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aula4 - Teoria da Relatividade Restrita

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Quarta Aula
Reinaldo R. de Carvalho (rrdecarvalho2008@gmail.com)
Introdução à Astrofísica
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 4!
!
A Teoria da Relatividade Restrita!!
!
- Transformações Galileanas!
- Transformações de Lorentz!
- Espaço e Tempo na Relatividade Restrita!
- Momento e Energia!
Relatividade EspecialO Experimento de Michelson-MorleyApós a descoberta das Leis de Maxwell, por volta de 1860, foi reconhecido que as equações 
de Maxwell não obedeciam ao principio da relatividade newtoniana, ou seja que as equações 
não eram invariantes segundo transformações de Galileu. Na época os cientistas não teriam 
se importado com isso se não fosse o fato de que as equações de Maxwell previam a 
existência de ondas eletromagnéticas com velocidade c (com verificação experimental). 
Assim sendo no século XIX foi postulado que as ondas eletromagnéticas se propagavam em 
um meio material (o “éter”). Desta forma vários experimentos foram realizados tentando 
medir a velocidade da luz em relação ao “éter”.	
!
Para entender o experimento consideremos o seguinte exercício (Exemplo 1-3 do livro Física 
Moderna, Tipler & Llewellyn). Considere dois remadores que conseguem desenvolver uma 
velocidade c em água parada. A água do rio está movendo-se com uma velocidade v. Como 
na figura, o barco 1 vai vai do ponto A ao ponto B percorrendo uma distância L e volta ao 
ponto A. O barco 2 vai do ponto A ao C e volta ao ponto A. Qual dos dois remadores ganha a 
corrida ? (supondo que c > v)
v
c (c2-v2)1/2
A➔B B➔A
v
c (c2-v2)1/2
A C
B
L
L
v
Relatividade EspecialO tempo de percurso para o barco 1 pode ser escrito como	!
O barco 2 vai do ponto A ao C com velocidade c+v e retorna com velocidade c-v. O tempo 
total é então:	
!
O barco 1 vence a corrida!	
!
Relatividade EspecialPara estudar o movimento das galáxias e fótons no Universo, precisaremos estabelecer um sistema de coordenadas e sua métrica. Em geral um sistema de coordenadas significa 
associar a todo e qualquer evento uma coordenada temporal e três coordenadas espaciais. 
Neste capítulo, estudaremos tais conceitos dentro da perspectiva de relatividade especial. 
A teoria da relatividade especial apareceu como idéia no final do século XIX e foi edificada 
por Albert Einstein em 1905. Resistiu a inúmeros testes de verificação de sua validade e hoje 
em dia é amplamente usada na Física. A RE requer que abandonemos nossos conceitos do 
senso comum que nos diz que intervalos de tempo e de espaço são os mesmos para todo e 
qualquer observador.
Vamos investigar a transformação de Lorentz entre dois sistemas de referência em 
movimento relativo. Os sistemas são S e .
Primeiro postulado da Relatividade Especial : As leis da física podem ser escritas da mesma 
forma em todos os sistemas de referencia inerciais.	
!
Segundo postulado da Relatividade Especial : A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo 
valor em todos os referenciais inerciais
Consideramos os eixos paralelos em todos os tempos, além do que os relógios são ajustados 
de tal forma que as origens coincidem em t = = 0.	
!
!
A transformação deve ser linear em coordenadas. Obviamente y = y’ e z = z’. Já que x = vt 
deve corresponder a = 0, então	
!
!
 é uma constante que depende de v eq. 2.1	
 	
Da mesma forma t’ deve ter a forma	
!
!
 eq. 2.2	
!
!
