crm clase10

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Identificacio´n Parame´trica
Facultad de Ciencias de la Electro´nica
Beneme´rita Universidad Auto´noma de Puebla
Maestr´ıa en Ciencias de la Electro´nica, Opcio´n en Automatizacio´n
Fernando Reyes Corte´s
Control de Robots Manipuladores
ftp://ece.buap.mx/pub/profesor/FernandoReyes/crm/
Primavera 2016
Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Parte III
Identificacio´n parame´trica
Contenido
Esquemas de regresio´n de los modelos:
dina´mico
dina´mico filtrado
energ´ıa
potencia
potencia filtrada
Fernando Reyes Corte´s Beneme´rita Universidad Auto´noma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electro´nica
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Mı´nimos cuadrados
Considere el modelo matema´tico que esta´ expresado como un regresor lineal de la siguiente forma:
y(k) = Ψ(k)Tθ
donde:
y(k) ∈ IRn es un vector de mediciones (entradas o salidas) del sistema,
Ψ(k) ∈ IRp×n es la matriz de regresio´n compuesta por observaciones de funciones conocidas
El vector de para´metros desconocidos esta´ representado por θ ∈ IRp .
El modelo y(k) = Ψ(k)Tθ esta´ indexado por la variable k , la cual denota el tiempo discreto; se asume que el
conjunto de ı´ndices y(k) y Ψ(k) forman un conjunto discreto.
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
El algoritmo de mı´nimos cuadrados para el caso vectorial tiene la siguiente forma:
θˆ(k) = θˆ(k − 1) + P(k − 1) Ψ(k)[I +Ψ(k − 1)TP(k − 1)Ψ(k)]−1 e(k) (1)
P(k) = P(k − 1)− P(k − 1)Ψ(k)[I +Ψ(k)TP(k − 1)Ψ(k)]−1Ψ(k)TP(k − 1) (2)
e(k) = y(k)−Ψ(k)T θˆ(k − 1) (3)
donde:
P(k) ∈ IRp×p es la matriz de covarianza, la cual es una matriz definida positiva,
e(k) ∈ IRn es el error de prediccio´n,
θˆ(k) ∈ IRp es el vector de para´metros estimados,
θ ∈ IRp es el vector de para´metros reales.
El algoritmo de mı´nimos cuadrados para el caso escalar tiene la siguiente forma:
θˆ(k) = θˆ(k − 1) + P(k − 1) Ψ(k)e(k)
1 + Ψ(k − 1)TP(k − 1)Ψ(k)
P(k) = P(k − 1)− P(k−1)Ψ(k)Ψ(k)TP(k−1)
1+Ψ(k−1)TP(k−1)Ψ(k)
e(k) = y(k)−Ψ(k)T θˆ(k − 1)
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Propiedades del algoritmo recursivo de mı´nimos cuadrados
Sea θ˜ = θˆk − θ
‖θˆk − θ‖2 ≤
λmax
P−10
λmin
P−10
‖θˆ0 − θ‖ ∀ k ≥ 0
limk→∞‖θˆk − θ‖ = 0 ∀ k ≥ 0.
‖θˆk − θ‖ <∞ ∀ k ≥ 0
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Sen˜ales de excitacio´n persistente
Las condiciones de convergencia parame´trica del algoritmo de mı´nimo cuadrados se refieren a que la matriz de
covarianza satisfaga:
limk→∞λmin
{
P(k − 1)−1} = ∞
limk→∞
n−1∑
i=1
ΨkΨkT = ∞
Definicio´n
