Sequencias e Séries

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Definições de Sequências e Séries 
Universidade Federal de Pelotas 
Faculdade de Meteorologia 
 
 1. SEQUÊNCIAS 
 
Definição: Uma sequência é uma função cujo domínio é o 
conjunto dos números inteiros positivos ou números naturais. 
Por exemplo, a seguir estão quatro 
sequências expressas em notação com 
chaves. 
1.1 Gráficos das Sequências 
Uma vez que sequências são funções, faz sentido falar sobre 
o gráfico delas. Por exemplo, o gráfico da sequência 
É o gráfico da seguinte equação: 
O gráfico desta equação consiste de uma sucessão de 
pontos isolados porque todos os resultados da função 
correspondem a números inteiros positivos: 
Vale ressaltar que a função: 
 
Apresenta um gráfico distinto da sequência porque 
seu domínio não é igual aos números inteiros 
positivos mas sim a todos os números reais. Logo o 
gráfico trata-se de uma curva contínua: 
1.2 Sequências Monótonas 
Uma sequência que é crescente ou decrescente é 
denominada monótona e uma sequência que é 
estritamente crescente ou estritamente decrescente é 
denominada estritamente monótona. 
Ou seja, uma sequência pode ser denominada: 
Alguns exemplos de sequências monótonas são 
dados na tabela a seguir: 
 E os gráficos destas sequências são: 
2. SÉRIES NUMÉRICAS 
Definição: Se é uma sequência, então: A soma infinita 
é chamada de SÉRIE. 
- 
- 
As somas de séries infinitas são definidas e calculadas por um 
processo de limite. 
Considere a seguinte decimal: 0,3333.... 
Ela pode ser vista como a série infinita: 
0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003... ou, de forma equivalente: 
S = 
Podemos chamar a decimal 0,3333... como uma expansão 
decimal de 1/3. Logo o resultado da soma da série infinita S 
deve ser 1/3. 
 
Para obter este resultado, considere a seguinte sequência 
de somas finitas: 
A série infinita da sequência dos números 
pode ser descrita como: 
À medida que avançamos na sequência, ou seja tornamos 
n cada vez maior, mais próximo de 1/3 conseguimos 
chegar. Então a soma desejada para obter 1/3 como 
resultado trata-se do limite da sequência de 
aproximações: 
Mas calcular o limite estabelecido é complicado devido ao 
último termo e o número de termos apresentarem variação 
juntamente com n. 
 
Portanto é necessário utilizar o seguinte método: 
 
-Reescrever tais limites de uma forma fechada de modo que o 
número de termos não varie. 
 
Para isso, multiplica-se os dois lados da equação da série Sn 
por 1/10 para obter: 
Subtraindo esta última equação de 
Sn, temos o seguinte: 
Através dos métodos de MMC e explicitação de termos, 
podemos adquirir: 
Resolvendo: 
Colocando na forma de limite: 
Portanto, podemos concluir que: 
Conceito geral da soma de uma série infinita: 
Seja Sn a soma dos n primeiros termos da série: 
O número Sn é chamado 
enésima soma parcial da 
série e a sequência 
é chamada: 
sequência da soma das 
parciais. 
Exercícios: 
1. Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da 
sequência, começando com n = 1: 
2. a) Escreva os quatro primeiros termos da sequência 
Começando com n = 0. 
2.b) Escreva os quatro primeiros termos da sequência 
começando com n = 0. 
3. Classifique cada sequência como crescente, decrescente, 
ou nem crescente nem decrescente. 
Sequência Crescente 
 
Sequência Decrescente 
 
Sequência Neutra 
4. Classifique cada sequência como monótona, estritamente 
monótona ou não monótona. 
Não monótona 
 
Monótona 
 
Estritamente Monótona 
5. Nas letras (a) e (b) encontre o valor da primeira soma 
parcial: 
R.a) 2 R.b) 1/4 
6. Expresse a dízima periódica como uma fração: 
a) 0,4444... b) 0,9999... 
 
 R.a) 4/9 R.b) 1 
Bibliografia: 
- Google Books inauthor:"HOWARD A. ANTON" 
- http://www.somatematica.com.br/superior/series/series2.php 
- http://www.ebah.com.br/