Vamos supor que um pulso de luz é emitido em t = 0, a partir da origem. Isto ocorre também 
em t’ = 0 na origem de S’. Seja r e r’ coordenadas perpendiculares a direção do movimento, 
ou seja, r = (z2 + y2)1/2. Ja que a velocidade da luz, c, é uma constante, a distância viajada 
pelo pulso será a mesma em ambos sistemas. Num tempo t, o pulso de luz terá alcançado a 
superfície de uma esfera de raio ct no sistema S, e de raio ct’ no sistema S’. Assim:	
�7
Uma vez que coordenadas perpendiculares (y,z) não são afetadas por movimento na direção 
x, r e r’ devem ser iguais independente do tempo. Assim:
eq 2.3
Se substituirmos eq. 2.1 e eq. 2.2 na equação 2.3, obtemos
Da mesma forma temos
ou
Esta condição é válida para todos os valores de x e t. Assim, os coeficientes devem ser:
′
�8
Isto nos dá 3 equações para 3 variáveis γ, m e n
�9
Mas as soluções devem valer também no limite Galileano quando v/c tende a 0. Assim, 
tomamos a raiz positiva da equação acima.
Da equação (c) temos:
�10
Da equação (a) temos:
Assim, as transformações de Lorentz para x’ e t’ são:
Assim, podemos escrever estas equações em termos do fator γ como:
eq 2.4
eq 2.5
eq 2.6
eq 2.7
�11
Exemplo: Calcule o fator de Lorentz quando a velocidade relativa v é 10% da velocidade 
de luz e 90% da velocidade da luz.
�12
Estranhamente, as transformações de Lorentz eram conhecidas mesmo antes do advento da 
Relatividade Especial! Elas eram conhecidas como as transformações que sob as quais as 
equações de Maxwell eram invariantes, mas seu significado físico não era totalmente 
entendido. Assim, as equações de Maxwell eram vistas como não relativísticas.
A R e l a t i v i d a d e E s p e c i a l 
elimina o tempo absoluto; ao 
i n v é s d i s s o t e m o s u m a 
relatividade da simultaneidade
As transformações de Lorentz têm um número de implicações radicais e não-intuitivas que 
discutiremos a seguir.
�13
Considere uma vara de comprimento Lo em repouso no sistema ; a vara é orientada na 
direção . Qual o comprimento da vara no sistema S ?
Contração do Comprimento
Sejam ∆ x = x2 - x1 , ∆ y = y2 - y1 , etc; as diferenças de coordenadas de dois eventos no 
sistema S e similarmente no sistema . Se substituirmos estas coordenadas nas equações 2.6 
e 2.7 e subtrairmos, obteremos
eq 2.8
eq 2.9
Seja ∆ = Lo . Para determinar seu comprimento no sistema S, devemos observar os 
extremos no mesmo tempo no sistema S. Isto significa ∆ t = 0 da equação 2.8, e assim
Uma vez que v/c é sempre < 1 então γ é sempre > 1.
A vara é encurtada na direção de seu 
movimento por 1/γ = (1 - v2/c2)1/2
Note que as dimensões perpendiculares à direção do movimento continuam inalteradas.
�14
onde ∆ to é o intervalo de tempo no sistema de repouso. 
Dilatação do Tempo
eq 2.10
Vamos considerar um relógio o qual é fixo no sistema referência . Dois eventos no sistema 	
 são separados por . Qual intervalo de tempo um observador no sistema S 
mede para estes dois eventos ? Uma vez que o relógio é fixo em , ∆ = 0 e assim: 
O análogo da equação 2.9 dando ∆ t em termos de ∆ e ∆ é:
Relógios se movendo com velocidade v em relação a um 
sistema inercial S medem um intervalo de tempo maior 
(mais lento), por 1/γ = (1-v2/c2)1/2 , em relação a um relógio 
estacionário no sistema S.
Mostre que a partir da equação 2.9 podemos escrever a equação 2.10, usando a equação 2.8
�15
Exemplo: Raios cósmicos colidem com núcleos de átomos na atmosfera terrestre 
produzindo partículas chamadas muons. Muons são instáveis e decaem após 2.20 μs 
como medido em um laboratório onde os muons estão em repouso. Isto é, o número 
de muons em uma amostra deve decrescer com o tempo de acordo com a expressão 
N(t) = No e-t/τ , onde No é o número de muons originalmente na amostra em t = 0. No 
topo de uma montanha um medidor mediu 563 muons h-1 movendo-se a uma 
velocidade u = 0.9952c. No nível do mar, 1907m abaixo do primeiro medidor outro 
detector mediu 408 muons h-1.	
