Apostila de Circuitos

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UNERJ – Centro Universitário de Jaraguá do Sul 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos 
Elétricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jaraguá do Sul 
João Marcio Buttendorff 2
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO 6 
2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 6 
2.1 Sistema Internacional de Unidades 6 
2.2 Corrente 7 
2.3 Tensão 7 
2.4 Potência 7 
2.5 Energia 7 
2.6 Notação 8 
3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 8 
3.1 Definição: 8 
3.2 Fonte de Tensão Independente 8 
3.3 Fonte de Corrente Independente 8 
3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 9 
3.5 Elementos Ativos no Circuito 9 
3.6 Elementos Passivos no Circuito 10 
4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 10 
4.1 Características dos Resistores 11 
4.1.1 Tipos de Resistores 12 
4.1.2 Código de Cores 12 
4.1.3 Interpretação do Código de Cores 12 
4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 13 
4.2 Exercícios 14 
5 LEIS DE KIRCHHOFF 14 
5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 15 
5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 15 
5.3 Exercícios 17 
6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE 20 
6.1 Associação em Série de Resistores 20 
6.2 Associação em Paralelo de Resistores 21 
6.3 Associação Mista de Resistores 22 
6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 23 
6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e 
Independentes 24 
6.6 Transformação Estrela-Triângulo 25 
6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 25 
6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 25 
6.7 Exercícios 26 
7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 29 
7.1 Divisor de Tensão 29 
7.2 Divisor de Corrente 30 
7.3 Exercícios 32 
8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 34 
8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 34 
8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 34 
8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 34 
8.4 Solução do Sistema de Equações 35 
8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 35 
João Marcio Buttendorff 3
8.6 Exemplo de Aplicação 35 
8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 36 
8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas 36 
8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 36 
8.6.4 Solução do Sistema de Equações 37 
8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 37 
8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente 38 
8.8 Exemplo de Aplicação 39 
8.9 Exercícios 41 
9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL 45 
9.1 Seleção do Nó de Referência 45 
9.2 Aplicação da LCK aos Nós 45 
9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 45 
9.4 Solução do Sistema de Equações 46 
9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 46 
9.6 Exemplo de Aplicação 46 
9.6.1 Seleção do Nó de Referência 47 
9.7 Aplicação da LCK aos Nós 47 
9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 47 
9.7.2 Solução do Sistema de Equações 47 
9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 48 
9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão 48 
9.9 Exercícios 51 
10 SUPERPOSIÇÃO 54 
10.1 Exemplo de Aplicação 54 
10.2 Exercícios 55 
11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 57 
11.1 Introdução 57 
11.2 Circuito Equivalente de Thévenin 57 
11.3 Circuito Equivalente de Norton 58 
11.4 Exemplo de Aplicação 59 
11.5 Exercícios 60 
12 Indutores e Capacitores 63 
12.1 Indutor 63 
12.2 Associação de Indutores 65 
12.3 Capacitor 67 
12.4 Associação de Capacitores 69 
12.5 Exercícios 71 
13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 72 
13.1 Fontes Senoidais 72 
13.2 Exemplo de Aplicação 74 
13.3 Exercícios 75 
14 FASORES 76 
14.1 O Conjugado de um Número Complexo 77 
14.2 Soma de Números Complexos 78 
14.3 Subtração de Números Complexos 78 
14.4 Multiplicação de Números Complexos 78 
14.5 Divisão de Números Complexos 79 
14.6 Exercícios 79 
João Marcio Buttendorff 4
15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 80 
15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo 80 
15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 81 
15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo
 83 
15.4 Impedância e Reatância 84 
15.5 Exemplo de Aplicação 85 
15.6 Exercícios 86 
16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 87 
16.1 Associação em Série de Impedâncias 87 
16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias 88 
16.3 Transformação Estrela-Triângulo 89 
16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela 89 
16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo 89 
16.4 Exemplo de Aplicação 90 
16.5 Exercícios 92 
17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 95 
17.1 Exemplo de Aplicação 95 
17.2 Exercícios 96 
18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 99 
18.1 Exemplo de Aplicação 99 
18.2 Exercícios 100 
19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 102 
19.1 Exemplo de Aplicação 1 102 
19.2 Exemplo de Aplicação 2 104 
19.3 Exercícios 106 
20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES 108 
21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO 
DA FREQÜÊNCIA 108 
21.1 Exemplo de Aplicação 109 
21.2 Exercícios 110 
22 RESSONÂNCIA 112 
22.1 Ressonância Série 112 
22.2 Ressonância Paralela 113 
22.3 Exemplo de Aplicação 114 
22.4 Exercícios 115 
23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA 117 
23.1 Potência Instantânea 117 
23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências 122 
23.3 Correção do Fator de Potência 124 
23.4 Exemplo de Aplicação 124 
23.5 Exercícios 127 
24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 128 
24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas 129 
24.2 Fonte de Tensão Trifásica 130 
24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y 131 
24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆) 133 
24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada 134 
24.6 Exemplo de Aplicação 135 
João Marcio Buttendorff 5
24.7 Exercícios 136 
 
 
João Marcio Buttendorff 6
1 INTRODUÇÃO 
 
Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de 
circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira. 
Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. 
No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a 
assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados. 
 
2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
 
2.1 Sistema Internacional de Unidades 
 
O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, é adotado pelas principais sociedades 
de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis 
unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem 
ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física 
que elas representam. 
 
Tabela 2.1 – Unidades Básicas no SI. 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente Elétrica ampère A 
Temperatura kelvin k 
Intensidade Luminosa candela cd 
 
 As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são 
apresentadas na tabela 2.2. 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Carga Elétrica coulomb C 
Potencial Elétrico volt V 
Resistência ohm � 
Condutância siemens S 
Indutância henry H 
Capacitância farad F 
Freqüência hetz Hz 
Força newton N 
Energia, Trabalho joule J 
Potência watt W 
Fluxo Magnético weber Wb 
Densidade de Fluxo 
Magnético 
tesla T 
João Marcio Buttendorff 7
2.2 Corrente 
 
A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga 
elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o 
ampère, simbolizado por A. 
dqi
dt
= (2.1) 
i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). 
(O elétron possui carga de 191,602.10− C). 
 
2.3 Tensão 
 
A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de umcircuito é definida como 
a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre 
estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V. 
dw
v
dq
= (2.2) 
v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C). 
 
2.4 Potência 
 
Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do 
tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois 
terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W. 
. .
dw dq dwp v i
dq dt dt
= = = (2.3) 
 
2.5 Energia 
 
Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade 
utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e 
demais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora.�
0 0
. . .
t t
w p dt v i dt= =� � (2.4) 
 
João Marcio Buttendorff 8
2.6 Notação 
 
É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e 
variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por 
exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita 
I=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10A. 
 
3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
3.1 Definição: 
 
 Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes 
componentes básicos: 
– Fontes de tensão dependentes ou independentes; 
– Fontes de corrente dependentes ou independentes; 
– Resistores; 
– Capacitores; 
– Indutores. 
 
3.2 Fonte de Tensão Independente 
 
A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada 
constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes 
independentes podem ser do tipo contínua ou alternada. 
Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. 
A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo 
de fonte de tensão alternada. 
 
