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GEOMETRIA ANALÍTICA: ESTUDO DAS CÔNICAS

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1 
 
 
UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA 
 
ALEXANDRO ALDO LOPESOSORIO 
LEILIANE COELHO DE FREITAS 
FERNANDA DE NAZARÉ OLIVEIRA 
DEBORA CABRAL 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA: ESTUDO DAS CÔNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM-PA 
2015 
 
 
 
2 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA 
 
ALEXANDRO ALDO LOPESOSORIO 
LEILIANE COELHO DE FREITAS 
FERNANDA DE NAZARÉ OLIVEIRA 
DEBORA CABRAL 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA: ESTUDO DAS CÔNICAS 
 
 
 
 
 Trabalho acadêmico apresentado ao curso 
de Engenharia de Produção da Universidade da 
Amazônia como requisito parcial para aprovação da 
disciplina de Geometria Analítica, sob a orientação da 
professora Eliete Barroso. 
 
 
 
 
 
 
BELÉM-PA 
3 
 
2015 
RESUMO 
As cônicas são curvas especiais em que se podem destacar a elipse, a parábola e a 
hipérbole. Elas foram estudadas a fundo a partir do século IV antes de Cristo pelos matemáticos 
Hipócrates de Chios, Menaecmus, Euclides e Apolônio. 
O primeiro avanço concreto no problema da duplicação do cubo foi feito por Hipócrates 
de Chio, e reduzia o problema à construção e uso de curvas com as propriedades expressas na 
proporção aumentada 
𝑎
𝑥
= 
𝑥
𝑦
= 
𝑦
2
 desde que se pudesse encontrar essas curvas. A partir de 
então, as tentativas seguintes de duplicação do cubo seguiam as descobertas de Hipócrates 
A elipse foi descoberta por Menaecmus quando pesquisava sobre a parábola e a 
hipérbole, que ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação de cubos 
que consistia em encontrar um cubo cujo seu volume fosse igual a dois, utilizando-se dessas 
duas curvas. Consequentemente, a elipse surgiu mais tarde quando se cortou uma superfície 
cônica perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o nome seções cônicas. 
Uma das mais importantes obras de Euclides foi o tratado sobre as cônicas que consistia 
de 387 proposições. Esse trabalho, no entanto, foi superado pelo trabalho de Apolônio o qual 
teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido a isso ele ficou conhecido 
como Geômetra Magno. Em seus trabalhos ele mostrou que a partir de um único cone é possível 
obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção e 
provou que o cone não precisa ser reto. Finalmente substituiu o cone de uma só folha por um 
cone duplo, sendo assim o primeiro a reconhecer a existência dos dois ramos da hipérbole. 
O tratado As Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. É inegável a 
influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu (tabelas trigonométricas, sistemas de 
latitude e longitude), Kepler ("os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o 
Sol ocupando um de seus focos"), Galileu ("a trajetória de um projétil é uma parábola"). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
SUMARIO 
1. SEÇÕES CÔNICAS 
1.2. PARÁBOLA 
1.2.1. EQUAÇÃO CANONICA DA PARABOLA 
 1.2.3. EXERCICIOS RESOLVIDOS 
 1.2.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA PARÁBOLA 
 1.3. ELIPSE 
1.3.1. EXCENTRICIDADE DA ELIPSE 
 1.3.2. EQUAÇÃO CANONICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM 
1.3.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 1.3.4 APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA ELIPSE 
 1.4. HIPÉRBOLE 
 1.4.1. EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE 
 1.4.2. EQUAÇÃO CANONICA DA HIPERBOLE DE CENTRO NA ORIGEM 
 1.4.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 1.4.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA HIPERBOLE 
 
2. REFERÊNCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1. SEÇÕES CÔNICAS 
 As Seções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da 
Matemática. De acordo com Paulo Winterle (2007, p. 159) “chama-se seção cônica, ou 
simplesmente, uma cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a 
superfície cônica”, ou seja, a curva obtida cortando-se qualquer 
cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice; este 
plano é o plano secante. 
Outras descobertas envolvem o tema, como a possibilidade 
de expressar as seções cônicas por meio equações do segundo grau, 
feito matemático francês Pierre de Fermat. 
Para entender na prática as seções cônicas, observe as retas 
concorrentes em O e não perpendiculares na figura 2.1. 
Percebe-se que a reta e foi conversada fixa, enquanto a reta r 
girou 360º em torno dela, mantendo constante o ângulo entre elas. 
Assim, r gerou uma superfície cônica circular infinita formada por 
duas folhas separadas pelo vértice O. chamamos a reta r de geratriz 
da superfície cônica, e a reta e de eixo da superfície. 
 
