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1 UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA ALEXANDRO ALDO LOPESOSORIO LEILIANE COELHO DE FREITAS FERNANDA DE NAZARÉ OLIVEIRA DEBORA CABRAL GEOMETRIA ANALÍTICA: ESTUDO DAS CÔNICAS BELÉM-PA 2015 2 UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA ALEXANDRO ALDO LOPESOSORIO LEILIANE COELHO DE FREITAS FERNANDA DE NAZARÉ OLIVEIRA DEBORA CABRAL GEOMETRIA ANALÍTICA: ESTUDO DAS CÔNICAS Trabalho acadêmico apresentado ao curso de Engenharia de Produção da Universidade da Amazônia como requisito parcial para aprovação da disciplina de Geometria Analítica, sob a orientação da professora Eliete Barroso. BELÉM-PA 3 2015 RESUMO As cônicas são curvas especiais em que se podem destacar a elipse, a parábola e a hipérbole. Elas foram estudadas a fundo a partir do século IV antes de Cristo pelos matemáticos Hipócrates de Chios, Menaecmus, Euclides e Apolônio. O primeiro avanço concreto no problema da duplicação do cubo foi feito por Hipócrates de Chio, e reduzia o problema à construção e uso de curvas com as propriedades expressas na proporção aumentada 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝑦 2 desde que se pudesse encontrar essas curvas. A partir de então, as tentativas seguintes de duplicação do cubo seguiam as descobertas de Hipócrates A elipse foi descoberta por Menaecmus quando pesquisava sobre a parábola e a hipérbole, que ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação de cubos que consistia em encontrar um cubo cujo seu volume fosse igual a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Consequentemente, a elipse surgiu mais tarde quando se cortou uma superfície cônica perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o nome seções cônicas. Uma das mais importantes obras de Euclides foi o tratado sobre as cônicas que consistia de 387 proposições. Esse trabalho, no entanto, foi superado pelo trabalho de Apolônio o qual teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido a isso ele ficou conhecido como Geômetra Magno. Em seus trabalhos ele mostrou que a partir de um único cone é possível obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção e provou que o cone não precisa ser reto. Finalmente substituiu o cone de uma só folha por um cone duplo, sendo assim o primeiro a reconhecer a existência dos dois ramos da hipérbole. O tratado As Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. É inegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu (tabelas trigonométricas, sistemas de latitude e longitude), Kepler ("os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um de seus focos"), Galileu ("a trajetória de um projétil é uma parábola"). 4 SUMARIO 1. SEÇÕES CÔNICAS 1.2. PARÁBOLA 1.2.1. EQUAÇÃO CANONICA DA PARABOLA 1.2.3. EXERCICIOS RESOLVIDOS 1.2.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA PARÁBOLA 1.3. ELIPSE 1.3.1. EXCENTRICIDADE DA ELIPSE 1.3.2. EQUAÇÃO CANONICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM 1.3.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.3.4 APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA ELIPSE 1.4. HIPÉRBOLE 1.4.1. EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE 1.4.2. EQUAÇÃO CANONICA DA HIPERBOLE DE CENTRO NA ORIGEM 1.4.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.4.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA HIPERBOLE 2. REFERÊNCIAS 5 1. SEÇÕES CÔNICAS As Seções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da Matemática. De acordo com Paulo Winterle (2007, p. 159) “chama-se seção cônica, ou simplesmente, uma cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a superfície cônica”, ou seja, a curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice; este plano é o plano secante. Outras descobertas envolvem o tema, como a possibilidade de expressar as seções cônicas por meio equações do segundo grau, feito matemático francês Pierre de Fermat. Para entender na prática as seções cônicas, observe as retas concorrentes em O e não perpendiculares na figura 2.1. Percebe-se que a reta e foi conversada fixa, enquanto a reta r girou 360º em torno dela, mantendo constante o ângulo entre elas. Assim, r gerou uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O. chamamos a reta r de geratriz da superfície cônica, e a reta e de eixo da superfície. Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola (a) Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das folhas do cone, a cônica é uma elipse. (b) Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas do cone, a cônica é uma hipérbole (c) Figura 1.1 Figura 1.1. (a) (b) (c) 6 1.2. PARÁBOLA A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora de cone (chamada geratriz), conforme a figura 1.2.1 Algebricamente definimos a parábola como o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma reta fixa (diretriz) são iguais. O ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz que está na parábola é chamada de vértice. Com base na figura 1.2.2, denominamos os elementos da parábola: LATUS RECTUM: é a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima. F: Foco D: Diretriz V: Vértice P: Parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz (P≠0) RETA VF Eixo de simetria da parábola. Figura 1.2.1. Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano Figura 1.2.2. A figura mostra alguns pontos pertencentes à parábola 7 1.2.1. EQUAÇÃO CANONICA DA PARABOLA (V = 0) a) O eixo da parábola é o eixo dos y A equação de uma parábola com foco F = (P, 0) e a reta diretriz y = - p é: 𝑥2 = 2𝑝𝑦 (1) Que é a equação canônica ou reduzida ou padrão para este caso. Deve ser observado que na equação x² = 2 py que: Figura 1.2.3. Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > o Se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (voltada para a parte positiva do eixo y) Se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo 8 b) O eixo da parábola é o eixo dos x A equação de uma parábola com foco F = (P, 0) e a reta diretriz x = - p é: 𝑦2 = 2𝑝𝑥 (2) Deve ser observado que na equação y² = 2 px que: Figura 1.2.4. Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0 Se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita (voltada para a parte positiva do eixo x) Se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para a esquerda 9 1.2.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) dada a parábola de equação y² = - 8x, pedem-se: A) As coordenadas do foco; Resolução: Sendo x o eixo de simetria, então F = ( 𝑝 2 , 0). A equação y² =-8x é da forma y² = 2x. comparando os coeficientes do 2º membro: 2p = -8 → p= -4 → 𝑝 2 = - 2 Resp.: F = (-2, 0) a) O gráfico: Equação da diretriz: d: x – 2 = 0 2) determine a equação da parábola de vértice V = (3, −1), sabendo que y = 1 é a equação de sua diretriz. A equação da reta diretriz é y = 1. Isto nos diz que a reta diretriz é paralela ao eixo x. Assim, o eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo y, e portanto, a equação da parábola é da forma (x − x0)² = 2p (y − y0) (vértice fora da origem). Mas, x0 = 3 e y0 = −1. Então, (x − 3)² = 2p (y + 1). Note que a distância do vértice V à reta diretriz é 2, ou seja, − 𝑝 2 = 2, ou p = −4. Substituindo este valor na equação, obtemos (x − 3)² = −8 (y + 1) ⇐⇒ x² − 6x + 8y + 17 = 0. 10 1.2.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA a) Bebedouros públicos, a agua jorrada descreve uma curva parabólica. b) Aplicações na engenharia de telecomunicações nas antenas parabólicas c) Na engenharia, as pontes suspensas (juntamente com as pontes estiadas) são bastante utilizadas, pois possibilitam os maiores vãos. Nessas pontes, a base (tabuleiro) é sustentada por vários cabos metálicos verticais (pendurais) ligados a dois cabos maiores principais, que por sua vez, são conectados às torres de sustentação. Vale a pena ressaltar que a parábola é também o gráfico que representa qualquer função do tipo f (x) = ax² + bx + c, com a, b, c sendo números reais. Essa função é conhecida como função quadrática ou de 2. ° grau. 11 1.3. ELIPSE De acordo com Jacir Venturi (2003, P. 69) “É o lugar geométrico dos pontos (P) de um plano cuja a soma das distâncias, a dois pontos fixos F1 e F2 (focos da elipse) do mesmo plano, é uma constante (2a), onde 2a > d (F1 e F2) = 2c”. A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície. Ao imaginarmos dois pontos distintos F1 e F2 no plano, de modo que a distância (F1, F2) = 2c e um número real positivo a com 2a > 2c. Neste caso, 2a é a definição e o ponto P pertence à elipse se, e somente se d (D, F1) + d (P, F2) = 2a. Com base na figura 1.3.2, encontramos os seguintes elementos: FOCOS Os pontos F1 e F2 DISTÂNCIA FOCAL A distância 2c entre os focos CENTRO DA ELIPSE Ponto médio C do segmento F1 e F2 EIXO MAIOR Segmento A1 e A2 de comprimento 2a EIXO MENO Segmento B1 e B2 de comprimento 2b e perpendicular A1 e A2 no seu ponto médio VERTICES Pontos A1, A2, B1 e B2 EXCENTRICIDADE O número real 𝑒 𝑐 𝑎 = (0 < 𝑒 < 1) Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na figura, obtemos a relação notável: a² = b² + c² Figura 2.3.1 Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano Figura 1.3.2. Elementos da elipse. 12 1.3.1. EXCENTRICIDADE DA ELIPSE Uma importante característica da Elipse é a sua excentricidade, que é definida pela relação: 𝜀 = 𝑐 𝑎 (0 < 𝑒 < 1, sendo 𝜀 a letra grega épsilon) Como 𝑎 e 𝑐 são positivos e 𝑐 < 𝑎, depende-se que 0 < 𝜀 < 1. De acordo com Paulo Winterle (2007, P. 187), “A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidades perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto elipses com excentricidade próximas de 1 são “achatadas. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo, 𝑒 = 1 2 , todas infinitas elipses com estas excentricidades têm a mesma forma (diferem apenas pelo tamanho), conforme a figura 1.3.3. 1.3.2. EQUAÇÃO CANONICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM a) O eixo maior coincide com o eixo x A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦² 𝑏² = 1, em que 𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2. Figura 3.3.3 Excentricidades da elipse Figura 2.3.4: Elipse com focos nos pontos F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) 13 b) O eixo maior coincide com o eixo y A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, -c) e F2 = (0, c) é: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦² 𝑎² = 1, em que 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2. 1.3.3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) determine as equações das elipses seguintes: a) a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 100 a = 10 Equação: 𝑥² 100 + 𝑦² 36 = 1a b) a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13 Equação: 𝑥² 25 + 𝑦² 169 = 1 Figura 2.3.5: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) 14 2) considere a equação 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎 representativa de uma elipse. Determine a sua equação reduzida, as coordenadas dos focos e vértices e o valor da sua excentricidade. Resolução: Para obtermos a equação reduzida, teremos de transformar a equação que define a elipse do problema numa equação equivalente. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎 ⇔ 𝟗(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟒(𝒚𝟐 − 𝟔𝒚) = −𝟗 ⇔ 𝟗(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟒(𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟗) = −𝟗 + 𝟗 + 𝟑𝟔 ⇔ 𝟗(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒(𝒚 − 𝟑)² = 𝟑𝟔 ⇔ (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟒 + (𝒚 − 𝟑)² 𝟗 = 𝟏 ⇔ Isso mostra que o centro da elipse é o ponto (-1, 3). Como a = 2 e b = 3, vem b > a e, portanto 𝑐 = √9 − 4 = √5, pois b² = a² + c² Para uma elipse geometricamente igual à dada, mas com centro em (0,0), os focos seriam os pontos (0, √5) e (0, −√5). Então, para obter os focos da elipse do problema é necessário adicionar o vetor (-1,3). Focos: (0, √5) + (−1, 3) = (−1, 3 + √5) (0, √5) + (−1, 3) = (−1, 3 − √5) Para os vértices faz-se o mesmo raciocínio, logo Vértices: (2, 0) + (-1, 3) = (1, 3) (-2, 0) + (-1, 3) = (-3, 3) (0, 3) + (-1, 3) = (-1,6) (0, -3) + (-1, 3) = (-1, 0) Excentricidade: 𝜀 = 𝑐 𝑏 = √5 3 . 15 1.3.4 APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA ELIPSE a) podemos observar que a elipse está presente na trajetória das órbitas dos planetas em torno do Sol, e o Sol está posicionado num dos focos da elipse. Todos os planetas, com exceção de Plutão, descrevem elipses b) A aplicação óptica de um dispositivo de iluminação usado em consultórios Odontológicos. Este dispositivo consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado. c) ainda no campo da saúde, existe um procedimento muito utilizado no tratamento de cálculo renal, denominado litotripsia extracorpórea. Neste procedimento, conforme esquema abaixo, ondas de choque criadas fora do corpo do paciente viajam através da pele e tecidos até encontrarem os cálculos mais densos, pulverizando-os. O litotriptor possui um espelho elíptico que concentra os raios emitidos num determinado ponto com grande precisão. 16 1.4. HIPERBOLE De acordo com Paulo Winterle (2007, P. 193), “hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cujo módulo da diferença das distancias, em valor absoluto, a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) desse plano é constante”. Esta constante é menor que a distância entre os focos. A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a diferença entre o maior e a menor distância.Consideremos que no plano dois pontos distintos F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c e um número real positivo de modo que 2a < 2c. Sendo a constante da definição de hipérbole, então um ponto P pertence à hipérbole (figura 1.3.2) se, e somente se, | d (P, F1) – d (P, F2) | = 2a (1) A hipérbole é uma curva com dois ramos. Um ponto P está na hipérbole se, somente d (P, F1) – d (P, F2) = ± 2a. (2) Assim como a parábola e a elipse, a hipérbole também tem elementos próprios: Observando o triangulo retângulo da hipérbole hachurado na figura 1.4.2, temos a relação notável: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏² FOCOS