. 
 
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଻ܲ
ଶ,ହ ൌ 
7! 
2! · 5! 
ൌ
7 · 6 · 5!
2 · 1 · 5! 
ൌ
7 · 6 
2 · 1 
ൌ 21
O item está certo. 
7. Exercícios sobre probabilidades 
24. (SERGIPE GAS 2010/FCC) A tabela abaixo apresenta o consumo médio 
mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS. 
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu 
consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é 
(A) 2/25 
(B) 7/100 
(C) 3/50 
(D) 1/20 
(E) 1/25 
Resolução 
A tabela informa que o total de residências é igual a 100. Portanto, o valor de x é igual 
a: 
ݔ ൌ 100 െ 11 െ 53 െ 28
ݔ ൌ 8 
A probabilidade pedida é igual ao quociente do número de residências que consomem 
25 m3 pelo total de residências. 
ܲሺܣሻ ൌ 
8
100 
ൌ
2
25
Letra A 
25. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia 
de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de 
probabilidades de ocorrência de venda: 
 
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A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma 
unidade do eletrodoméstico é igual a 
(A) 87,5%. 
(B) 80,0%. 
(C) 75,0%. 
(D) 60,0%. 
(E) 50,0%. 
Resolução 
O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma: 
ܲ ൅ ܲ ൅ 3ܲ ൅ 2ܲ ൅ ܲ ൌ 1
8ܲ ൌ 1
ܲ ൌ 
1
8 
A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma 
unidade do eletrodoméstico é igual a 
3ܲ ൅ 2ܲ ൅ ܲ ൌ 6ܲ ൌ 6 · 
1
8 
ൌ
6 
8 
ൌ
3
4 
ൌ 0,75 ൌ 75%
Letra C 
26. (TRF 4ª Região 2010/FCC) O número de televisores vendidos diariamente em 
uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de 
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é 
igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade 
de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de 
(A) 10%. 
(B) 12%. 
(C) 15%. 
(D) 18%. 
(E) 20%. 
Resolução 
Quando o problema enuncia que a probabilidade de que, em um determinado dia, não 
seja vendido nenhum televisor é igual a 10%, isto significa que ݔ ൌ 10% ൌ 0,1. 
 
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O enunciado ainda afirma que a probabilidade de que seja vendido mais que 3 
televisores é igual a 30%. Ou seja: 
2ݕ ൅ ݔ ൌ 30%
2ݕ ൅ 0,1 ൌ 0,3
2ݕ ൌ 0,2 
Como a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, então: 
ݕ ൌ 0,1 
ݔ ൅ 3ݕ ൅ ݖ ൅ ݖ ൅ 2ݕ ൅ ݔ ൌ 1
2ݔ ൅ 5ݕ ൅ 2ݖ ൌ 1
2 · 0,1 ൅ 5 · 0,1 ൅ 2ݖ ൌ 1
0,7 ൅ 2ݖ ൌ 1 
2ݖ ൌ 0,3 
A probabilidade de que sejam vendidos 2 televisores é de 
ݖ ൌ 0,15 
ݖ ൌ 0,15 ൌ 15%. 
Letra C 
27. (TRF 2ª Região/2007 FCC) Sejam A e B dois eventos associados a um 
experimento. Supondo que 4,0)( =AP e 7,0)( =∪ BAP e pBP =)( . Os valores de p 
que fazem com que A e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes 
são, respectivamente, 
a) 0,3 e 0,5 b) 0,4 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,6 e 0,2 e) 0,3 e 0,4 
Resolução: 
Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condição: 
)()()( BPAPBAP +=∪ 
Substituindo os valores: 
3,04,07,0 =⇒+= pp 
Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condição: 
)()()( BPAPBAP ×=∩
 
