aula17

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa. Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Ao aproximarmos uma func¸a˜o f (x) por um polinoˆmio interpolador de
grau ≤ n sempre estaremos cometendo um erro que pode ser expresso
por:
En(x) = f (x)− Pn(x) ∀x ∈ [x0, xn]
O estudo do erro na interpolac¸a˜o e´ importante para sabermos qua˜o
pro´ximo f (x) esta´ de Pn(x).
Considere duas func¸o˜es f1(x) e f2(x) que sejam interpoladas nos
pontos {(x0, f1(x0)), (x1, f1(x1))} e {(x0, f2(x0)), (x1, f2(x1))} e que
f1(x0) = f2(x0) e f1(x1) = f2(x1).
Neste caso teremos um u´nico polinoˆmio interpolador, P1(x), para as
duas func¸o˜es.
Como decidir qual func¸a˜o esta´ melhor interpolada?
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
E´ fa´cil ver que o erro cometido ao se interpolar f1(x) e´ muito maior
que o erro cometido ao se interpolar f2(x).
Neste caso, observamos que o erro depende da concavidade das duas
curvas, ou seja de f ′′1 (x) e f ′′2 (x).
Teorema 4.2
Sejam x0 < x1 < x2 < · · · < xn, (n + 1) pontos. Seja f (x) com derivadas
ate´ a ordem (n + 1) para todo x ∈ [x0, xn]. Seja Pn(x) o polinoˆmio
interpolador de f (x) nos pontos x0, x1, · · · , xn. Enta˜o, em qualquer ponto
x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro na interpolac¸a˜o e´ dado por:
En(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn).
O erro na interpolac¸a˜o esta´ relacionado com a derivada de ordem
(n + 1) de f (x).
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
E´ fa´cil ver que o erro cometido ao se interpolar f1(x) e´ muito maior
que o erro cometido ao se interpolar f2(x).
Neste caso, observamos que o erro depende da concavidade das duas
curvas, ou seja de f ′′1 (x) e f ′′2 (x).
Teorema 4.2
Sejam x0 < x1 < x2 < · · · < xn, (n + 1) pontos. Seja f (x) com derivadas
ate´ a ordem (n + 1) para todo x ∈ [x0, xn]. Seja Pn(x) o polinoˆmio
interpolador de f (x) nos pontos x0, x1, · · · , xn. Enta˜o, em qualquer ponto
x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro na interpolac¸a˜o e´ dado por:
En(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn).
O erro na interpolac¸a˜o esta´ relacionado com a derivada de ordem
(n + 1) de f (x).
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja o problema de se obter ln(3.7) por interpolac¸a˜o linear,
onde ln(x) esta´ tabelada abaixo:
xk 1 2 3 4
f (xk) 0 0.6931 1.0986 1.3863
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), podemos escolher x0 = 3 e x1 = 4.
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.0986 +
(1.3863−1.0986)
(4−3) (x − 3) = 1.0986 + 0.2877(x − 3).
Assim temos que P1(3.7) = 1.300
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja o problema de se obter ln(3.7) por interpolac¸a˜o linear,
onde ln(x) esta´ tabelada abaixo:
xk 1 2 3 4
f (xk) 0 0.6931 1.0986 1.3863
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), podemos escolher x0 = 3 e x1 = 4.
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.0986 +
(1.3863−1.0986)
(4−3) (x − 3) = 1.0986 + 0.2877(x − 3).
Assim temos que P1(3.7) = 1.300
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja o problema de se obter ln(3.7) por interpolac¸a˜o linear,
onde ln(x) esta´ tabelada abaixo:
xk 1 2 3 4
f (xk) 0 0.6931 1.0986 1.3863
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), podemos escolher x0 = 3 e x1 = 4.
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.0986 +
(1.3863−1.0986)
(4−3) (x − 3) = 1.0986 + 0.2877(x − 3).
Assim temos que P1(3.7) = 1.300
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja o problema de se obter ln(3.7) por interpolac¸a˜o linear,
onde ln(x) esta´ tabelada abaixo:
xk 1 2 3 4
f (xk) 0 0.6931 1.0986 1.3863
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), podemos escolher x0 = 3 e x1 = 4.
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.0986 +
(1.3863−1.0986)
(4−3) (x − 3) = 1.0986 + 0.2877(x − 3).