!
Os muons levam (1907/0.9952c) = 6.39 μs para viajar da montanha ao nível do mar. 
Assim, deveríamos esperar que	
!
 N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/2.20) = 31 muonsh-1	
!
que é muito menor do que os 408 muons h-1 medido no nível do mar.	
!
O problema com este cálculo é que o tempo de vida do muon é medido no referencial 
em repouso do muon mas o relógio do experimentador tanto na montanha quanto no 
nível do mar está se movendo em relação ao muon. Eles medem o tempo de vida do 
muon como	
!
!
!
Usando esta nova estimativa temos que N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/22.5) = 424 muons h-1	
em excelente acordo com as medidas ao nível do mar.
�16
Paradoxo dos Gêmeos
Neste caso temos dois gêmeos, o primeiro viaja com velocidade constante até uma estrela 
distante e volta à Terra, a uma velocidade igual a 0.8c, enquanto o segundo permanece na 
Terra o tempo todo. O primeiro gêmeo quando retorna percebe que o segundo está mais 
velho. Esta observação está em acordo com a RE, mas vai de encontro com nossa visão 
intuitiva do mundo que nos cerca.	
!
O paradoxo resulta da afirmação de que todo movimento é relativo. Sendo esse o caso cada 
um dos gêmeos poderia ter a impressão de que foi o outro que viajou e portanto o outro que 
retornou mais jovem, levando a uma contradição lógica.	
!
A simetria dos movimentos é quebrada quando percebemos que o segundo gêmeo permanece 
o tempo todo no mesmo referencial inercial, enquanto que o primeiro muda várias vezes de 
referencial. Consideremos a figura abaixo:
ct
x
linha de Universo de (1) na ida
linha de Universo de (1) na volta
lin
ha
 de
 U
niv
ers
o d
e (
2)
�17
A análise correta baseia-se no intervalo invariante. 	
!
!
!
!
Consideremos que para o segundo gêmeo que ficou na Terra passaram-se 10 anos (5 anos de 
ida e 5 anos de volta). No sistema do primeiro gêmeo então Δtʹ = Δt / 𝛾 = 3 anos. Então, do 
ponto de vista do primeiro gêmeo Δx = 0 e Δt = 𝜏 = 3 anos (tempo próprio).	
!
No entanto, do ponto de vista do gêmeo que ficou na Terra 	
!
!
!
e como (Δx/c)2 é sempre positivo, ele sempre observa um tempo Δt > 𝜏. Então, do ponto de 
vista do segundo gêmeo Δx = 0.8c Δt e portanto	
!
 (Δt)2 = (3 anos)2 + (0.8c Δt/c)2	
!
ou seja Δt = 5 anos, ou 10 anos para a viagem completa.	
!
�18
Transformações de Velocidade
Na transformação Galileana a adição de velocidades é simples, no caso da transformação de 
Lorentz as coisas são diferentes. Considere novamente dois sistemas, S e em configuração 
padrão. Suponha que uma partícula em S tem velocidade u = (ux , uy , uz ). Qual é sua 
velocidade em .. .
Assuma que a partícula move-se uniformemente, então podemos escrever sua velocidade nos 
dois sistemas como:
Substituindo equações 2.8 e 2.10 em 2.12, temos
eq 2.11
eq 2.12
eq 2.13
eq 2.14
eq 2.15
�19
Considere primeiro o efeito doppler clássico. Suponha que tenhamos uma fonte de luz 
emitindo radiação com comprimento de onda λo . Considere um observador em S, relativo ao 
qual a fonte está em movimento com velocidade radial ur .	
!
