AD1 IPE 2016 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1a AD 2016/1 IPE - GABARITO Licenciatura em Fı´sica Coord. Edson Cataldo
1a Questa˜o - [3,0 pontos] Sendo U o conjunto de todos os brasileiros, considere os seguintes conjuntos:
A = {x ∈U | x e´ carioca}; B = {x ∈U | x e´ homem} e C = {x ∈U | x tem mais de 21 anos}.
Descreva, em termos de operac¸o˜es com os conjuntos A, B e C, os seguintes conjuntos:
(a) [1,0 ponto] O conjunto dos homens brasileiros que sa˜o cariocas.
(b) [1,0 ponto] O conjunto dos homens brasileiros que na˜o sa˜o cariocas.
(c) [1,0 ponto] O conjunto das mulheres cariocas que possuem no ma´ximo 21 anos.
Resoluc¸a˜o:
Ha´ va´rias respostas possı´veis para esta questa˜o. A seguir, algumas destas respostas.
(a) O conjunto dos homens brasileiros que sa˜o cariocas e´ dado por A∩B.
(b) O conjunto dos brasileiros que na˜o sa˜o cariocas e´ dado por U−A. Logo, o conjuntos dos homens brasileiros
que na˜o sa˜o cariocas e´ dado por B∩ (U −A).
(c) O conjunto das mulheres brasileiras e´ dado por U −B. Portanto, o conjunto das mulheres cariocas e´ dado
por (U −B)∩A. O conjunto dos brasileiros que teˆm no ma´ximo 21 anos e´ dado por U−C. Consequentemente,
o conjunto das mulheres cariocas que teˆm no ma´ximo 21 anos e´ dado por (U −B)∩A∩ (U−C).
2a Questa˜o - [2,5 pontos] Considere M e N subconjuntos de um conjunto universo U . Sabendo-se que U tem
60 elementos, M tem 32 elementos, N tem 40 elementos e M ∩N tem 23 elementos, determine o nu´mero de
elementos de cada um dos conjuntos a seguir:
(a) [0,5 ponto] M∪N
(b) [0,5 ponto] U − (M∩N)
(c) [1,0 ponto] (M∩N)∪ (M−N)
Resoluc¸a˜o:
Consideremos o diagrama de Venn a seguir, construı´do a partir do enunciado.
(a) n(M∪N) = n(M)+n(N)−n(M∩N) = 32+40−23 = 49.
(b) O conjunto U − (M∩N) esta´ representado na figura a seguir:
Logo, n(U − (M∩N)) = 9+17+11 = 37.
3a Questa˜o [1,5 ponto]
(a) [0,5 ponto] Quantos sa˜o os anagramas da palavra BOTAFOGO?
(b) [1,0 ponto] Quantos sa˜o os anagramas da palavra BOTAFOGO que na˜o comec¸am por B, nem terminam
por A?
Resoluc¸a˜o:
(a) Trata-se de um problema de permutac¸a˜o com repetic¸a˜o. O nu´mero de anagramas da palabra BOTAFOGO
e´:
8!
3! = 8×7×6×5×4 = 6720 .
(b) Consideremos os conjuntos:
C1 - anagramas da palavra BOTAFOGO que comec¸am por B e C2 - anagramas da palavra BOTAFOGO que
terminam por A.
O conjunto C1∪C2 conte´m os anagramas da palavra BOTAFOGO que comec¸am por B ou terminam por A.
Temos,
n(C1∪C2) = n(C1)+n(C2)−n(C1∩C2) .
Mas, n(C1) =
7!
3! = 7×6×5×4 = 840 e n(C2) =
7!
3! = 840.
Tambe´m, n(C1∩C2) =
6!
3! = 6×5×4 = 120.
Assim, n(C1∪C2) = n(C1)+n(C2)−n(C1∩C2) = 840+840−120 = 1560.
Logo, o nu´mero de anagramas da palavra BOTAFOGO que na˜o comec¸am por B, nem terminam por A, e´
dado por
6720−1560 = 5160 .
4a Questa˜o [3,0 pontos] Dos 20 professores presentes em uma reunia˜o, 25% sa˜o professores de Matema´tica e
os demais sa˜o professores de outras disciplinas.
(a) [1,5 ponto] Uma comissa˜o vai ser constituı´da por 6 (seis) professores, dentre os presentes na reunia˜o,
sendo que cada comissa˜o deve conter no mı´nimo dois e, no ma´ximo, treˆs professores de Matema´tica. Os outros
membros de cada comissa˜o sera˜o, portanto, escolhidos dentre os professores de outras disciplinas. Determine
o nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas que podem ser criadas.
(b) [1,5 ponto] Uma comissa˜o vai ser constituı´da por um coordenador e um subcoordenador, escolhidos dentre
os professores de Matema´tica, e por outros 4 (quatro) membros, escolhidos dentre os professores de outras
disciplinas. Determine o nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas que podem ser criadas.
Resoluc¸a˜o:
(a) O nu´mero de comisso˜es contendo dois professores de Matema´tica e´ C(5,2)×C(15,4) = 13.650 e o
nu´mero de comisso˜es contendo treˆs professores de Matema´tica e´ C(5,3)×C(15,3) = 4.550. Logo, o nu´mero
total de comisso˜es e´ igual a 18.200.
(b) Nesse caso, temos 5×4×C(15,4) = 27.300 comisso˜es.