Assim temos que P1(3.7) = 1.300
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja o problema de se obter ln(3.7) por interpolac¸a˜o linear,
onde ln(x) esta´ tabelada abaixo:
xk 1 2 3 4
f (xk) 0 0.6931 1.0986 1.3863
Como x = 3.7 ∈ (3, 4), podemos escolher x0 = 3 e x1 = 4.
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.0986 +
(1.3863−1.0986)
(4−3) (x − 3) = 1.0986 + 0.2877(x − 3).
Assim temos que P1(3.7) = 1.300
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Na calculadora encontramos que ln(3.7) = 1.3083, logo o erro
cometido e´ dado por:
E1(3.7) = ln(3.7)− P1(3.7) = 1.3083− 1.3000 = 0.0083 = 8.3 ∗ 10−3
De acordo com a fo´rmula do erro temos que
E1(x) = f (x)− P1(x) = (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2!
onde ξx ∈ (3, 4).
Para x = 3.7
E1(3.7) = f (3.7)− P1(3.7) = (3.7− 3)(3.7− 4) −1(2ξx 2) = 8.3 ∗ 10
−3,
pois f ′′(ξx) = −1(ξx 2) .
Enta˜o resolvendo a equac¸a˜o acima para ξx ∈ (3, 4) temos que
ξx = 3.5578.
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Na calculadora encontramos que ln(3.7) = 1.3083, logo o erro
cometido e´ dado por:
E1(3.7) = ln(3.7)− P1(3.7) = 1.3083− 1.3000 = 0.0083 = 8.3 ∗ 10−3
De acordo com a fo´rmula do erro temos que
E1(x) = f (x)− P1(x) = (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2!
onde ξx ∈ (3, 4).
Para x = 3.7
E1(3.7) = f (3.7)− P1(3.7) = (3.7− 3)(3.7− 4) −1(2ξx 2) = 8.3 ∗ 10
−3,
pois f ′′(ξx) = −1(ξx 2) .
Enta˜o resolvendo a equac¸a˜o acima para ξx ∈ (3, 4) temos que
ξx = 3.5578.
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Na calculadora encontramos que ln(3.7) = 1.3083, logo o erro
cometido e´ dado por:
E1(3.7) = ln(3.7)− P1(3.7) = 1.3083− 1.3000 = 0.0083 = 8.3 ∗ 10−3
De acordo com a fo´rmula do erro temos que
E1(x) = f (x)− P1(x) = (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2!
onde ξx ∈ (3, 4).
Para x = 3.7
E1(3.7) = f (3.7)− P1(3.7) = (3.7− 3)(3.7− 4) −1(2ξx 2) = 8.3 ∗ 10
−3,
pois f ′′(ξx) = −1(ξx 2) .
Enta˜o resolvendo a equac¸a˜o acima para ξx ∈ (3, 4) temos que
ξx = 3.5578.
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Na calculadora encontramos que ln(3.7) = 1.3083, logo o erro
cometido e´ dado por:
E1(3.7) = ln(3.7)− P1(3.7) = 1.3083− 1.3000 = 0.0083 = 8.3 ∗ 10−3
De acordo com a fo´rmula do erro temos que
E1(x) = f (x)− P1(x) = (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2!
onde ξx ∈ (3, 4).
Para x = 3.7
E1(3.7) = f (3.7)− P1(3.7) = (3.7− 3)(3.7− 4) −1(2ξx 2) = 8.3 ∗ 10
−3,
pois f ′′(ξx) = −1(ξx 2) .
Enta˜o resolvendo a equac¸a˜o acima para ξx ∈ (3, 4) temos que
ξx = 3.5578.
4.5 Estudo do Erro na Interpolac¸a˜o
Este e´ o ξx para o erro cometido ao se interpolar ln(3.7) por uma reta
que passa por x0 = 3 e x1 = 4. Na˜o podemos falar nada sobre os
demais pontos do itervalo.
Esta expressa˜o para o erro na˜o nos permite prever o erro cometido
para um caso de interpolac¸a˜o qualquer.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Na expressa˜o para o erro do teorema 4.2, o paraˆmetro ξx na˜o e´
conhecido no intervalo (x0, xn) e portanto, na˜o e´ poss´ıvel calcular o
valor nume´rico de f (n+1)(ξx).
Como faremos para calcular uma expressa˜o geral para o erro da
interpolac¸a˜o?
