VR 2015.2 Pablo Guarino UFF

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
VR de Ca´lculo III A (2015-2) - 24/03/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 2,5
3 2,5
4 2,5
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova.
Responda cada questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem jus-
tificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma
fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o
aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Observac¸a˜o: Se for necessa´rio em alguma questa˜o, lembre-se que cos2 x = 1
2
(
1+cos(2x)
)
para todo x ∈ R.
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
(a) Calcule ∫ 1
−1
∫ √1−y2
0
∫ x
0
(x2 + y2) dz dx dy .
(b) Calcule o volume no R3 da regia˜o limitada pelas equac¸o˜es z = (x2 + y2)2 − 1 e
z = 4− 4(x2 + y2).
Questa˜o 2 (2,5 pontos)
Sejam Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, X um campo de vetores cont´ınuo em Ω e γ : [a, b]→
Ω uma curva de classe C1. Mostre que se X e´ um campo gradiente, enta˜o a integral∫
γ
X dr na˜o depende do caminho, isto e´, so´ depende de γ(a) e γ(b).
Questa˜o 3 (2,5 pontos)
Considere o campo de vetores X em R2\{(0, 0)} dado por:
X(x, y) =
(
xy − y
x2 + y2
, 2x+
x
x2 + y2
)
.
Calcule
∫
γ
X dr, onde γ e´ a curva dada pelas condic¸o˜es
x2
16
+
y2
4
= 1 e y ≥ 0 , orientada
de (4, 0) a (−4, 0).
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Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
Considere o campo de vetores X em R3 dado por X(x, y, z) = (0 , 0 , 3z + 1). Dado
α > 0, considere o conjunto aberto e limitado Ω ⊂ R3 dado por:
Ω =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < α2 , z > 0} .
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado.
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