V
Tensão Contínua
V
Tensão Alternada 
 
Fig. 3-1 - Fontes de Tensão. 
 
3.3 Fonte de Corrente Independente 
 
Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente 
especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente 
também podem ser do tipo contínuo ou alternado. 
 
João Marcio Buttendorff 9
I
Corrente Alternada
I
Corrente Contínua
+ +
 
Fig. 3-2 - Fontes de Corrente. 
 
3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 
 
São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor 
depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível 
especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou 
corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar 
unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente 
no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base. 
 
+ I=b.IxV=a.Vx
_ 
Fonte de CorrenteFonte de Tensão
Dependente Dependente
 
Fig. 3-3 - Fontes Dependentes. 
 
3.5 Elementos Ativos no Circuito 
 
São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais 
componentes do circuito. 
Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou 
absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se 
que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em 
que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo 
potência, ou seja, a potência é positiva. 
 
V
I
V
I
Fornecendo Absorvendo
Potência Potência
P=V.I P=-(V.I)
 
Fig. 3-4 - Convenção para fontes. 
João Marcio Buttendorff 10
3.6 Elementos Passivos no Circuito 
 
São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida 
pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos 
passivos. 
Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) 
e sai do mesmo pelo lado de menor potencial. 
 
+ VC -
C
+ VL -
L
+ VR -
R
I
I
I
 
Fig. 3-5 - Convenção para elementos passivos. 
 
4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 
 
Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente 
elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado 
como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do 
resistor. A letra R indica a resistência do resistor. 
 
R
 
Fig. 4-1 - Símbolo do resistor. 
 
A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a 
formulou pela primeira vez no início do século XIX. A lei de Ohm é a relação algébrica 
entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (SI). 
O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( )� . A equação (4.1) descreve esta lei. 
 
.V R I�
 (4.1) 
Onde: 
 V = Tensão em volts (V); 
 I = Corrente em ampères (A); 
 R = Resistência em ohms ( )� . 
A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre 
os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W). 
.P V I� (4.2) 
Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em 
função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência. 
João Marcio Buttendorff 11
2
.P I R� (4.3) 
 
2VP
R
� (4.4) 
 O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e 
medido em Siemens (S). Assim: 
1G
R
= (4.5) 
Exemplos 2.1: 
Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências 
dissipadas nos mesmos. 
 
8R 1A 20R1A
(A) (B)
 
Fig. 4-2 – Exemplos. 
 
 Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se: 
.
8.1 8
RA
RA
V R I
V V
�
� �
 
.
20.1 20
RB
RB
V R I
V V
�
� �
 (4.6) 
.
8.1 8
RA RA
RA
P V I
P W
�
� �
 
.
20.1 20
RB RB
RB
P V I
P W
�
� �
 (4.7) 
4.1 Características dos Resistores 
 
Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os 
mesmos: 
• Resistência ôhmica; 
• Percentual de tolerância; 
• Potência. 
 
Resistência Ôhmica – O valor específico da resistência do componente é indicada 
numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores 
padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de: 
1 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,2 – 2,7 – 3,3 – 3,9 – 4,7 – 5,6 – 6,8 – 8,2. 
Percentual de Tolerância – Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus 
valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de 
percentual: 
 ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância. 
João Marcio Buttendorff 12
 Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são 
chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como 
abaixo do valor padrão do resistor. 
 Potência – A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar 
calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência 
desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as 
redondezas. 
 
4.1.1 Tipos de Resistores 
 
Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica 
que serve como base para uma fina camadaespiral de material resistivo (filme de carbono 
ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. 
 O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na 
fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. 
 As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de 
precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, 
apesar de existir também 1 e 2%. 
 Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da 
porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. 
Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. 
 Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. 
Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel – cromo) cujo comprimento 
e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e 
maior dissipação de potência. 
 
4.1.2 Código de Cores 
 
 O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do 
componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos 
demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A 
disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do 
componente. 
 
4.1.3 Interpretação do Código de Cores 
 
 O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para 
representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na 
seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. 
A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores. 
 
1 2 3 4
1 - Unidade;
2 - Dezena;
3 - Número de zeros;
4 - Percentual de tolerância.
º º º º
º
º
º
º
 
Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores. 
João Marcio Buttendorff 13
 Cada cor representa um número, como segue: 
 
Valor Tolerância 
Preto 0 Marrom 1% 
Marrom 1 Vermelho 2% 
Vermelho 2 Dourado 5% 
Laranja 3 Prata 10% 
Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20% 
Verde 5 
Azul 6 
Violeta 7 
Cinza 8 
Branco 9 
Tabela 1 – Código de cores. 
 
 O código é interpretado da seguinte forma: 
• Os dois primeiros anéis são números; 
• O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, “n” números de 
zeros que virão após os dois primeiros números; 
• O quarto anel é a tolerância do valor da resistência. 
 Exemplo: 
 1º anel – amarelo = 4 
 2º anel – violeta = 7 
 3º anel – vermelho = 2 zeros (00) 
 4º anel – dourado = 5% de tolerância. 
 Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5%. 
 
4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 
 
 Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código 
estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a 
existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser 
considerado como um fator de multiplicação de 0,1. 
 Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. 
 Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o 
código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a 
existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 
0,01. 
 Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. 
 Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com 
valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os 
três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros 
(fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. 
 Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms ± 1%. 
 
 
 
João Marcio Buttendorff 14
4.2 Exercícios 
 
1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores. 
 
12V 1k 40V 120R
(A) (B)
 
Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W. 
 
2-) Determine a tensão das fontes. 
 
2A
V 50R
10A
V R P=200W
(A) (B)
 
Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V. 
 
3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo. 
 
3A 100R 100mA 2,2k
(A) (B)
 
Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W. 
 
5 LEIS DE KIRCHHOFF 
 
Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas 
chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre 
os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento 
matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, 
entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas: 
– Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito 
(ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós 
(nós 1 e 2); 
– Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal 
como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) 
conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito. 
– Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó 
escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez 
pelo mesmo nó. 
 
João Marcio Buttendorff 15
R1 R2
1k
Vcc
1
2
I1 I2
I3
 
Fig. 5-1 - Circuito com dois nós. 
 
5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 
 
A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a 
um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes 
que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de 
Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. 
Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, 
pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1: 
1 2 3 0I I I� � � 1 2 3I I I� � (5.1) 
 
5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 
 
A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em 
qualquer malha de um circuito é sempre nula. 
 
+ VR1 -
Vcc R3
+
R1 R2
+ VR2 -
VR2
-
I
 
Fig. 5-2 - Circuito com uma malha. 
 
Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se 
escrever a seguinte equação: 
1 2 3 0R R RVcc V V V� � � � � 1 2 3R R RVcc V V V� � � (5.2) 
 
 Exemplo 3.1: 
 Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I1 no 
circuito da Fig. 5-3. 
 
João Marcio Buttendorff 16
R2=50R 6A120V
R1=10R
I1
 
Fig. 5-3 - Exemplo 3.1. 
 
 Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo 
formado pelo resistor R2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado 
por I1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R2 está saindo do 
nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a 
ser o apresentado na Fig. 5-4. 
 