Precisamos enta˜o tentar calcular uma estimativa para o erro da
interpolac¸a˜o. Temos que:
En(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn). Podemos escrever
En(x) = G (x)
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
com G (x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn)
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Na expressa˜o para o erro do teorema 4.2, o paraˆmetro ξx na˜o e´
conhecido no intervalo (x0, xn)e portanto, na˜o e´ poss´ıvel calcular o
valor nume´rico de f (n+1)(ξx).
Como faremos para calcular uma expressa˜o geral para o erro da
interpolac¸a˜o?
Precisamos enta˜o tentar calcular uma estimativa para o erro da
interpolac¸a˜o. Temos que:
En(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn). Podemos escrever
En(x) = G (x)
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
com G (x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn)
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Na expressa˜o para o erro do teorema 4.2, o paraˆmetro ξx na˜o e´
conhecido no intervalo (x0, xn) e portanto, na˜o e´ poss´ıvel calcular o
valor nume´rico de f (n+1)(ξx).
Como faremos para calcular uma expressa˜o geral para o erro da
interpolac¸a˜o?
Precisamos enta˜o tentar calcular uma estimativa para o erro da
interpolac¸a˜o. Temos que:
En(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn). Podemos escrever
En(x) = G (x)
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
com G (x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn)
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Consideremos o mo´dulo da expressa˜o para o erro:
|En(x)| = |G (x) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
| = |G (x)| |f
(n+1)(ξx)|
|(n + 1)!| ≤ |G (x)|
Mn+1
(n + 1)!
com Mn+1 = max{|f (n+1)(x)|}, onde x ∈ (x0, xn).
Assim conseguimos um limitante superior para o erro cometido na
interpolac¸a˜o.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Consideremos o mo´dulo da expressa˜o para o erro:
|En(x)| = |G (x) f
(n+1)(ξx)
(n + 1)!
| = |G (x)| |f
(n+1)(ξx)|
|(n + 1)!| ≤ |G (x)|
Mn+1
(n + 1)!
com Mn+1 = max{|f (n+1)(x)|}, onde x ∈ (x0, xn).
Assim conseguimos um limitante superior para o erro cometido na
interpolac¸a˜o.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Aproxime f (0.7)
por interpolac¸a˜o linear e estime o erro cometido.
xk 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f (xk) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Como x = 0.7 ∈ (0.5, 1), podemos escolher x0 = 0.5 e x1 = 1
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.1487 +
2.7183−1.1487
1−0.5 (x − 0.5)
P1(0.7) = 1.7765
Neste caso simples, temos condic¸o˜es de calcular o verdadeiro erro
cometido, dado por:
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = |1.7137− 1.7765| = 0.0628
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Aproxime f (0.7)
por interpolac¸a˜o linear e estime o erro cometido.
xk 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f (xk) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Como x = 0.7 ∈ (0.5, 1), podemos escolher x0 = 0.5 e x1 = 1
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.1487 +
2.7183−1.1487
1−0.5 (x − 0.5)
P1(0.7) = 1.7765
Neste caso simples, temos condic¸o˜es de calcular o verdadeiro erro
cometido, dado por:
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = |1.7137− 1.7765| = 0.0628
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Aproxime f (0.7)
por interpolac¸a˜o linear e estime o erro cometido.
xk 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f (xk) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Como x = 0.7 ∈ (0.5, 1), podemos escolher x0 = 0.5 e x1 = 1
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.1487 +
2.7183−1.1487
1−0.5 (x − 0.5)
P1(0.7) = 1.7765
Neste caso simples, temos condic¸o˜es de calcular o verdadeiro erro
cometido, dado por:
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = |1.7137− 1.7765| = 0.0628
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Exemplo: Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Aproxime f (0.7)
por interpolac¸a˜o linear e estime o erro cometido.
xk 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f (xk) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Como x = 0.7 ∈ (0.5, 1), podemos escolher x0 = 0.5 e x1 = 1
Usando a fo´rmula de Newton para a interpolac¸a˜o linear temos:
P1(x) = f [x0] +
f [x1]−f [x0]
x1−x0 (x − x0)
P1(x) = 1.1487 +
2.7183−1.1487
1−0.5 (x − 0.5)
P1(0.7) = 1.7765
Neste caso simples, temos condic¸o˜es de calcular o verdadeiro erro
cometido, dado por:
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = |1.7137− 1.7765| = 0.0628
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Vamos agora calcular o limitante superior para o erro na interpolac¸a˜o:
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1.0)|M2
2
com M2 = max{|f ′′(x)|}, onde x ∈ (0.5, 1.0).
