Conversão de Números em Sistemas Numéricos

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa.Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Aula 2
Vimos que grande parte dos erros de computac¸a˜o sa˜o
oriundos da representac¸a˜o dos nu´meros no computador...
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Os nu´meros podem ser decompostos em poteˆncias de sua base
vejamos:
(382919)10 = 3 ∗ 105 + 8 ∗ 104 + 2 ∗ 103 + 9 ∗ 102 + 1 ∗ 101 + 9 ∗ 100
(101011)2 = 1∗25 + 0∗24 + 1∗23 + 0∗22 + 1∗21 + 1∗20 = (43)10
Da mesma forma quando temos parte fraciona´ria podemos
escrever:
(32.54)10 = 3 ∗ 101 + 2 ∗ 100 + 5 ∗ 10−1 + 4 ∗ 10−2
(101.010)2 = 1∗22+0∗21+1∗20+0∗2−1+1∗2−2+0∗2−3 = (5.25)10
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Os nu´meros podem ser decompostos em poteˆncias de sua base
vejamos:
(382919)10 = 3 ∗ 105 + 8 ∗ 104 + 2 ∗ 103 + 9 ∗ 102 + 1 ∗ 101 + 9 ∗ 100
(101011)2 = 1∗25 + 0∗24 + 1∗23 + 0∗22 + 1∗21 + 1∗20 = (43)10
Da mesma forma quando temos parte fraciona´ria podemos
escrever:
(32.54)10 = 3 ∗ 101 + 2 ∗ 100 + 5 ∗ 10−1 + 4 ∗ 10−2
(101.010)2 = 1∗22+0∗21+1∗20+0∗2−1+1∗2−2+0∗2−3 = (5.25)10
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Na base 10(decimal), para se multiplicar um nu´mero por uma
poteˆncia de 10 e´ equivalente a deslocar o ponto(v´ırgula), para a
direita.
235.2 ∗ 10 = 2352.0
235.2 ∗ 102 = 23520.0
Na base 2(bina´ria), vale a mesma regra assim temos que:
(5)10 = (101)2
logo
(10)10 = 2 ∗ (101)2 = (1010)2
Quanto vale 20 em bina´rio? E 2.5?
(20)10 = (10100)2
(2.5)10 = (10.1)2
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Na base 10(decimal), para se multiplicar um nu´mero por uma
poteˆncia de 10 e´ equivalente a deslocar o ponto(v´ırgula), para a
direita.
235.2 ∗ 10 = 2352.0
235.2 ∗ 102 = 23520.0
Na base 2(bina´ria), vale a mesma regra assim temos que:
(5)10 = (101)2
logo
(10)10 = 2 ∗ (101)2 = (1010)2
Quanto vale 20 em bina´rio? E 2.5?
(20)10 = (10100)2
(2.5)10 = (10.1)2
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
De forma geral, um nu´mero em uma base β qualquer
(x)β = (ajaj−1 · · · a2a1a0)β,
onde 0 ≤ ak ≤ (β − 1) e k = 1, · · · , j , que pode ser escrito na
forma polinomial:
aj ∗ βj + aj−1 ∗ βj−1 + · · ·+ a0 ∗ β0 =
j∑
i=0
ai ∗ βi
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Assim podemos facilmente converter um nu´mero do sistema
bina´rio para decimal:
(1110)2 = 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 0 ∗ 20 = 8 + 4 + 2 = (14)10
(111.011)2 = 1 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 20 + 0 ∗ 2−1 + 1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−3 =
4 + 2 + 1 + 0 + 0.25 + 0.125 = (7.375)10
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Exerc´ıcio ra´pido- converta os seguintes nu´meros de bina´rio para
decimal:
1 (10111001)2
2 (100.01)2
3 (111100)2
4 (0.0001)2
O que podemos dizer sobre o u´ltimo d´ıgito significativo antes do
ponto?
Nu´meros pares: parte inteira termina com zero;
Nu´meros ı´mpares: parte inteira termina com um.
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Exerc´ıcio ra´pido- converta os seguintes nu´meros de bina´rio para
decimal:
1 (10111001)2
2 (100.01)2
3 (111100)2
4 (0.0001)2
O que podemos dizer sobre o u´ltimo d´ıgito significativo antes do
ponto?
