Lista27 Comprimento de Arco e Curvatura

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SEÇÃO 13.3 COMPRIMENTO DE ARCO E CURVATURA  1
1-3 Determine o comprimento da curva dada. 
 1. , a t br t 2t, 3 sen t, 3 cotg t= ≤ ≤
 2. , 0 t 2r t e t, e t sen t, e t cos t= pi≤ ≤
 3. , 0 t 1r t 6t i 3 2 t 2 j 2t 3 k= + + ≤ ≤
 4. , , , 0 t 1z t 2y t 2x 2t= = = ≤ ≤
 5. , , , 0 t 2z ty t sen tx t cos t= pi≤ ≤==
6-8 Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco 
medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t.
 6. r t e t sen t i e t cos t j+=
 7. r t 1 2t i 3 t j 5t k++ +=
 8. , 0 t 2r t cos3t i sen3t j cos 2t k+ + ≤ ≤ pi=
9-14
 (a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
 (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
 9. r t sen 4t, 3t, cos 4t=
 10. r t 6t, 3 2 t 2, 2 t 3=
 11. r t 2 cos t, sen t, sen t=
 12. r t 13 t 3, t 2, 2t=
 13. r t 2 t, e t, e t=
 14. r t t 2, 2 t 3 3, t=
13.3 COMPRIMENTO DE ARCO E CURVATURA
15-19 Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. 
 15. r t i t j t 2 k= + +
 16. r t 1 t i 1 t j 3t 2 k+ + +=
 17. r t 2t 3 i 3t 2 j 6t k+=
 18. r t t 2 2 i t 2 4t j 2tk+ ++=
 19. r t sen t i cos t j sen t k+ +=
 20. Encontre a curvatura de r t 2 t, e t, e t= no ponto 
(0, 1, 1).
21-23 Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.
 21. y x= 22. y sen x=
 23. y ln x=
24-25 Use a fórmula
xy yx
x 2 y 2 3 2
=
+
 onde os pontos indicam derivadas a respeito de t (veja o 
Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva 
paramétrica.
 24. , y t 2x t 3= =
 25. , y t cos tx t sen t= =
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
2  SEÇÃO 13.3 COMPRIMENTO DE ARCO E CURVATURA
 1. 13 (b− a)
 2. 3 e2pi − 1
 3. 8
 4. 3+ 22 ln 2+ 3
 5. ln pi
2
4 + 2+
pi
2 +
pi
4
pi 2
4 + 2− ln 2
 6. r (t (s)) = 12 s + 1 sen ln
1
2 s + 1 i
+ cos ln 12 s + 1 j
 7. r (t (s)) = 1+ 230 s i + 3+
1
30 s j −
5
30 s k
 8. r (t (s)) = cos3 12 cos
− 1 1 − 45 s i
+ sen3 12 cos
− 1 1 − 45 s j + 1 −
4
5 s k
 9. (a) 15 4 cos 4t, 3,−4 sen 4t , sen 4t, 0,− cos 4t
(b) 1625
 10. (a)
1
1+ t2
1, 2t, t2 ,
1
2 (1+ t2 )
−2t, 2 1 − t2 , 2t
(b) 1
3 2 (1+ t2 )2
 11. (a) 12 − 2 sen t, cos t, cos t ,
1
2 − 2 cos t, − sen t, − sen t
(b) 12
 12. (a)
1
t2 + 2
t2 , 2t, 2 , 1
t2 + 2
2t, 2 − t2 ,−2t
(b) 2
(t2 + 2)2
 13. (a)
1
e2 t + 1
2e2 t , e2 t ,−1 ,
1
e2 t + 1
1 − e2 t , 2et , 2et
(b) 2e
2 t
(e2 t + 1)2
 14. (a)
1
2t2 + 1
2t, 2t2 , 1 , 1
2t2 + 1
1 − 2t2 , 2t, −2t
(b) 2
(2t2 + 1)2
 15. 
2
(4t2 + 1)3/ 2
 16. 
3
(1 + 18t2 )3/ 2
 17. 1+ 4t
2 + t4
6 (t4 + t2 + 1)3/ 2
 18. 6
2 (2t2 − 4t + 5)3/ 2
 19. 2
(1 + cos2 t)3/ 2
 20. 24
 21. 
2
(4x + 1)3/ 2
 22. |sen x |
(1 + cos2 x )3/2
 23. 
|x |
(x 2 + 1)3/2
 24. 
6
|t | (9t2 + 4)3/2
 25. 
2+ t2
(1 + t2 )3/2
13.3 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
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