6A120V
VR1
I1
I2
VR2
+
+ _
_
Nó 1
Nó 2
 
Fig. 5-4 - Circuito resultante. 
 
 Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são 
positivas e as que saem são negativas, obtém-se: 
1 26 0I I� � � 1 26I I� � (5.3) 
 Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no 
sentido horário, obtém-se: 
1 2120 0R RV V� � � � 1 2 120R RV V� � (5.4) 
 Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4). 
1 1 2 2
1 2
. . 120
10. 50. 120
R I R I
I I
� �
� �
 (5.5) 
 Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se: 
1
2
3
3I A
I A
��
�
 (5.6) 
 O resultado negativo de I1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do 
sentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato 
que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a 
mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito. 
 
João Marcio Buttendorff 17
 Exemplo 3.2: 
 Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e 
a potência fornecida pela fonte de tensão. 
 
3R
+ VR1 -
2RVR3
7R
+ VR2 -
24V
+
-I
 
Fig. 5-5 - Exemplo 3.2. 
 
 Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se: 
1 2 3
1 2 3
24 0
24
R R R
R R R
V V V
V V V
� � � � �
� � �
 (5.7) 
 Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a 
corrente do mesmo. 
1 2 3. . . 24
3. 7. 2. 24
2
R I R I R I
I I I
I A
� � �
� � �
�
 (5.8) 
 Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre 
os mesmos. 
1 1
2 2
3 3
. 3.2 6
. 7.2 14
. 2.2 4
R
R
R
V R I V
V R I V
V R I V
� � �
� � �
� � �
 (5.9) 
 A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela 
corrente que circula por ela. 
. 24.2 48P V I W� � � (5.10) 
5.3 Exercícios 
 
1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo. 
 
20V V=?
1V 6V
20A 2A
10A I=?
1V 2V
I
 
Respostas: I=8A e V=10V. 
João Marcio Buttendorff 18
2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2. 
 
10R
20V
20R
50V40V
R1R2
 
Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V. 
 
3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo. 
 
8R
R
120V 24R200V
+
_ 
 
Resposta: 4R� � 
 
4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte. 
 
VR3 2R
+ VR1 -
3R
+ VR2 -
7R
24V
+
_
 
Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W. 
 
5-) Para o circuito abaixo, calcule: 
a) As correntes da fonte e no resistor de 80� ; 
b) A tensão no resistor de 90� ; 
c) Verifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos 
resistores. 
 
I 90R
30R
1,6A
80RI
 
Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W. 
 
6-) Dado o circuito, determine: 
a) O valor de Ia; 
b) O valor de Ib; 
c) O valor de Vo; 
d) As potências dissipadas nos resistores; 
e) A potência fornecida pela fonte. 
João Marcio Buttendorff 19
80R
4R
20R50V Vo
+
_
Ib
Ia
 
Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V; 
d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W. 
 
7-) A corrente I0 no circuito é 4A. 
a) Determine a corrente I1; 
b) Determine as potências dissipadas nos resistores; 
 
8R
5R
25R
70R
10R
180V
I0
I1
 
Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W. 
 
8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1 e a tensão V. 
 
6k
54k
+ V -
5V
1,8k1V
8V
I1 30.I1
 
Respostas: I1=25uA e V=-2V. 
 
9-) A corrente I1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule: 
a) A tensão Vs; 
b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; 
c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; 
d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; 
e) A potência total dissipada pelos dois resistores. 
 
30R
2.I1
10R
Vs5A I1
 
Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W. 
João Marcio Buttendorff 20
6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA 
EQUIVALENTE 
 
A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da 
resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se 
numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que 
compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos 
circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de 
determinação da resistência equivalente. 
 
6.1 Associação em Série de Resistores 
 
Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o 
terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme 
mostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais 
da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a 
n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos 
resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n 
resistores. 
 
R1 R2 R3 Rn
V
+ VR1 - + VR2 - + VR3 - + VRn -
I
 
Fig. 6-1 - Circuito série. 
 
A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito 
fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito 
da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte V. 
1 2 3 ...R R R RnV V V V V� � � � (6.1) 
 Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se: 
1 2 3. . . ... . nV I R I R I R I R� � � � � (6.2) 
1 2 3.( ... )nV I R R R R� � � � � (6.3) 
 A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (Req) do 
circuito. Desta forma, tem-se: 
. eqV I R� (6.4) 
João Marcio Buttendorff 21
 Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação 
por I, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito. 
e 1 2 3R ...q nR R R R� � � � � (6.5) 
 A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1. 
 
ReqV
I
 
Fig. 6-2 - Circuito equivalente. 
 
6.2 Associação em Paralelo de Resistores 
 
Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão 
conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente 
a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por 
outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles. 
 
R2
R1
Rn
V
R3
I1
I2
I3
In
I
 
Fig. 6-3 - Circuito paralelo. 
 
A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram 
em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim: 
1 2 3 ... nI I I I I� � � � � (6.6) 
A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total (I) do circuito. 
Desta forma, tem-se: 
eq
VI
R
� (6.7) 
 Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a 
corrente total pela equação (6.7), obtém-se: 
João Marcio Buttendorff 22
e 1 2 3
...
R q n
V V V V V
R R R R
� � � � � (6.8) 
 Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por V, obtém-se: 
1 2 3
1 1 1 1 1
...
R R R R Req n
� � � � � (6.9) 
1 2 3
1R 1 1 1 1
...
R R R R
eq
n
�
� � � �
 (6.10) 
 Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos 
resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência 
é menor que o menor valor das resistências individuais. 
 Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação 
(6.11) para determinar a resistência equivalente. 
1 2
1 2
.
eq
R RR
R R
�
�
 (6.11) 
 
6.3 Associação Mista de Resistores 
 
No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que 
estão conectadasem paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e 
(6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a 
seguir ilustra este procedimento. 
Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a 
partir dos terminais a-b. 
 
 
RB
RA
R1
R3
R1
R2
R1 R3
RD
R5
R2
R2
RC
R4
R1
a
a
aa
a
b
b
b
b
(A) (B)
(C) (D)
(E)
b
 
Fig. 6-4 - Associação mista de resistores. 
João Marcio Buttendorff 23
Pela Fig. 6-4, os resistores R4 e R5 estão em série, podendo-se determinar a 
resistência equivalente RA pela equação (6.5) (vide figura A). 
4 5AR R R� � (6.12) 
 O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os 
resistores RA e R3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a 
equação (6.11), resultando na resistência RB: 
3
3
.A
B
A
R RR
R R
�
�
 (6.13) 
Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os 
resistores RB e R2 estão agora em série e a resistência equivalente RC correspondente a 
estes dois é dada pela equação (6.5): 
2C BR R R� � (6.14) 
 O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores RC e R1 
estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência 
equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de RD. 
1
1
.C
D
C
R RR
R R
�
�
 (6.15) 
 Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois 
terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência 
equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do 
circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de 
dois terminais do circuito. 
 
6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes 
Independentes 
 
Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou 
parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes 
independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de 
terminais. 
Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes 
independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais 
em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a 
resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do 
circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas. 
 
