Aula 30 Matemtica Aula 06

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PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL 
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Olá pessoal! 
Esta é a nossa última aula de Matemática para o concurso do Banco do Brasil. Foi um 
conteúdo muito extenso, realmente. Finalizamos aqui com os seguintes conteúdos de 
Matemática Financeira: 
Rendas uniformes e variáveis. Planos de amortização de empréstimos e 
financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, 
empréstimo e investimento. Avaliação de alternativas de investimento. Taxas de 
retorno. 
Farei alguns resuminhos teóricos e resolveremos várias questões. Aproveitem todo 
este período de hoje até a data da sua prova para tirar todas as suas dúvidas no 
nosso fórum. 
Sem mais delongas, vamos começar. 
Equivalência Composta de Capitais
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos 
equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa 
de juros, produzem, nessa data, valores iguais. 
Praticamente não há diferenças nos problemas de equivalências entre os dois 
regimes: simples e composto. O que vai mudar é a natureza da taxa. 
O problema precisa deixar claro outras duas informações: a taxa de juros e a 
data focal. A taxa de juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a 
data de referência. 
Qual a necessidade de existir uma data de referência? 
Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que estão em 
datas diferentes. 
Temos, na equivalência composta de capitais, uma informação que nos ajudará 
bastante. 
Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em 
determinada data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer 
outra data focal. Isso não ocorre a juros simples. 
Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, 
podemos escolher qualquer data para ser a data focal. 
Além disso, temos um fato importante: todas as questões de equivalência 
composta de capitais serão resolvidas utilizando o DESCONTO RACIONAL 
COMPOSTO. Ou seja, trabalharemos com taxa de juros compostos. 
 
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Vejamos a fórmula do montante composto: 
(1 )nM C i= ⋅ + 
Para facilitar o entendimento, chamaremos o montante de valor futuro e 
representaremos por F. O capital inicial será chamado de valor atual e 
será indicado por A. 
Assim, 
(1 )
(1 )
n
n
FF A i A
i
= ⋅ + ⇔ = + 
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar 
quantias no tempo. 
Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais: 
i) Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 )ni+ . 
ii) Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 )n i+ . 
Ou seja, para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )n i+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i+ . 
01. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago 
da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 
20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. 
Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% 
ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de: 
a) 24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
b) 2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
c) 2 31,03 20.000 1,03 30.000× + × 
d) 21,03 20.000 1,03 30.000× + × 
e) 2,06 20.000 3,09 30.000 × + × 
Resolução 
 
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Temos o seguinte “desenho” do problema. 
A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de 
X reais na data 0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 
30.000,00 daqui a 3 anos (36 meses). 
E como calcularemos o valor de X? 
Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 
30.000,00). Isso porque não podemos comparar quantias em épocas 
diferentes. Devemos transportar esses valores na linha do tempo. Para isso, 
lembre o fato de que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o 
presente. Para isso devemos dividir esses valores por (1 )ni+ . 
Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje ( )24 24
20.000 20.000
1,031 0,03
=+ . 
Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje ( )36 36
30.000 30.000
1,031 0,03
=+
. 
Dessa forma, 24 361,03 1,03
20.000 30.000X = + . 
Letra A 
 
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02. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 
2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir 
essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 
2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na 
resposta.) 
a) R$ 2.122,00. 
b) R$ 1.922,00. 
c) R$ 4.041,00. 
d) R$ 3.962,00. 
e) R$ 4.880,00. 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema: 
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i+ . 
Dessa forma: 
ܺ ൌ 2.000 · ሺ1 ൅ 0,02ሻଶ ൅ 
2.000 
ሺ1 ൅ 0,02ሻଵ 
ൌ 4.041,58
Letra C 
Observação: Como a taxa de juros é pequena, e as parcelas são bem 
próximas, os juros e descontos serão bem pequenos. Logo, o valor procurado 
será bem próximo da soma das parcelas (4.000). 
Na operação de juros o número de períodos é 2. Na operação de desconto, o 
número de períodos é 1. Logo, os juros serão um pouquinho maior que o 
desconto. O valor procurado será um pouquinho maior que 4.000. Com isso, dá 
para marcar letra C. 
03. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um 
apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe 
uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 
 
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30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da 
compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo 
valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira 
no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros 
compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, 
então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, 
será igual a: 
a) R$ 35.000,00 
b) R$ 27.925,00 
c) R$ 32.500,00 
d) R$ 39.925,00 
e) R$ 35.500,00 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema. 
Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 
hoje seja o mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X 
reais daqui a 6 meses, mais R$ 30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais 
daqui a 18 meses. 
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos 
escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode 
escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última 
data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos 
deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
E é fato que preferimos multiplicar por (1 )n i+ a dividir por (1 )n i+ . Assim, nossa 
estratégia será transportar todos os valores para o futuro. 
 
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Temos dois conjuntos de capitais:- A proposta do comprador (as quatro parcelas). 
- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista). 
Utilizaremos como data focal o 18º mês. 
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês. 
Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 
18(1 )i + . 
Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 
18(1 )i + . 
Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por 
12(1 )i + . 
Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar 
por 6(1 )i + . 
Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data 
focal. 
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais: 
18 18 12 685.000 1,04 15.000 1,04 1,04 30.000 1,04X X⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
 
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85.000 2,025816 15.000 2,025816 1,601032 30.000 1,265319X X⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
172.194,36 30.387, 24 1,601032 37.959,57X X= + ⋅ + + 
1,601032 172.194,36 30.387, 24 37.959,57X X⋅ + = − − 
2,601032 103.847,55X⋅ = 
103.847,55
2,601032 
X = 
39.925,52X =
Letra D 
04. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
Resolução 
Questão sobre equivalência de capitais. 
É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo: 
 
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Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos 
escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode 
escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última 
data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos 
deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i+ . 
E é fato que preferimos multiplicar por (1 )n i+ a dividir por (1 )n i+ . Assim, nossa 
estratégia será transportar todos os valores para o futuro. 
Temos dois conjuntos de capitais: 
- As duas parcelas de X reais. 
- O valor a vista de R$ 41.600,00 
Utilizaremos como data focal o 2º ano. 
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano. 
Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por 
2(1 )i + . 
Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por 1(1 )i + . 
Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal. 
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais: 
1 21,08 41.600 1,08X X⋅ + = ⋅ 
2,08 48.522,24X⋅ = 
23.328,00X =
Letra E 
05. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um 
projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de 
atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 
1,176. 
 