 
 Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola (a) 
 Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das folhas do cone, a 
cônica é uma elipse. (b) 
 Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas do cone, a cônica 
é uma hipérbole (c) 
 
Figura 1.1 
Figura 1.1. (a) (b) (c) 
6 
 
1.2. PARÁBOLA 
A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica 
gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo 
grau e um plano paralelo a uma linha geradora de cone 
(chamada geratriz), conforme a figura 1.2.1 
Algebricamente definimos a parábola como o conjunto 
de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F 
(foco) e a uma reta fixa (diretriz) são iguais. O ponto na metade 
do caminho entre o foco e a diretriz que está na parábola é 
chamada de vértice. 
 
Com base na figura 1.2.2, denominamos os elementos da 
parábola: 
LATUS RECTUM: é a corda AA’ que passa 
pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. 
Também chamada de corda focal mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F: Foco 
D: Diretriz 
V: Vértice 
P: Parâmetro, que representa a 
distância do foco à diretriz (P≠0) 
RETA VF Eixo de simetria da parábola. 
Figura 1.2.1. Parábola obtida 
seccionando-se um cone com um 
plano 
Figura 1.2.2. A figura mostra alguns pontos 
pertencentes à parábola 
7 
 
1.2.1. EQUAÇÃO CANONICA DA PARABOLA (V = 0) 
a) O eixo da parábola é o eixo dos y 
A equação de uma parábola com foco 
F = (P, 0) e a reta diretriz y = - p é: 
 𝑥2 = 2𝑝𝑦 (1) 
Que é a equação canônica ou reduzida ou 
padrão para este caso. 
 
 
 
 
 
 
 
Deve ser observado que na equação x² = 2 
py que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2.3. Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > 
o 
Se p > 0, a parábola tem 
concavidade voltada para cima 
(voltada para a parte positiva do 
eixo y) 
Se p < 0, a parábola tem 
concavidade voltada para baixo 
8 
 
b) O eixo da parábola é o eixo dos x 
 
A equação de uma parábola com foco 
F = (P, 0) e a reta diretriz x = - p é: 
 𝑦2 = 2𝑝𝑥 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
Deve ser observado que na equação y² = 2 px que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2.4. Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e 
p > 0 
Se p > 0, a parábola tem 
concavidade voltada para a 
direita (voltada para a parte 
positiva do eixo x) 
Se p < 0, a parábola tem 
concavidade voltada para a 
esquerda 
9 
 
1.2.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) dada a parábola de equação y² = - 8x, pedem-se: 
A) As coordenadas do foco; 
Resolução: 
Sendo x o eixo de simetria, então F = (
𝑝
2
, 0). A equação y² =-8x é da forma y² = 2x. 
comparando os coeficientes do 2º membro: 
2p = -8 → p= -4 → 
𝑝
2
 = - 2 
Resp.: F = (-2, 0) 
a) O gráfico: 
 
 
Equação da diretriz: 
d: x – 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
2) determine a equação da parábola de vértice V = (3, −1), sabendo que y = 1 é a equação de sua 
diretriz. 
A equação da reta diretriz é y = 1. Isto nos diz que a reta diretriz é paralela ao eixo x. Assim, o eixo de 
simetria da parábola é paralelo ao eixo y, e portanto, a equação da parábola é da forma 
(x − x0)² = 2p (y − y0) (vértice fora da origem). 
Mas, x0 = 3 e y0 = −1. Então, 
(x − 3)² = 2p (y + 1). 
 
 Note que a distância do vértice V à reta diretriz é 2, ou seja, −
𝑝
2
= 2, ou p = −4. Substituindo este 
valor na equação, obtemos (x − 3)² = −8 (y + 1) ⇐⇒ x² − 6x + 8y + 17 = 0. 
 