João Marcio Buttendorff 24
R3
R1
R2
R1 I
R2
Vcc
R3
a
b
(A) (B)
a
b
 
Fig. 6-5 - Resistência equivalente contendo fontes. 
 
6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes 
Dependentes e Independentes 
 
Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e, 
contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões 
e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte 
de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida 
determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão 
aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por 
um valor que simplifique o calculo (1V, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este 
procedimento. 
Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a 
resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig. 
6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig. 
6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1V. 
 
12V
3R
4R
2R
a
b
+
_
5.Vx
+ Vx -
1V
2R 3R
5.Vx4R
+ Vx -
+
_
a
b
(A) (B)
I
 
Fig. 6-6 - Circuito exemplo. 
 
 Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se: 
1 5. 0
0,1667
Vx Vx
Vx V
− + + =
=
 (6.16) 
 Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2� e 
4�, obtém: 
2 4
1 0,1667 0,3333
4 2
I I I
I A
Ω Ω= +
= + =
 (6.17) 
 Assim, a resistência equivalente é obtida por: 
João Marcio Buttendorff 25
1 3
0,3333eq
VR
I
= = = Ω (6.18) 
 
6.6 Transformação Estrela-Triângulo 
 
Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser 
determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em 
paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão 
estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo 
que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é 
denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo 
também é denominada de conexão delta ou ainda conexão �. 
 
R1
R3 Rb
R2
Ra
Rc
1 1
2 2
3 3
4 4
(a) (b)
 
Fig. 6-7 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo. 
 
6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 
 
Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito 
para estrela utilizando-se as seguintes relações: 
1
.b c
a b c
R RR
R R R
=
+ +
 (6.19) 
 2
.a c
a b c
R RR
R R R
=
+ +
 (6.20) 
3
.a b
a b c
R RR
R R R
=
+ +
 (6.21) 
 A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em 
estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela 
soma dos três resistores do triângulo. 
 
6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 
 
Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para 
triângulo utilizando-se as seguintes relações: 
João Marcio Buttendorff 26
1 2 2 3 3 1
1
. . .
a
R R R R R RR
R
+ +
= (6.22) 
1 2 2 3 3 1
2
. . .
b
R R R R R RR
R
+ +
= (6.23) 
1 2 2 3 3 1
3
. . .
c
R R R R R RR
R
+ +
= (6.24) 
 A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em 
triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da 
estrela. 
 
6.7 Exercícios 
 
1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo. 
 
110V R2 10R
R3
7R
115V
1RR1
5R
2R
3R 4R
(a) (b)
 
Respostas: (a) V1=25V; V2=50V e V3=35V 
(b) V1=11,5V; V2=23V; V3=34,5V e V4=46V. 
 
2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15�), um torrador de pão 
(15�) e uma panela de frituras (12�) ligados às tomadas de 120V de uma cozinha. Que 
corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os 
eletrodomésticos? 
 Respostas: ICaf=8A; ITor=8A; IPan=10A e Itot=26A. 
 
3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo: 
a) Como está desenhado; 
b) Com o resistor de 5� substituído por um curto-circuito; 
c) Com o resistor de 5� substituído por um circuito aberto. 
 
4R
9R
4R
10R
3R 5R
2R 1R
4R
 
Respostas: a) 10eqR � � ; b) 9,933eqR � � e c) 10,2eqR � � . 
João Marcio Buttendorff 27
4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo. 
 
20k12R
2R
30k 30k15k
7k
24k24R
6R
 
Respostas: (A) 16eqR � � ; (B) 6eqR k� � . 
 
5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo. 
 
8R
10R20R
5R
15R
 
Resposta: Req=12,162�. 
 
6-) Determine para os três circuitos abaixo: 
a) A resistência equivalente; 
b) As potências fornecidas pelas fontes. 
 
48R
18R
20V 6R
10R
15R
6R
15R20R
48R
20R 6R
10R
60R
18R 14R4R
16R
12R
15R
8R
10R
15R
18R
144V
10R
8R
30R6A
(A)
(B)
(C)
Respostas: (A) 10eqR � � e P=40W; (B) 27eqR � � e P=768W; 
(C) 24eqR � � e P=864W. 
 
7-) Determine Vo e Vg no circuito abaixo. 
 
João Marcio Buttendorff 28
25A
30R
25R
60R
12R
30R Vo
50R
Vg
+
_
+
_
 
Respostas: Vo=300V e Vg=1050V. 
 
8-) Calcule a tensão Vx no circuito. 
 
60k
15k1k
30V
5k
- Vx +
 
Resposta: Vx=1V. 
 
9-) A corrente no resistor de 9� do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura. 
a) Calcule Vg; 
b) Calcule a potência dissipada no resistor de 20� . 
 
25R
20R
10R
Vg
5R
32R 2R
4R
40R
3R 1R
9R
1A
 
Respostas: a) Vg=144V; b) P=28,8W. 
 
10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k� do circuito abaixo. 
 
5k
3k
25k
750R
15k
5k
192V
 
Resposta: P=300mW. 
João Marcio Buttendorff 29
11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a 
corrente I. 
 
20R
30R
10R
120V
5R
12,5R
15R
I
 
Respostas: Req=9,632� e I=12,458A. 
 
7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 
 
 A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação 
de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de 
aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de 
resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de 
Kirchhoff. 
7.1 Divisor de Tensão 
 
A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em 
série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão 
sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte V é mostrada 
na figura (B), sendo dada pela relação: 
e 1 2 3 4R ...q nR R R R R� � � � � � (7.1) 
 
R3
Req
Rn
+VR1-
R1 R4R2
+VR2- +VR3- +VR4- +VRn-
+VReq-
+
_
V
+
_
V
(A)
(B)
I
I
 
Fig. 7-1 - Divisão de tensão entre resistores em série. 
 
 Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo 
dada pela equação: 
1 2 3 4( ... )eq n
V VI
R R R R R R
� �
� � � � �
 (7.2) 
João Marcio Buttendorff 30
 Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações: 
1
1 1
1 2 3 4
.
. ( ... )R
n
R VV R I
R R R R R
� �
� � � � �
 (7.3) 
2
2 2
1 2 3 4
.
. ( ... )R
n
R VV R I
R R R R R
� �
� � � � �
 (7.4) 
3
3 3
1 2 3 4
.
. ( ... )R
n
R VV R I
R R R R R
� �
� � � � �
 (7.5) 
 ... 
 
1 2 3 4
.
. ( ... )
n
Rn n
n
R VV R I
R R R R R
� �
� � � � �
 (7.6) 
 As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada 
resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada 
componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e 
dividida pela soma das resistências dos componentes. 
 Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e 
sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig. 7-1. 
 