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O valor de X é igual a 
a) R$ 17.280,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 13.200,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
Desembolsando R$ 25.000,00 a um índice de lucratividade igual a 1,176, 
então o valor apurado no projeto (na data 0) é igual a 25.000 x 1,176 = 
29.400. Adotando a data focal como a data 0, então devemos transportar 
os recebimentos para a data 0 e igualar a R$ 29.400,00. 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
Para transportar X reais (data 1) para a data 0 devemos dividir por 1(1 )i + . 
Para transportar R$ 21.600,00 (data 2) para a data 0 devemos dividir por 
2(1 )i+ . Temos a seguinte equação de equivalência de capitais. 
1 2
21.600 29.400
(1 ) (1 )
X
i i
+ =+ + 
Como a taxa de atratividade é de 20% ao ano: 
2
21.600 29.400
1,20 1,20
X + = 
15.000 29.400
1,20
X + = 
14.400
1,20
X = 
1,20 14.400X = ⋅ 
 
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17.280,00X =
Letra A 
1 Séries Uniformes
O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na 
linha do tempo. Vimos que um conjunto de diferentes capitais podem se 
transformar em outros conjuntos equivalentes. 
Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses 
casos particulares denominamos sequências ou séries uniformes. Há quem 
denomine também de rendas certas ou anuidades. 
Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou 
recebidos em períodos iguais. O seguinte fluxo de caixa ilustra uma série 
uniforme de N pagamentos iguais a P (utilizaremos a letra P, pois na 
calculadora financeira HP-12C esses pagamentos são denominados PMT - 
 Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês). 
1.1 Elementos de uma série uniforme
• Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois 
pagamentos. 
• Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em 
intervalos de tempos iguais. 
1.2 Classificação das Séries Uniformes
• Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito. 
• Perpétuas: Número de pagamentos infinito. 
• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato 
do negócio). 
• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um 
período após a negociação do negócio). 
• Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período. 
• Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira 
anuidade. 
1.3 Representação em Fluxo de Caixa
O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e 
postecipada. 
Eis o fluxo de caixa correspondente. 
 
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1.4 Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F)
Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de 
todas as quantias para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o 
futuro multiplicamos por ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔. 
ܨ ൌ ܲ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ
ܨ ൌ ܲ · ሾ1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵሿ 
A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal 
que: 
Î O primeiro termo é igual a 1. 
Î A razão é igual a ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔
Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita. 
ܵ௡ ൌ 
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ ൌ 
1 · ሺሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1ሻ
ሺ1 ൅ ݅ሻ െ 1
1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ ൌ 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1 
݅
Assim, 
ܨ ൌ ܲ · ሾ1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵሿ
PPPPP PPPPPP
nn‐187654321
F
 
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ܨ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1 
݅
O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
௜
 é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou 
fator de acumulação de capitais em uma série de pagamentos. 
O número ሺଵା௜ሻ 
೙ିଵ
௜
 é representado por ݏ௡൓௜ ݋ݑ ݏሺ݊, ݅ ሻ. 
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em 
rendas certas: 
ܨ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1 
݅
 ݋ݑ ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜
1.5 Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A)
Para calcular o Valor Atual ou Presentede uma renda certa basta efetuar o 
transporte do valor futuro F para a data 0. 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i+ . 
ܣ ൌ 
ܨ 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ܣ ൌ ܨ · 
1 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ܣ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1 
݅ 
·
1 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ܣ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
PPPPP PPPPPP
nn‐187654321
F
A
 
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O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
ሺଵା௜ሻ೙·௜
 é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou 
simplesmente fator de valor atual. 
O número ሺଵା௜ሻ 
೙ିଵ
ሺଵା௜ሻ೙·௜
 é representado por ܽ௡൓௜ ݋ݑ ܽሺ݊, ݅ ሻ. 
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em 
rendas certas: 
ܣ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1 
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 ݋ݑ ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
Estudaremos nesta aula o Sistema de Amortização Francês que é 
praticamente o mesmo problema do valor atual de uma série de pagamentos. 
Neste assunto, nosso principal objetivo será calcular o valor de P em função de 
A. 
ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
ܲ ൌ 
ܣ
ܽ௡൓௜
ܲ ൌ ܣ · 
1
ܽ௡൓௜
O número ૚
ࢇ࢔൓࢏
 é chamado de Fator de Recuperação do Capital. Esta 
nomenclatura é muito utilizada em provas da Fundação Carlos Chagas, 
como ainda veremos nesta aula. 
06. (CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, 
durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data 
do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor 
único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, 
durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de 
valor único é de 
a) R$ 217.272,00 
b) R$ 231.816,00 
c) R$ 254.998,00 
d) R$ 271.590,00 
e) R$ 289.770,00 
Resolução 
O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por: 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜
ܨ ൌ 20.000 · ݏଵ଴൓ଵ଴%
 
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ܨ ൌ 20.000 · 15,9374 ൌ 318.748,00
Observação: ݏଵ଴൓ଵ଴% foi fornecido na prova. 
Queremos determinar o capital C tal que: 
A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano). 
ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ ൌ 318.748 
ܥ · ሺ1 ൅ 0,25ሻଵ ൌ 318.748
ܥ · 1,25 ൌ 318.748
ܥ ൌ 254.998,00
Letra C 
07. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
Resolução 
Já resolvemos esta questão nesta aula (questão 04). Resolvê-la-emos 
agora utilizando o conceito de anuidades. 
O valor atual da série de 2 pagamentos iguais é R$ 41.600,00. 
ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
 
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41.600 ൌ ܺ · ܽଶ൓଼%
ܺ ൌ 
41.600
ܽଶ൓଼% 
ൌ
41.600 
1,783265 
ൌ 23.328,00
Letra E 
08. (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de 
cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma 
taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, 
tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual 
a 
a) R$ 52.800,00 
b) R$ 52.246,00 
c) R$ 55.692,00 
d) R$ 61.261,20 
e) R$ 63.888,00 
Resolução 
O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos. 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨ ൌ 12.000 · ݏସ൓ଵ଴% 
ܨ ൌ 12.000 · 4,641 ൌ 55.692,00
Letra C 
09. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento 
consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será 
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos 
montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de 
cada depósito é igual a 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.500,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 11.500,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
 
