Questão 1 AD1 2016-1 Gabarito

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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 1 - 2016–1
− Coloque seu nome e nu´mero de matr´ıcula na folha de resposta em PDF que sera´ enviada para
correc¸a˜o.
− Esta questa˜o possui treˆs itens.
a) (0.8 pt) Vamos chamar de E(x), leˆ-se “E de x”, a expressa˜o −x2 +
3x
2
−
5
x
, representamos isso
escrevendo
E(x) = −x2 +
3x
2
−
5
x
.
Assim, fornecendo um valor para x, podemos determinar o valor da expressa˜o E(x). Por exemplo,
para x = 1, temos que
E(1) = −(1)2 +
3(1)
2
−
5
1
= −1 +
3
2
− 5 =
−2 + 3− 10
2
= −
9
2
Ou seja, E(1) = −
9
2
, isso significa que o valor da expressa˜o para x = 1 e´ −
9
2
.
Sabendo disso, determine o valor da expressa˜o E(x) para x = −1 e x =
3
2
. Isto e´, determine
E(−1) e E
(
2
3
)
.
Soluc¸a˜o: Temos que:
E(−1) = −(−1)2 +
3(−1)
2
−
5
(−1)
= −1 −
3
2
+ 5 =
−2− 3 + 10
2
=
5
2
E
(
2
3
)
= −
(
2
3
)2
+
3 ·
(
2
3
)
2
−
5
2
3
= −
4
9
+
2
2
−
5
1
·
3
2
= −
4
9
+1−
15
2
=
−8 + 18− 135
18
= −
125
18
b) (0.9) Um levantamento realizado entre 500 pessoas mostrou que muitas delas leeˆm dois tipos de
revistas, A e B, conforme quadro a seguir
Revista A Revista B Na˜o leeˆm nenhuma das duas revistas
350 160 60
Quantas pessoas leeˆm as duas revistas?
Soluc¸a˜o: Sabemos que:
• neste tipo de problema devemos comec¸ar com o nu´mero de pessoas na intersec¸a˜o dos
conjuntos envolvidos. Assim, vamos representar pela letra x o nu´mero de pessoas que leeˆm
as duas revistas.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
• 350 pessoas leeˆm a revista A, logo, 350− x leeˆm somente a revista A
• 160 pessoas leeˆm a revista B, logo, 160− x leeˆm somente a revista B
Representando essas informac¸o˜es no Diagrama de Venn, temos:
A
B
x
350− x
160− x
Assim, segue que a soma do nu´mero de pessoas que leeˆm somente a revista A, com o nu´mero
de pessoas que leeˆm somente a revista B, com o nu´mero de pessoas que leeˆm as duas revistas e
com o nu´mero de pessoas que na˜o leeˆm nenhuma das duas revistas deve ser igual a quantidade
de pessoas entrevistadas. Ou seja,
350− x+ 160− x+ x+ 60 = 500.
Resolvendo esta equac¸a˜o, obtemos:
570− x = 500 =⇒ −x = 500− 570 =⇒ −x = −70 =⇒ x = 70.
Portanto, 70 pessoas leeˆm as duas revistas.
c) (0.8) Neste item, o valor de b e´ o nu´mero formado pelos dois u´ltimos d´ıgitos da sua matr´ıcula.
Joaquim disse a Manoela: “Pense em um nu´mero, triplique esse nu´mero, some b ao resultado;
divida o novo resultado por 2. Quanto deu?”
Manoela respondeu: ”30”
Qual foi o nu´mero que Manoela pensou?
Soluc¸a˜o:
Os dois u´ltimos d´ıgitos da minha matr´ıcula sa˜o ⋆⋆.
Logo, b = ⋆⋆.
Vamos representar por x o nu´mero pensado.
De “Pense em um nu´mero, triplique esse nu´mero, some b ao resultado; divida o novo resultado por
2. Quanto deu? ”, segue a expressa˜o
3x+ ⋆⋆
2
.
Como, o resultado dessa conta e´ igual a 30, segundo a resposta de Manoela, temos a equac¸a˜o
3x+ ⋆⋆
2
= 30.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3
Resolvendo, essa equac¸a˜o em x, obtemos
3x+ ⋆⋆
2
= 30⇐⇒ 3x+ ⋆⋆ = 60⇐⇒ 3x = 60− ⋆⋆⇐⇒ x =
60− ⋆⋆
3
.
Portanto, o nu´mero pensado foi
60− ⋆⋆
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