Lista30 Funções de duas variáveis Curva de Nível

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SEÇÃO 14.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS  1
 1. Se , encontre
(a) (b)
(c) (d)
(e) f x, x
f x, y kf x h, y
f 3, 5f 2, 1
f x, y x 2 y 2 4xy 7x 10=
+ +
++−
−
−
 2. Se , encontre
(a) (b)
(c) (d)
(e) g x, y k
g x h, yg x, 1
g e, 1g 1, 1
g x, y ln xy y 1=
+
+
+ −
 3. Se , encontre
(a) (b)
(c) (d)
(e) F x, x 2
F 1, yF t, 1
F 1, 2F 1, 1
F x, y 3xy x 2 2y 2= +
−
−
 4. Se , encontre
(a) (b)
(c) (d)
(e) G x, x y, x
G u, v, 0G t, t, t
G 4, 4, 0G 2, 6, 3
G x, y, z x sen y cos z=
+
pi pi pi
5-10 Encontre o domínio e a imagem das funções. 
 5. f x, y x 2y 5= + − 6. f x, y x y= −
 7. f x, y 2 x y= + 8. f x, y tg 1 y x= −
 9. f x, y, z x yz=
 10. f x, y, z x sen y z= +
 11. Seja .f x, y e x2 y= −
 (a) Calcule f (2 ,4).
 (b) Determine o domínio de f.
 (c) Determine a imagem de f
 12. Seja .g x, y 36 9x 2 4y 2= − −
 (a) Calcule g(1, 2).
 (b) Determine e esboce o domínio de g.
 (c) Determine a imagem de g.
 13. Seja .f x, y, z x 2 ln x y z= +− 
 (a) Calcule f (3, 6, 4).
 (b) Determine o domínio de f.
 (c) Determine a imagem f.
 14. Seja .f x, y, z 1 x 2 y 2 z 2 1= + + −
 (a) Calcule f (1, 3, -4).
 (b) Determine o domínio de f.
 (c) Determine a imagem f.
15-25 Determine e esboce o domínio da função. 
 15. f x, y xy x 2 y= +
 16. f x, y
9 x 2 y 2
x 2y
=
+
− −
 17. f x, y
x 2 y 2
x 2 y 2
=
+
− 18. 
f x, y tg x y= −
 19. f x, y ln xy 1= − 20. f x, y ln x 2 y 2= −
 21. f x, y x 2 sec y= 22. f x, y sen 1 x y−= +
 23. f x, y 4 2x 2 y 2= − −
 24. f x, y ln x ln sen y= +
 25. f x, y y x ln y x= +−
26-33 Esboce o gráfico da função. 
 26. f x, y x=
 27. f x, y sen y=
 28. f x, y x 2 9y 2= +
 29. f x, y y 2=
 30. f x, y 16 x 2 16y 2= − −
 31. f x, y y 2 x 2= −
 32. f x, y 1 x 2= −
 33. f x, y x 2 y 2 4x 2y 5= + +− −
34-39 Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas 
de nível. 
 34. f x, y
x
y
= 35. f x, y
x y
x y
=
+
−
 36. f x, y y cos x= − 37. f x, y e 1 (x
2 y2)= +
 38. f x, y x 2 9y 2= + 39. f x, y e xy=
14.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
2  SEÇÃO 14.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 1. (a) 7
(b) −45
(c) x 2 + 2xh + h2 − y2 + 4xy + 4hy − 7x − 7h + 10
(d) x 2 − y2 − 2ky − k 2 + 4xy + 4xk − 7x + 10
(e) 4x 2 − 7x + 10
 2. (a) 0
(b) ln e = 1
(c) ln x
(d) ln (xy + hy + y − 1)
(e) ln (xy + kx + y + k − 1)
 3. (a) 1
(b) − 23
(c) 3t
t2 + 2
(d) − 3y
1 + 2y2
(e) 3x
1 + 2x 2
 4. (a) 12
(b) 2 2
(c) t sen t cos t
(d) u sen v
(e) x cos x [sen x cos y + sen y cos x ]
 5. �2 , �
 6. {(x, y) | x ≥ y}, {z | z ≥ 0}
 7. {(x, y) | x + y = 0}, {z | z = 0}
 8. {(x, y) | x = 0}, z | − pi2 < z <
pi
2
 9. {(x, y, z ) | yz = 0}, �
 10. �3 , �
 11. (a) 1
 (b) �2
 (c) {z | z > 0}
 12. (a) 11
 (b) (x, y) | 14 x
2 + 19 y
2 ≤ 1
 (c) {z | 0 ≤ z ≤ 6}
 13. (a) 0
(b) {(x, y, z ) | x + z > y}
(c) �
 14. (a) 15
(b) (x, y, z ) | x 2 + y2 + z 2 > 1
(c) (0,∞)
 15. (x, y) | y ≥ −x 2
 16. (x, y) | y = − 12 x e x
2 + y2 ≤ 9
 17. {(x, y) | y = x e y = −x}
 18. (x, y) | x − y = pi2 + npi, n um inteiro
 19. {(x, y) | xy > 1}
 20. {(x, y) | |y | < |x |}
14.1 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 14.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS  3
 21. (x, y) | y = pi2 + npi, n um inteiro
 22. {(x, y) | −1 − x ≤ y e y ≤ 1 − x}
 23. (x, y) | 2x 2 + y2 ≤ 4
 24. {(x, y) | x > 0 e 2npi < y < (2n + 1) pi
pi
pi
pi
pi
, n um inteiro}
 25. {(x, y) | −y < x ≤ y , y > 0}
 26. 27. 
 28. 29. 
 30. 31. 
 32. 33. 
 34. 35. 
 36. 
 37. 
 38. 
 39. 
 
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