7.2 Divisor de Corrente 
 
Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se 
aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito 
mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente 
individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: 
1 2 3 4
1R 1 1 1 1 1
...
R R R R
eq
n
R
�
� � � � �
 (7.7) 
 
R3
Req
RnR1 R4R2
I I1 I2 I3 I4 In
+
_
V
I
+
_
V
(A)
(B)
 
Fig. 7-2 - Divisão de corrente entre resistores em paralelo. 
João Marcio Buttendorff 31
 A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela 
equação (7.8): 
e
1 2 3 4
1
.R .
1 1 1 1 1
...
q
n
V I I
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.8) 
 Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes 
equações: 
1
1 1
1 2 3 4
1
.
1 1 1 1 1
...
n
V II
R R
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.9) 
2
2 2
1 2 3 4
1
.
1 1 1 1 1
...
n
V II
R R
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.10) 
3
3 3
1 2 3 4
1
.
1 1 1 1 1
...
n
V II
R R
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.11) 
4
4 4
1 2 3 4
1
.
1 1 1 1 1
...
n
V II
R R
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.12) 
 ... 
1 2 3 4
1
.
1 1 1 1 1
...
n
n n
n
V II
R R
R R R R R
� �
� ��	 �� � � � �	 �	 �	
 �
 (7.13) 
 As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a 
partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em 
cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e 
dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente. 
 Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e 
sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig. 7-2. 
 Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se 
obter as seguintes expressões: 
2
1
1 2
.
RI I
R R
�
�
 (7.14) 
1
2
1 2
.
RI I
R R
�
�
 (7.15) 
João Marcio Buttendorff 32
7.3 Exercícios 
 
1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada 
resistor. 
 
R2 6k
10V
R1 2k
 
Respostas: VR1=2,5V e VR2=7,5V. 
 
2-) Calcule as correntes I1 e I2 utilizando divisor de corrente. 
 
3k 6k
I1 I2It=18mA
 
Respostas: I1=12mA e I2=6mA. 
 
3-) Determine no circuito abaixo: 
a) O valor de Vo na ausência de carga. 
b) Calcule Vo quando 150LR k� � . 
c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k� se os terminais da carga forem 
acidentalmente curto circuitados? 
d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k� ? 
 
Vo75k RL
200V
25k
+
_
 
Respostas: a) Vo=150V; b) Vo=133,33V; c) P=1,6W e d) P=300mW. 
 
4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6� do circuito abaixo. 
 
6R4R16R
1,6R
10A
 
Resposta: P=61,44W. 
João Marcio Buttendorff 33
5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de Vo sem carga é 6V. Quando a 
resistência de carga RL é inserida ao circuito, a tensão cai para 4V. Determine o valor de R2 
RL. 
 
RLR2
40R
18V Vo
+
_
 
Respostas: 2 20R � � e 26,67LR � � . 
 
6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo: 
a) A tensão de saída Vo sem carga; 
b) As potências dissipadas em R1 e R2; 
 
R2 3,3k
4,7k
160V
R1
Vo
 
Respostas: a) Vo=66V e b) PR1=1,88W e PR2=1,32W. 
 
7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor 
de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem 
tensões -12V, 6V e +12V, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha 
os valores de R1, R2 e R3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto 
sejam atendidas: 
a) A potência total fornecida ao circuito divisor detensão pela fonte de 24V deve ser 
de 36W quando o circuito não está carregado. 
b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem 
ser V1=12V, V2=6V e V3=-12V. 
 
R2
R1
24V
R3
V3
V1
V2
Comum
 
Respostas: 1 4R � � , 2 4R � � e 3 8R � � . 
 
João Marcio Buttendorff 34
8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25� , no circuito divisor de corrente apresentado 
abaixo. 
 
6,25R1142mA 20R0,25R 1R 10R2,5R
 
Resposta: I=32mA. 
 
8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 
 
A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir. 
 
8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 
 
Inicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um 
circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais 
permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n+1). Uma 
vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como I1, I2, I3...Ib-n+1. Além 
disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não 
interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das 
correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as 
tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas. 
 
8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 
 
Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido 
atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido 
percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas 
de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações 
de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1) 
equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem 
cada malha, de acordo com a convenção adotada. 
 
8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
 
Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das 
tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de 
tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo 
as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo 
as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada 
ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo. 
 
João Marcio Buttendorff 35
8.4 Solução do Sistema de Equações 
 
Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução 
de sistemas lineares para determinar as (b-n+1) incógnitas. 
 
8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 
 
Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas, 
pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de 
malha. Por exemplo, a corrente de ramo IK, percorrido por um lado pela corrente de malha 
Ix e por outro pela corrente de malha IY do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser 
obtida pela seguinte equação: 
k x yI I I� � (8.1) 
 
 
Fig. 8-1 - Tensão e corrente de ramo. 
 
 Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no 
mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula 
em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se 
a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão 
no ramo k será dada como: 
. ( ).k k k x y kV I R I I R� � � (8.2) 
 Rk – Resistência do ramo k (ohms, � ) 
 
8.6 Exemplo de Aplicação 
 
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 
8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo. 
João Marcio Buttendorff 36
8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 
 
Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o 
número de malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das 
malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser 
escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados 
positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes. 
 
R1+ R2
R4R3
+
++
- -
-
-
V
I1 I2
Malha 1 Malha 2
 
Fig. 8-2 - Circuito de exemplo. 
 
8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas 
 
De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas 
pelas seguintes equações: 
1 3 1 30R R R RV V V V V V� � � � � � � (8.3) 
3 2 4 0R R RV V V� � � � (8.4) 
 
8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
 
As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas 
nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue: 
1 1RI I� (8.5) 
2 2RI I� (8.6) 
3 1 2RI I I� � (8.7) 
4 2RI I� (8.8) 
1 1 1 1 1. .R RV I R I R� � (8.9) 
2 2 2 2 2. .R RV I R I R� � (8.10) 
3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R� � � (8.11) 
4 4 4 2 4. .R RV I R I R� � (8.12) 
João Marcio Buttendorff 37
 Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as 
equações em termos das correntes de malha. 
 Equação da malha 1: 
1 3
1 1 1 2 3
1 1 3 2 3
. ( ).
.( ) .
R RV V V
I R I I R V
I R R I R V
� �
� � �
� � �
 (8.13) 
 Equação da malha 2: 
3 2 4
1 2 3 2 2 2 4
1 3 2 2 3 4
0
( ). . . 0
. .( ) 0
R R RV V V
I I R I R I R
I R I R R R
� � � �
� � � � �
� � � � �
 (8.14) 
 
8.6.4 Solução do Sistema de Equações 
 
Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: 
20V V� 1 2R � � 2 4R � � (8.15) 
3 6R � � 4 3R � � 
 Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma: 
1 2
1 2
8. 6. 20
6. 13. 0
I I
I I
� �
� � �
 (8.16) 
 Solucionando-se o sistema, obtém-se: 
1
2
3,824
1,765
I A
I A
�
�
 
 
8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 
 
A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os 
ramos: 
1 1 3,824RI I A� � (8.17) 
2 2 1,765RI I A� � (8.18) 
3 1 2 3,824 1,765 2,059RI I I A� � � � � (8.19) 
4 2 1,765RI I A� � (8.20) 
1 1 1. 3,824.2 7,684RV I R V� � � (8.21) 
João Marcio Buttendorff 38
2 2 2. 1,765.4 7,06RV I R V� � � (8.22) 
3 1 2 3( ). (3,824 1,765).6 12,354RV I I R V� � � � � (8.23) 
4 2 4. 1,765.3 5, 295RV I R V� � � (8.24) 
 Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar 
as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no 
circuito. 
 