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Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, 
devemos transportar o montante que se encontra três anos após a data 
do primeiro pagamento para o ano 2. Para isso, devemos dividir o valor 
do montante por ሺ૚ ൅ ࢏ሻ૚. Devemos efetuar esse transporte porque a 
exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data 
do último pagamento. 
ܸ݈ܽ݋ݎ ݂ݑݐݑݎ݋ ݊ܽ ݀ܽݐܽ 2 ൌ 
43.692 
1,10 
ൌ 39.720
O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00. 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜
39.720 ൌ ܲ · ݏଷ൓ଵ଴%
ܲ ൌ 
39.720
ݏଷ൓ଵ଴% 
ൌ
39.720 
3,31 
ൌ 12.000
Letra E 
2 Sistemas de Amortização 
2.1 Conceito 
A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de 
pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital 
 
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emprestado de modo que, para efeito de concursos, estudaremos apenas quatro, a 
saber: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), 
Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema de Americano de Amortização 
(SAA). 
Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do 
estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + 
quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. 
Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que 
correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do 
capital emprestado. 
2.2 Sistema Francês de Amortização 
Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o 
período de amortização. 
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A 
quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital. 
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por 
duas parcelas: 
- as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. 
- os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. 
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. 
ܲ ൌ ܣ ൅ ܬ 
Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota de 
amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo. 
Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e 
esquematizadas da seguinte forma: 
Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada prestação. 
Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de capitais. 
1 2 3 4 5 6 7 8 n
PPPPPPPPP
0
D
 
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Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a 
seguir: 
ܦ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
Onde n ia ¬ é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”. 
Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso 
contrário, utilizaremos o fato de que: 
ܽ௡൓௜ ൌ 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ܦ ൌ ܲ · 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida: 
ܲ ൌ 
ܦ
ܽ௡൓௜
Ou ainda: 
ܲ ൌ ܦ · 
1
ܽ௡൓௜
Onde o número ଵ
௔೙൓೔
 é chamado de Fator de Recuperação de Capital. 
2.2.1 TabelaPrice 
Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da taxa 
de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não acontecer, 
isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema Francês será chamado 
de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao teólogo, filósofo e especialista 
em finanças e seguros Richard Price. 
Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês. 
Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês. O 
único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais. 
O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por 
exemplo: 
- 24% ao ano com capitalização mensal 
- 24% ao ano, Tabela Price 
Ao informar “Tabela Price” já estará indicada que a capitalização será na mesma 
unidade que o número de parcelas. 
Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price. Isso 
significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral. 
 
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2.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês 
Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e qual a 
quota de amortização em cada parcela. 
No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das seguintes 
expressões: 
ܲ ൌ ܦ · 
1 
ܽ௡൓௜ 
ൌ ܦ ·
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada prestação e, 
consequentemente, o juro pago em cada prestação. 
O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação. 
Para isso, basta calcular D i⋅ . 
A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de 
amortização do capital (A1), somada aos juros do primeiro período (J1 = D.i). 
Logo, P = A1 + J1 
Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a 
fórmula abaixo: 
1
1 (1 )
n
nA A i
−= ⋅ + 
Para calcular o juro, basta efetuar P = An + Jn. 
10. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor 
de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de 
juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a 
segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de 
juros na décima prestação, desprezando os centavos. 
a) R$ 300,00 
b) R$ 240,00 
c) R$ 163,00 
d) R$ 181,00 
e) R$ 200,00 
Resolução 
Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês 
de Amortização. 
O juro pago na primeira prestação é dado por: 
 
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1J = D i⋅ 
1 15.000 0,02J = ⋅ 
1 300J =
Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação. 
n iD P a ¬= ⋅ 
São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. 
18 2%15.000 P a ¬= ⋅ 
15.000 14,992031P= ⋅ 
1.000,00P ≅
E como sabemos que 1 300J = , então a quota de amortização da primeira prestação 
será: 
1 1P A= J+ 
1 1A P J= − 
1 1.000 300A = − 
1 700A =
 
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Estamos interessados na décima prestação. 
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula 
abaixo: 
1
1 (1 )
n
nA A i
−= ⋅ + 
Assim, a quota de amortização da 10ª prestação será: 
10 1
10 1 (1 )A A i
−= ⋅ + 
9
10A 700 1,02 = ⋅ 
O valor de 1,029 foi dado na tabela abaixo. 
10 700 1,195092A = ⋅ 
Como a prestação é constante e igual a R$ 1.000,00, o juro pago na décima prestação 
é igual a 1.000 – 836,56 = 163,44. 
Letra C 
11. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um 
empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a 
primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização 
mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e 
que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de 
Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no 
pagamento da segunda prestação é 
a) R$ 273,30 
b) R$ 272,70 
c) R$ 270,00 
10 836,56A =
 
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d) R$ 266,70 
e) R$ 256,60 
Resolução 
Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 para ser quitado 
em 10 prestações mensais iguais. 
A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal deverá ser 
transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é mensal, a taxa de 
juros efetiva mensal será 24% / 12 = 2% ao mês. 
Temos uma novidade nessa questão: “para a taxa de juros compostos de 2% ao 
período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111.” 
O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta: 
1
n ia ¬
Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação. 
n iD P a ¬= ⋅ 
1
n i n i
DP D
a a¬ ¬
= = ⋅ 
10 2%
115.000 15.000 0,111 1.665P
a ¬
= ⋅ = ⋅ = 
Calculemos o juro da primeira prestação. 
1J = D i⋅ 
1 15.000 0,02J = ⋅ 
1 300J =
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na primeira 
prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é 
igual a 1.665,00 – 300,00 = 1.365,00. 
Ou seja, já que 1 1P A= J+ 
1 1A P J= − 
 