Nu´meros pares: parte inteira termina com zero;
Nu´meros ı´mpares: parte inteira termina com um.
1.2.1 Conversa˜o de nu´meros nos sistemas decimal e bina´rio
Exerc´ıcio ra´pido- converta os seguintes nu´meros de bina´rio para
decimal:
1 (10111001)2
2 (100.01)2
3 (111100)2
4 (0.0001)2
O que podemos dizer sobre o u´ltimo d´ıgito significativo antes do
ponto?
Nu´meros pares: parte inteira termina com zero;
Nu´meros ı´mpares: parte inteira termina com um.
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Parte Inteira - Me´todo das diviso˜es sucessivas:
Divide-se o nu´mero na base decimal por 2, em seguida divide-se o
quociente desta divisa˜o por 2 e repete-se o processo ate´ que o
u´ltimo quociente seja igual a 1. O nu´mero bina´rio sera´ enta˜o
formado pela concatenac¸a˜o do u´ltimo quociente com os restos das
diviso˜es lidos no sentido inverso ao que foram obtidos, isto e´:
(20)10 = (10100)2
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Exerc´ıcio ra´pido - converta os seguintes nu´meros de decimal para
bina´rio:
1 25
2 18
3 7
4 6
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Parte Fraciona´ria - Multiplicac¸o˜es sucessivas:
1 Multiplicar a parte fraciona´ria do nu´mero por 2;
2 Deste resultado a parte inteira sera´ o primeiro d´ıgito do
nu´mero na base 2 e a parte fraciona´ria restante e´ novamente
multiplicada por 2.
3 Este processo e´ repetido ate´ que a parte fraciona´ria do u´ltimo
produto seja nula.
(0.1875)10 = (0.0011)2
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Exerc´ıcio ra´pido - converta os seguintes nu´meros de decimal para
bina´rio:
1 0.75
2 14.25
3 8.325
4 0.11
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Vemos enta˜o que um nu´mero decimal pode na˜o ter representac¸a˜o
finita na base bina´ria.
Este fato pode acarretar a ocorreˆncia de erros nume´ricos. O
computador armazena os nu´meros com um nu´mero finito de
d´ıgitos. Este tipo de “problema” pode gerar erros bizarros!
Um computador que opera no sistema bina´ria ira´ armazenar uma
aproximac¸a˜o para (0.11)10 uma vez que possui uma quantidade
fixa de posic¸o˜es na memo´ria para guardar os d´ıgitos da mantissa de
um nu´mero e esta aproximac¸a˜o sera´ usada para realizar todos os
ca´lculos. Na˜o se pode portanto esperar um resultado exato. Se
tivermos uma mantissa com apenas 6 d´ıgitos enta˜o:
(0.11)10 = (0.000111)2 = (0.109375)10
Portanto todas as operac¸o˜es que envolvem o nu´mero (0.11)10
seriam realizadas com esta aproximac¸a˜o.
1.3.1 Conversa˜o de nu´meros no sistema decimal para
bina´rio
Vemos enta˜o que um nu´mero decimal pode na˜o ter representac¸a˜o
finita na base bina´ria.
Este fato pode acarretar a ocorreˆncia de erros nume´ricos. O
computador armazena os nu´meros com um nu´mero finito de
d´ıgitos. Este tipo de “problema” pode gerar erros bizarros!
Um computador que opera no sistema bina´ria ira´ armazenar uma
aproximac¸a˜o para (0.11)10 uma vez que possui uma quantidade
fixa de posic¸o˜es na memo´ria para guardar os d´ıgitos da mantissa de
um nu´mero e esta aproximac¸a˜o sera´ usada para realizar todos os
ca´lculos. Na˜o se pode portanto esperar um resultado exato. Se
tivermos uma mantissa com apenas 6 d´ıgitos enta˜o:
(0.11)10 = (0.000111)2 = (0.109375)10
Portanto todas as operac¸o˜es que envolvem o nu´mero (0.11)10
seriam realizadas com esta aproximac¸a˜o.
Pro´xima aula
1 Hoje vimos como converter os bina´rios em decimais e vice
versa
2 Na pro´xima aula veremos como o computador armazena os
nu´meros e realiza as operac¸o˜es.
Por hoje e´ so´ pessoal!!