8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente 
 
A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser 
empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou 
independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não 
sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na 
realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de 
análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do 
estabelecimento das equações do circuito. 
Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a 
Fig. 8-3, observa-se quea tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que 
possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da 
fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão Vk da fonte como uma incógnita a ser 
determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y 
estão relacionadas pela seguinte relação: 
x yI I I� � (8.25) 
 
 
Fig. 8-3 - Fonte de corrente entre duas malhas. 
 
 Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também 
foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito. 
João Marcio Buttendorff 39
 Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a 
tensão Vk na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. 
Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema. 
 Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha 
passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte. 
Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor 
para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4: 
xI I� (8.26) 
 
Fig. 8-4 - Fonte de corrente em uma única malha. 
 
8.8 Exemplo de Aplicação 
 
 O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento. 
 
R2=10
V=20V R4=4
R3=2
R1=6
+
I=6AVf
+
+
+
+
-
-
-
-
-
I1 I2
Malha 1 Malha 2
 
Fig. 8-5 - Análise de malha com fonte de corrente. 
 
 Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes: 
 Malha 1: 
1 3 1 30R R f R R fV V V V V V V V� � � � � � � � � (8.27) 
 Malha 2: 
2 3 4 0R R R fV V V V� � � � (8.28) 
 As relações tensão corrente no circuito são as seguintes: 
João Marcio Buttendorff 40
1 1RI I� (8.29) 
2 2RI I� (8.30) 
3 1 2RI I I� � (8.31) 
4 2RI I� (8.32) 
1 1 1 1 1. .R RV I R I R� � (8.33) 
2 2 2 2 2. .R RV I R I R� � (8.34) 
3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R� � � (8.35) 
4 4 4 2 4. .R RV I R I R� � (8.36) 
 A equação adicional considerando a fonte de corrente é: 
2 1I I I� � (8.37) 
 Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do 
circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a 
mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)). 
 Malha 1: 
1 3
1 1 1 2 3
1 1 3 2 3
. ( ).
.( ) .
R R f
f
f
V V V V
I R I I R V V
I R R I R V V
� � �
� � � �
� � � �
 (8.38) 
 Malha 2: 
2 3 4
2 2 1 2 3 2 4
1 3 2 2 3 4
0
. ( ). . 0
. .( ) 0
R R R f
f
f
V V V V
I R I I R I R V
I R I R R R V
� � � �
� � � � �
� � � � � �
 (8.39) 
As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito, 
sendo as incógnitas I1, I2 e Vf. Substituindo os valores nas equações, obtém-se: 
1 2
1 2
1 2
6
8. 2. 20
2. 16. 0
f
f
I I
I I V
I I V
� � �
� � �
� � � �
 (8.40) 
 Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução: 
1
2
3,2
2,8
51,2f
I A
I A
V V
��
�
�
 (8.41) 
João Marcio Buttendorff 41
8.9 Exercícios 
 
1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha. 
 
25V
1R4R
3R
5R
1R
6RI3
I1 I2
 
Respostas: I1=3A; I2=1A e I3=2A. 
 
2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha. 
 
10V
4R
10V
2R
2R
I1
I3
I2
 
Respostas: I1=2A; I2=-1A e I3=3A. 
 
3-) Calcule as correntes I1 e I2 e a corrente através da fonte de 20V, usando o método da 
corrente de malha. 
 
20V 4R22V
1R
I1 I2
 
Respostas: I1=2A; I2=5A e I20V=-3A. 
 
4-) Use o método das correntes de malha para determinar: 
a) As potências associadas às fontes de tensão. 
b) A tensão Vo entre os terminais do resistor de 8� . 
 
8R Vo40V 6R
2R 4R
20V
6R
+
_
 
Respostas: a) P40=224W e P20=16W; b) Vo=28,8V. 
 
5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo. 
 
João Marcio Buttendorff 42
5A
2R
6R
10R
4R
100V
3R
50V
 
Respostas: I1=1,75A, I2=6,75A e I3=1,25A. 
 
6-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor 
de 2� do circuito a seguir. 
 
2R
3R
16A
8R
6R
5R30V
4R
 
Resposta: P=72W. 
 
7-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor 
de 1� no circuito abaixo. 
 
2R
2R
6V
1R
2R
2A
10V
 
Resposta: P=36W. 
 
8-) Determine pelo método das correntes de malha: 
a) As correntes de ramo Ia, Ib e Ic. 
b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64V for invertida. 
 
45R 64V
Ia
4R
1,5R2R
40V
3R
Ib
Ic
 
Respostas: a) Ia=9,8A, Ib=-0,2A e Ic=-10A; b) Ia=-1,72A, Ib=1,08A, Ic=2,8A. 
 
9-) Use o método das correntes de malha para determinar: 
a) A potência fornecida pela fonte de corrente de 30A. 
João Marcio Buttendorff 43
b) A potência total fornecida ao circuito pelas fontes. 
 
4R
0,8R
424V
30A
600V
5,6R
16R
3,2R
 
Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW. 
 
10-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas 
fontes ao circuito. 
 
12R
4R 2R
6R
12V
70V
10R
110V
3R
 
Resposta: P=1,14kW. 
 
11-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada nos 
resistores do circuito abaixo. 
 
18V
6R
9R
2R
3R
15V3A
 
Respostas: P3R=1,08W, P2R=0,72W, P9R=51,84W e P6R=34,56W. 
 
12-) O circuito da figura abaixo é um a versão em corrente contínua de um sistema de três 
fios para distribuição de energia elétrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam as 
resistências dos três condutores que ligam as três cargas R1, R2 e R3 à fonte de alimentação 
125/250V. Os resistores R1 e R2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125V e R3 
representa uma carga ligada ao circuito de 250V. 
a) Determine V1, V2 e V3. 
b) Calcule a potência dissipada em R1, R2 e R3. 
c) Que porcentagem da potência total fornecida pelas fontes é dissipada nas cargas? 
d) O ramo Rb representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual seria a 
conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? (Sugestão: Calcule 
João Marcio Buttendorff 44
V1 e V2 e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tensão de trabalho 
de 125V). 
 
125V
R2=19,4R
Ra=0,2R
R1=9,4R
R3=21,2R
Rc=0,2R
125V
Rb=0,4R
V1
V2
V3
+
+
+
_
_
_
 
Respostas: a) V1=117,758V, V2=123,9V, V3=241,658V; b) PR1=1,475kW, 
PR2=791,3W, PR3=2,755kW; c-) 96,3%; e) V1=79V, V2=163V. 
 
13-) Determine Vo e Io no circuito abaixo. 
 
1R
3R
2R
2R 16V
Io
2.Io
Vo
 
Respostas: Vo=33,78V e Io=10,67A. 
 
14-) Aplique a análise de malhas para encontrar Vo no circuito abaixo. 
 
8R2R
1R
5A
Vo
20V4R
40V
 
Resposta: Vo=20V. 
 
15-) Utilize a análise da malhas para obter Io no circuito abaixo. 
 
João Marcio Buttendorff 45
2R 4R
6V
1R
12V
3A5R
Io
 
Resposta: Io=-1,733A. 
 
