aula4

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa.Dra.Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Aula 4- 1.5 Erros
Uma ma´quina representa um nu´mero real no sistema
denominado aritme´tica de ponto flutuante. Neste sistema, o
nu´mero x sera´ representado na forma:
±(.d1d2 · · · dt) ∗ βe
onde:
β e´ a base em que a ma´quina trabalha;
t e´ o nu´mero de d´ıgitos na mantissa,t ∈ N;
0 ≤ dj ≤ (β − 1),j = 1, · · · , t com d1 6= 0;
e e´ o expoente no intervalo [l , u].
A unia˜o de todos os nu´meros em ponto flutuante, juntamente
com a representac¸a˜o do zero, constitui o sistema de ponto
flutuante normalizado que e´ indicado por: SPF(β, t, l , u).
1.5.1 Erros absolutos e relativos
Definimos como erro absoluto a diferenc¸a entre o valor exato de
um nu´mero x e o seu valor aproximado x¯ :
EAx = x − x¯ .
Em geral, conhecemos apenas o valor aproximado x¯ , e nete caso, e´
imposs´ıvel obter o valor exato do erro absoluto. Na pra´tica temos
um limitante superior ou uma estimativa para o mo´dulo do erro
absoluto.
Ex.: Sabe-se que pi ∈ (3.14, 3.15) enta˜o |EApi| = |pi − p¯i| < 0.01.
Lembrete:
|x | =
{
x , se x > 0
−x , se x < 0
1.5.1 Erros absolutos e relativos
Seja x¯ = 3456.7 de tal forma que |EAx | < 0.1, isto e´,
x ∈ (3456.6, 3456.8).
Agora considere y¯ = 1.9 de tal forma que |EAy | < 0.1, ou seja,
y ∈ (1.8, 2.0). Vemos que os limitantes superiores para estes erros
absolutos sa˜o os mesmos. O que podemos dizer sobre a precisa˜o
com a qual estes nu´meros esta˜o representados?
Para isto e´ preciso comparar a ordem de grandeza de x e y . Ao
fazermos isto veremos que x , neste caso, e´ mais preciso que y .
Muitas vezes o erro absoluto na˜o e´ suficiente para descrever a
precisa˜o de um determinado ca´lculo. Nestes casos o erro relativo
nos diz o quanto estamos errando de forma mais precisa. O erro
relativo e´ definido como o erro absoluto dividido pelo valor
aproximado
ERx =
x − x¯
x¯
.
1.5.1 Erros absolutos e relativos
Exs.
|ERx | = |0.1||3456.7| = 0.000028929
|ERy | = |0.1||1.9| = 0.052631579,
assim podemos perceber que o nu´mero x e´ representado com uma
precisa˜o muito maior que o nu´mero y .
Exerc´ıcio 1: calcule os erros absolutos e relativos nos seguintes
casos:
1 a = 2345.713 e a¯ = 2345.000
2 b = 1.713 e b¯ = 1.000
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
A representac¸a˜o de um nu´mero depende fundamentalmente da
ma´quina utilizada que define o SPF(β,t,l,u).
Seja uma ma´quina que opera em um sistema de ponto flutuante
SPF(10,t,l,u) e seja x escrito na forma:
x = fx ∗ 10e + gx ∗ 10e−t ,
onde 0.1 ≤ fx < 1 e 0 ≤ gx < 1.
Por exemplo, se t = 4 e x = 198.26 enta˜o
x = 0.1982 ∗ 103 + 0.6 ∗ 10−1
neste caso fx = 0.1982 e gx = 0.6. Fica evidente que a
representac¸a˜o de x nesta ma´quina na˜o tera´ como incorporar
totalmente a` mantissa a parte de gx ∗ 10e−t . O que fazer?
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
A representac¸a˜o de um nu´mero depende fundamentalmente da
ma´quina utilizada que define o SPF(β,t,l,u).