Una sen˜al τ(t) es considerada de excitacio´n persistente de orden n si existen ρ1, ρ2 ∈ IR+ tal que:
ρ1I ≥ limN→∞ 1
N
N∑
i=1
τ(t + n)...
τ(t + 1)
 [τ(t + n) · · · τ(n + 1)] ≥ ρ2I
El disen˜o de la sen˜al de excitacio´n persistente τ(t) se realiza:
τ = a1 sen(w1t + ϕ1) + a2 sen(w2t + ϕ2) + · · ·+ an sen(wnt + ϕn)
a1, a2, · · · , an ∈ IR deben ser seleccionados de manera conveniente para no saturar a los servos.
Las frecuencias w1,w2, · · · ,wn ∈ IR+ son del tipo irracional o factores de αpi, con α ∈ IR.
Las fase ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn son del tipo aleatorio (random). Adema´s, cada componente senoidal determina dos
para´metros θˆ1, θˆ2, es decir para identificar p para´metros se requieren
p
2
componentes senoidales.
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Modelo de regresio´n dina´mico
El modelo de regresio´n dina´mico tambie´n conocido como modelo de regresio´n diferencial adquiere la siguiente estruc-
tura:
τ f = Yf (q , q˙ , q¨)θ (4)
El modelo de regresio´n dina´mico (4) requiere:
Medicio´n de la aceleracio´n articular q¨ para calcular los elementos de la matriz de observaciones Y (q , q˙ , q¨).
El error de prediccio´n del robot manipulador toma la siguiente forma:
e(k) = τ f (k)︸︷︷︸
y (k)
−Yf (q , q˙ , q¨)(k)︸ ︷︷ ︸
Ψ(k)T
θˆ(k − 1) . (5)
El modelo de regresio´n dina´mico corresponde al caso vectorial.
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Modelo de regresio´n dina´mico filtrado
La medicio´n de la aceleracio´n articualr q¨ ∈ IRn representa un inconveniente.
La idea clave es filtrar de ambos lados del modelo de regresio´n dina´mico por un filtro estable estrictamente propio.
Sin pe´rdida de generalidad, conside´rese un filtro de primer orden dado por la funcio´n de transferencia f (s) = λ
s+λ
donde λ es una constante positiva y s representa el operador diferencial:
τ f = f (s)τ
Yf (q , q˙) = f (s)Y (q , q˙ , q¨)
Debido a la introduccio´n de los filtros, se evita el requerimiento de la aceleracio´n articular q¨ dentro de la matriz
de regresio´n Yf (q , q˙). Con la anterior notacio´n y con referencia al algoritmo recursivo de mı´nimos cuadrados,
el error de prediccio´n correspondiente al modelo de regresio´n dina´mico filtrado del robot manipulador toma la
siguiente forma vectorial:
e(k) = τ f (k)︸︷︷︸
y (k)
−Yf (q , q˙)(k)︸ ︷︷ ︸
Ψ(k)T
θˆ(k − 1) .
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Ejemplo
Obtener los esquemas de regresio´n del modelo dina´mico y dina´mico filtrado de un pe´ndulo.
El modelo dina´mico del pe´ndulo se encuentra dado por:
τ = I q¨ + bq˙ + fc signo (q˙) +mglc sen(q)
el esquema de regresio´n delmodelo dina´mico es:
e = τ − [q¨ q˙ signo (q˙) sen(q)]