Seja o tempo entre dois pulsos sucessivos no referencial onde a fonte está em repouso ∆ . 
A distância que estes dois pulsos têm de viajar para alcançar S difere por ur ∆ . Já que os 
pulsos viajam a velocidade c, eles chegam em S com uma diferença de tempo 
Efeito Doppler Relativístico 
eq 2.16
S ur
�20
Agora consideremos o efeito doppler relativístico. Já que está em movimento com respeito 
a S, o intervalo de tempo entre os pulsos de acordo com S é γ∆ , devido a dilatação do 
tempo. Assim:
Se a velocidade é puramente radial, ur = v
Este é o efeito doppler transverso; é um efeito puramente relativístico devido a dilatação do 
tempo em fontes que se movem. 
Contudo, existe um desvio doppler mesmo se ur = 0! Se ur = 0 (e.g. se está em órbita 
circular em torno de S) então
eq 2.17
eq 2.18
eq 2.19
�21
Exemplo: No referencial em repouso o Quasar SDSS 1030+0524 produz uma 
emissão de Hidrogênio no comprimento de onda λrep = 121.6 nm. Na Terra a 
linha de emissão é observada com λobs = 885.2 nm.	
!
O redshift do Quasar é então z = (λobs - λrep )/ λrep = 6.28	
!
Usando a equação 2.18 temos:	
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Importante lembrar que estes objetos possuem grandes velocidades de recessão 
mas não devido a movimento relativo, mas a expansão do Universo como 
veremos no capítulo de Cosmologia.	
!
!
�22
Na mecânica Newtoniana,
Massa Relativística
eq 2.20
onde p = m v é o momentum linear, assumindo que a massa é constante.
Na mecânica relativística as coisas são um pouco mais complicadas! Vamos escrever a 
segunda lei de Newton na forma F = dp/dt.	
!
Considere uma colisão perfeitamente inelástica (ou seja, as partículas permanecem juntas!) 
dos pontos de vista dos nossos sistemas S e . Uma das partículas está em repouso no 
sistema S e a outra tem velocidade u, antes que elas colidam. Após a colisão as partículas se 
juntam e têm velocidade U.	
!
Estamos livres para escolher nosso sistema inercial da maneira que quisermos, e assim por 
simplicidade vamos assumir que seja o referencial do centro de massa do sistema.
�23
No referencial do centro de massa do sistema, uma 
partícula de massa M(0) está em repouso depois da 
colisão; as duas partículas colidem com velocidades 
iguais e opostas. Lembre que o sistema deve se mover 
com velocidade U em relação a S. Da conservação de 
massa no sistema S temos:
A partir da conservação do momentum:
ou
eq 2.21
eq 2.22
�24
A partícula a esquerda tem velocidade U relativo ao sistema . por sua vez tem uma 
velocidade U relativo a S. Adicionando estas duas velocidades encontramos a velocidade da 
partícula, u em S.
Lembre que a lei de transformação de velocidades se escreve como:
eq 2.23
para um sistema se movendo com velocidade v. Aqui, queremos ux em termos de . 
Lembre que os sistemas são simétricos. Para um observador em o sistema S esta se 
movendo com velocidade -v. Assim, substituindo v por -v e trocando os índices:
eq 2.24
Aqui, = v e v = U, enquanto que ux = u, assim 
Resolvendo esta equação para U em termos de u, obtemos a seguinte equação quadrática: 
�25
a qual tem raízes
eq 2.25
No limite u 0, esta equação deve produzir um resultado finito, logo temos de tomar o 
sinal negativo na solução.	
!