10 
 
1.2.4. APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA 
 
a) Bebedouros públicos, a agua 
jorrada descreve uma curva parabólica. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Aplicações na engenharia de 
telecomunicações nas antenas 
parabólicas 
 
 
 
 
 
c) Na engenharia, as pontes suspensas 
(juntamente com as pontes estiadas) são bastante 
utilizadas, pois possibilitam os maiores vãos. 
Nessas pontes, a base (tabuleiro) é sustentada por 
vários cabos metálicos verticais (pendurais) 
ligados a dois cabos maiores principais, que por 
sua vez, são conectados às torres de sustentação. 
 
Vale a pena ressaltar que a parábola é também o gráfico que representa qualquer função 
do tipo f (x) = ax² + bx + c, com a, b, c sendo números reais. Essa função é conhecida como 
função quadrática ou de 2. ° grau. 
 
 
 
11 
 
1.3. ELIPSE 
De acordo com Jacir Venturi (2003, P. 69) “É o lugar 
geométrico dos pontos (P) de um plano cuja a soma das 
distâncias, a dois pontos fixos F1 e F2 (focos da elipse) do 
mesmo plano, é uma constante (2a), onde 2a > d (F1 e F2) = 
2c”. 
A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um 
cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo 
a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone 
de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da 
superfície. 
Ao imaginarmos dois pontos distintos 
F1 e F2 no plano, de modo que a distância (F1, 
F2) = 2c e um número real positivo a com 2a 
> 2c. 
Neste caso, 2a é a definição e o ponto 
P pertence à elipse se, e somente se d (D, F1) 
+ d (P, F2) = 2a. 
 
 
 
Com base na figura 1.3.2, encontramos os seguintes elementos: 
FOCOS Os pontos F1 e F2 
DISTÂNCIA FOCAL A distância 2c entre os focos 
CENTRO DA ELIPSE Ponto médio C do segmento F1 e F2 
EIXO MAIOR Segmento A1 e A2 de comprimento 2a 
EIXO MENO Segmento B1 e B2 de comprimento 2b e perpendicular A1 e A2 no 
seu ponto médio 
VERTICES Pontos A1, A2, B1 e B2 
EXCENTRICIDADE O número real 𝑒
𝑐
𝑎
= (0 < 𝑒 < 1) 
Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na figura, obtemos a relação notável: 
a² = b² + c² 
 
Figura 2.3.1 Elipse obtida seccionando-se 
um cone com um plano 
Figura 1.3.2. Elementos da elipse. 
12 
 
1.3.1. EXCENTRICIDADE DA ELIPSE 
Uma importante característica da Elipse é a sua excentricidade, que é definida pela relação: 
𝜀 =
𝑐
𝑎
 (0 < 𝑒 < 1, sendo 𝜀 a letra grega épsilon) 
Como 𝑎 e 𝑐 são positivos e 𝑐 < 𝑎, depende-se que 0 < 𝜀 < 1. 
De acordo com Paulo Winterle (2007, P. 187), “A excentricidade é responsável pela 
“forma” da elipse: elipses com excentricidades perto de 0 (zero) são aproximadamente 
circulares, enquanto elipses com excentricidade próximas de 1 são “achatadas. Por outro lado, 
fixada uma excentricidade, por exemplo, 𝑒 =
1
2
, todas infinitas elipses com estas 
excentricidades têm a mesma forma (diferem apenas pelo tamanho), conforme a figura 1.3.3. 
1.3.2. EQUAÇÃO CANONICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM 
a) O eixo maior coincide com o eixo x 
A equação de uma elipse cujos focos são 
 F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦²
𝑏²
= 1, em que 𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3.3 Excentricidades da elipse 
Figura 2.3.4: Elipse com focos nos pontos 
F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) 
13 
 
b) O eixo maior coincide com o eixo y 
 
 
A equação de uma elipse cujos focos são 
F1 = (0, -c) e F2 = (0, c) é: 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦²
𝑎²
= 1, em que 𝑏 =
√𝑎2 − 𝑐2. 
 