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1 1.665 300 1.365A = − = 
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. 
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula 
abaixo: 
1
1 (1 )
n
nA A i
−= ⋅ + 
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 
2 1
2 1 (1 )A A i
−= ⋅ + 
1
2 1.365 1,02A = ⋅ 
2 1.392,30A =
Já que 2 2P A= J+ 
2 2J P A= − 
2 1.665 1.392,30 272,70J = − = 
Letra B 
12. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá 
ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira 
um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de 
Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, 
considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual 
a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, 
imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de 
a) R$ 37.473,15 
b) R$ 36.828,85 
c) R$ 35.223,70 
d) R$ 35.045,85 
e) R$ 34.868,15 
Resolução 
Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser quitado em 
20 prestações mensais iguais. 
Calculemos o valor de cada prestação. 
n iD P a ¬= ⋅ 
 
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1
n i n i
DP D
a a¬ ¬
= = ⋅ 
ܲ ൌ 40.000 · 0,06415 ൌ 2.566,00 
Vamos calcular agora o juro da primeira prestação. 
1J = D i⋅ 
ܬଵ ൌ 40.000 · 0,025 ൌ 1.000,00
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira 
prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação 
é igual a 2.566,00 – 1.000,00 = 1.566,00. 
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. 
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula 
abaixo: 
1
1 (1 )
n
nA A i
−= ⋅ + 
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 
2 1
2 1 (1 )A A i
−= ⋅ + 
O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será 
ܣଶ ൌ 1.566 · 1,025 ൌ 1.605,15 
D – A1 – A2 = 40.000 – 1.566,00 – 1.605,15 = 36.828,85 
LetraB 
13. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de 
R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, 
vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se 
que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das 
amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é 
igual a 
a) R$ 3.168,00. 
b) R$ 3.232,00. 
c) R$ 3.264,00. 
d) R$ 3.368,00. 
e) R$ 3.374,00. 
Resolução 
 No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida 
e as prestações. 
 
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ܦ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
ܲ ൌ 
ܦ
ܽ௡൓௜
ܲ ൌ ܦ · 
1
ܽ௡൓௜
O número ଵ
௔೙൓೔
 é o chamado Fator de Recuperação de Capital. Esse número é 
comumente cobrado em provas da FCC. 
ܲ ൌ 80.000 · 0,04
O juro pago na primeira prestação é dado por: 
ܲ ൌ 3.200,00
Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a 
ܬଵ ൌ ܦ · ݅ ൌ 80.000 · 0,02 ൌ 1.600
ܣଵ ൌ ܲ െ ܬଵ ൌ 3.200 െ 1.600 ൌ 1.600 
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula 
abaixo: 
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 
ܣ௡ ൌ ܣଵ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ 
ܣଶ ൌ ܣଵ · ሺ1 ൅ ݅ሻଶିଵ
ܣଶ ൌ 1.600 · 1,02ଵ
ܣଶ ൌ 1.632 
A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira 
prestação e da segunda prestação é igual a 
ܣଵ ൅ ܣଶ ൌ 1.600 ൅ 1.632 ൌ 3.232
Letra B 
2.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. 
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por 
duas parcelas: 
- as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. 
 
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- os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. 
P = A + J 
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. 
Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. 
Logo, as prestações não serão constantes. 
É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos 
a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo. 
O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo 
devedor do período anterior. 
Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC. 
Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ 96.000,00 
que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao 
trimestre. 
Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, 
discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo 
devedor após o pagamento. 
O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada 
prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado em seis 
prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, 
devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada 
prestação. 
Chamando de ܣ a quota de amortização: 
96.000 16.000
6
A = =
Chamando o valor da dívida de D, então 
DA
n
=
Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim para 
calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo 
devedor do período anterior. 
Vejamos passo a passo: 
A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa 
de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 
0,09 96.000 8.640× = referentes aos juros. 
 
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Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 16.000,00 
mais o juro relativo ao saldo devedor – R$ 8.640,00. 
1 16.000 8.640 24.640,00P = + = 
E qual o novo saldo devedor? 
Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença: 
(Saldo devedor anterior) – (quota de amortização). 
Assim, como antes o saldo devedor era de R$ 96.000,00 e foram amortizados 
R$ 16.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ 80.000,00. 
Observe que juros não amortizam dívida. 
Eis o início da planilha para esse empréstimo. 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ 80.000,00 e como a taxa de 
juros é de 9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre será igual a 
0,09 80.000 7.200× = . Como a quota de amortização é igual a R$ 16.000,00, 
então a prestação será igual a R$ 16.000,00 + R$ 7.200,00 = R$ 23.200,00. 
Como o saldo devedor era de R$ 80.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00, então 
o novo saldo devedor é igual a R$ 80.000,00 – R$ 16.000,00 = R$ 64.000,00. 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 
Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ 64.000,00. Como a taxa de juros é de 
9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 64.000 5.760× =
referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de 
R$ 64.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 48.000,00. A 
prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 5.760,00 (juro do 
período). 
 
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A planilha ficará assim: 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 
3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 
Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ 48.000,00. Como a taxa de juros é de 9% 
ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 48.000 4.320× =
referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de 
R$ 48.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 32.000,00. A 
prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do 
período). 
A planilha ficará assim: 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 
3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 
4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 
Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ 32.000,00. Como a taxa de juros é de 9% 
ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 32.000 2.880× =
referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de 
R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 16.000,00. A 
prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do 
período). 
A planilha ficará assim: 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
 
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0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 
3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,004 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 
5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 
Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é de 9% 
ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 16.000 1.440× =
referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de 
R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será 
igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período). 
A planilha ficará assim: 
Trimestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros Prestação Capital total 
amortizado 
0 96.000,00 - - - - 
1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 
2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 
3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 
4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 
5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 
6 - 16.000,00 1.440,00 17.440,00 96.000,00 
Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC. 
Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos 
nas prestações vão diminuindo). 
Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra 
foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$ 1.440,00. O mesmo 
aconteceu com o juro de cada período. 
Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de 
razão 1.440− . Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não 
 