Seja uma ma´quina que opera em um sistema de ponto flutuante
SPF(10,t,l,u) e seja x escrito na forma:
x = fx ∗ 10e + gx ∗ 10e−t ,
onde 0.1 ≤ fx < 1 e 0 ≤ gx < 1.
Por exemplo, se t = 4 e x = 198.26 enta˜o
x = 0.1982 ∗ 103 + 0.6 ∗ 10−1
neste caso fx = 0.1982 e gx = 0.6. Fica evidente que a
representac¸a˜o de x nesta ma´quina na˜o tera´ como incorporar
totalmente a` mantissa a parte de gx ∗ 10e−t . O que fazer?
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
Neste caso surgem 2 alternativas:
Truncamento(cancelamento): despreza-se a parte de
gx ∗ 10e−t e x¯ = fx ∗ 10e . Neste caso temos que:
|EAx | = |x − x¯ | = gx ∗ 10e−t < 10e−t
pois gx < 1. E o erro relativo e´ dado por:
|Erx | = |EAx ||x¯ | =
|gx | ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e <
10e−t
0.1 ∗ 10e = 10
−t+1
Pois 0.1 e´ o menor valor para fx . No truncamento sempre
desprezamos a parte que na˜o cabe na mantissa sem qualquer
considerac¸a˜o.
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
Arredondamento:fx e´ modificado para levar em considerac¸a˜o
gx .A forma mais utilizada e´ o arredondamento sime´trico:
x¯ =
{
fx ∗ 10e , se |gx | < 0.5
fx ∗ 10e + 10e−t , se |gx | ≥ 0.5
Portanto se |gx | < 0.5, esta parte e´ desprezada, caso
contra´rio, somamos 1 ao u´ltimo d´ıgito de fx .
Ex.gx = 0.6 > 0.5 enta˜o x¯ = 0.1982∗103 + 1∗10−1 = 0.1983∗103
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
Estudo do erro cometido no arredondamento
1 Se gx < 0.5
|EAx | = |x − x¯ | = gx ∗ 10e−t < 0.5 ∗ 10e−t
|Erx | = |EAx ||x¯ | =
|gx | ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e <
0.5 ∗ 10e−t
0.1 ∗ 10e = 0.5 ∗ 10
−t+1
2 Se gx ≥ 0.5
|EAx | = |(fx ∗ 10e + gx ∗ 10e−t)− (fx ∗ 10e + 10e−t)| =
|gx ∗ 10e−t − 10e−t < |(gx − 1)| ∗ 10e−t ≥ 0.5 ∗ 10e−t
|Erx | = |EAx ||x¯ | ≤
0.5 ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e + 10e−t <
0.5 ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e = 0.5∗10
−t+1
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
Estudo do erro cometido no arredondamento
1 Se gx < 0.5
|EAx | = |x − x¯ | = gx ∗ 10e−t < 0.5 ∗ 10e−t
|Erx | = |EAx ||x¯ | =
|gx | ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e <
0.5 ∗ 10e−t
0.1 ∗ 10e = 0.5 ∗ 10
−t+1
2 Se gx ≥ 0.5
|EAx | = |(fx ∗ 10e + gx ∗ 10e−t)− (fx ∗ 10e + 10e−t)| =
|gx ∗ 10e−t − 10e−t < |(gx − 1)| ∗ 10e−t ≥ 0.5 ∗ 10e−t
|Erx | = |EAx ||x¯ | ≤
0.5 ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e + 10e−t <
0.5 ∗ 10e−t
|fx | ∗ 10e = 0.5∗10
−t+1
1.5.2 Erros de arredondamento e truncamento num SPF
Podemos resumir da seguinte forma:
1 Truncamento:|EAx | < 10e−t e |Erx | < 10−t+1
2 Arredondamento: |EAx | < 0.5 ∗ 10e−t e |Erx | < 0.5 ∗ 10−t+1
O erro de arredondamento e´ sempre menor que o do truncamento,
entretanto acarreta num custo computacional mais elevado, por
esta raza˜o o truncamento, em geral, e´ o mais utilizado.