Como f (x) = ex + x − 1, f ′′(x) = ex
M2 = max{|ex |}, onde x ∈ (0.5, 1.0) = e1 = 2.7183,
|E1(0.7)| ≤ |(0.2)(0.3)|e2 = 0.0815
De fato, E1(0.7) = 0.0628 < 0.0815
Esta fo´rmula para o limitante superior do erro na interpolac¸a˜o so´
funciona quando conhecemos a expressa˜o para a func¸a˜o interpolada.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Vamos agora calcular o limitante superior para o erro na interpolac¸a˜o:
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1.0)|M2
2
com M2 = max{|f ′′(x)|}, onde x ∈ (0.5, 1.0).
Como f (x) = ex + x − 1, f ′′(x) = ex
M2 = max{|ex |}, onde x ∈ (0.5, 1.0) = e1 = 2.7183,
|E1(0.7)| ≤ |(0.2)(0.3)|e2 = 0.0815
De fato, E1(0.7) = 0.0628 < 0.0815
Esta fo´rmula para o limitante superior do erro na interpolac¸a˜o so´
funciona quando conhecemos a expressa˜o para a func¸a˜o interpolada.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Vamos agora calcular o limitante superior para o erro na interpolac¸a˜o:
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1.0)|M2
2
com M2 = max{|f ′′(x)|}, onde x ∈ (0.5, 1.0).
Como f (x) = ex + x − 1, f ′′(x) = ex
M2 = max{|ex |}, onde x ∈ (0.5, 1.0) = e1 = 2.7183,
|E1(0.7)| ≤ |(0.2)(0.3)|e2 = 0.0815
De fato, E1(0.7) = 0.0628 < 0.0815
Esta fo´rmula para o limitante superior do erro na interpolac¸a˜o so´
funciona quando conhecemos a expressa˜o para a func¸a˜o interpolada.
4.5.1 Limitante para o erro na interpolac¸a˜o
Vamos agora calcular o limitante superior para o erro na interpolac¸a˜o:
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1.0)|M2
2
com M2 = max{|f ′′(x)|}, onde x ∈ (0.5, 1.0).
Como f (x) = ex + x − 1, f ′′(x) = ex
M2 = max{|ex |}, onde x ∈ (0.5, 1.0) = e1 = 2.7183,
|E1(0.7)| ≤ |(0.2)(0.3)|e2 = 0.0815
De fato, E1(0.7) = 0.0628 < 0.0815
Esta fo´rmula para o limitante superior do erro na interpolac¸a˜o so´
funciona quando conhecemos a expressa˜o para a func¸a˜o interpolada.
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se a func¸a˜o f (x) e´ dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro
|En(x)| so´ pode ser estimado.
Isto ocorre pela incapacidade de calcularmos Mn+1
Vamos tentar encontrar uma expressa˜o para o erro em func¸a˜o das
diferenc¸as divididas.
Sabemos que se f (x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua e definida em
x0, x1, · · · , xn, (n + 1) pontos distintos do intervalo [a, b]. O
polinoˆmio de grau ≤ n baseado nas diferenc¸as divididas, dado por
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1)+
· · ·+ f [x0, x1, x2, · · · , xn](x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1)
interpola f (x) nos pontos x0, x1, · · · , xn.
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se a func¸a˜o f (x) e´ dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro
|En(x)| so´ pode ser estimado.
Isto ocorre pela incapacidade de calcularmos Mn+1
Vamos tentar encontrar uma expressa˜o para o erro em func¸a˜o das
diferenc¸as divididas.
Sabemos que se f (x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua e definida em
x0, x1, · · · , xn, (n + 1) pontos distintos do intervalo [a, b]. O
polinoˆmio de grau ≤ n baseado nas diferenc¸as divididas, dado por
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1)+
· · ·+ f [x0, x1, x2, · · · , xn](x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1)
interpola f (x) nos pontos x0, x1, · · · , xn.
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se temos 1 u´nico ponto (x0, f (x0)) enta˜o → P0(x)= f [x0] = f (x0).
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0 ⇒
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)⇒
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+ (x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
⇒ E0(x) = f (x)− P0(x) = (x − x0)f [x0, x ]
Este e´ o erro que cometemos ao se aproximar f (x) por P0(x).
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se temos 1 u´nico ponto (x0, f (x0)) enta˜o → P0(x) = f [x0] = f (x0).