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precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar 
os conceitos de Progressão Aritmética. 
Os passos que seguiremos serão os seguintes: 
i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida 
original pelo número de prestações. Assim, 
DA
n
= . No nosso exemplo, 
96.000 16.000
6
A = = . 
ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo 
valor original da dívida. Assim, 1J i D= ⋅ . No nosso exemplo, 
1 0,09 96.000 8.640J = ⋅ = . 
iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de 
amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, 1 1P A J= +
. No nosso exemplo, temos 1 16.000 8.640 24.640P = + = . 
iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela 
sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os 
primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. 
Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a 
taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é 
negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A = − ⋅ . 
No nosso exemplo, 0,09 16.000 1.440r = − ⋅ = − . 
Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da 
razão das progressões. No caso, o módulo de 1.440− é igual a 1.440 , que é 
justamente o juro pago na última prestação. 
v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a 
nS D n A = − ⋅ . Por exemplo, o saldo devedor após o pagamento da quarta 
prestação será igual a 4 4S D A= − ⋅ . 
No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação 
será 
3 3 96.000 3 16.000 48.000S D = A − ⋅ = − ⋅ = 
É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os 
dois sistemas de amortização estudados – Sistema Francês (Price) e SAC – a primeira 
prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de 
prestações). 
14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo 
valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O 
banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros 
compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: 
a) R$ 5.000,00. 
 
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b) R$ 1.000,00. 
c) R$ 1.666,00. 
d) R$ 500,00. 
e) R$ 1.500,00. 
Resolução 
As prestações são formadas por duas parcelas: 
i) As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC). 
ii) Os juros. 
Ou seja, 
çãܲݎ݁ݏݐܽ ݋ ൌ ܳݑ݋ݐܽ ݀݁ ܽ݉݋ݎݐ݅ݖܽçã݋ ൅ ܬݑݎ݋ݏ 
Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida pelo 
número de prestações. Assim: 
ܣ ൌ 
ܦ 
݊ 
ൌ
50.000 
100 
ൌ 500 ݎ݁ܽ݅ݏ
O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida. 
ܬଵ ൌ 2% ݀݁ 50.000 ൌ 
2 
100 
· 50.000 ൌ 1.000
Dessa forma, 
ଵܲ ൌ ܣ ൅ ܬଵ ൌ 500 ൅ 1.000 ൌ 1.500
Letra E 
15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro 
de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema 
de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e 
taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que 
a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um 
dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de 
junho de 2010 é de: 
a) R$ 3.020,00 
b) R$ 3.160,00 
c) R$ 3.240,00 
d) R$ 3.300,00 
e) R$ 3.450,00 
Resolução 
Calculemos o valor da quota de amortização. 
ܣ ൌ 
ܦ
݊ 
ൌ
180.000
120 
ൌ 1.500 
O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida. 
 
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ܬଵ ൌ 1% ݀݁ 180.000 ൌ 
1
100 
· 180.000 ൌ 1.800
Desta forma, a primeira prestação é de: 
ଵܲ ൌ ܣ ൅ ܬଵ ൌ 1.500 ൅ 1.800 ൌ 3.300 ݎ݁ܽ݅ݏ 
Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente a 
junho de 2010 é a quinta. 
Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética 
decrescente de razão െ݅ · ܣ. 
ݎ ൌ െ݅ · ܣ ൌ െ 
1
100 
· 1.500 ൌ െ15 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de uma 
Progressão Aritmética. 
ହܲ ൌ ଵܲ ൅ 4 · ݎ 
ହܲ ൌ 3.300 ൅ 4 · ሺെ15ሻ ൌ 3.240 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra C 
16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor 
de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e 
consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do 
empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de 
juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima 
prestação em 
(A) R$ 3.625,00. 
(B) R$ 3.687,50. 
(C) R$ 3.750,00. 
(D) R$ 3.812,50. 
(E) R$ 3.875,00. 
Resolução 
Queremos calcular a diferença ଵܲ െ ହܲଽ.
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. 
ܣ ൌ 
ܦ 
݊ 
ൌ
150.000
60 
ൌ 2.500 
As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão ݎ ൌ െ݅ · ܣ. A razão 
é negativa porque as prestações são decrescentes. 
São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação. 
ݎ ൌ െ0,025 · 2500 ൌ െ62,5
Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a 1ª 
prestação é a seguinte. 
 
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ହܲଽ ൌ ଵܲ ൅ 58 · ݎ
ଵܲ െ ହܲଽ ൌ െ58 · ݎ
ଵܲ െ ହܲଽ ൌ െ58 · ሺെ62,5ሻ
Que é justamente o que queríamos calcular. 
ଵܲ െ ହܲଽ ൌ 3.625
Letra A 
17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 
parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O 
saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de 
a) R$ 2.260,00 
b) R$ 1.350,00 
c) R$ 1.500,00 
d) R$ 1.750,00 
e) R$ 1.800,00 
Resolução 
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo 
número de prestações. No caso, a quota de amortizaçãoserá 
3.600 450
8
DA
n 
= = = . O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta 
prestação 4 44 3.600 4 450 1.800S D A S= − ⋅ ⇒ = − ⋅ = . 
Letra E 
18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 
prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de 
juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser 
a) R$ 2 950,00 
b) R$ 3 000,00 
c) R$ 3 050,00 
d) R$ 3 100,00 
e) R$ 3 150,00 
Resolução 
i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da 
dívida pelo número de prestações mensais. 
50.000 2.500
20
DA
n 
= = = 
 
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ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor 
original da dívida. Assim, 1 1 0,02 50.000 1.000J i D J= ⋅ ⇒ = ⋅ = . 
iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de 
 amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, 
 1 1 1 12.500 1.000 3.500P A J P P= + ⇒ = + ⇒ = . 
iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela 
sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os 
primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. 
Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa 
de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a 
progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A= − ⋅ . No nosso exemplo, 
0,02 2.500 50r = − ⋅ = − . 
Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma 
progressão aritmética de razão 50r = − e primeiro termo igual a R$ 3.500,00. 
Assim, 10 1 109 3.500 9 ( 50) 3.500 450 3.050P P r P= + ⋅ ⇒ = + ⋅ − = − = 
Letra C 
19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 
prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com 
juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em 
reais, da terceira prestação será 
a) 50,00 
b) 55,00 
c) 60,00 
d) 65,00 
e) 70,00 
Resolução 
Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. 
i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da 
dívida pelo número de prestações mensais. 
ܣ ൌ 
ܦ 
݊ 
ൌ
200
4 
ൌ 50
ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original 
da dívida. Assim, ܬଵ ൌ ݅ ڄ ܦ ֜ ܬଵ ൌ 0,10 ڄ 200 ൌ 20. 
iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização 
com o juro referente ao primeiro período. Assim, ଵܲ ൌ ܣ ൅ ܬଵ ൌ 50 ൅ 20 ൌ 70. 
 