 
 
 
1.3.3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1) determine as equações das elipses seguintes: 
a) 
a² = b² + c² 
a² = 6² + 8² 
a² = 100 
a = 10 
Equação: 
𝑥²
100
+
𝑦²
36
= 1a 
b) 
a² = b² + c² 
a² = 5² + 12² 
a² = 25 + 144 
a² = 169 
a = 13 
Equação: 
𝑥²
25
+
𝑦²
169
= 1 
 
 
 
 
Figura 2.3.5: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) 
14 
 
2) considere a equação 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎 representativa de uma elipse. 
Determine a sua equação reduzida, as coordenadas dos focos e vértices e o valor da sua 
excentricidade. 
Resolução: Para obtermos a equação reduzida, teremos de transformar a equação que define a 
elipse do problema numa equação equivalente. 
𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎 ⇔ 
 𝟗(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟒(𝒚𝟐 − 𝟔𝒚) = −𝟗 ⇔ 
𝟗(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟒(𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟗) = −𝟗 + 𝟗 + 𝟑𝟔 ⇔ 
𝟗(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒(𝒚 − 𝟑)² = 𝟑𝟔 ⇔
(𝒙 + 𝟏)𝟐
𝟒
+
(𝒚 − 𝟑)²
𝟗
= 𝟏 ⇔ 
Isso mostra que o centro da elipse é o ponto (-1, 3). 
Como a = 2 e b = 3, vem b > a e, portanto 𝑐 = √9 − 4 = √5, pois b² = a² + c² 
Para uma elipse geometricamente igual à dada, mas com centro em (0,0), os focos 
seriam os pontos (0, √5) e (0, −√5). Então, para obter os focos da elipse do problema é 
necessário adicionar o vetor (-1,3). 
Focos: 
(0, √5) + (−1, 3) = (−1, 3 + √5) 
(0, √5) + (−1, 3) = (−1, 3 − √5) 
 
 Para os vértices faz-se o mesmo raciocínio, logo 
Vértices: 
(2, 0) + (-1, 3) = (1, 3) 
(-2, 0) + (-1, 3) = (-3, 3) 
(0, 3) + (-1, 3) = (-1,6) 
(0, -3) + (-1, 3) = (-1, 0) 
 Excentricidade: 𝜀 =
𝑐
𝑏
 =
√5
3
 . 
 
15 
 
1.3.4 APLICAÇÕES NO DIA-A-DIA DA ELIPSE 
a) podemos observar que a elipse está presente 
na trajetória das órbitas dos planetas em torno 
do Sol, e o Sol está posicionado num dos focos 
da elipse. 
Todos os planetas, com exceção de Plutão, 
descrevem elipses 
 
 
b) A aplicação óptica de um dispositivo de 
iluminação usado em consultórios 
 Odontológicos. 
 Este dispositivo consiste num espelho 
com a forma de um arco de elipse e numa 
lâmpada que se coloca no foco mais próximo. 
A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho 
no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado. 
 
c) ainda no campo da saúde, existe um 
procedimento muito utilizado no tratamento de cálculo 
renal, denominado litotripsia extracorpórea. Neste 
procedimento, conforme esquema abaixo, ondas de 
choque criadas fora do corpo do paciente viajam através 
da pele e tecidos até encontrarem os cálculos mais 
densos, pulverizando-os. O litotriptor possui um espelho 
elíptico que concentra os raios emitidos num 
determinado ponto com grande precisão. 
 
16 
 
1.4. HIPERBOLE 
De acordo com Paulo Winterle (2007, P. 193), 
“hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano 
cujo módulo da diferença das distancias, em valor absoluto, 
a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) desse plano é constante”. 
Esta constante é menor que a distância entre os focos. 
A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor 
absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a 
diferença entre o maior e a menor distância.Consideremos que no plano dois pontos 
distintos F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c 
e um número real positivo de modo que 2a < 2c. 
Sendo a constante da definição de 
hipérbole, então um ponto P pertence à hipérbole 
(figura 1.3.2) se, e somente se, 
 | d (P, F1) – d (P, F2) | = 2a (1) 
A hipérbole é uma curva com dois ramos. Um ponto P está na hipérbole se, somente d 
(P, F1) – d (P, F2) = ± 2a. (2) 
Assim como a parábola e a elipse, a hipérbole também tem elementos próprios: 
Observando o triangulo retângulo da 
hipérbole hachurado na figura 1.4.2, temos 
a relação notável: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏² 
 
FOCOS São os pontos F1 e F2. 
DISTÂNCIA 
FOCAL 
É a distância 2c entre os focos. 
CENTRO É o ponto médio C do segmento 
F1 F2. 
VERTICES São pontos A1 e A2 
EIXO 
IMAGINARIO 
OU 
CONJUGADO 
É o segmento B1 B2 e cujo 
comprimento é 2b 
EIXO REAL 
OU 
TRANSVERSO 
É o segmento A1 A2 de 
comprimento 2a. 
Figura 1.4.1. Hipérbole obtida seccionando-
se um cone com um plano 
Figura 1.4.2. Hipérbole 
Figura 1.4.3. Elementos da hipérbole 
17 
 
1.4.1. EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE 
É DEFINIDA PELA RELAÇÃO 𝜀 =
𝑐
𝑎
 (𝜀 > 1) 
Como 𝑎 e 𝑐 são positivos e 𝑐 > 𝑎, depende-se que 𝜀 > 1. 
Há uma proporcionalidade entre as excentricidades e a abertura da hipérbole: quanto maior 
a excentricidade, maior a abertura e vice-versa. 
 
1.4.2. EQUAÇÃO CANONICA DA HIPERBOLE DE CENTRO NA ORIGEM 
a) A equação de uma hipérbole cujo focos são F1(-
c, 0) e F2 = (c, 0) é 
𝑥²
𝑎²
−
𝑦2
𝑏2
= 1 (Eixo real = eixo x) 
E das assíntotas (retas para onde a curva se 
aproxima, quando x → ±∞), 
𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥, 
Em que 𝑏 = √𝑐2 + 𝑎2. 
 
 
 
 
b) A equação de uma hipérbole cujo focos são 
F1(0, -c) e F2 = (0, c) é 
 
𝑦²
𝑎²
−
𝑥2
𝑏2
= 1(Eixo real = eixo y) (4) 
E das assíntotas (retas para onde a 
curva se aproxima, quando x → ±∞), 
𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑦, 
Em que 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 
 
 
 
 
Deve ser ressaltado que na elipse sempre 𝑎 > 𝑏. Na hipérbole, no entanto, pode-se ter 
𝑎 > 𝑏, 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 < 𝑏. 
Figura 1.4.4. Hipérbole com focos nos pontos F1 
= (- c, 0) e F2 = (c, 0) 
Figura 1.4.5. Hipérbole com focos nos pontos F1 = 
(0, -c) e F2 = (0, c) 
18 
 
Além disso, numa hipérbole o eixo real, bem como o eixo focal, coincide com o eixo da 
coordenada correspondente. À variável de coeficiente positivo (se a equação estiver na forma 
canônica). 
 
1.4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) dada a hipérbole de equação 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 pede-se: 
a) A equação canônica 
Resolução: 
Dividindo todos os termos da equação dada por 400: 
16𝑥²
400
−
25𝑦2
400
= 1 Ou 
𝑥²
25
−
𝑦2
16
= 1 
Portanto, a² = 16 e b² = 25. Daí, vem a = 4 e b = 5 
b) Excentricidade 
Resolução: 
Como c2 = a2 + b2, vem substituindo e efetuando. 
Calculo c: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 25 + 16 = 41 ⇒ √41 
Portanto a excentricidade 
𝜀 =
𝑐
𝑎
=
√41
5
 
c) O gráfico 
Resolução: 
 
 
 
 
19 
 
1) Encontre a equação da reta tangente à hipérbole de equação 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 
que passa pelo ponto P (0, -1). 
Resolução: 
Dividindo a equação por 144, obtemos 
𝑥²
16
−
𝑦2
9
= 1. Logo, 
 𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 ± 4; 𝑏2 = 9 ⇒ 𝑏 = ±3 e 25 ⇒ 𝑐 ± 5. 
Sendo 𝑚𝑥 + 𝑛 e P (0, -1) um ponto da reta, então −1 = 0𝑥 + 𝑛, ou seja, 𝑛 = −1 e 𝑚𝑥 − 1. 
Substituindo 𝑦 = 𝑚𝑥 em 9x² + 16y² = 144, ficamos com 9𝑥2 + ! 6(𝑚𝑥 − 1)2 = 144 que 
simplificada resulta em: 
(9 − 16𝑚2)𝑥2 + 32𝑚𝑥 − 160𝑚 = 0 
Se a reta e a curva são tangentes, elas possuem apenas um ponto comum. Isso significa 
que a equação do segundo grau tem discriminante igual a zero. Assim 
6784 − 10240𝑚2 = 0 ⇒ 𝑚2 =
6784
10240
=
53
80
, ou seja, 𝑚𝑥 = ±√
53
80
= ±0, 8 
Portanto, as retas procuradas são: 
y = 0,8x - 1 
Ou 
y= - 0, 8x – 1. 
 
A figura 1.4.6 é 
um esboço do gráfico da 
resolução gráfica da 
questão 2 do exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4.6. Reta tangente à hipérbole 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 no ponto p (0, -1) 
20 
 
1.4.3APLICAÇÕES DA HIPÉRBOLE NO DIA-A-DIA 
Um exemplo de uma aplicação óptica 
é o chamado telescópio de reflexão. É 
constituído basicamente por dois espelhos, 
um maior, chamado primário, que é 
parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. 
Os dois espelhos dispõem-se de modo que os 
eixos da parábola e da hipérbole coincidam e 
que o foco da primeira coincida com um dos da segunda. 
Quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são dirigidos para o foco, pela 
propriedade de reflexão da parábola. Como este também é foco da hipérbole, pela propriedade 
de reflexão desta os raios de luz refletem-se no espelho hiperbólico e seguem em direção ao 
outro foco da hipérbole. Os raios de luz 
passam através de um orifício no centro do 
espelho primário, atrás do qual está uma 
lente-ocular que permite corrigir ligeiramente 
a trajetória da luz, que chega finalmente aos 
olhos do observador ou à película fotográfica. 
. 
 
As curvas hiperbólicas também são utilizadas 
na arquitetura como pode ser observado da 
catedral de Brasília 
 
 
 
 
 
21 
 
Também é utilizado na construção de 
torres de refrigeração de usinas nucleares. 
Isso se deve ao fato de que o hiperboloide é 
uma superfície duplamente regrada, ou seja, 
para cada um dos seus pontos existem duas 
retas distintas que se interceptam na 
superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
2. REREFÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São 
Paulo, Mc Graw-Hill, 1987. 2ª ed. 
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Universidade de são Paulo, 1974. 1ª ed. 
DIAS, Claudio Carlos; DANTAS, Neuza Maria. Geometria Analítica e números complexos. , 
Rio grande do Norte, EDFRN, 2006. 
GEOGEBRA, GeoGebra Institute. Disponível em: <https://web.geogebra.org/app/>. Acesso em 29 
de maio de 2015 
GONÇALVES, Vladmir. História das Cônicas. Disponível em: 
<https://curvasearquitetura.wordpress.com/historia-das-conicas/> . Acesso em 03 de junho de 
2015. 
 LEZZI, Gerson. Fundamentos de Matemática Elementar, 7 ed: geometria analítica: exercícios 
resolvidos. São Paulo, 1993.168 p. 
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Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Ananias.pdf>. 
Acesso em 29 de maio de 2015. 
NERY, Janice; NÁCUL, Liana; DOERING, Luisa; MENEZES, Maria. Geometria Analítica: 
Conicas. Disponível em: 
<http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/conicas_lavras.pdf> Acesso em 
23 de maio de 2015. 
PEREIRA, Gisele. O Ensino Das Cônicas Através De Estudos Contextualizados Até Sua 
Concepção Na Geometria Analítica: Parábola. Disponível em: <http://bit.profmat-
sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/261/2011_00109_GISELE_POLYANA_ROD
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QUEIRÓ, João. A Elipse, A Parábola e a Hipérbole. – Propriedades e Aplicações -. Disponível 
em: <http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/aplicacoes.pdf>. Acesso em:29 de maio de 2015. 
ROTINI, Edmilson. Cônicas intuitivas e aplicações. Disponível em: 
<http://parquedaciencia.blogspot.com.br/2013/04/conicas-nocoes-intuitivas-e-aplicacoes.html> 
Acesso em: 04 de junho de 2015. 
SOMMERFELD, Guilherme. Cônicas, Quadricas e suas aplicações. Disponívelem: 
<http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_GuilhermeFreire.pdf>. Acesso 
em: 31 de maio de 2015. 
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica / Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ª 
Edição – São Paulo, McGraw-Hill, 1987 
VENTURI, Jacir J., Cônicas e Quadricas. 5ª. Ed Curitiba, 2003.

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