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Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da união de A e B. 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
)()()()()( BPAPBPAPBAP ×−+=∪ 
Substituindo os valores: 
5,03,06,04,04,07,0 =⇒=×⇒×−+= pppp 
Letra A 
28. (MINISTERIO DA SAUDE 2007 FCC) Sabe-se que 3/5 dos pacientes 
submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a 
cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de: 
a) 609/625 
b) 544/625 
c) 96/625 
d) 24/625 
e) 16/625 
Resolução: 
Existem alguns tipos de problema em que a probabilidade pedida é muito difícil de ser 
calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil calcular a probabilidade do 
evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questão. 
Esta questão é um exemplo. Pede-se a probabilidade de que pelo menos um 
paciente morra. 
Este é o caso clássico de utilização do evento complementar: quando temos a 
expressão “pelo menos um”. 
Sempre que aparecer esta expressão, é mais fácil calcularmos a probabilidade do 
evento complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no evento que é o contrário 
do que o solicitado no enunciado. 
Seja A o evento “pelo menos um paciente morre”. Seja A o evento complementar, ou 
seja, “todos os pacientes sobrevivem”. O evento complementar é uma intersecçãode 
4 eventos: 
· E1 – o primeiro paciente sobrevive 
· E2 – o segundo paciente sobrevive 
· E3 – o terceiro paciente sobrevive 
· E4 – o quarto paciente sobrevive 
 
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Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente (intersecção), aí nós 
teremos o evento A . 
Todos esses eventos têm probabilidade de 3/5. E todos eles são independentes. 
Assim, a probabilidade da intersecção se resume ao produto das probabilidades. 
4321 EEEEA ∩∩∩= 
)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩ 
46,06,06,06,06,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEP 
Ou seja: 
000.10
296.16,0)( 4 ==AP 
Já calculamos a probabilidade do evento complementar. 
Agora fica bem fácil calcular a probabilidade do evento original. 
A probabilidade de A fica: 
625
544
000.10
704.8
000.10
296.11)( ==−=AP 
Letra B 
29. (MPE PE 2006 FCC) Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. 
Colhendo-se uma amostra de 2 peças, ao acaso e sem reposição deste lote, a 
probabilidade de se obter pelo menos uma pela defeituosa é: 
a) 21/38 
b) 19/38 
c) 17/38 
d) 15/38 
e) 13/38 
Resolução. 
Vamos chamar de A o evento “escolher pelo menos uma peça defeituosa”. Vamos 
chamar de A o evento complementar. O evento complementar ocorre quando “todas 
as peças escolhidas são normais”. 
Considerem os seguintes eventos: 
· E1 – a primeira peça escolhida é normal 
 
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· E2 – a segunda peça escolhida é normal 
O evento A é a intersecção desses dois eventos acima. Para que A ocorra, ambos 
devem ocorrer simultaneamente. 
21 EEA ∩=
Queremos achar a probabilidade da intersecção. 
Mas, agora, diferentemente dos exercícios anteriores, esses eventos não são mais 
independentes. A probabilidade da intersecção não é mais o produto das 
probabilidades. 
Na hora de escolhermos a primeira peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa é 
de 15/20. Temos 15 peças a nosso favor em 20 possíveis. 
Na hora de escolhermos a segunda peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa 
vai depender do resultado da primeira escolha. Se, na primeira escolha, tiver saído 
uma peça defeituosa, a probabilidade da segunda peça não ser defeituosa será 15/19. 
Continuamos tendo 15 peças normais. São 15 casos favoráveis, em 19 possíveis. 
De outro modo, se a primeira peça escolhida for normal, a probabilidade da segunda 
também ser normal será de 14/19. Teremos apenas 14 casos favoráveis. 
Logo, os eventos não são independentes. O resultado de uma escolha influi na 
probabilidade da segunda escolha. 
A fórmula da probabilidade da intersecção fica: 
)21()( EEPAP ∩= 
)12()1()( EEPEPAP ×= 
Na primeira escolha, a probabilidade de tomarmos uma peça não defeituosa é de 
15/20. Temos 15 peças normais (casos favoráveis) num total de 20 (casos possíveis). 
20/15)1( =EP 
Já tendo escolhido uma peça não defeituosa, qual a probabilidade da segunda 
também ser não defeituosa. Ou seja, qual a probabilidade de ocorrer o evento E2, 
dado que o evento E1 já ocorreu? 
Já tendo retirado uma peça normal, sobram 14 peças normais (casos favoráveis), num 
total de 19 (casos possíveis). 
19/14)12( =EEP 
Portanto: 
 