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iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela 
sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os 
primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. 
Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a 
taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é 
negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, ݎ ൌ െ݅ · ܣ. 
Dessa forma, , ݎ ൌ െ0,10 · 50 ൌ െ5. 
v) Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é uma 
progressão aritmética de razão ݎ ൌ െ5 e primeiro termo igual a R$ 70,00. 
Assim, ଷܲ ൌ ଵܲ ൅ 2 · ݎ ֜ ଷܲ ൌ 70 ൅ 2 · ሺെ5ሻ ൌ 60. 
Letra C 
20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser 
liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações 
mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a 
data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o 
valor da 26ª prestação é igual a 
a) R$ 3.700,00 
b) R$ 3.650,00 
c) R$ 3.600,00 
d) R$ 3.550,00 
e) R$ 3.500,00 
Resolução 
Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é igual ao 
módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na última prestação é 
igual a ܬସ଼ ൌ ݅ · ܣ ֜ ܬସ଼ ൌ 0,02 · ܣ. 
Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período mais a 
quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a 
ܣ ൅ ܬସ଼ ൌ 2.550,00 
ܣ ൅ 0,02 · ܣ ൌ 2.550,00
1,02 · ܣ ൌ 2.550,00
ܣ ൌ 
2.550
E a razão da progressão é dada por 
1,02 
ൌ 2.500
ݎ ൌ െ݅ · ܣ ൌ െ0,02 · 2.500 ൌ െ50.
Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação. 
Isso porque 26 – 48 = - 22. 
ଶܲ଺ ൌ ସ଼ܲ െ 22 · ݎ 
ଶܲ଺ ൌ 2.550 െ 22 · ሺെ50ሻ
 
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ଶܲ଺ ൌ 2.550 െ 22 · ሺെ50ሻ
Letra B 
ଶܲ଺ ൌ 3.650,00
2.4 Sistema de Amortização Misto (SAM) 
A prestação do Sistema de Amortização Misto (SAM) é obtida pela média aritmética 
entre as prestações do Sistema de Amortização Constante (SAC) e do Sistema 
Francês (Tabela Price). 
2.4.1 Exercício Resolvido 
21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à 
aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto 
(SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% 
ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após 
a data do empréstimo. 
O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a 
a) R$ 3.320,00 
b) R$ 3.360,00 
c) R$ 3.480,00 
d) R$ 4.140,00 
e) R$ 4.280,00 
Resolução 
Trabalharemos separadamente com os dois sistemas – SAC e Price. 
i) Sistema Francês (Price) 
A principal característica do Sistema Price é que as prestações são constantes. 
Vamos calcular o valor de cada prestação. 
ܦ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜
൓
 
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ܲ ൌ 
ܦ
ܽ௡൓௜ 
ൌ ܦ ·
1
ܽ௡൓௜
ܲ ൌ 120.000 · 
1
ܽ଺଴൓ଶ% 
ൌ 120.000 · 0,029 ൌ 3.480
ii) Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. 
i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o 
valor da dívida pelo número de prestações mensais. 
ܣ ൌ 
ܦ 
݊ 
ൌ
120.000
60 
ൌ 2.000
ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor 
original da dívida. Assim, ܬଵ ൌ ݅ ڄ ܦ ֜ ܬଵ ൌ 0,02 ڄ 120.000 ൌ 2.400. 
iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de 
amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, ଵܲ ൌ ܣ ൅ ܬଵ ൌ
2000 ൅ 2.400 ൌ 4.400. 
iv) Vamos calcular a razão da progressão aritmética (formada pelas 
prestações do SAC). Sabemos que ݎ ൌ െ݅ · ܣ. Dessa forma, ݎ ൌ െ0,02 ·
2000 ൌ െ40. 
v) Vamos calcular a trigésima prestação. A sequência de prestações é uma 
progressão aritmética de razão ݎ ൌ െ40 e primeiro termo igual a R$ 
4.400,00. 
Assim, ଷܲ଴ ൌ ଵܲ ൅ 29 · ݎ ֜ ଷܲ଴ ൌ 4.400 ൅ 29 · ሺെ40ሻ ൌ 3.240. 
Sistema de Amortização Misto – a parcela de um período qualquer é a média 
aritmética entre a parcela do SAC e a parcela do Sistema Francês. 
Parcela pelo Sistema Price: R$ 3.480,00 
Parcela pelo Sistema SAC : R$ 3.240,00 
Parcela pelo Sistema Misto 
3.480 ൅ 3.240
2 
ൌ 3.360
Letra B 
 
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3 Análise de Investimentos 
3.1 Conceito 
Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar alguns 
critérios de avaliação de investimentos. Aproveitaremos os “modelos” já desenvolvidos 
para aplicá-los à tomada de decisão financeira em seus aspectos quantitativos. 
De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável possível. 
Deixaremos os aspectos qualitativos dos investimentos de lado e focaremos nosso 
objetivo no aspecto quantitativo da avaliação de investimentos. 
Consideraremosos fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos para 
compará-las entre si e formar uma “escala” de prioridades na consecução da mais 
lucrativa. 
Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise de 
investimentos que são: 
- Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual. 
- Critério da Taxa Interna de Retorno. 
- Critério do Payback Descontado 
Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É taxa 
mínima que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. 
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. 
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em 
instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica 
simples chamada diagrama de fluxo de caixa. 
Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil imaginar 
a sua distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não lancemos mão de um 
esquema financeiro que nos permita visualizar, ao longo do tempo, todos aqueles 
recebimentos a serem auferidos (entradas de recursos) e todos aqueles pagamentos a 
serem realizados (saída de recursos). Representamos com setas para cima um 
recebimento (positivo) e setas para baixo no caso de pagamentos (negativo). 
3.2 Valor Presente Líquido (VPL) 
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de caixa, valor 
este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que reflita o custo de 
oportunidade do capital investido. Lembrando que para retroceder um valor para o 
presente dividimos por (1 )ni+ . 
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais formas 
de investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor presente líquido. No 
 