São os pontos F1 e F2. DISTÂNCIA FOCAL É a distância 2c entre os focos. CENTRO É o ponto médio C do segmento F1 F2. VERTICES São pontos A1 e A2 EIXO IMAGINARIO OU CONJUGADO É o segmento B1 B2 e cujo comprimento é 2b EIXO REAL OU TRANSVERSO É o segmento A1 A2 de comprimento 2a. Figura 1.4.1. Hipérbole obtida seccionando- se um cone com um plano Figura 1.4.2. Hipérbole Figura 1.4.3. Elementos da hipérbole 17 1.4.1. EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE É DEFINIDA PELA RELAÇÃO 𝜀 = 𝑐 𝑎 (𝜀 > 1) Como 𝑎 e 𝑐 são positivos e 𝑐 > 𝑎, depende-se que 𝜀 > 1. Há uma proporcionalidade entre as excentricidades e a abertura da hipérbole: quanto maior a excentricidade, maior a abertura e vice-versa. 1.4.2. EQUAÇÃO CANONICA DA HIPERBOLE DE CENTRO NA ORIGEM a) A equação de uma hipérbole cujo focos são F1(- c, 0) e F2 = (c, 0) é 𝑥² 𝑎² − 𝑦2 𝑏2 = 1 (Eixo real = eixo x) E das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞), 𝑦 = ± 𝑏 𝑎 𝑥, Em que 𝑏 = √𝑐2 + 𝑎2. b) A equação de uma hipérbole cujo focos são F1(0, -c) e F2 = (0, c) é 𝑦² 𝑎² − 𝑥2 𝑏2 = 1(Eixo real = eixo y) (4) E das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞), 𝑦 = ± 𝑎 𝑏 𝑦, Em que 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 Deve ser ressaltado que na elipse sempre 𝑎 > 𝑏. Na hipérbole, no entanto, pode-se ter 𝑎 > 𝑏, 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 < 𝑏. Figura 1.4.4. Hipérbole com focos nos pontos F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) Figura 1.4.5. Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0, -c) e F2 = (0, c) 18 Além disso, numa hipérbole o eixo real, bem como o eixo focal, coincide com o eixo da coordenada correspondente. À variável de coeficiente positivo (se a equação estiver na forma canônica). 1.4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) dada a hipérbole de equação 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 pede-se: a) A equação canônica Resolução: Dividindo todos os termos da equação dada por 400: 16𝑥² 400 − 25𝑦2 400 = 1 Ou 𝑥² 25 − 𝑦2 16 = 1 Portanto, a² = 16 e b² = 25. Daí, vem a = 4 e b = 5 b) Excentricidade Resolução: Como c2 = a2 + b2, vem substituindo e efetuando. Calculo c: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 25 + 16 = 41 ⇒ √41 Portanto a excentricidade 𝜀 = 𝑐 𝑎 = √41 5 c) O gráfico Resolução: 19 1) Encontre a equação da reta tangente à hipérbole de equação 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 que passa pelo ponto P (0, -1). Resolução: Dividindo a equação por 144, obtemos 𝑥² 16 − 𝑦2 9 = 1. Logo, 𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 ± 4; 𝑏2 = 9 ⇒ 𝑏 = ±3 e 25 ⇒ 𝑐 ± 5. Sendo 𝑚𝑥 + 𝑛 e P (0, -1) um ponto da reta, então −1 = 0𝑥 + 𝑛, ou seja, 𝑛 = −1 e 𝑚𝑥 − 1. Substituindo 𝑦 = 𝑚𝑥 em 9x² + 16y² = 144, ficamos com 9𝑥2 + ! 6(𝑚𝑥 − 1)2 = 144 que simplificada resulta em: (9 − 16𝑚2)𝑥2 + 32𝑚𝑥 − 160𝑚 = 0 Se a reta e a curva são tangentes, elas possuem apenas um ponto comum. Isso significa que a equação do segundo grau tem discriminante igual a zero. Assim 6784 − 10240𝑚2 = 0 ⇒ 𝑚2 = 6784 10240 = 53 80 , ou seja, 𝑚𝑥 = ±√ 53 80 = ±0, 8 Portanto, as retas procuradas são: y = 0,8x - 1 Ou y= - 0, 8x – 1. A figura 1.4.6 é um esboço do gráfico da resolução gráfica da questão 2 do exercício. Figura 1.4.6. Reta tangente à hipérbole 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 no ponto p (0, -1) 20 1.4.3APLICAÇÕES DA HIPÉRBOLE NO DIA-A-DIA Um exemplo de uma aplicação óptica é o chamado telescópio de reflexão. É constituído basicamente por dois espelhos, um maior, chamado primário, que é parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Os dois espelhos dispõem-se de modo que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos da segunda. Quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são dirigidos para o foco, pela propriedade de reflexão da parábola. Como este também é foco da hipérbole, pela propriedade de reflexão desta os raios de luz refletem-se no espelho hiperbólico e seguem em direção ao outro foco da hipérbole. Os raios de luz passam através de um orifício no centro do espelho primário, atrás do qual está uma lente-ocular que permite corrigir ligeiramente a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica. . As curvas hiperbólicas também são utilizadas na arquitetura como pode ser observado da catedral de Brasília 21 Também é utilizado na construção de torres de refrigeração de usinas nucleares. Isso se deve ao fato de que o hiperboloide é uma superfície duplamente regrada, ou seja, para cada um dos seus pontos existem duas retas distintas que se interceptam na superfície. 22 2. REREFÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. 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