Iˆ
bˆ
fˆc
mˆgˆ lˆc

donde
[
Iˆ bˆ fˆc mˆgˆ lˆc
]T
son los para´metros estimados de
[
I b fc mglc
]T
, respectivamente.
El modelo dina´mico filtrado se obtiene como:
λτ
s + λ
= I
λq¨
s + λ
+ b
λq˙
s + λ
+ fc
λ signo (q˙)
λ+ s
+mglc
λ sen(q)
s + λ
= I s
λq˙
s + λ
+ b s
λq
s + λ
+ fc
λ signo (q˙)
λ+ s
+mglc
λ sen(q)
s + λ
donde s = d
dt
.
Por lo tanto el esquema de regresio´n del modelo dina´mico filtrado para un pe´ndulo es:
e =
λτ
s + λ
−
[
s λq˙
s+λ
s λq
s+λ
λ signo(q˙)
λ+s
λ sen(q)
s+λ
]
Iˆ
bˆ
fˆc
mˆgˆ lˆc

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Esquema de regresio´n del modelo de energ´ıa
Un enfoque particularmente atractivo para el disen˜o de esquemas de identificacio´n parame´trica de robots manipu-
ladores se basa en el modelo de energ´ıa aplicada al robot manipulador, el cual puede ser descrito como un modelo
de regresio´n lineal en te´rminos de los para´metros dina´micos. Este esquema tambie´n se conoce en la literatura como
modelo integral.
La energ´ıa total del robot manipulador esta´ dada por la suma de la energ´ıa cine´tica K(q , q˙), la energ´ıa potencial
U(q) ma´s la energ´ıa disipativa f f (q˙ , f e):
ET (q , q˙) = H(q , q˙) + f f (q˙ , f e) (6)
H(q , q˙) = K(q , q˙) + U(q). (7)
donde H(q , q˙) se denomina el hamiltoniano.
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
La energ´ıa cine´tica y potencial puede ser escrita como una funcio´n lineal de los para´metros dina´micos:
K(q , q˙) = 1
2
q˙TM (q)q˙ = φK(q , q˙)
TθK (8)
U(q) = φU(q)TθU (9)
donde φK y φU son vectores de orden p1 × 1 y p2 × 1, los cuales dependen de posiciones y velocidades articulares,
respectivamente; θK y θU son vectores de orden p1 × 1 y p2 × 1, respectivamente, los cuales contienen los para´metros
dina´micos del robot manipulador tales como masas, centros de masas y momentos de inercia.
La energ´ıa disipativa puede descomponerse como:
f f (q˙ , f e) = φf f
(q˙ , f e)
Tθf f
(10)
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Por lo tanto, la energ´ıa total del robot manipulador puede expresarse como un regresor lineal en te´rminos de los
para´metros dina´micos del hamiltoniano H(q , q˙) y la friccio´n f f (q˙ , f e):
H(q , q˙) = φH(q , q˙)TθH (11)
donde
φH(q , q˙)
T = [φK(q , q˙)
T φU(q)
T ] (12)
θH = [θ
T
K θ
T
U ]
T . (13)
La parametrizacio´n lineal de la energ´ıa total conduce a la bien conocida propiedad de linealidad del modelo dina´mico
en te´rminos de los para´metros dina´micos del robot manipulador. El lagrangiano del robot manipulador L(q , q˙) puede
ser expresado de la siguiente forma:
L(q , q˙) = φL(q , q˙)TθH
φL(q , q˙)
T = [φK(q , q˙)
T − φU(q)T ] .
Las siguientes propiedades se satisfacen:
∂L
∂q˙
=
∂φL(q , q˙)
∂q˙
θH,
d
dt
[
∂L
∂q˙
]
=
[
d
dt
∂φL(q , q˙)
∂q˙
]
θH,
∂L
∂q
=
∂φL(q , q˙)
∂q
θH .
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
El modelo de regresio´n de la energ´ıa se basa en el principio de la conservacio´n de la energ´ıa, el cual establece que el
trabajo efectuado por las fuerzas aplicadas a un sistema es igual al cambio de energ´ıa total del sistema:∫ t
0
q˙(σ)Tτ (σ)dσ︸ ︷︷ ︸
energ´ıa aplicada (t)
= H(q(t), q˙(t))−H(q(0), q˙(0))︸ ︷︷ ︸
energ´ıa almacenada (t)
+
∫ t
0
q˙(σ)T f (q˙(σ))dσ︸ ︷︷ ︸
energ´ıa disipada (t)
.
Sin pe´rdida de generalidad, supo´ngase que la energ´ıa hamiltoniana en el instante cero es nula, es decir H(q(0), q˙(0)) =
0. Empleando el principio de conservacio´n de la energ´ıa y la propiedad de linealidad en los para´metros de la energ´ıa
total del robot, el modelo de regresio´n de la energ´ıa esta´ dado por:∫ t
0
q˙(σ)Tτ (σ)dσ =
[
φH(q(t), q˙(t))
T
∫ t
0
q˙(σ)TφF(q˙(σ))dσ
]
θ .
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
El modelo de regresio´n es lineal en los para´metros dina´micos y en los coeficientes de friccio´n viscosa y de Coulomb.
El regresor depende de la posicio´n q y velocidad q˙ , por lo que no requiere la aceleracio´n q¨ .
El error de prediccio´n del modelo de regresio´n de la energ´ıa se define como:
e(k) =
∫ kh
0
q˙(σ)Tτ (σ)dσ︸ ︷︷ ︸
y(k)
−
[
φH(q , q˙)
T (k)
∫ kh
0
q˙(σ)TφF(q˙(σ))dσ
]
︸ ︷︷ ︸
Ψ(k)T
θˆ(k − 1)
donde h indica el periodo de muestreo.
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Ejemplo
Obtener el modelo de regresio´n de la energ´ıa para un pe´ndulo.
La energ´ıa cine´tica y potencial de un pe´ndulo se encuentra dada por:
H(q , q˙) = 1
2
I q˙2 +mglc
[
1− cos(q)]
La energ´ıa total del pe´ndulo esta´ dada por la siguiente expresio´n:∫ t
0
q˙τdt =
1
2
I q˙2 +mglc
[
1− cos(q)]+ b ∫ t
0
q˙2dt + fc
∫ t
0
|q˙ |dt .
Por tanto, el modelo de regresio´n lineal de la energ´ıa se encuentra por:
e =
∫ t
0
q˙τdt − [1
2
q˙2
∫ t
0
q˙2dt
∫ t
0
|q˙ |dt [1− cos(q)]]