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caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o VPL de seu fluxo de caixa 
indicará se o projeto é viável, inviável ou indiferente. 
Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável. 
Se VPL < 0, então o projeto é inviável. 
E se VPL = 0, então o projeto é indiferente. 
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. 
3.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
É a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento. 
A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer 
outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver 
mais a direita do fluxo. 
Podemos utilizar o método da taxa interna de retorno em diversas situações, como por 
exemplo: 
- Existe apenas uma alternativa de investimento e esta será considerada viável se a 
taxa interna de retorno for maior que um valor aceitável (taxa mínima de atratividade), 
o qual representa o custo de oportunidade do capital. Ou seja, se TIR > TMA, então 
o projeto é viável. Se TIR = TMA, então o projeto é indiferente. Se TIR < TMA, então o 
projeto é inviável. 
3.4 Payback Descontado 
O que significa Payback? 
É o tempo necessário para recuperação do investimento. 
O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de desconto 
racional composto. 
Em suma, o Payback Descontado é o tempo decorrido até que o VPL (Valor Presente 
Líquido) se iguale ao investimento inicial do projeto em análise. 
3.5 Exercícios Resolvidos 
22. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna 
de retorno igual a 20% ao ano. 
 
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O valor de X é igual a 
a) R$ 13.824,00 
b) R$ 12.960,00 
c) R$ 12.096,00 
d) R$ 11.232,00 
e) R$ 10.368,00 
Resolução 
Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente líquido 
igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer outra data o 
somatório de entradas e saídas será igual a 0. 
Adotaremos como data focal a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Assim, a equação de equivalência de capitais será: 
ሺ5ݔ െ 13.500ሻ · 1,20ଷ ൌ ݔ · 1,20ଶ ൅ 2ݔ · 1,20ଵ ൅ 3ݔ
ሺ5ݔ െ 13.500ሻ · 1,728 ൌ 6,84ݔ
8,64ݔ െ 23.328 ൌ 6,84ݔ 
1,8ݔ ൌ 23.328 
ݔ ൌ 12.960,00
Letra B 
23. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa 
interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
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O valor de X é igual a 
a) R$ 11 000,00 
b) R$ 11 550,00 
c) R$ 13 310,00 
d) R$ 13 915,00 
e) R$ 14 520,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo 
de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer 
outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver 
mais a direita do fluxo. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
െ25.000 · 1,10ଷ ൅ 0 ൅ ܺ · 1,10ଵ ൅ 17.303 ൌ 0
െ33.2750 ൅ 1,10 · ܺ ൅ 17.303 ൌ 0
െ33.275 ൅ 1,10 · ܺ ൅ 17.303 ൌ 0
1,10 · ܺ ൌ 15.972
ܺ ൌ 14.520
Letra E 
24. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo 
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala horizontal 
em anos. 
 
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Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e 
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a 
a) R$ 3.025,00 
b) R$ 3.267,00 
c) R$ 3.388,00 
d) R$ 3.509,00 
e) R$ 3.630,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo 
de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer 
outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver 
mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo no 
caso de pagamentos (negativo). 
െ10.000 · 1,1ଷ ൅ 2.200 · 1,1ଶ ൅ ܺ · 1,1 ൅ ܻ ൌ 0
1,1 · ܺ ൅ ܻ ൌ 10.648 
Como o enunciado nos disse que X + Y = 10.285, então Y = 10285 – X. Substituindo 
na equação anterior: 
1,1 · ܺ ൅ ሺ10.285 െ ܺሻ ൌ 10.648
0,1 · ܺ ൅ 10.285 ൌ 10.648
0,1 · ܺ ൌ 363
ܺ ൌ 3630
Letra E 
 
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25. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual 
de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna fornece os 
respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima requerida de 10% ao 
ano. 
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback descontado, o 
tempo necessário para recuperar o investimento é 
a) 3,2 anos 
b) 2,8 anos 
c) 2,6 anos 
d) 2,4 anos 
e) 2,2 anos 
Resolução 
O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de desconto 
racional composto. 
E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do investimento. 
No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o investimento 
inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para recuperar o investimento. No 
terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00. Então fazemos a interpolação. 
Período(ano) Capital 
 1 1.000 
 X 200 
 ૚. ૙૙૙ · ࢞ ൌ ૛૙૙
 ࢞ ൌ ૙, ૛
Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos. 
 Letra E 
26. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto que 
apresenta o fluxo de caixa a seguir: 
 
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Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor 
presente líquido deste investimento no ano 0 será de 
a) Zero 
b) R$ 448,00 
c) R$ 480,00 
d) R$ 960,00 
e) R$ 1.560,00 
Resolução 
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de caixa, valor 
este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que reflita o custo de 
oportunidade do capital investido. Lembrando que para retroceder um valor para o 
presente dividimos por (1 )ni+ . 
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0. 
ܸܲܮ ൌ െ4.000 ൅ 
3.000 
1,25ଵ 
൅
3.200
1,25ଶ
ܸܲܮ ൌ െ4.000 ൅ 2.400 ൅ 2.048
ܸܲܮ ൌ 448,00
Letra B 
27. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um 
investimento no período de 3 anos, valores em reais: 
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do 
desembolso inicial (D) é de 
a) R$ 17.325,00 
b) R$ 16.500,00 
c) R$ 16.000,00 
 
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d) R$ 15.500,00 
e) R$ 15.000,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo 
de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer 
outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver 
mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo no 
caso de pagamentos (negativo). 
െܦ · 1,1ଷ ൅ 0 · 1,1ଶ ൅ 9.075 · 1,1 ൅ 10.648 ൌ 0
െ1,331 · ܦ ൅ 0 ൅ 9.982,50 ൅ 10.648 ൌ 0
െ1,331ܦ ൌ െ20.630,5
ܦ ൌ 
20.630,5
1,331 
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e apagar a 
vírgula. 
ܦ ൌ 
20.630,500 
1,331 
ൌ
20.630.500
1.331 
ൌ 15.500
Letra D 
28. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, 
mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que 
os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso 
D referente ao projeto X é igual a 
a) R$ 30 000,00 
b) R$ 40 000,00 
c) R$ 45 000,00 
d) R$ 50 000,00 
 