Substituindo na equação 2.22 obtemos:
�26
Assim, massa não é independente da velocidade. Aqui, m(0) é a massa de repouso.
eq 2.26
eq 2.27
�27
A equação 2.27 implica que fótons possuem massa de repouso zero. Este é o motivo pelo 
qual fótons movem-se a velocidade da luz; para qualquer partícula de massa de repouso não-
nula m(u) ∞ quando u c
Assumindo que u/c é pequeno, podemos expandir a equação 2.26:
eq 2.28
Multiplicando ambos os lados da equação por c2, obtemos:
eq 2.29
Note que o lado direito da equação se assemelha a uma constante mais a energia cinética, 
assim a massa relativística contém em si a expressão para a energia cinética clássica. Na 
verdade, a conservação da massa relativística leva a conservação de energia no limite 
Newtoniano.	
!Vejamos este ponto em maior detalhe. Suponha que tenhamos duas partículas com massas de 
repouso m0.1 e m0,2 que colidem; suas velocidades iniciais são vi,1 e vi,2 e suas velocidades 
finais são vf,1 e vf,2 . Conservação da massa relativística requer que:
eq 2.30
�28
No limite Newtoniano (v/c << 1 para todos os valores de v), podemos expandir os γ’s na 
equação 2.30:
que é exatamente a expressão de conservação de energia.
eq 2.31
Multiplicando por c2 e subtraindo os termos constante de ambos os lados, obtemos:
Equação 2.29 sugere que vejamos E = mc2 como a energia total de uma partícula; que 
consiste da energia cinética mais a energia de repouso moc2. Este último é um termo muito 
grande! uma grama de massa de repouso é eqüivalentea 9 x 1020 kilotões. Podemos definir 
então a energia cinética de uma partícula como:
eq 2.32
Para u/c << 1, esta equação se reduz a usual K = (1/2)mou2. Similarmente, o momentum 
relativístico é:
�29
Classicamente, energia e momentum são relacionados pelas equações E = (1/2)mv2 = p2/2m. 
Qual é a relação relativística? 	
!
Elevando ao quadrado a expressão para o momentum relativístico obtemos:
eq 2.33
�30
Note que podemos ter partículas com massa de repouso zero (e.g. fótons) com energia e 
momentum não-nulos; estas partículas obedecem a relação
E = p c eq 2.34
Para obtermos momentum não-nulo, o momentum relativístico
deve convergir para um valor finito quando mo 0; isto requer que u c quando mo 0	
Assim, todas as partículas sem massa devem viajar a velocidade da luz, c.
A massa relativística do fóton é não-nula:
eq 2.35
Já que E = h ν,
eq 2.36
Já que a massa inercial relativística do fóton é não-nula, fótons são afetados por gravitação 
(como enunciado no Princípio da Equivalência).
�31
Suponha que um fóton de freqüência υe é emitido na superfície de um corpo de massa M e 
raio R. O fóton escapa para o infinito. Qual a freqüência do fóton como observado no infinito 
?	
!
Para escapar do campo gravitacional, o fóton deve realizar trabalho. O trabalho realizado por 
unidade de massa é
Redshift Gravitacional
eq 2.37
Assim, a massa inercial do fóton é m = hυo /c2, a perda de energia é
Escrevendo a freqüência observada no infinito como υo . Então
ou
�32
É convencional definir o redshift por
Assim, o redshift gravitacional é:
eq 2.38
De maneira equivalente, uma vez que podemos interpretar átomos que emitem como 
relógios, podemos também entender este redshift gravitacional como uma dilatação 
gravitacional do tempo: relógios se atrasam em um campo gravitacional.
eq 2.39
Veja as referências Phys. Rev. Lett. 45, 2081–2084 (1980), Phys. Rev. Lett. 3, 439–441 
(1959), sobre testes relativos a teoria da relatividade.
�33
Como vimos anteriormente:
Espaço Tempo
Relatividade Transformações de Lorentz 
!
!
Eliminação do Tempo Absoluto e do Espaço 
Absoluto
As coordenadas espaço e tempo são “misturadas” para diferentes observadores. Logo, não 
faz mais sentido falar em espaço e tempo como entidades separadas, mas como uma só 
entidade quadri-dimensional chamada espaçotempo. 	
!
A quantidade fundamental neste espaçotempo é o evento. O evento é especificado por 4 
quantidades, e.g. x,y,z,t. 	
