Séries Financeiras (1)

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Séries Financeiras 
Rendas Certas ou Anuidades 
Séries Financeiras 
 Representam uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. 
• Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura tem-se 
um processo de capitalização; 
• Quando se tem por fim o pagamento de dívidas, tem-se um processo 
de amortização. 
• Há casos em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja 
amortização, que é o caso dos aluguéis. 
Rendas Certas 
Determinísticas Matemática Financeira 
Valor dos termos, 
prazo de duração, 
taxa, etc. são fixos e 
imutáveis 
Aleatórias ou 
probabilísticas Matemática Atuarial 
Valores a receber e 
data de recebimento 
aleatórios (Seguro de 
vida) 
Algumas Definições 
 Termos: Valores que constituem a renda; 
 Período: intervalo de tempo entre 2 termos; 
 Duração: soma dos períodos; 
 Valor atual: Soma dos valores atuais dos 
termos à uma mesma taxa de juros e em uma 
mesma data focal; 
 Montante: Soma dos montantes dos termos à 
uma dada taxa de juros e uma data focal. 
Classificação 
QUANTO AO PRAZO: 
• Temporárias: quando a duração for limitada. 
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada. 
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS: 
• Constante: quando todos os termos são iguais. 
• Variável: quando os termos não são iguais entre si. 
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: 
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1º período. 
 -> Postecipadas: os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
 -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: 
• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro 
período. 
 -> Postecipadas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
 -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
QUANTO À PERIODICIDADE: 
• Periódicas: se todos os períodos são iguais. 
• Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si. 
Resumindo 
Modelo Básico de 
Anuidade 
Abrange as anuidades que são: 
Temporárias;(duração finita) 
Constantes; (termos iguais) 
Imediatas e Postecipadas; (S/ carência e pagamento 
no fim de cada período) 
Periódicas; (períodos iguais) 
A taxa de juros “i” está referida ao mesmo 
período dos termos. 
 
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” parcelas (prestações) iguais a “R”. 
¬= aRP .
P = principal 
n = número de termos 
R = termos 
i = taxa de juros 
P 
R R R 
0 1 2 n 
 n i 
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos valores de “n” e de “i” 
(veja tabelas no fim do livro). 
O cálculo é feito do seguinte modo: 
n
n
ii
ia
)1(
1)1(
+
−+
=¬
 n i 
Valor Atual do Modelo 
Básico de Anuidade 
ina ¬ = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”. 
Variáveis Financeiras 
Tabeladas 
Exemplo 
Um televisor LCD de 54” custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser 
financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% 
a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. 
 
 
¬
=
a
PR
 n i 
onde: P = 5.000,00 
 n = 10 m. 
 i = 3% a.m. 
 
Procurando numa tabela ou calculando diretamente, tem-se: 
 
15,586$
530203,8
00,000.5
530203,8310
==
≅¬
R
a
8,530203 
10)03,01(03,0
1100,03)(1 310 =
+
−+
=¬a
Outro exemplo 
João compra uma moto, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 
2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês 
seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de 
juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro à vista. 
 
 Resolução: 
n
n
ii
ia
)1(
1)1(
+
−+
=¬
onde: n = 4 meses 
 i = 2% a.m. 
 
807729,3
)02,1.(02,0
1)02,1(
4
4
≅
−
=¬a
Portanto, como R = 2.626,24: 
 P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00 
Diz-se que “s” é o resultado de um processo de capitalização (aplicação) 
de “n” parcelas iguais a “R”. 
¬= sRS .
S = montante 
n = número de termos 
R = termos 
i = taxa de juros 
S 
R R R 
0 1 2 n 
 n i 
n-1 
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos valores de “n” e de “i” 
 n i ¬s = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”. 
O cálculo de é feito do seguinte modo: n i ¬s
i
is
n 1)1( −+
=¬
 n i 
Montante no Modelo 
Básico de Anuidade 
Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vista, daqui a 12 
meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que 
será aplicada em títulos de renda fixa rendendo 2,2% a.m. de juros 
compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. 
Resolução: Neste caso, o montante é dado: S = 40.000,00 
Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, fazemos o cálculo 
diretamente: 
022,0
1298407,1
022,0
112)022,1(
2,212
−
=
−
=¬S 563955,13
022,0
298407,0
==
00,949.2$
99,948.2
563955,13
000.40
2,212
=∴
=
¬
=
R
R
S
SR
 
Então, se a pessoa poupar $2.949,00 
por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. 
por 12 meses poderá comprar o carro 
pretendido. 
Exemplo 
Ou seja, o montante (S) do modelo básico é igual ao principal (P) 
capitalizado por n períodos à taxa de juros i. 
( ) i
n
in is ¬+=¬ na .1
S 
Relação entre os fatores 
 iina ¬¬ nS e 
( )niPS += 1
Ou seja, o montante (S’) de uma anuidade antecipada é o montante 
(S) do modelo básico multiplicado por (1+i). 
S 
Anuidades Antecipadas 
 
( )iaRP in +׬×= 1'
O valor atual de uma anuidade antecipada (P’) é o valor atual do 
modelo básico (P) multiplicado por (1+i). 
( )iSRS in +׬×= 1'
Usando a HP12C 
 Todas essas operações podem ser realizadas usando-se as teclas 
financeiras da calculadora: 
 
 
 
 n= prazo i=taxa na forma percentual 
 PV= Valor atual PMT = Termo ou renda 
 FV = valor futuro ou montante 
 Assim, basta conhecer 3 variáveis, podemos calcular diretamente a outra, 
apenas pressionando a tecla desejada. 
 Se a operação for antecipada, deve-se pressionar as teclas a seguir 
antes de iniciar a inserção dos valores 
 Se a operação for postecipada, a sequencia seria 
Usando a HP12C 
Exemplo 
 Qual o valor da prestação de um financiamento no valor 
de $20.000,00, a ser pago em 24 prestações mensais, 
iguais e sucessivas, considerando-se uma taxa de 1,5% 
a.m.? 
 Seguiremos os seguintes passos: 
 F CLX 
 20.000 CHS PV 
 24 n 
 1,5 i 
 PMT ⇒ 998,48 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 1. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 
prestações mensais de R$ 61,60. Nos dois casos,o cliente não dará entrada alguma. 
Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5% a.m., qual a melhor 
opção para o comprador? (opção 1 R$ 1.000,03; Opção 2 R$ 1.101,72 -> Opção 1) 
1. A imobiliária Barracão vende um apartamento por R$ 150.000,00 a vista. Como 
alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: 
PLANO A: entrada de R$ 50.000,00 +4 prestações trimestrais de R$ 31.600,00; 
PLANO B: Entrada de R$ 30.000,00 + 8 prestações trimestrais de R$ 23.000,00 
O Sr. João de Souza,aplica seu dinheiro a 10% a.t. e deseja saber qual a melhor 
opção de compra. (opção A R$ 150.167,75; Opção B R$ 152.703,30 -> Opção A) 
3. O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depósitos de R$ 
200,00 em um banco que paga 2% a.m. sobre o saldo credor. Este dinheiro se destina 
ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual será o montante acumulado 
após ser efetuado o último depósito? (R$ 10.398,87) 
 
	Séries Financeiras
	Séries Financeiras 
	Algumas Definições
	Classificação
	Resumindo
	ModeloBásico de Anuidade
	Número do slide 7
	Variáveis Financeiras Tabeladas
	Exemplo
	Outro exemplo
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17