9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL 
 
A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir: 
 
9.1 Seleção do Nó de Referência 
 
Inicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de 
referência, em relação ao qual todas as tensões serão medidas. O potencial deste nó será 
assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes tambémé denominado de nó de 
terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós 
do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como 
V1, V2, V3....Vn-1. 
 
9.2 Aplicação da LCK aos Nós 
 
Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a 
Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de 
referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário. Deve-se 
adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. 
Geralmente, considera-se que correntes que entram no nó são consideradas positivas, 
enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa 
haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem 
dos (n-1) nós. 
 
9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
 
Uma vez que as equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes 
de nós e as incógnitas são tensões de nó, deve-se utilizar as relações de tensão-corrente 
para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como 
resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se 
atentar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo, existindo, portanto b 
relações deste tipo. 
João Marcio Buttendorff 46
9.4 Solução do Sistema de Equações 
 
Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução e 
determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtém-
se um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das 
resistências do circuito. 
 
9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 
 
Deve-se observar para o fato que, após solucionado o sistema de equações, pode-se 
obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por 
exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Fig. 9-1, 
pode ser obtida pela seguinte equação: 
k xy x yV V V V� � � (9.1) 
 
Ik
VyVx Rk
+ _
 
Fig. 9-1 - Tensão e corrente de ramo. 
 
 Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x 
para o nó y será dada como: 
x y
k
k
V V
I
R
�
� (9.2) 
 Rk – Resistência do ramo k (ohms) 
 
9.6 Exemplo de Aplicação 
 
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 
9-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas. 
 
Ia R3
Ib
R1
R2
+
+
+
__
_
I2
I1 I3
0
1 2
V1 V2
 
Fig. 9-2 - Circuito de exemplo. 
João Marcio Buttendorff 47
9.6.1 Seleção do Nó de Referência 
 
Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será 
escolhido como nó de referência (terra). As tensões nos outros dois nós serão denominados 
V1 e V2. As correntes nos resistores R1, R2 e R3 serão denominadas I1, I2 e I3. 
 
9.7 Aplicação da LCK aos Nós 
 
Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 e considerando-se como positivas as 
correntes que entram no nós, obtém-se: 
Nó 1: 
1 2 1 20a b a bI I I I I I I I� � � � � � � � (9.3) 
 Nó 2: 
2 32 3 0b bI I I I I I� � � �� � � (9.4) 
 
9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 
 
Considerando os sentidos das tensões e correntes associados aos resistores (Ramos) 
do circuito, obtém-se: 
1 1
1
1 1
0V VI
R R
�
� � (9.5) 
1 2
2
2
V VI
R
�
� (9.6) 
2 2
3
3 3
0V VI
R R
�
� � (9.7) 
 Substituindo-se as equações (9.5), (9.6) e (9.7) nas equações (9.3) e (9.4), obtém-se 
o seguinte sistema de equações em termos das resistências e fontes de corrente: 
1 1 2 2
1
1 2 1 2 2
1 1
.a b a b
V V V VI I V I I
R R R R R
� �� �	 �� � � � � � � �	 �	 �	
 �
 (9.8) 
1 2 2 1
2 3 2 2 3
1 12.b b
V V V VI V I
R R R R R
� �� � �	 �� � � � � � �	 �	 �	
 �
 (9.9) 
 
9.7.2 Solução do Sistema de Equações 
 
A solução do sistema será realizada considerando os seguintes valores numéricos: 
João Marcio Buttendorff 48
5aI A� 3bI A� 
1 2R � � 2 4R � � 3 8R � � 
Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equações 
assumirá a seguinte forma: 
1 2
1 2
0,75. 0, 25. 2
0, 25. 0,375. 3
V V
V V
� �
� � �
 (9.10) 
 Solucionando-se o sistema, obtém-se: 
1
2
6,857
12,571
V V
V V
�
�
 
 
9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 
 
A partir das tensões dos nós V1 e V2 obtém-se por meio das equações (9.5) a (9.7) 
as correntes de ramo: 
1
1
1
6,857 3,429
2
VI A
R
� � � (9.11) 
1 2
2
2
6,857 12,571 1,429
4
V VI A
R
� �
� � �� (9.12) 
2
3
3
12,571 1,571
8
VI A
R
� � � (9.13) 
 As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações: 
1 1 0 6,857RV V V� � � (9.14) 
2 1 2 6,857 12,571 5,714RV V V V� � � � �� (9.15) 
3 2 0 12,571RV V V� � � (9.16) 
 O sinal negativo da tensão VR2 que aparece na solução significa que a tensão que 
efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido 
como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que 
efetivamente existe é contrário aquele considerado positivo. 
 Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também 
determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente. 
 
9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão 
 
A análise nodal, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada 
quando o circuito contiver fontes de tensão sejam elas dependentes ou independentes. As 
João Marcio Buttendorff 49
fontes de tensão impõem uma determinada diferença de potencial entre dois nós, não sendo 
possível determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estas 
características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do 
circuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tensão, sendo que 
uma delas é descrita a seguir. 
Considerando que a fonte de tensão está conectada entre os terminais x e y 
conforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecerá nas equações de ambos 
os nós do circuito onde a fonte está conectada. Como não há uma relação entre a corrente 
da fonte e a sua tensão, pode-se manter a corrente Ik como uma incógnita a ser 
determinada. Por outro lado, as tensões dos nós x e y estão relacionados da seguinte forma. 
x yV V V� � (9.17) 
 
Ik
V
+ _
Ik
Vx Vy
x y
 
Fig. 9-3 - Fonte de tensão entre dois nós. 
 
 Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações (Ik), mas 
também foi acrescentada uma equação (9.17), sendo ainda possível solucionar o circuito. 
 Caso a fonte de tensão estiver conectada entre o nó x e o nó de terra, significa que a 
tensão do nó está imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equação deste nó e 
estabelecer o seguinte valor para a tensão do nó: 
xV V� (9.18) 
 O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento. 
 
V=2V
IfIa
V1
I2R2 Ib
7A
I3
R3=10R
R1
2R2A 4RI1
V2
+ +
+
+
_
_
_
_
2
0
1
 
Fig. 9-4 - Análise nodal com fonte de tensão. 
 
 As equações dos nós para este circuito são: 
 Nó 1: 
1 3 1 30a f f aI I I I I I I I� � � � � � � � (9.19) 
 Nó 2: 
João Marcio Buttendorff 50
3 2 2 30f b f bI I I I I I I I� � � � �� � � � (9.20) 
 Asrelações tensão corrente são: 
1 1
1
1 1
0V VI
R R
�
� � (9.21) 
2 2
2
2 2
0V VI
R R
�
� � (9.22) 
1 2
3
3
V VI
R
�
� (9.23) 
 A equação adicional considerando a fonte de tensão é: 
1 2V V V� � (9.24) 
 Substituindo-se as relações (9.21) a (9.23) obtém-se finalmente as equações do 
circuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a 
mais, havendo também uma equação a mais (equação (9.24)). 
1 3
1 1 2
1 3
2
1
1 3 3
1 1
.
f a
f a
f a
I I I I
V V V I I
R R
VV I I
R R R
� � �
�
� � �
� ��	 �� � � �	 �	 �	
 �
 (9.25) 
2 3
2 1 2
2 3
1
2
3 2 3
1 1
.
f b
f b
f b
I I I I
V V V I I
R R
V V I I
R R R
� � � �
�
� � � �
� ��	 �� � � �	 �	 �	
 �
 (9.26) 
 Substituindo-se os valores nas equações, obtém-se o seguinte sistema: 
1 2
1 2
1 2
0,6. 0,1. 2
0,1. 0,35. 7
2
f
f
V V I
V V I
V V
� � �
� � �
� �
 (9.27) 
 Resolvendo-se o sistema, obtém-se as incógnitas desconhecidas: 
1
2
6
8
4,8f
V V
V V
I A
��
��
��
 
João Marcio Buttendorff 51
9.9 Exercícios 
 
1-) Calcule as correntes e as tensões nos resistores utilizando a análise nodal. 
 