!
Considere um evento O, que tomamos como a origem do nosso sistema de coordenadas. 
Emitimos um pulso de luz em O. O que veremos com o passar do tempo ? A frente de onda 
irá expandir a uma velocidade c, logo após um tempo t irá alcançar uma distância ct da 
origem O. Como o diagrama espaçotempo se parecerá ? (não podemos visualizar em 4D).
�34
Com uma dimensão suprimida, a frente de onda do pulso de luz parece um cone. Este é 
chamado o cone de luz. Com o eixo vertical expresso em ct, o cone de luz faz um ângulo de 
45o com os eixos espaciais e o eixo ct. 	
!Podemos considerar também um certo tempo -t antes do evento O. Somente fótons a uma 
distância ct de O podem alcançar O entre os tempos -t e O. Quando -t se aproxima de O, o 
tamanho da frente de onda do pulso de luz que pode alcançar O colapsa.
Cone de Luz
Passado
Futuro
Assim, a frente de onda colapsa a zero em O e 
então re-expande simetricamente.
�35
Assim, nós temos um cone de luz passado e um cone de luz futuro. Já que nada pode viajar a 
uma velocidade maior do que c, o cone de luz divide o espaçotempo (como visto pelo 
observador em O) em regiões acessíveis e inacessíveis, nem todas as direções são 
equivalentes no diagrama espaçotempo.
O espaçotempo não é isotrópico.
Se enviamos um pulso de luz da origem de um sistema de coordenadas em t = 0 (assumindo 
um espaço Euclidiano), sua distância radial a partir da origem é ct:
Se consideramos dois eventos que são conectados por um raio de luz, então:
Isto significa dizer que a distância percorrida por um raio de luz, c∆ t, é igual a distância 
espacial entre dois eventos, [∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z2]1/2 . Lembrando a transformação de Lorentz:
�36
Usando estas expressões, podemos mostrar que:
Assim, o intervalo ∆ s2 ≡ c2∆ t2 - ∆ x2 - ∆ y2 - ∆ z2 entre dois eventos é inalterado por uma 
transformação de Lorentz; isto é o invariante de Lorentz. Note que ∆ s2 é uma quantidade 
escalar.	
!
Isto é análogo à separação espacial entre dois pontos no espaço Euclidiano, ∆ r2 = ∆ x2 + ∆ 
y2 + ∆ z2, permanecendo inalterado por uma transformação de coordenadas.
�37
Existe uma importante distinção: ∆ r2 é sempre positivo, o que não é verdadeiro para o 	
intervalo ∆ s2 = c2∆ t2 - ∆ r2 , o qual pode ser positivo, negativo ou zero.	
!
Como já vimos, para dois eventos separados por um raio de luz,
Por motivos óbvios, isto é chamado uma separação tipo luz. 	
!
Se ∆ s2 > 0, isto significa que
ou
em qualquer referencial inercial (uma vez que ∆ s2 é um invariante de Lorentz). Isto significa 
que é possível para um observador movendo-se com velocidade uniforme v < c, viajar de um 
evento ao outro; no sistema de referência do observador ∆ r = 0 e a separação em tempo 
entre os dois eventos é ∆ t = ∆ s / c. 	
!
Assim, quando ∆ s > 0, ∆ s é igual a c vezes a diferença de tempo, ∆ t, entre os eventos, 
como visto pelo observador num referencial inercial para o qual os eventos acontecem no 
mesmo ponto. Logo, eventos para os quais ∆ s > 0, acontecem sobre linhas de Universo de 
uma partícula material.
∆ s > 0 é denominado de separação tipo tempo
�38
Se ∆ s2 < 0, isto significa que
o que, novamente, é verdadeiro em qualquer sistema inercial. É impossível para dois eventos 
com ∆ s2 < 0 serem conectados por um raio de luz, ou se localizar na linha de Universo de 
uma partícula material, uma vez que isso iria requer uma viagem superluminal. 	
