Método da Secante para Cálculo Numérico

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa.Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Aula 11 - Cap.2- 2.4.5 Me´todo da Secante
No estudo do MNR, vimos que:
Sejam f (x), f ′(x) e f ′′(x) func¸o˜es cont´ınuas num intervalo I
que conte´m a raiz δ de f (x) = 0. Supor que f ′(δ) 6= 0. Enta˜o,
existe um intervalo I¯ ⊂ I , contendo a raiz δ, tal que se x0 ∈ I¯ ,
a sequeˆncia {xk} gerada pela fo´rmula recursiva
xk+1 = xk − f (xk )f ′(xk ) convergira´ para a raiz.
A grande desvantagem do MNR e´ a necessidade de se
conhecer f ′(x) e calcular seu valor nume´rico a cada iterac¸a˜o.
2.4.5 Me´todo da Secante
No me´todo da Secante aproximamos a derivada da func¸a˜o
f ′(x) da seguinte forma:
f ′(xk) =
f (xk)− f (xk−1)
xk − xk−1
onde xk e xk−1 sa˜o duas aproximac¸o˜es para a raiz.
A func¸a˜o de iterac¸a˜o do MNR e´ modificada para
xk+1 = xk − f (xk)f (xk )−f (xk−1)
xk−xk−1
2.4.5 Me´todo da Secante
xk+1 = xk − f (xk)(xk − xk−1)
f (xk)− f (xk−1) ,
ou ainda:
xk+1 =
xk−1f (xk)− xk f (xk−1)
f (xk)− f (xk−1) .
Assim dados os pontos xk e xk−1, onde a reta secante passando
por (xk , f (xk)) e (xk−1, f (xk−1)) cortar o eixo das abscissas temos
a aproximac¸a˜o xk+1 para a raiz procurada δ.
2.4.5 Me´todo da Secante - Interpretac¸a˜o Geome´trica
2.4.5 Me´todo da Secante
Precisamos escolher agora duas aproximac¸o˜es x0 e x1 para
iniciarmos o me´todo.
O me´todo da Secante e´ uma aproximac¸a˜o para o me´todo de
Newton, logo as condic¸o˜es para a convergeˆncia sa˜o
praticamente as mesmas.
Pore´m agora o me´todo pode divergir se f (xk) ≈ f (xk−1).
Sua ordem de convergeˆncia na˜o e´ quadra´tica como no MNR,
mas tambe´m na˜o e´ linear.
E´ poss´ıvel mostrar que a ordem de convergeˆncia deste me´todo
e´ p ' 1.62
2.4.5 Me´todo da Secante - Algoritmo
Considere a equac¸a˜o f (x) = 0, assegure-se de que f (x) seja
cont´ınua num intervalo I que conte´m a raiz δ de f (x) = 0.
1 Dados iniciais: x0, x1 e a precisa˜o �.
2 Se |f (x0)| < �, enta˜o x¯ = x0 e´ a raiz procurada e o processo
terminou.
3 Se |f (x1)| < �, ou |x1 − x0| < �, enta˜o x¯ = x1 e´ a raiz
procurada e o processo terminou.
4 k = 1
5 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0)
6 Se |f (x2)| < � ou
|x2 − x1| < �
enta˜o x¯ = x2 e´ a raiz procurada e o processo terminou.
7 x0 = x1 e x1 = x2
8 k = k + 1 volte ao passo 5.
2.4.5 Me´todo da Secante
Ex.1:Seja a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0, a raiz δ2 = 2 e
x0 = 1.5 e x1 = 1.7 com φ(xk) =
xk−1f (xk )−xk f (xk−1)
f (xk )−f (xk−1) , com
� = 10−3 :
xi xi xi+1 =
xi−1f (xi )−xi f (xi−1)
f (xi )−f (xi−1) f (xi )
x0 1.5 − −2.25
x1 1.7 − −1.41
x2 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0) = 2.03571 0.17982
x3 x3 =
x1f (x2)−x2f (x1)
f (x2)−f (x1) = 1.99774 −0.011294
x4 x4 =
x2f (x3)−x3f (x2)
f (x3)−f (x2) = 1.99999 −4.99998 ∗ 10−5
2.4.5 Me´todo da Secante
Ex.1:Seja a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0, a raiz δ2 = 2 e
x0 = 1.5 e x1 = 1.7 com φ(xk) =
xk−1f (xk )−xk f (xk−1)
f (xk )−f (xk−1) , com
� = 10−3 :
xi xi xi+1 =
xi−1f (xi )−xi f (xi−1)
f (xi )−f (xi−1) f (xi )
x0 1.5 − −2.25
x1 1.7 − −1.41
x2 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0) = 2.03571 0.17982
x3 x3 =
x1f (x2)−x2f (x1)
f (x2)−f (x1) = 1.99774 −0.011294
x4 x4 =
x2f (x3)−x3f (x2)
f (x3)−f (x2) = 1.99999 −4.99998 ∗ 10−5
2.4.5 Me´todo da Secante
Ex.1:Seja a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0, a raiz δ2 = 2 e
x0 = 1.5 e x1 = 1.7 com φ(xk) =
xk−1f (xk )−xk f (xk−1)
f (xk )−f (xk−1) , com
� = 10−3 :
xi xi xi+1 =
xi−1f (xi )−xi f (xi−1)
f (xi )−f (xi−1) f (xi )
x0 1.5 − −2.25
x1 1.7 − −1.41
x2 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0) = 2.03571 0.17982
x3 x3 =
x1f (x2)−x2f (x1)
f (x2)−f (x1) = 1.99774 −0.011294