1.5.4 Ana´lise de erros nas operac¸o˜es de aritme´ticas de
ponto flutuante
Ja´ vimos como uma ma´quina representa um nu´mero no SPF.
Vamos ver agora como o erro cometido nessa representac¸a˜o
propaga-se ao longo das operac¸o˜es.
“O erro total em uma operac¸a˜o e´ composto pelo erro das parcelas
ou fatores e tambe´m pelo erro no resultado da operac¸a˜o.”
Vamos supor que as operac¸o˜es de ponto flutuante sa˜o feitas com 4
d´ıgitos na mantissa com base 10 e com acumulador de precisa˜o
dupla.
Ex.SPF(10, 4,−5, 5) considere que os nu´meros a e b estejam
representados exatamente:
1. a = 0.5324 ∗ 103 e b = 0.4212 ∗ 10−2 assim se
efetuarmos a operac¸a˜o a ∗ b = 0.22424688 ∗ 101
teremos uma mantissa com 8 d´ıgitos e tal resultado
se´ra armazenado como: (a ∗ b)t = 0.2242 ou
(a ∗ b)a = 0.2242 pois gx = 0.4 < 0.5.
1.5.4 Ana´lise de erros nas operac¸o˜es de aritme´ticas de
ponto flutuante
Ja´ vimos como uma ma´quina representa um nu´mero no SPF.
Vamos ver agora como o erro cometido nessa representac¸a˜o
propaga-se ao longo das operac¸o˜es.
“O erro total em uma operac¸a˜o e´ composto pelo erro das parcelas
ou fatores e tambe´m pelo erro no resultado da operac¸a˜o.”
Vamos supor que as operac¸o˜es de ponto flutuante sa˜o feitas com 4
d´ıgitos na mantissa com base 10 e com acumulador de precisa˜o
dupla.
Ex.SPF(10, 4,−5, 5) considere que os nu´meros a e b estejam
representados exatamente:
1. a = 0.5324 ∗ 103 e b = 0.4212 ∗ 10−2 assim se
efetuarmos a operac¸a˜o a ∗ b = 0.22424688 ∗ 101
teremos uma mantissa com 8 d´ıgitos e tal resultado
se´ra armazenado como: (a ∗ b)t = 0.2242 ou
(a ∗ b)a = 0.2242 pois gx = 0.4 < 0.5.
1.5.4 Ana´lise de erros nas operac¸o˜es de aritme´ticas de
ponto flutuante
2. a = 0.937 ∗ 104 e b = 0.1272 ∗ 102
a + b = (0.937 + 0.001272) ∗ 104 = 0.938272 ∗ 104
assim (a + b)t = 0.9382 ∗ 104 ou
(a + b)a = 0.9383 ∗ 104
Estes exemplos nos mostram que ainda que as parcelas ou fatores
estejam representados exatamente no SPF, o resultado final
armazenado pode na˜o ser exato.Em geral, a operac¸a˜o e´ efetuada
e o resultado final desta operac¸a˜o e´ truncado ou arredondado e
enta˜o armazenado. Neste caso, o erro relativo cometido no
resultado de cada operac¸a˜o em que as parcelas estejam
representadas exatamente sera´:
a) |ERop| < 10−t+1 no truncamento
b) |ERop| < 0.5 ∗ 10−t+1 no arredondamento.
1.5.4 Ana´lise de erros nas operac¸o˜es de aritme´ticas de
ponto flutuante
2. a = 0.937 ∗ 104 e b = 0.1272 ∗ 102
a + b = (0.937 + 0.001272) ∗ 104 = 0.938272 ∗ 104
assim (a + b)t = 0.9382 ∗ 104 ou
(a + b)a = 0.9383 ∗ 104
Estes exemplos nos mostram que ainda que as parcelas ou fatores
estejam representados exatamente no SPF, o resultado final
armazenado pode na˜o ser exato. Em geral, a operac¸a˜o e´ efetuada
e o resultado final desta operac¸a˜o e´ truncado ou arredondado e
enta˜o armazenado. Neste caso, o erro relativo cometido no
resultado de cada operac¸a˜o em que as parcelas estejam
representadas exatamente sera´:
a) |ERop| < 10−t+1 no truncamento
b) |ERop| < 0.5 ∗ 10−t+1 no arredondamento.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Sejam a = 50± 3 e b = 21± 1 calcule o maior e o menor valor de
a + b e a− b
a ∈ [47, 53] enquanto b ∈ [20, 22]. Assim o menor valor da soma
seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo,
a + b = (50 + 21)± 4 = 71± 4, variando de 67 a 75.