Iˆ
bˆ
fˆc
mˆgˆ lˆc

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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Modelo de regresio´n de la potencia y potencia filtrada
La potencia aplicada puede expresarsecomo un regresor lineal de un vector de para´metros y un vector de observaciones:
q˙Tτ =
[
d
dt
φH(q , q˙)
T q˙TφF(q˙)
]
θ
e(k) = q˙T (k)τ (k)−
[
d
dt
φH(q(k), q˙(k))
T q˙T (k)φF(q˙(k))
]
θˆ(k − 1)
El modelo de la potencia aplicada presenta la desventaja de requerir la aceleracio´n articular en el vector de regresio´n.
Este inconveniente puede ser resuelto al filtrar ambos lados del modelo de regresio´n aplicada mediante un filtro estable
estrictamente propio. Sin pe´rdida de generalidad, conside´rese una vez ma´s el filtro de primer orden cuya funcio´n de
transferencia esta´ dada por f (s) = λ/(s + λ) donde λ > 0.
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Al aplicar el filtro a ambos lados se obtiene el siguiente modelo, el cual se ha denotado como el modelo de regresio´n
de la potencia filtrada:
λ
s + λ
q˙T (t)τ (t) =
[
λs
s + λ
φH(q(t), q˙(t))
T λ
s + λ
q˙TφF(q˙)
]
θ .
El modelo de la potencia filtrada conserva las mismas ventajas que el modelo de regresio´n de la energ´ıa, es decir,
es lineal en los para´metros dina´micos y coeficientes de friccio´n viscosa y de Coulomb, depende de la posicio´n q y
velocidad q˙ y no requiere la medicio´n de la aceleracio´n articular q¨ .
El error de prediccio´n del modelo de regresio´n de la potencia filtrada es una funcio´n escalar que se define en forma
natural como:
e(k) =
λ
s + λ
(q˙Tτ )(k)︸ ︷︷ ︸
y(k)
−
[
λs
s + λ
φH(q , q˙)
T (k)
λ
s + λ
q˙TφF(q˙)(k)
]
︸ ︷︷ ︸
Ψ(k)T
θˆ(k − 1) .
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Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
Ejemplo
Obtener los esquemas de regresio´n del modelo de la potencia y potencia filtrada para un pe´ndulo robot.
El modelo de potencia de un pe´ndulo es:
τ q˙ = I q˙ q¨ + bq˙2 + fc|q˙ |+mglc sen(q)q˙
e(k) = τ(k)q˙(k)− [q˙ q¨ q˙2 |q˙ | sen(q)q˙]

Iˆ
bˆ
fˆc
mˆgˆ lˆc

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Identificacio´n Parame´trica Control de Robots Manipuladores MCEA-20800 Maestr´ıa en Ciencias de la Electro´nica, Opcio´n en Automatizacio´n 19 / 20
Mı´nimos cuadrados Modelo de regresio´n dina´mico Modelo de regresio´n filtrado Regresor del modelo de energ´ıa Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada
El modelo de la potencia filtrada se determina por:
λτ q˙
s + λ
= I
λq˙ q¨
s + λ
+ b
λq˙2
s + λ
+ fc
λ|q˙ |
s + λ
+mglc
λ sen(q)q˙
s + λ
=
1
2
Is
λq˙2
s + λ
+ b
λq˙2
s + λ
+ fc
λ|q˙ |
s + λ
+mglc
λ sen(q)q˙
s + λ
El modelo de regresio´n de la potencia filtrada para un pe´ndulo es:
e =
λτ q˙
s + λ
−
[
1
2
s λq˙
2
s+λ
λq˙2
s+λ
λ|q˙|
s+λ
λ sen(q)q˙
s+λ
]
Iˆ
bˆ
fˆc
mˆgˆ lˆc

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	Identificación paramétrica
	Mínimos cuadrados
	Modelo de regresión dinámico
	Modelo de regresión filtrado
	Regresor del modelo de energía
	Regresor de los modelos de potencia y potencia filtrada