R2
3R
R1
12R
84V 21V
R3
6R
 
Respostas: V1=60V; V2=24V; V3=3V; I1=5A; I2=4A e I3=1A. 
 
2-) Obtenha as tensões nodais do circuito abaixo. 
 
4A2R
6R
7R1A
1 2
 
Respostas: V1=-2V e V2=-14V. 
 
3-) Determine pelo método das tensões de nó: 
a) V1, V2 e I1. 
b) A potência fornecida pela fonte de 15A. 
c) A potência fornecida pela fonte de 5A. 
 
5R
5A15R60R15A 2RV1
+ +
_
_
V2
I1
 
Respostas: a) V1=60V, V2=10V, I1=10A; b) P=900W; c) P=-50W. 
 
4-) Use o método das tensões de nó para determinar o valor de V no circuito abaixo. 
 
1R 30V
4R
V 12R4,5A
6R 2R
+
_
 
Resposta: V=15V. 
 
5-) Determine pelo método das tensões de nó a tensão V1 e a potência fornecida pela fonte 
de 60V no circuito abaixo. 
 
João Marcio Buttendorff 52
4A 30R80R20R
10R60V
V1
+
_
 
Respostas: V1=20V e P=180W. 
 
6-) Determine pelo método das tensões de nó: 
a) As correntes nos ramos. 
b) A potência total consumida no circuito. 
 
18R
48R 20R
Ia
10R
70V
8R
128V Ib
Ic
Id
Ie
 
Respostas: a) Ia=4A, Ib=2A, Ic=2A, Id=3A, Ie=-1A; b) P=582W. 
 
7-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo. 
 
3,2A
25R
V1 375R125R2,4A 250R
+
_
V2
+
_
 
Respostas: V1=25V e V2=90V. 
 
8-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito. 
 
200R
20R
Vo
6A50R
40R
800R
75V
+
_
 
Resposta: Vo=40V. 
9-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo. 
 
V2 3A
4R
5R144V 10R V1
80R
++
_
_
 
Respostas: V1=100V e V2=20V. 
 
10-) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no circuito 
abaixo. 
João Marcio Buttendorff 53
25R
50R
4A
31,25R30V 1A50R
15R
 
Resposta: P=306W. 
 
11-) Encontre Io no circuito abaixo. 
 
8R
1R
2R
4A
4R
Io
2.Io
 
Resposta: Io=-4A. 
 
12-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo. 
 
4R
8R
1R
3A
2R
12V
+ Vo -
+
_
5.Vo
V1 V2
 
Respostas: V1=-10,91V e V2=-100,36V. 
 
13-) Utilize a análise nodal para encontrar Vo no circuito abaixo. 
 
5R
2R
3V
3R
1R
+
+
_
_
Vo 4.Vo
 
Resposta: Vo=1,11V. 
João Marcio Buttendorff 54
10 SUPERPOSIÇÃO 
 
O princípio da superposição estabelece que quando um circuito contiver mais de 
uma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual do 
circuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinar 
a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar 
algebricamente as respostas individuais. A utilização do princípio da superposição pode, 
em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução. Para a resolução 
de circuitos utilizando o princípio da superposição deve-se levar em consideração os 
seguintes passos: 
1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes de 
tensão são substituídas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos 
abertos. Fontes dependentes não devem ser alteradas. 
2. Repetir o passo 1 até que todas as fontes independentes foram consideradas. 
3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cada 
fonte. As tensões e correntes de cada ramo serão a soma das tensões e 
correntes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes e 
tensões nas respostas individuais. 
 
10.1 Exemplo de Aplicação 
 
Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-se 
calcular a corrente Ia e a potência dissipada no resistor de 4�. 
 
30R
15V10A
10R
20R 4R
5R
Ia
 
Fig. 10-1 - Circuito de exemplo. 
 
 Inicialmente será considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a de 
tensão substituída por um curto-circuito. O circuito equivalente é apresentado na Fig. 10-2. 
 
30R
10A
10R
20R 4R
5R
Ia'
 
Fig. 10-2 - Circuito equivalente para a fonte de corrente. 
 
 Solucionando-se o circuito obtém-se a corrente Ia’=2,703A. Esta corrente é 
considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo. 
João Marcio Buttendorff 55
 Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tensão, obtém-se o circuito 
apresentado na Fig. 10-3. 
 
30R
15V
10R
20R 4R
5R
Ia''
 
Fig. 10-3 - Circuito equivalente para a fonte de tensão. 
 
 Resolvendo-se o circuito, obtém-se uma corrente Ia’’=-1,014A. A corrente tem um 
valor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tensão impõe uma corrente que 
circula no sentido contrário ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princípio da 
superposição, a corrente total que circula no resistor será: 
' ''
2,703 1,014 1,689
a a a
a
I I I
I A
= +
= − =
 (10.1) 
 A potência dissipada no resistor será: 
2
2
.
4.(1,689) 11,41
aP R I
P W
=
= =
 (10.2) 
 
10.2 Exercícios 
 
1-) Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito abaixo. 
 
3A4R6V
8R
V
+
_
 
Resposta: V=10V. 
 
2-) Determine a tensão Vo usando o teorema da superposição. 
 
3R
2R
5R
20V8AVo
+
_
 
Resposta: Vo=12V. 
João Marcio Buttendorff 56
3-) Determine o valor da corrente I, usando o princípio da superposição. 
 
8R
4A
16V
6R
2R
12V
I
 
Resposta: I=0,75A. 
 
4-) Determine a corrente I do circuito apresentado abaixo. 
 
24V
3R
4R
12V
4R
3A
8R
I
 
Resposta: I=2A. 
 
5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposição para determinar Io. 
 
3R
5R
2R
10R
4R
12V 2A
4A
Io
 
Resposta: Io=0,1111A. 
 
6-) Utilize a superposição para obter a tensão Vx no circuito abaixo. 
 
Vx
2A
20R
10V 4R 0,1.Vx
 
Resposta: Vx=12,5V. 
 
7-) Determine Ix no circuito abaixo pelo método da superposição. 
João Marcio Buttendorff 57
4R
2R
1R
2A10V
Ix 5.Ix
 
Resposta: Ix=-0,1176A. 
 
8-) Determine Io no circuito abaixo. 
 
5R
1R
4A
20V
2R
4R
3R
5.Io
+ |
Io
 
Resposta: Io=-0,4706A. 
 
11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 
 
11.1 Introdução 
 
Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão,