Resistência dos Materiais I Aula 8

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Aula 8-Energia de Deformação
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Trabalho de uma força;
Energia de deformação – carga axial;
Energia de deformação cisalhante;
Energia de deformação torção;
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRABALHO DE UMA FORÇA
Em mecânica, uma força realiza trabalho quando ocorre um deslocamento. O trabalho realizado é um escalar definido por:
Se o deslocamento for x, teremos: 
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TRABALHO DE UMA FORÇA
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TRABALHO DE UMA FORÇA
Suponha que na figura anterior a força F aumenta gradualmente de 0 até P e que o deslocamento final da barra seja x. 
Considerando um material com comportamento linear, a força é proporcional à deformação. Dessa forma: 
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TRABALHO DE UMA FORÇA
Substituindo a expressão para F na integral do trabalho, e integrando de 0 a x, temos que:
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Cargas aplicadas num corpo provocam deformações. Não havendo dissipação de energia na forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação. 
Essa energia é sempre positiva e é provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Considere o elemento de volume da figura. Se este elemento for submetido a uma tensão normal sZ, a força criada nas faces superior e inferior é:
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Se a carga varia gradualmente de 0 a dF o elemento sofrerá um deslocamento DZ= ez.dz. Assim, o trabalho realizado por dF é dUi
Mas, dV = dx.dy.dz 
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Assim, se o corpo está sujeito a uma tensão normal s, a energia de deformação será:
Comportamento linear elástico  Lei de Hooke (s = E.e). A energia de deformação será:
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Considere uma barra de comprimento L, seção transversal constante A e com esforço axial N, teremos que s = N/A. Substituindo s na integral da energia de deformação, temos que:
Mas dV = A.dx, portanto:
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX1
Uma haste de aço tem seção transversal quadrada 10 mm x 10 mm e comprimento de 2 m. Calcule a energia de deformação quando uma tensão de 400 MPa é aplicada, tracionando-a axialmente. Considere que para este aço o módulo de Young seja 200 GPa 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
SOLUÇÃO: 
Energia de deformação (carga axial): 
Como s e E são constantes  
 Área: 10 mm = 10.10-3m  A = (10.10-3)2 m2 = 10-4 m2
 Volume: V = 2. 10-4 m3
 Tensão = 400.106Pa
Assim, U = [(400.106)2.2.10-4]/(2.200.109)= 80J
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
Uma expressão de energia de deformação semelhante à da tensão normal também poderá ser estabelecida para o material, quando ele é submetido à tensão de cisalhamento. 
Considere um elemento de volume sob a ação de uma tensão cisalhante provocando uma deformação do elemento.
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
No caso apresentado, a tensão de cisalhamento provoca a deformação gdz do elemento tal que:
A energia de deformação do elemento será:
Integrando: (Lei de Hooke)
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
Vamos considerar um elemento estrutural particular, uma viga de seção retangular constante e dimensões b e h. A energia de deformação decorrente do cisalhamento V depende de fS, fator de forma, e é dada por:
Para este elemento estrutural fS = 6/5
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Determinar a energia de deformação na viga em balanço decorrente de cisalhamento, considerando uma seção transversal quadrada e a carga distribuída uniforme. DADOS: W = 2kN/m; G = 200 GPa ; a = 50 cm e L = 2m
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Inicialmente devemos analisar o diagrama do corpo livre
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Solução:
W = 2000N/m; 200.109 Pa; a = 0,5 m (A = 0,25m2) e L = 2m
DCL - equilíbrio em y: V – w.x = 0  V = w.x
fS = 6/5 (seção retangular)
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Solução: Como fS , G e A são constantes, temos que: 
Substituindo V = w.x na integral, temos que:
Substituindo os valores apresentados no exercício, temos que: Ui = 0,128 mJ
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
Consideremos um eixo cônico. A seção do eixo a uma distância x de uma extremidade fica submetida a um torque interno T. A tensão de cisalhamento que provoca T varia linearmente ao longo do raio da seção. 
Num elemento dx com área dA, a tensão é dada por t = T.r/J (fórmula da torção)
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
A energia de deformação armazenada no eixo será:
Note que a última integral é o momento polar de inércia. Assim,
No caso de uma barra de seção constante, J é constante e, portanto:
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
O eixo tubular da figura (a) está engastado na parede e submetido a dois torques. Determine a energia de deformação armazenada no eixo. considere G = 75 GPa
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
Trabalho de uma força;
Energia de deformação – carga axial e aplicações;
Energia de deformação cisalhante e aplicações;
Energia de deformação em torção e aplicações;
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