O menor valor da subtrac¸a˜o seria 47–22 = 25 e o maior valor da
subtrac¸a˜o seria 53–20 = 33. Logo, a–b = (50–21)± 4 = 29± 4 ,
variando de 25 a 33. Observe que na subtrac¸a˜o, os erros absolutos
se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem
erros, contando com a sorte; preveˆ-se, sempre, o caso mais
desfavora´vel.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Sejam a = 50± 3 e b = 21± 1 calcule o maior e o menor valor de
a + b e a− b
a ∈ [47, 53] enquanto b ∈ [20, 22]. Assim o menor valor da soma
seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo,
a + b = (50 + 21)± 4 = 71± 4, variando de 67 a 75.
O menor valor da subtrac¸a˜o seria 47–22 = 25 e o maior valor da
subtrac¸a˜o seria 53–20 = 33. Logo, a–b = (50–21)± 4 = 29± 4 ,
variando de 25 a 33. Observe que na subtrac¸a˜o, os erros absolutos
se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem
erros, contando com a sorte; preveˆ-se, sempre, o caso mais
desfavora´vel.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Sejam a = 50± 3 e b = 21± 1 calcule o maior e o menor valor de
a + b e a− b
a ∈ [47, 53] enquanto b ∈ [20, 22]. Assim o menor valor da soma
seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo,
a + b = (50 + 21)± 4 = 71± 4, variando de 67 a 75.
O menor valor da subtrac¸a˜o seria 47–22 = 25 e o maior valor da
subtrac¸a˜o seria 53–20 = 33. Logo, a–b = (50–21)± 4 = 29± 4 ,
variando de 25 a 33. Observe que na subtrac¸a˜o, os erros absolutos
se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem
erros, contando com a sorte; preveˆ-se, sempre, o caso mais
desfavora´vel.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
As fo´rmulas para os erros absoluto e relativo nas operac¸o˜es
aritme´ticas com erros nas parcelas ou fatores sa˜o dadas por:
Sejam x e y , tais que x = x¯ + EAx e y = y¯ + EAy .
Adic¸a˜o: x + y
x + y = (x¯ + EAx) + (y¯ + EAy ) = (x¯ + y¯) + (EAx + EAy )
1 Erro Absoluto: EAx+y = EAx + EAy
2 Erro Relativo: ERx+y =
EAx+EAy
x¯+y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯+y¯ ) +
EAy
y¯ (
y¯
x¯+y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
As fo´rmulas para os erros absoluto e relativo nas operac¸o˜es
aritme´ticas com erros nas parcelas ou fatores sa˜o dadas por:
Sejam x e y , tais que x = x¯ + EAx e y = y¯ + EAy .
Adic¸a˜o: x + y
x + y = (x¯ + EAx) + (y¯ + EAy ) = (x¯ + y¯) + (EAx + EAy )
1 Erro Absoluto: EAx+y = EAx + EAy
2 Erro Relativo: ERx+y =
EAx+EAy
x¯+y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯+y¯ ) +
EAy
y¯ (
y¯
x¯+y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
As fo´rmulas para os erros absoluto e relativo nas operac¸o˜es
aritme´ticas com erros nas parcelas ou fatores sa˜o dadas por:
Sejam x e y , tais que x = x¯ + EAx e y = y¯ + EAy .
