Lista 03: Derivada

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MAT 001 2o¯ Sem. 2016 IMC–UNIFEI
Lista 3: Derivadas
1. Sa˜o dados os gra´ficos das func¸o˜es posic¸o˜es de dois corredores, A e B, que correm 100
metros rasos e terminam empatados.
a) Descreva e compare como os corredores correram a prova.
b) Em que instante a distaˆncia entre os corredores e´ maior?
c) Em que instante eles teˆm a mesma velocidade?
2. Se a reta tangente a y = f(x) em (4, 3) passar pelo ponto (0, 2), encontre f(4) e f ′(4).
3. Se g(x) = x4 − 2, calcule g′(1) e use o valor encontrado para determinar uma equac¸a˜o
para a reta que tangencia a curva y = g(x) em (1,−1).
4. Determine se existe ou na˜o f ′(0) sendo f(x) =
 x2 sen
(
1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0
5. A figura abaixo mostra os gra´ficos de treˆs func¸o˜es. Uma e´ a func¸a˜o da posic¸a˜o de um
carro, outra e´ a velocidade do carro e outra e´ a sua acelerac¸a˜o. Identifique cada curva
e explique suas escolhas.
1
6. Determine as equac¸o˜es das retas que sa˜o tangentes a` curva y = 1 + x3 e que sa˜o
paralelas a` reta 12x− y = 1.
7. Encontre o valor de c tal que a reta y = 3
2
x+ 6 seja tangente a` curva y = c
√
x.
8. Derive as func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
√
xex
b) v(x) = −12/x5
c) h(x) =
(√
x+
1
3
√
x
)2
d) `(x) =
x3
1− x2
e) p(x) = (1− ex)(x4 − 2x3 + 1)
f) f(x) = x5 − 2x3 + 8x2 − 7x+ 3 + 2 tg(x)− 3 sec(x)
g) g(x) =
cosx
1− sen2(3x)
h) s(x) = cos(
√
sen(tg(pix)))
i) y(x) =
√
1 + 2e−3x2
j) u(x) = (x+ (x+ sen2 x)3)4
k) h(x) = ln(x+
√
x2 − 1)
l) f(x) = ln
(√
a2 − x2
a2 + x2
)
2
9. Seja g(x) =

2x se x ≤ 0
2x− x2 se 0 < x < 2
2− x se x ≥ 2
a) Para quais valores de x a func¸a˜o g(x) e´ deriva´vel?
b) Fornec¸a uma fo´rmula para g′(x).
c) Esboce os gra´ficos de g(x) e g′(x).
10. Seja f uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o f(x+ y) = f(x) + f(y) + x2y + xy2 para
todos os nu´meros reais x e y. Suponha tambe´m que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
a) f(0) b) f ′(0) c) f ′(x)
11. Seja f uma func¸a˜o com a propriedade |f(x)| ≤ x2 para todo x. Mostre que f(0) = 0 e
que f ′(0) = 0.
12. Que valores de x fazem com que o gra´fico de f(x) = ex − 2x tenha uma reta tangente
horizontal?
13. Encontre os pontos P e Q sobre a para´bola y = 1− x2 de forma que o triaˆngulo ABC
formado pelo eixo x e pelas retas tangentes em P e Q seja equila´tero.
14. Seja c uma constante. Determine a quantidade de retas que passam pelo ponto (0, c)
e sa˜o normais a` para´bola y = x2 nos seguintes casos:
a) c >
1
2
b) c ≤ 1
2
.
3
15. Seja P um ponto sobre a curva xy = c, onde c e´ constante. Considere r a reta que
tangencia a curva em P .
a) Mostre que o ponto me´dio do segmento de reta cortado da reta r pelos eixos
coordenados e´ P .
b) Mostre que o triaˆngulo formado por r e pelos eixos coordenados sempre teˆm a
mesma a´rea, na˜o importa onde P esteja localizado sobre a curva.
16. Um analge´sico oral e´ administrado a um paciente. t horas depois, a concentrac¸a˜o do
medicamento no sangue do paciente dada por
C(t) =
2t
3t2 + 16
.
a) Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da concentrac¸a˜o do medicamento no sangue do paciente
t horas apo´s a administrac¸a˜o?
b) Em que instante a concentrac¸a˜o do medicamento comec¸a a diminuir?
17. Apo´s as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas, um carro percorreu
D(t) = 64t+
10t2
3
− 2t
3
9
km.
a) Fornec¸a uma expressa˜o para a acelerac¸a˜o do carro em func¸a˜o do tempo.
b) A que taxa a velocidade do carro esta´ variando em relac¸a˜o ao tempo apo´s 6 horas
de viagem? A velocidade esta´ aumentando ou diminuindo neste instante?
c) Qual e´ a variac¸a˜o de velocidade do carro durante a se´tima hora?
18. Um objeto de massa m e´ arrastado ao longo de um plano horizontal por uma forc¸a
agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um aˆngulo θ com o
plano, enta˜o a intensidade da forc¸a e´
F =
µmg
µ sen θ + cos θ
,
onde µ e´ o coeficiente de atrito e g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
a) Encontre a taxa de variac¸a˜o de F em relac¸a˜o a θ.
b) Quando esta taxa de variac¸a˜o e´ igual a zero?
19. Calcule os limites:
a) lim
x→0
sen 3x
5x3 − 4x b) limθ→0
cos θ − 1
sen θ
c) lim
θ→0
sen θ
θ + tg θ
d) lim
x→pi/4
1− tg x
senx− cosx
4
20. Se F (x) = f(xf(xf(x))), onde f(1) = 2, f(2) = 3, f ′(1) = 4, f ′(2) = 5 e f ′(3) = 6,
encontre F ′(1).
21. Use derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva
x2 + 2xy − y2 + x = 2
no ponto (1, 2).
22. Encontre todos os pontos sobre a curva x2y2+xy = 2 onde a inclinac¸a˜o da reta tangente
e´ −1.
23. Encontre as equac¸o˜es de ambas as retas tangentes para a elipse x2 + 4y2 = 36 que
passem pelo ponto (12, 3).
24. A figura abaixo mostra uma laˆmpada localizada treˆs unidades a` direita do eixo y e
uma sombra originada pela regia˜o el´ıptica x2 + 4y2 ≤ 5. Se o ponto (−5, 0) estiver na
borda da sombra, qual a altura da laˆmpada acima do eixo?
25. A figura mostra um c´ırculo de raio 1 inscrito na para´bola y = x2. Encontre o centro
do c´ırculo.
5
26. Um carro viaja a` noite em uma estrada com formato de uma para´bola com seu ve´rtice
na origem (veja a figura). O carro comec¸a em um ponto a 100 m a oeste e 100 m
ao norte da origem e viaja na direc¸a˜o leste. A 100 m a leste e a 50 m ao norte da
origem existe uma esta´tua. Em que ponto da estrada os faro´is do carro va˜o iluminar
a esta´tua?
6