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)12()1()( EEPEPAP ×= 
38
21
19
7
2
3
19
14
20
15)( =×=×=AP 
Logo: 
38
17
38
211)( =−=AP 
Letra C. 
30. (MPU/2007 FCC) A resistência (em toneladas) de vigas de concreto produzidas 
por uma empresa, comporta-se conforme a função de probabilidade abaixo: 
Resistência (toneladas) 2 3 4 5 6 
Probabilidade 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2 
Admite-se que essas vigas são aprovadas para uso em construções se suportam pelo 
menos 4 toneladas. De um grande lote de vigas fabricado pela empresa escolhemos 
ao acaso 4 vigas. 
A probabilidade de pelo menos uma ser apta para construções é: 
a) 0,0016 
b) 0,1036 
c) 0,8800 
d) 0,9984 
e) 0,9990 
Resolução: 
Seja A o evento “pelo menos uma viga é apta”. Como de costume vejamos o evento 
complementar ( A ), qual seja, “nenhuma viga é apta”. 
Esse evento complementar é uma intersecção dos seguintes eventos, que devem 
ocorrer simultaneamente: 
· E1 - A primeira viga escolhida não é apta 
· E2 - A segunda viga escolhida não é apta 
· E3 - A terceira viga escolhida não é apta 
· E4 - A quarta viga escolhida não é apta 
 
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4321 EEEEA ∩∩∩= 
Para uma viga não ser apta, ela deve apresentar resistência de 2 ou 3 toneladas. A 
probabilidade de uma viga não ser apta é de 20% (=0,1 + 0,1). 
Desse modo, todos os 4 eventos têm probabilidade de 20%. E todos eles são 
independentes. 
Assim, a probabilidade da intersecção se reduz a um produto das probabilidades. 
)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩ 
42,02,02,02,02,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEP 
Portanto: 
42,0)( =AP 
E a probabilidade de A fica: 
9984,00016,012,01)( 4 =−=−=AP 
Letra D. 
31. (Câmara dos Deputados 2007 FCC) Uma rede local de computadores é 
composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que 
dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se 
o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. 
Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y 
apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro é: 
a) 5% 
b) 4,1% 
c) 3,5% 
d) 3% 
e) 1,3% 
Resolução: 
Escolhe-se um pedido ao acaso. Seja ‘Z’ o evento que ocorre quando o pedido 
escolhido é feito pelo cliente Z. Seja ‘Y’ o evento que ocorre quando o pedido 
escolhido é feito pelo cliente Y. Seja E o evento que ocorre quando o pedido escolhido 
apresentar erro. Foi dado que: 
· Há 30% de chances de o pedido vir de Z. Quando o pedido vem de Z, a 
probabilidade de apresentar erro é de 2% 
 
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· Há 70% de chances de o pedido vir de Y. Quando o pedido vem de Y, a 
probabilidade de apresentar erro é de 1% 
Portanto, a probabilidade de erro é: 
%3,101,07,002,03,0)( =×+×=EP 
Letra E. 
⎟⎜
32. (MPU 2007 FCC) Em uma livraria 4 livros didáticos com defeito foram 
misturados a outros 16 livros sem defeito. Um professor foi à livraria e escolheu, 
aleatoriamente, 4 desses livros para presentear seus alunos. A probabilidade de ter 
escolhido 3 livros com defeito é: 
a) ⎞
⎟⎠⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎟⎛⎜⎝⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4
20
1
16
3
4
b) 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎛⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4
20
1
4
3
16
c) 124 2,08,0
4
16 ×⎟×⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
 
d) 164 2,08,0
4
20 ×⎟×⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
 
e) 124 2,08,0
3
16 ×⎟×⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
 
Resolução: 
Observe como a questão cobra o símbolo de combinação. 
O enunciado ficou com um pequeno problema. O que a questão quis perguntar foi a 
probabilidade de serem escolhidos exatamente 3 livros com defeito (ou seja, dos 4 
livros escolhidos, um é normal e três têm defeito). Do jeito que ficou escrito, é possível 
entender que o caso em que os 4 livros escolhidos são defeituosos também serviria. 
Neste caso, a resolução seria diferente da que mostramos a seguir. 
Feita a correção no enunciado, vejamos o número de casos possíveis. Temos um 
conjunto de 20 livros. Precisamos escolher 4, sem reposição, onde a ordem não 
importa. Temos a combinação de 20, 4 a 4. O número de casos possíveis fica: 
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4
⎟⎜
20
 
Agora vamos aos casos favoráveis.Podemos dividir em duas etapas. Na primeira, de 
um conjunto de 4 livros com defeito, selecionamos 3, sem reposição, onde a ordem 
não importa. É uma combinação de 4 tomados 3 a 3. 
⎞
⎟⎠⎜⎝
⎛
3
⎟⎜
4
 
