GEOMETRIA DESCRITIVA   ESTUDO DO PONTO
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GEOMETRIA DESCRITIVA ESTUDO DO PONTO


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GEOMETRIA DESCRITIVA
Geometria Descritiva é a ciência que tem por fim representar num plano as figuras do espaço de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do século XVIII pelo matemático francês Gaspard Monge.
Projeção ortogonal de um ponto
	
	A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano. Assim, pois, na fig. 1, A é a projeção do ponto (A) sobre o plano (). Chama-se projetante de um ponto, a perpendicular baixada deste ponto ao plano de projeção. Na fig. 1, ao lado, (A)A é a projetante do ponto (A). 
Fig. 1
Obs.: Um ponto individualizado no espaço \u2013 ponto objetivo \u2013 é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino dentro de um parêntese e sua projeção pela mesma letra sem parênteses.
Determinação do ponto
	Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos diferentes: método dos planos cotados e método das projeções.
	No primeiro método, emprega-se apenas um plano de projeção e a cota do ponto. (Cota de um ponto é o comprimento da sua projetante). Nesse método, o plano de projeção é o plano horizontal tomado como plano de comparação e é chamado Plano Cotado porque nele se inscreve a cota do ponto (positiva acima e negativa abaixo desse plano). Uma reta, por exemplo, será representada pela sua projeção horizontal e pelas cotas de dois de seus pontos. Assim, a reta (A)(B) da fig. 2 seria representada pela projeção horizontal AB e as cotas dos dois pontos, significando, no caso, que o ponto (A) possui cota igual a duas unidades e o ponto (B) igual a três unidades.
	Quanto ao segundo método, para que um ponto fique bem determinado, uma só projeção não é suficiente, porque, conforme vemos na fig. 3, o ponto A é a projeção no plano () de qualquer ponto da perpendicular ilimitada (delta).
	Então, para que um ponto fique bem determinado, emprega-se o método da dupla projeção ou método de Monge. Este método das projeções é o que seguiremos no estudo da Geometria Descritiva.
Fig. 2
Fig. 3
Classificação das Projeções
	Suponhamos (fig. 3A) um ponto (A) no espaço, um plano qualquer () e um observador em (O). Se fizermos passar por (A) um raio visual partindo de (O) até encontrar o plano (), vemos que A será a projeção de (A) sobre o plano de projeção (), e a reta (O)(A)A será a projetante. O ponto (O) será o centro de projeção e esse sistema chama-se Cônico ou Perspectiva ou Projeção Central.
Fig. 3B
Fig. 3A
	Se considerarmos agora o ponto (O) lançado ao infinito, considerando-se o mesmo ponto (A) e o plano (), a projetante será paralela à uma direção (delta) e o sistema de projeção chama-se Cilíndrica ou Paralela. Neste caso, - o centro de projeção lançado ao infinito, - este ponto diz-se impróprio. As figuras 3C e 3D esclarecem melhor ao considerarmos uma reta (A)(B) projetada no plano () quando o centro de projeção está a uma distância finita ou não do plano, ficando assim bem caraterizadas as projeções cônicas ou cilíndricas respectivamente.
Fig. 3D
Fig. 3C
	
	Ainda no caso das projeções cilíndricas, elas podem ser oblíquas ou ortogonais, conforme a direção de seja ou não perpendicular ao plano de projeção. A fig. 3E nos mostra uma projeção cilíndrica ortogonal.
Fig. 3E
ESTUDO DO PONTO
	
Já conhecidas as diferentes projeções, podemos então dizer em que consiste o método da dupla projeção de Monge, para a determinação de um ponto (A). Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares, um horizontal representado por (\u3c0) e outro vertical (\u3c0\u2019) que se interceptam segundo uma linha chamada linha de terra. (Fig. 4). Por convenção o ponto (O), centro da projeção, considera-se situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita deles.
Fig. 4
Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da perpendicular baixada do ponto sobre o plano. O ponto (A) fica bem determinado pelas interseções (A)A e (A)A\u2019.
	A projeção no plano horizontal (\u3c0) de um ponto (A) é, também por convenção, designada pela mesma letra maiúscula A, sem parênteses e no plano vertical (\u3c0\u2019) ainda pela mesma letra com o sinal pouco acima e a direita de uma pequena linha (A\u2019) que se lê \u201cA linha\u201d.
	Os planos de projeção, perpendiculares entre si, formam quatro regiões que são os diedros, como se vê na fig. 5 e quatro semi-planos assim chamados: Horizontal anterior (\u3c0A), Horizontal Posterior (\u3c0P). Vertical Superior (\u3c0S\u2019) e Vertical Inferior (\u3c0I\u2019).
Fig. 5
Épura
	