!
No entanto, existe ainda um significado físico neste caso: 
o que implica que | ∆ s2 | é a separação espacial entre os eventos em um sistema inercial no 
qual os eventos são simultâneos; um tal sistema sempre existe, como pode ser visto das 
transformações de Lorentz.
Vetor tipo espaço
Vetor tipo tempo	
apontando o futuro
Passado Absoluto
AbsolutoFuturo
�39
Este é conhecido como espaçotempo de Minkowski ou espaçotempo “plano”, já que a 
geometria é Euclidiana.	
!
Uma vez que ∆ s2 é um invariante, cones de luz em um referencial inercial são mapeados em 
cones de luz em qualquer outro sistema inercial. Todos os observadores inerciais concordam 
sobre o passado e o futuro de um evento.
∆ s < 0 é denominado de separação tipo espaço
Linha de Universo: locus de 
sucessivos eventos em sua história
�40
∆ s = 0, separação tipo luz
Em suma:
∆ s > 0, separação tipo tempo
∆ s <0, separação tipo espaço
(∆ s)2 = c2(∆t)2 - (∆x)2
Eventos na superfície do cone de luz. Neste caso dois eventos 
podem ser conectados pela linha de Universo de um pulso de luz 
em qualquer sistema de referência.
Neste caso os eventos estão fora do cone de luz um do outro. Existe um sistema de 
referência onde ∆t = 0 e ∆s = ± i |∆x|. Não existe um sistema de referência onde os 
eventos ocorram na mesma localização. Se ∆x = 0, (∆s)2 não pode ser negativo. Neste 
caso tempo próprio não é definido.
Os eventos em questão estão dentro do cone de luz um do outro. Neste caso existe um 
sistema de referência no qual ∆x = 0 e ∆s = ± c∆t. Se dois eventos são separados por 
um intervalo tipo tempo não existe nenhum sistema de referência onde eles são 
simultâneos. Se ∆t = 0 então (∆s)2 não pode ser positivo. Neste caso o intervalo de 
tempo é denominado intervalo de tempo próprio.
�41
Suponhamos que temos uma partícula em movimento (por conveniência o movimentoé ao 
longo do eixo-x). Se fizermos um gráfico de suas posições em função do tempo, construímos 
o diagrama espaço tempo. Nas transformações de Lorentz, espaço e tempo são misturados. 
Como relacionamos os diagramas de S e ?
Seja o eixo vertical dado em unidades de ct; então um raio de luz tem inclinação de 45o . 
Como sempre sincronizamos os relógios em t = = 0. Quais são os eixos c e neste 
diagrama ?
A partir das transformações de Lorentz,
eq 2.40
eq 2.41
O eixo c é a linha = 0; a partir da equação 2.40, isto significa
Assim o eixo c é a linha reta ct = (c/v) x 	
com inclinação c/v >1. O eixo é a linha c 	
= 0; a partir da equação 2.41, temos
Linhas de Universo de 
pontos fixos em 
Linhas de 	
Simultaneidade 	
em 
Assim, o eixo é a linha ct = (v/c) x com inclinação v/c <1.
�42
Exemplo: Dois eventos ocorrem em (ct1,x1,y1,z1) = (3,7,0,0) e 
(ct2,x2,y2,z2) = (5,5,0,0). Qual a separação medida no espaço-tempo ?	
!
Δx = (5-7) = -2m and cΔt = (5-3) = 2m. Já que a separação no espaço-tempo 
é (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2, neste caso segue que 	
!
(Δs)2 = (2)2 − (2)2 = 0. O valor (Δs)2 = 0 descreve a situação em que dois 
eventos podem ser ligados por um sinal luminoso. Esta separação é 
denominada “tipo luz”.