Na segunda etapa, de um conjunto de 16 livros normais precisamos escolher 1. É uma 
combinação de 16 tomados 1 a 1. 
⎞
⎟⎠⎜⎝
⎛
1
16
 
⎟
O número de casos favoráveis é o produto dos valores acima. 
⎞
⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
⎟×⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
1
16
3
4
 
A probabilidade procurada é: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟×⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
=
4
20
1
16
3
4
P 
Letra A. 
33. (TRF 1ª Região/2001 FCC) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 
freqüências das notas obtidas num teste de matemática, realizado por 50 estudantes. 
Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
 
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4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
Selecionando-se ao acaso e sem reposição três estudantes dentre esses 50, a 
probabilidade de pelo menos um ter tirado nota igual ou superior a 2 é: 
a) 
3
50
4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ b) 
3
50
41 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− c) 
473
50
46
50
4
3
50 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
 d) 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
50
3
4
 e) 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
3
50
3
4
1 
⎟
Resolução: 
A questão emprega uma outra simbologia para a combinação. 
⎞
⎟⎠
⎜⎜⎝
⎛=
p 
n
C pn, 
Tanto faz escrever pnC , ou ⎟⎟⎠
⎜ ⎞⎜⎝
⎛
p
n
, é a mesma coisa. 
Selecionam-se, aleatoriamente, três alunos. Seja A o evento que ocorre quando pelo 
menos um dos três alunos escolhidos tirou nota igual ou superior a 2. O evento 
complementar (símbolo: A ) ocorre quando todos os três alunos selecionados tiraram 
nota menor que 2. 
Vamos calcular a probabilidade do evento complementar ( A ). 
⎟⎜
Comecemos pelo número de casos possíveis. Temos 50 alunos. Precisamos escolher 
3, sem reposição, onde a ordem não importa. Temos uma combinação de 50, tomados 
3 a 3. 
Número de casos possíveis: 
⎞
⎟⎠⎜⎝
⎛
3
50
 
Agora os casos favoráveis. Queremos ver quantas combinações podemos formar com 
3 alunos que tiraram notas abaixo de 2. São 4 alunos nessa condição. Precisamos 
escolher 3, sem reposição, onde a ordem não importa. Temos uma combinação de 4, 
tomados 3 a 3. 
 
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Número de casos favoráveis: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
4
 
A probabilidade do evento complementar fica: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
3
50
3
4
)(AP 
Consequentemente, a probabilidade do evento A fica: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
3
50
3
4
1)(AP 
Gabarito: E. 
8. Noções de Estatística 
34. (ARCE 2006 FCC) O processo estatístico que consiste em uma avaliação 
direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população, denomina-
se: 
a) amostragem 
b) estimação 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
Resolução: 
Quando temos acesso a todos os valores da população, estamos realizando um 
censo. 
Letra C 
35. (SEFAZ BA – 2004 FCC) Uma administradora de locação de imóveis, com 
o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes 
operações: 
 
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I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
Resolução: 
Vamos chamar a média dos aluguéis de X . 
Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores 
também será dobrada. 
Média dos valores obtidos no item I: X2 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses 
novos valores também será reduzida de R$ 1.200,00. 
Média dos valores obtidos no item II: 12002 −X 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também 
ficará dividida por mil. 
Média dos valores obtidos em III: 
1000
12002 −X
 
O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. Portanto: 
750
10
3
1000
12002 =⇒=−X X 
Letra E. 
36. (MPE PE 2006 FCC) Em uma linha de produção de montadoras de 
tratores, existem 5 verificações realizadas pela equipe de controle de 
 
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qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os números de 
controle em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. 
Aprovações N° de tratores 
3 250 
4 500 
5 1250 
Total 2000 
A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica 
em custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por 
cada item reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator será: 
a) R$ 1,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 7,00 
Resolução: 
Um trator com 3 aprovações teve 2 reprovações. Ou seja, representa uma despesa 
adicional de R$ 20,00. 
Um trator com 4 aprovações teve 1 reprovação. Ou seja, representa uma despesa 
adicional de R$ 10,00. 
Um trator com 5 aprovações não teve reprovação. Não representa nenhuma despesa 
adicional. 
Podemos construir a seguinte tabela: 
Despesa adicional 
(X) 
N° de tratores 
(f) 
20,00 250 
 
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10,00 500 
0,00 1250 
Total 2000 
Vamos calcular a média de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor 
vezes freqüência. 
X f fX ×
20,00 250 5.000 
10,00 500 5.000 
0,00 1250 0 
Total 2000 10.000 
A média fica: 
5
000.2
000.10 ==X 
A média é de R$ 5,00 por trator. 
Letra D 
37. (TRF 1ª Região/2001 FCC) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 
freqüências das notas obtidas num teste de matemática, realizado por 50 
estudantes. 
Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
A nota média desses estudantes é: 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,5 
d) 5,8 
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e) 6,0 
Resolução: 
Vamos achar os pontos médios das classes. 
Classes Ponto 
médio 
0 │− 2 1 
2 │− 4 3 
4 │− 6 5 
6 │− 8 7 
8 │− 10 9 
Vamos criar a coluna adicional, de valor vezes freqüência. 
Ponto médio ( X ) Freqüência absoluta 
( f ) 
fX ×
1 4 4 
3 12 36 
5 15 75 
7 13 91 
9 6 54 
Agora somamos as colunas: 
Ponto médio ( X ) Freqüência absoluta 
( f ) 
fX ×
1 4 4 
3 12 36 
5 15 75 
7 13 91 
9 6 54 
 
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Ponto médio ( X ) Freqüência absoluta 
( f ) 
fX ×
TOTAL 50 260 
E a média fica: 
2,5
50
260 ==X 
Letra B 
38. (SEFAZ BA 2004 FCC) Considere a tabela abaixo, que mostra a 
distribuição de salários (em reais) de 160 funcionários de determinada 
empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. Classes em 
reais Freqüência relativa acumulada (%) 
Classes em 
reais 
Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos),é: 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
Resolução: 
Vamos começar o cálculo da moda. 
Primeiro passo: encontrar a classe modal. 
 
PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL 
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Classe modal é a classe que contém a moda. Note que não temos como saber em 
qual classe a moda está. Isto porque apenas temos acesso à quantidade de salários 
em cada classe de valores. Não sabemos quanto, exatamente, cada um dos 160 
funcionários desta empresa ganha. Se não sabemos disto, não temos como ver qual o 
salário que mais se repete. Portanto, não temos como calcular a moda. 
O que faremos? 
Vamos “chutar”. É isso mesmo. Não temos como saber qual a moda real. O máximo 
que podemos fazer é, a partir de algumas considerações, determinar um “provável” 
valor para a moda. 
No cálculo da moda são dois “chutes” (ou duas considerações). A primeira delas é 
dizer que a moda está na classe [1400;1800). 
Por quê? 
Porque esta é a classe com maior freqüência simples. Chamamos de classe modal. 
A classe com maior freqüência simples é a classe modal. 
Vamos supor que a moda pertence a esta classe. 
Novamente, isto é apenas um “palpite”. Seria perfeitamente possível que todas as 64 
pessoas (64 = 40% de 160) que pertencem à classe [1400,1800) ganhem cada uma 
um salário diferente. Ou seja, cada uma das ocorrências nesta classe teria freqüência 
simples absoluta igual a 1. 
E seria possível que todas as oito pessoas (5% de 160) que pertencem à classe 
[2200,2600) ganhem exatamente o mesmo salário de R$ 2.300,00. Justamente a 
classe com menor freqüência poderia conter a moda. Esta situação seria 
perfeitamente possível. Contudo, o palpite que se faz, por ser mais razoável, é o de 
que a moda pertença à classe que tem a maior freqüência. 
Classes Freqüência simples (%) 
[600,1000) 10 
Classe anterior [1000,1400) 20 
Classe modal [1400,1800) 40 
Classe posterior [1800,2200) 25 
[2200,2600) 5 
Uma outra interpretação para classe modal é a que segue. Quando os dados estão 
agrupados em classes, perdemos informação. Não sabendo mais quais os valores 
foram observados, só podemos nos referir aos intervalos de classe. Considerando os 
intervalos, aquele que abriga mais ocorrências seria a “moda” das classes, ou ainda, a 
classe modal. 
 
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Segundo passo: determinar os valores de amplitude, freqüência e limite inferior da 
classe modal. 
A classe modal é a de [1400,1800). 
Qual sua amplitude? 
A amplitude da classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior. No caso: 
=h 40014001800 =−
Logo, sua amplitude é de 400 (h = 400). 
A freqüência da classe modal é de 40% (fmo = 0,4). Basta olhar na tabela fornecida 
acima. 
O limite inferior da classe modal é 1400 (lM = 1400). 
Terceiro passo: determinar os valores das freqüências das classes anterior e posterior. 
A classe que vem logo antes da classe modal é a classe [1000,1400). Esta é a classe 
anterior. A freqüência da classe anterior é 20% (fant = 0,2). 
A classe que vem logo depois da classe modal é a classe [1800,2200). Esta é a classe 
posterior. A freqüência da classe posterior é 25% (fpost = 0,25). 
Identificados todos esses elementos, basta aplicar uma fórmula. É a chamada fórmula 
de Czuber. Esta fórmula é fruto de uma segunda consideração. Ela considera que os 
valores das freqüências se comportam segundo uma parábola. É claro que nós não 
vamos ficar desenhando gráficos de parábola. Para concurso, é muito mais prático 
gravar logo a fórmula de Czuber. 
Resumindo: quando os dados estão em classes, o cálculo da moda se resume à 
aplicação da seguinte fórmula (de Czuber): 
)()( postMantM
antM
M ffff
ffhlM −+−
−+= 
Onde: 
lM é o limite inferior da classe modal 
h é a amplitude da classe modal 
fM é a freqüência simples da classe modal 
fant é a freqüência da classe anterior 
fpost é a freqüência da classe posterior 
Substituindo os valores: 
 
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)()( postMantM
antM
M ffff
ffhlM −+−
−+= 
57,1628
)25,04,0()2,04,0(
2,04,04001400 =−+−
−×+=M 
Letra E. 
39. (BACEN 2005/FCC) 
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar 
os centavos na resposta): 
a) R$ 3.201,00 
b) R$ 3.307,00 
c) R$ 3.404,00 
d) R$ 3.483,00 
e) R$ 3.571,00 
Resolução: 
Classes Freqüência ( f ) 
[1.000 – 2.000) 2 
Classe anterior [2.000 – 3.000) 8 
Classe modal [3.000 – 4.000) 16 
Classe posterior [4.000 – 5.000) 10 
[5.000 – 6.000) 4 
A maior freqüência é 16. A classe correspondente é [3.000 – 4.000). Seu limite inferior 
é 3.000. Seu limite superior é 4.000. E sua amplitude é igual a 1.000. 
A freqüência da classe anterior é 8. A freqüência da classe posterior é 10. 
Aplicando a fórmula: 
)()( postMantM
antM
M ffff
ffhlM −+−
−+= 
 
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571.3
)6()8(
8000.1000.3
)1016()816(
816000.1000.3 ≅+×+=−+−
−×+=M 
Letra E. 
E agora uma dica importante, para resolver a questão com maior rapidez. 
Se as freqüências anterior e posterior fossem iguais, a moda seria justamente o ponto 
médio da classe modal. A moda seria igual a 3.500. 
Como a freqüência posterior é um pouco maior que a anterior (10 > 8), então a classe 
posterior “puxa” a moda para o seu lado. A moda será um pouco maior que 3.500. A 
única alternativa possível é a letra E. Daria para responder a questão sem fazer 
contas. 
 
 
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9. Relação das questões comentadas
01. (BB 2010/FCC) Chama-se palíndromo qualquer número, palavra ou frase que 
se pode ler da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, sem que o seu 
sentido seja alterado. Por exemplo, são palíndromos: o número 5 538 355 e a palavra 
ROTOR. 
Certo dia, um funcionário de uma Agência do Banco do Brasil, contabilizando as 
cédulas que havia em caixa, verificou que elas totalizavam X reais, 
300.000<X<800.000. Sabendo que o número X é um palíndromo em que os 
algarismos das unidades, das dezenas e das centenas são distintos entre si, os 
possíveis valores de X são 
(A) 1 296 
(B) 648 
(C) 450 
(D) 360 
(E) 256 
02. (BB 2010/FCC) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato 
retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo. 
Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-
Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice-
Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se 
acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião? 
(A) 36 
(B) 72 
(C) 120 
(D) 360 
(E) 720 
03. (PM BA 2009/FCC) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade por 
uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no local tentou 
anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu fazê-lo por 
completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte numérica, lembrava somente 
que o algarismo da esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas 
informações, o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é 
(A) 2 500 
(B) 2 000 
(C) 1 000 
(D) 250 
(E) 100 
 