Para que se possam representar no plano as figuras do espaço, faz-se o rebatimento do plano vertical sobre o horizontal (no sentido contrário aos ponteiros do relógio), que consiste em fazê-lo girar de 90º em torno da linha de terra (fig. 6), de modo que o () venha a ficar em coincidência com o (\u3c0P) e consequentemente o () também em coincidência com o (\u3c0A).
	Depois do rebatimento, temos a épura, (fig 7.), onde a linha de terra é representada por uma linha horizontal \u3c0\u3c0\u2019. (Na prática é dispensado o uso dessas letras gregas colocando-se apenas dois pequenos traços horizontais abaixo das suas extremidades).
Obs.: Como na fig. 7, após o rebatimento, os planos () e (\u3c0P) (vertical superior e horizontal posterior), se situam acima da linha de terra e os planos (\u3c0I\u2019) e (\u3c0A) (vertical inferior e horizontal anterior) abaixo dessa linha, conclui-se que todas as projeções naqueles planos se situam nas mesmas posições com relação à linha de terra.
Fig. 6
Fig. 7
Cota e Afastamento
	Chama-se Cota de um ponto a distância desse ponto ao plano horizontal de projeção e Afastamento a distância do ponto ao plano vertical de projeção. Assim, na fig. 4, (A)A é a cota do ponto (A) e (A)A\u2019 é o afastamento desse mesmo ponto.
	Chama-se linha de projeção ou linha de chamada a toda linha perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um mesmo ponto. Assim, a linha A\u2019A da fig. 8 que une as projeções do ponto (A), é uma linha de projeção (ou de chamada).
Fig. 8
Obs.: A linha de terra, sendo a interseção dos planos (\u3c0) e (\u3c0\u2019), é representada por duas letras do alfabeto grego, mas pode-se dispensar a sua colocação sobre ela.
Posições do Ponto
	Em relação ao plano de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes, a saber:
1ª posição: O ponto está no 1º diedro (fig. 9)
	Depois do rebatimento o () ficará em coincidência com o (\u3c0P) e a projeção vertical A\u2019 acompanhará o plano () no seu deslocamento e cairá em de tal modo que AO = A\u2019AO. Temos na fig. 10 a épura correspondente onde verificamos que as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A\u2019 acima e a horizontal A abaixo da referida linha. Na épura, não há necessidade de representar o símbolo AO que se observa na fig. 9 e também a projeção vertical rebatida apenas representada por A\u2019. 
Fig. 10
Fig. 9
2ª posição: O ponto está no 2º diedro (fig. 11)
	Depois do rebatimento, a projeção B\u2019 vem colocar-se no (\u3c0P), sobre BBO (ou seu prolongamento) conforme a cota seja menor ou maior que o afastamento. Na épura (fig. 12) ambas as projeções estão acima da linha de terra. É indiferente B está acima ou abaixo de B\u2019; o que caracteriza o ponto no 2º diedro é possuir ambas as projeções acima da linha de terra.
Fig. 11
Fig. 12
3ª Posição: O ponto está no 3ª diedro (fig. 13)
	Operando-se o rebatimento, ao mesmo tempo que o vertical superior vem se colocar em coincidência com o horizontal posterior (\u3c0P) o vertical inferior () coincidirá com o horizontal anterior (\u3c0A). Então a projeção vertical C\u2019 irá cair em no prolongamento de CCO. A épura (fig. 14) é caracterizada por estar a projeção horizontal C acima da linha de terra e a vertical C\u2019 abaixo dessa linha. (É o inverso da épura do ponto no 1º diedro).
Fig. 14
Fig. 13
4ª Posição: O ponto está no 4º diedro (fig. 15)
	Depois do rebatimento, a projeção vertical D\u2019 cairá em sobre DDO (ou seu prolongamento). Ambas as projeções abaixo