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e) R$ 60 000,00 
Resolução 
No regime de juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em 
certa data, o serão em qualquer outra data. 
Dizer que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais é o mesmo 
que dizer que os dois conjuntos de capitais são equivalentes na data 0. Desta forma, 
podemos afirmar que os conjuntos de capitais também são equivalentes na data 2. 
Vamos, então, utilizar a data 2 como data focal. 
Para transportar um valor para o futuro, devemos multiplicá-lo por ሺ1 ൅ ݅ሻ௡.
െܦ · 1,08ଶ ൅ 10.800 · 1,08 ൅ 11.664,00 ൌ െ40.000 · 1,08ଶ ൅ 16.200 · 1,08 ൅ 17.496
െ1,1664 · ܦ ൅ 11.664 ൅ 11.664 ൌ െ46.656 ൅ 17.496 ൅ 17.496
െ1,1664 · ܦ ൌ െ34.992
ܦ ൌ 
34.992
1,1664
ܦ ൌ 30.000
Letra A 
 
 
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4 Relação das questões comentadas
01. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago 
da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 
20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. 
Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% 
ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de: 
a) 24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
b) 2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
c) 2 31,03 20.000 1,03 30.000× + × 
d) 21,03 20.000 1,03 30.000× + × 
e) 2,06 20.000 3,09 30.000 × + × 
02. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 
2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir 
essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 
2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na 
resposta.) 
a) R$ 2.122,00. 
b) R$ 1.922,00. 
c) R$ 4.041,00. 
d) R$ 3.962,00. 
e) R$ 4.880,00. 
03. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um 
apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe 
uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 
30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da 
compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo 
valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira 
no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros 
compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, 
então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, 
será igual a: 
a) R$ 35.000,00 
b) R$ 27.925,00 
c) R$ 32.500,00 
 
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d) R$ 39.925,00 
e) R$ 35.500,00 
04. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
05. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um 
projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de 
atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 
1,176. 
O valor de X é igual a 
a) R$ 17.280,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 13.200,00 
e) R$ 12.000,00 
06. (CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, 
durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data 
do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor 
único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, 
durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de 
valor único é de 
a) R$ 217.272,00 
b) R$ 231.816,00 
c) R$ 254.998,00 
d) R$ 271.590,00 
e) R$ 289.770,00 
 
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07. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções éa) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
08. (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de 
cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma 
taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, 
tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual 
a 
a) R$ 52.800,00 
b) R$ 52.246,00 
c) R$ 55.692,00 
d) R$ 61.261,20 
e) R$ 63.888,00 
09. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento 
consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será 
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos 
montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de 
cada depósito é igual a 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.500,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 11.500,00 
e) R$ 12.000,00 
10. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor 
de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de 
juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a 
segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de 
juros na décima prestação, desprezando os centavos. 
a) R$ 300,00 
b) R$ 240,00 
 
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c) R$ 163,00 
d) R$ 181,00 
e) R$ 200,00 
11. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um 
empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a 
primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização 
mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e 
que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de 
Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no 
pagamento da segunda prestação é 
a) R$ 273,30 
b) R$ 272,70 
c) R$ 270,00 
d) R$ 266,70 
e) R$ 256,60 
12. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá 
ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira 
um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de 
Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, 
considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual 
a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, 
imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de 
a) R$ 37.473,15 
b) R$ 36.828,85 
c) R$ 35.223,70 
d) R$ 35.045,85 
e) R$ 34.868,15 
13. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de 
R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, 
vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se 
que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das 
amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é 
igual a 
a) R$ 3.168,00. 
b) R$ 3.232,00. 
c) R$ 3.264,00. 
d) R$ 3.368,00. 
e) R$ 3.374,00. 
14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo 
valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O 
banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros 
compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: 
a) R$ 5.000,00. 
b) R$ 1.000,00. 
 
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c) R$ 1.666,00. 
d) R$ 500,00. 
e) R$ 1.500,00. 
15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro 
de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema 
de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e 
taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que 
a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um 
dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de 
junho de 2010 é de: 
a) R$ 3.020,00 
b) R$ 3.160,00 
c) R$ 3.240,00 
d) R$ 3.300,00 
e) R$ 3.450,00 
16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor 
de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e 
consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do 
empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de 
juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima 
prestação em 
(A) R$ 3.625,00. 
(B) R$ 3.687,50. 
(C) R$ 3.750,00. 
(D) R$ 3.812,50. 
(E) R$ 3.875,00. 
17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 
parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O 
saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de 
a) R$ 2.260,00 
b) R$ 1.350,00 
c) R$ 1.500,00 
d) R$ 1.750,00 
e) R$ 1.800,00 
18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 
prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de 
juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser 
a) R$ 2 950,00 
b) R$ 3 000,00 
c) R$ 3 050,00 
d) R$ 3 100,00 
e) R$ 3 150,00 
 
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19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 
prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com 
juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em 
reais, da terceira prestação será 
a) 50,00 
b) 55,00 
c) 60,00 
d) 65,00 
e) 70,00 
20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser 
liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações 
mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a 
data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o 
valor da 26ª prestação é igual a 
a) R$ 3.700,00 
b) R$ 3.650,00 
c) R$ 3.600,00 
d) R$ 3.550,00 
e) R$ 3.500,00 
21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à 
aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto 
(SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% 
ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após 
a data do empréstimo. 
O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a 
a) R$ 3.320,00 
b) R$ 3.360,00 
c) R$ 3.480,00 
d) R$ 4.140,00 
e) R$ 4.280,00 
 
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22. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna 
de retorno igual a 20% ao ano. 
O valor de X é igual a 
a) R$ 13.824,00 
b) R$ 12.960,00 
c) R$ 12.096,00 
d) R$ 11.232,00 
e) R$ 10.368,00 
23. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa 
interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
O valor de X é igual a 
a) R$ 11 000,00 
b) R$ 11 550,00 
c) R$ 13 310,00 
d) R$ 13 915,00 
e) R$ 14 520,00 
 
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