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04. (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a 
mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a 
classificação dos 3 primeiroslugares é igual a: 
a) 24.360 
b) 25.240 
c) 24.460 
d) 4.060 
e) 4.650 
05. (AFRE-MG 2005/ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, 
vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as 
modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente 
quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou 
Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. 
Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: 
a) 420 
b) 480 
c) 360 
d) 240 
e) 60 
06. (APO-MPOG 2005/ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 
cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e 
Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma 
cadeira vazia entre eles, é igual a: 
a) 80 
b) 72 
c) 90 
d) 18 
e) 56 
07. (AFC-STN 2002/ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 
algarismo e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o 
prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatros últimos dígitos são 0 e o 
prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser 
instalados nas farmácias é igual a: 
a) 504 
b) 720 
c) 684 
d) 648 
e) 842 
08. (TFC-CGU 2008 ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um 
excêntrico cliente. Ele ─ o cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua 
filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores 
diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores 
 
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disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é 
igual a: 
a) 56 
b) 5760 
c) 6720 
d) 3600 
e) 4320 
09. (AFC-STN 2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos 
devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede 
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira 
do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode 
realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: 
a) 681384 
b) 382426 
c) 43262 
d) 7488 
e) 2120 
10. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Quantos números 
naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos? 
(A) 27.216 
(B) 59.760 
(C) 62.784 
(D) 69.760 
(E) 72.784 
11. (PETROBRAS 2008/CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são 
produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a 
lado, como mostra a figura. 
As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é 
possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última 
contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da 
mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? 
(A) 336 
(B) 392 
(C) 448 
(D) 556 
(E) 612 
12. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos 
para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes 
maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em 
lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as 
mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, 
 
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a) 1112 e 1152. 
b) 1152 e 1100. 
c) 1152 e 1152. 
d) 384 e 1112. 
e) 112 e 384. 
13. (ANEEL Analista 2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - 
entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram 
ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. 
Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo 
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque 
querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas 
querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas 
informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é 
igual a: 
a) 1920 
b) 1152 
c) 960 
d) 540 
e) 860 
14. (Oficial de Chancelaria 2002/ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas 
amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O 
número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que 
Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 46 
e) 48 
15. (EBDA 2006/CETRO) Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos 
diferentes. O total de triângulos distintos que podem ser formados com vértices nesses 
pontos é: 
(A) 56 
(B) 24 
(C) 12 
(D) 336 
(E) 28 
16. (Prefeitura da Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Com seis tipos de 
doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois 
tipos de doce e dois tipos de fruta? 
(A) 300 
(B) 150 
(C) 75 
(D) 50 
(E) 25 
 
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17. (EBDA 2006/CETRO) Um hospital tem três médicos e cinco enfermeiras. 
Quantas equipes de plantões com cinco profissionais podem ser formadas contendo 
no mínimo um médico? 
(A) 15 
(B) 20 
(C) 40 
(D) 45 
(E) 55 
18. (TFC-CGU 2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta 
de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 
15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? 
a) 3003 
b) 2980 
c) 2800 
d) 3006 
e) 3005 
19. (AFC 2002/ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto 
de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou 
aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que 
as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão 
entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas 
simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter 
certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: 
a) 8 
b) 28 
c) 40 
d) 60 
e) 84 
20. (Fiscal do Trabalho 2006 ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 
bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha 
exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. 
Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, 
sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de 
diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de 
candidatas é igual a: 
a) 120 
b) 1220 
c) 870 
d) 760 
e) 1120 
21. (ANEEL 2006/ESAF) Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e 
somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes 
triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual 
a: 
a) 2.180 
b) 1.180 
 
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c) 2.350 
d) 2.250 
e) 3.280 
22. (Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 
marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de 
refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las 
de N formas. O valor de N é 
(A) 3 
(B) 10 
(C) 15 
(D) 35 
(E) 125 
23. (BB 2009/CESPE-UnB) Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade 
de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. 
24. (SERGIPE GAS 2010/FCC) A tabela abaixo apresenta o consumo médio 
mensal de 100 residências em um bairro