�43
Qualquer conjunto de quatro quantidades que seguem as transformações de Lorentz é 
denominado um quadrivetor. Em um dado sistema de referência as três primeiras 
componentes (espaciais) de um quadrivetor forma um trivetor ordinário; a quarta 
componente é a componente temporal.
eq 2.42
Quadrivetores
O invariante associado com o quadrivetor momentum-energia é:
Anteriormente mostramos que a combinação x2 - c2t2 (em uma dimensão) é um invariante 
relativístico; tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Uma invariante análogo 
deve existir para qualquer quadrivetor. Se V1, V2, V3, V4 são componentes de um quadrivetor, 
a quantidade V1 + V2 + V3 -V4 é um invariante. Sua raiz quadrada pode ser entendida com um 
“comprimento” generalizado.
Se uma lei física pode ser expressa pode ser expressa como uma relação entre quadrivetores, 
sua covariância relativística estará assegurada.
�44
Se uma quantidade é invariante, seu valor pode ser calculado em qualquer sistema de 
referência adequado. Num sistema de repouso de um corpo, p = 0 e E = m c2 . Logo o valor 
do invariante deve ser -m2c2. Assim, temos a relação:
eq 2.43
ou eqüivalentemente,
O quadrivetor momentum-energia pode ser escrito como P = (E/c, p), onde o momentum é 
definido pelo vetor (px , py , pz).
�45
2 - No referencial S, dois elétrons se aproximam um do outro, cada um com velocidade v = 
c/2. Qual a velocidade relativa dos dois elétrons ?
3- Um píon é criado numa colisão de partículas com uma velocidade tal que γ = 100, e é 
observado viajar uma distância de 300m antes de decair espontaneamente. Por quanto tempo 
o píon existe em seu referencial de repouso ?
4- No acelerador LEP no CERN, elétrons são acelerados a energias de cerca de 50 GeV. Por 
quanto a velocidade dos elétrons desvia da velocidade da luz, c ?
5 - Uma partícula em repouso com massa M decai em duas partículas de massas iguais. 
Calcule a velocidade das duas partículas que são criadas após o decaimento. De uma 
resposta numérica para o caso de um méson rho (M = 770 MeV/c2) em dois píons carregados 
(m = 140 MeV/c2).
1 - Mostre que a equação de onda ∂2Ψ/∂x2-(1/c2)(∂2Ψ/∂t2) = 0 é invariante sob transformação 
de Lorentz, mas não é invariante sob transformação de Galileo.
Exercícios
�46
6 - Mostre que a massa de uma partícula é inalterada por transformação de Lorentz.
Exercícios
7 -Um astronauta numa nave espacial viaja até α-Centaurus, que está a uma 
distância de 4 anos-luz medido a partir da Terra, a uma velocidade u/c = 0.8. a) 
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido por um relógio na Terra ?; b) 
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido pelo piloto da nave 
espacial ?
8 - Considere o intervalo no espaçotempo dado pela equação 	
 (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 	
!
Se (Δs)2 <0 o intervalo é tipo espaço, qual o significado físico de (-(Δs)2 )1/2 ?	
�47
9 - O diagrama espaçotempo mostra 5 estrelas que 
explodem como supernovas (SN) nos pontos A,B,C,D 
e E. Estas supernovas são observadas por astrônomos 
na Terra e também por cientistas a bordo de uma nave 
que move-se rapidamente. As linhas de Universo da 
Terra e da nave são mostradas na figura. Responda às 
seguintes perguntas:	
!
1 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no 
sistema de referência da Terra ?	
2 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no 
sistema de referência da nave	
3 - em que ordem cronológica os astrônomos na Terra 
vêm as SNs ?	
4 - em que ordem cronológica os cientistas na nave 
vêm as supernovas ?
�48
10 - Como medido num sistema de referencia Sʹ, uma fonte de luz está em repouso e 
irradia em todas as direções igualmente. Em particular, metade da luz é emitida 
sobre um hemisfério (xʹ positivo). Nesta situação quão diferente será a forma do 
feixe de luz como visto do referencia S, o qual mede a fonte de luz viajando na 
direção de x positivo com uma velocidade relativística u ?
Exercícios

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