Adic¸a˜o: x + y
x + y = (x¯ + EAx) + (y¯ + EAy ) = (x¯ + y¯) + (EAx + EAy )
1 Erro Absoluto: EAx+y = EAx + EAy
2 Erro Relativo: ERx+y =
EAx+EAy
x¯+y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯+y¯ ) +
EAy
y¯ (
y¯
x¯+y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Subtrac¸a˜o: x − y
x − y = (x¯ + EAx)− (y¯ + EAy ) = (x¯ − y¯) + (EAx − EAy )
1 Erro Absoluto: EAx−y = EAx − EAy . O erro absoluto da
subtrac¸a˜o e´ menor ou igual a` soma dos erros absolutos das
parcelas. Sempre consideramos o pior caso, na˜o ha´
cancelamento de erros!!
2 Erro Relativo: ERx−y =
EAx−EAy
x¯−y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯−y¯ )− EAyy¯ ( y¯x¯−y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Subtrac¸a˜o: x − y
x − y = (x¯ + EAx)− (y¯ + EAy ) = (x¯ − y¯) + (EAx − EAy )
1 Erro Absoluto: EAx−y = EAx − EAy . O erro absoluto da
subtrac¸a˜o e´ menor ou igual a` soma dos erros absolutos das
parcelas. Sempre consideramos o pior caso, na˜o ha´
cancelamento de erros!!
2 Erro Relativo: ERx−y =
EAx−EAy
x¯−y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯−y¯ )− EAyy¯ ( y¯x¯−y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Subtrac¸a˜o: x − y
x − y = (x¯ + EAx)− (y¯ + EAy ) = (x¯ − y¯) + (EAx − EAy )
1 Erro Absoluto: EAx−y = EAx − EAy . O erro absoluto da
subtrac¸a˜o e´ menor ou igual a` soma dos erros absolutos das
parcelas. Sempre consideramos o pior caso, na˜o ha´
cancelamento de erros!!
2 Erro Relativo: ERx−y =
EAx−EAy
x¯−y¯ =
EAx
x¯ (
x¯
x¯−y¯ )− EAyy¯ ( y¯x¯−y¯ )
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Multiplicac¸a˜o: x ∗ y
x∗y = (x¯+EAx)∗(y¯+EAy ) = (x¯∗y¯)+(x¯EAy+y¯EAx)+EAx∗EAy
Vamos desprezar o produto EAx ∗ EAy uma vez que ele e´ um
nu´mero muito pequeno em relac¸a˜o aos demais envolvidos na
operac¸a˜o, assim
x ∗ y = (x¯ + EAx) ∗ (y¯ + EAy ) = (x¯ ∗ y¯) + (x¯EAy + y¯EAx)
1 Erro Absoluto: EAx∗y = x¯EAy + y¯EAx
2 Erro Relativo: ERx∗y =
x¯EAy+y¯EAx
x¯∗y¯ =
EAx
x¯ +
EAy
y¯ = ERx + ERy
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Multiplicac¸a˜o: x ∗ y
x∗y = (x¯+EAx)∗(y¯+EAy ) = (x¯∗y¯)+(x¯EAy+y¯EAx)+EAx∗EAy
Vamos desprezar o produto EAx ∗ EAy uma vez que ele e´ um
nu´mero muito pequeno em relac¸a˜o aos demais envolvidos na
operac¸a˜o, assim
x ∗ y = (x¯ + EAx) ∗ (y¯ + EAy ) = (x¯ ∗ y¯) + (x¯EAy + y¯EAx)
1 Erro Absoluto: EAx∗y = x¯EAy + y¯EAx
2 Erro Relativo: ERx∗y =
x¯EAy+y¯EAx
x¯∗y¯ =
EAx
x¯ +
EAy
y¯ = ERx + ERy
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Multiplicac¸a˜o: x ∗ y
x∗y = (x¯+EAx)∗(y¯+EAy ) = (x¯∗y¯)+(x¯EAy+y¯EAx)+EAx∗EAy
Vamos desprezar o produto EAx ∗ EAy uma vez que ele e´ um
nu´mero muito pequeno em relac¸a˜o aos demais envolvidos na
operac¸a˜o, assim
x ∗ y = (x¯ + EAx) ∗ (y¯ + EAy ) = (x¯ ∗ y¯) + (x¯EAy + y¯EAx)
1 Erro Absoluto: EAx∗y = x¯EAy + y¯EAx
2 Erro Relativo: ERx∗y =
x¯EAy+y¯EAx
x¯∗y¯ =
EAx
x¯ +
EAy
y¯ = ERx + ERy
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Divisa˜o:
x
y
x
y
=
(x¯ + EAx)
(y¯ + EAy )
=
x¯
y¯
+
EAx
y¯
− xEAx
y¯2
1 Erro Absoluto: EA x
y
=
y¯EAx−x¯EAy
y¯2
2 Erro Relativo: ER x
y
= (
y¯EAx−x¯EAy
y¯2 )
y¯
x¯ =
EAx
x¯ − EAyy¯ = ERx −ERy
Todas essas expresso˜es foram obtidas sem considerar o tipo de erro
cometido, arredondamento ou truncamento, no resultado final. A
ana´lise completa da propagac¸a˜o de erros se faz considerando os
erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operac¸a˜o
efetuada.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Divisa˜o:
x
y
x
y
=
(x¯ + EAx)
(y¯ + EAy )
=
x¯
y¯
+
EAx
y¯
− xEAx
y¯2
1 Erro Absoluto: EA x
y
=
y¯EAx−x¯EAy
y¯2
2 Erro Relativo: ER x
y
= (
y¯EAx−x¯EAy
y¯2 )
y¯
x¯ =
EAx
x¯ − EAyy¯ = ERx −ERy
Todas essas expresso˜es foram obtidas sem considerar o tipo de erro
cometido, arredondamento ou truncamento, no resultado final. A
ana´lise completa da propagac¸a˜o de erros se faz considerando os
erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operac¸a˜o
efetuada.
1.5.5Propagac¸a˜o de Erros
Divisa˜o:
x
y
x
y
=
(x¯ + EAx)
(y¯ + EAy )
=
x¯
y¯
+
EAx
y¯
− xEAx
y¯2
1 Erro Absoluto: EA x
y
=
y¯EAx−x¯EAy
y¯2
2 Erro Relativo: ER x
y
= (
y¯EAx−x¯EAy
y¯2 )
y¯
x¯ =
EAx
x¯ − EAyy¯ = ERx −ERy
Todas essas expresso˜es foram obtidas sem considerar o tipo de erro
cometido, arredondamento ou truncamento, no resultado final. A
ana´lise completa da propagac¸a˜o de erros se faz considerando os
erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operac¸a˜o
efetuada.
1.5.5 Propagac¸a˜o de Erros
Divisa˜o:
x
y
x
y
=
(x¯ + EAx)
(y¯ + EAy )
=
x¯
y¯
+
EAx
y¯
− xEAx
y¯2
1 Erro Absoluto: EA x
y
=
y¯EAx−x¯EAy
y¯2
2 Erro Relativo: ER x
y
= (
y¯EAx−x¯EAy
y¯2 )
y¯
x¯ =
EAx
x¯ − EAyy¯ = ERx −ERy
Todas essas expresso˜es foram obtidas sem considerar o tipo de erro
cometido, arredondamento ou truncamento, no resultado final. A
ana´lise completa da propagac¸a˜o de erros se faz considerando os
erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operac¸a˜o
efetuada.
Pro´xima aula
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto: RUGIERO, M. A.G; LOPES,V
Ca´lculo Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora
McGraw-Hill.1997. Sites consultados acessados em 11/03/2011:
http://www.raymundodeoliveira.eng.br/calculo.html
http://www.dsc.ufcg.edu.br/ cnum/modulos/Modulo3/CNerros.ppt
Este material na˜o substitui a bibliografia.
Por hoje e´ so´ pessoal!!