x4 x4 =
x2f (x3)−x3f (x2)
f (x3)−f (x2) = 1.99999 −4.99998 ∗ 10−5
2.4.5 Me´todo da Secante
Ex.1:Seja a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0, a raiz δ2 = 2 e
x0 = 1.5 e x1 = 1.7 com φ(xk) =
xk−1f (xk )−xk f (xk−1)
f (xk )−f (xk−1) , com
� = 10−3 :
xi xi xi+1 =
xi−1f (xi )−xi f (xi−1)
f (xi )−f (xi−1) f (xi )
x0 1.5 − −2.25
x1 1.7 − −1.41
x2 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0) = 2.03571 0.17982
x3 x3 =
x1f (x2)−x2f (x1)
f (x2)−f (x1) = 1.99774 −0.011294
x4 x4 =
x2f (x3)−x3f (x2)
f (x3)−f (x2) = 1.99999 −4.99998 ∗ 10−5
2.4.5 Me´todo da Secante
Ex.1:Seja a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0, a raiz δ2 = 2 e
x0 = 1.5 e x1 = 1.7 com φ(xk) =
xk−1f (xk )−xk f (xk−1)
f (xk )−f (xk−1) , com
� = 10−3 :
xi xi xi+1 =
xi−1f (xi )−xi f (xi−1)
f (xi )−f (xi−1) f (xi )
x0 1.5 − −2.25
x1 1.7 − −1.41
x2 x2 =
x0f (x1)−x1f (x0)
f (x1)−f (x0) = 2.03571 0.17982
x3 x3 =
x1f (x2)−x2f (x1)
f (x2)−f (x1) = 1.99774 −0.011294
x4 x4 =
x2f (x3)−x3f (x2)
f (x3)−f (x2) = 1.99999 −4.99998 ∗ 10−5
2.5 Considerac¸o˜es gerais sobre os me´todos
Ao compararmos os diversos me´todos nume´ricos para a
resoluc¸a˜o de equac¸o˜es reais devemos levar em considerac¸a˜o os
seguintes crite´rios:
Garantias de convergeˆncia
Rapidez de convergeˆncia
Esforc¸o computacional
Os me´todos da bissecc¸a˜o e da posic¸a˜o falsa teˆm a
convergeˆncia garantida desde que a func¸a˜o seja cont´ınua num
intervalo [a, b] tal que f (a)f (b) < 0.
Ja´ os me´todos do tipo MPF, MNR e MS teˆm condic¸o˜es de
convergeˆncia mais restritivas.
Entretanto uma vez que as condic¸o˜es de convergeˆncia sejam
satisfeitas o MNR e o da MS sa˜o mais ra´pidos que os
primeiros.
2.5 Considerac¸o˜es gerais sobre os me´todos
O esforc¸o computacional e´ medido atrave´s de:
o nu´mero de operac¸o˜es efetuadas a cada iterac¸a˜o;
da complexidade destas operac¸o˜es;
do nu´mero de deciso˜es lo´gicas;
do nu´mero de avaliac¸o˜es da func¸a˜o a cada iterac¸a˜o;
do nu´mero total de iterac¸o˜es.
2.5 Considerac¸o˜es gerais sobre os me´todos
O me´todo perfeito seria aquele em que a convergeˆncia
estivesse assegurada, a ordem de convergeˆncia fosse alta e que
os ca´lculos por iterac¸a˜o fossem simples.
O me´todo de Newton e´ o mais indicado sempre que for fa´cil
verificar as condic¸o˜es de convergeˆncia e que o ca´lculo de f ′(x)
na˜o seja muito complicado.
Nesses casos o me´todo da secante deveria ser considerado.
Se o objetivo for reduzir o intervalo que conte´m a raiz e´
melhor usar o me´todo da Bissecc¸a˜o.
A escolha do me´todo mais adequado para cada problema
depende:
do comportamento da func¸a˜o na regia˜o da raiz procurada;
das dificuldades com o ca´lculo de f ′(x);
do crite´rio de parada;
do equipamento dispon´ıvel, etc.
Exerc´ıcios
1 Seja f (x) = e−x2 − cos(x) = 0 encontre as ra´ızes desta
equac¸a˜o pelo me´todo de Newton-Raphson com � = 10−4
2 Agora encontre a raiz do mesmo problema pelo me´todo da
secante.
3 Compare qualitativamente os dois me´todos.
4 Seja f (x) = ln(x)− x + 2 = 0 encontre todas as suas ra´ızes
com � = 10−2 utilize o me´todo que julgar mais conveniente,
justifique sua escolha.
5 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 do livro.
Pro´xima aula
Cap.3 Resoluc¸a˜o Nume´rica de Sistemas Lineares
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V
Ca´lculo Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora
McGraw-Hill.1997. Sites consultados acessados em 24/03/2011:
CASTILHO, J. E., Apostila de Ca´lculo Nume´rico,
http://www.castilho.prof.ufu.br, UFU, 2002
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/notas.html
Colli, E., Asano, H. C,Ca´lculo Nume´rico — Fundamentos e
Aplicac¸o˜es-Departamento de Matema´tica Aplicada – IME-USP,
2009
Este material na˜o substitui a bibliografia.