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0 ⇒
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)⇒
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+ (x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
⇒ E0(x) = f (x)− P0(x) = (x − x0)f [x0, x ]
Este e´ o erro que cometemos ao se aproximar f (x) por P0(x).
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se temos 1 u´nico ponto (x0, f (x0)) enta˜o → P0(x) = f [x0] = f (x0).
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0 ⇒
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)⇒
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+ (x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
⇒ E0(x) = f (x)− P0(x) = (x − x0)f [x0, x ]
Este e´ o erro que cometemos ao se aproximar f (x) por P0(x).
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Se temos 1 u´nico ponto (x0, f (x0)) enta˜o → P0(x) = f [x0] = f (x0).
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0 ⇒
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)⇒
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+ (x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
⇒ E0(x) = f (x)− P0(x) = (x − x0)f [x0, x ]
Este e´ o erro que cometemos ao se aproximar f (x) por P0(x).
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Analogamente na interpolac¸a˜o linear nos pontos (x0, f (x0)) e
(x1, f (x1)) temos que:
f [x0, x1, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1 =
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x1, x0]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸
E1(x)
Assim E1(x) = (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Aplicando racioc´ınio ana´logo para (n + 1) pontos temos que o erro e´
dado por:
En(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn+1)f [x0, x1, · · · , x ]
onde f [x0, x1, · · · , x ] e´ a diferenc¸a dividida de ordem (n + 1) da
func¸a˜o f (x).
Dessa forma conseguimos uma estimativa para o erro cometido na
interpolac¸a˜o polinomial maximizando a expressa˜o para o erro:
En(x) ≤ |(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn+1)|max{|(f [x0, x1, · · · , x ])|}
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Aplicando racioc´ınio ana´logo para (n + 1) pontos temos que o erro e´
dado por:
En(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn+1)f [x0, x1, · · · , x ]
onde f [x0, x1, · · · , x ] e´ a diferenc¸a dividida de ordem (n + 1) da
func¸a˜o f (x).
Dessa forma conseguimos uma estimativa para o erro cometido na
interpolac¸a˜o polinomial maximizando a expressa˜o para o erro:
En(x) ≤ |(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn+1)|max{|(f [x0, x1, · · · , x ])|}
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Exemplo: Considere a func¸a˜o f (x) tabelada abaixo. Aproxime
f (0.47)por um polinoˆmio quadra´tico e estime o erro cometido
xk 0.2 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f (xk) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Inicialmente vamos construir a tabela das diferenc¸as divididas para
f (x).
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
0.2 0.16
0.34 0.22 0.4286
0.40 0.27 0.8333 2.0235
0.52 0.29 0.1667 −3.7033 −17.8963
0.60 0.32 0.375 1.0415 18.2494
0.72 0.37 0.4167 0.2085 −2.6031
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Exemplo: Considere a func¸a˜o f (x) tabelada abaixo. Aproxime
f (0.47)por um polinoˆmio quadra´tico e estime o erro cometido
xk 0.2 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f (xk) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Inicialmente vamos construir a tabela das diferenc¸as divididas para
f (x).
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
0.2 0.16
0.34 0.22 0.4286
0.40 0.27 0.8333 2.0235
0.52 0.29 0.1667 −3.7033 −17.8963
0.60 0.32 0.375 1.0415 18.2494
0.72 0.37 0.4167 0.2085 −2.6031
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
Para aproximarmos f (0.47)por um polinoˆmio quadra´tico (n = 2)
precisamos de 3 pontos de interpolac¸a˜o.
Como 0.47 ∈ (0.4, 0.52) precisamos somente de mais um ponto que
neste caso pode ser tanto o x = 0.34 como o x = 0.60 uma vez que
ambos distam 0.13 de 0.47.
Escolhemos enta˜o x0 = 0.40, x1 = 0.52 e x2 = 0.60 e o polinoˆmio
interpolador e´ dado por:
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]
P2(x) = 0.27 + (x − 0.4)0.1667 + (x − 0.4)(x − 0.52)1.0415
assim
P2(0.47) = 0.2780
4.5.2 Estimativa para o erro cometido na interpolac¸a˜o
polinomial
E o erro cometido e´ estimado por:
E2(x) ≤ |(x − 0.4)(x − 0.52)(x − 0.6)|max{|(f [x0, x1, · · · , x ])|}
E2(0.47) = |(0.47−0.4)(0.47−0.52)(0.47−0.6)|∗18.2494 = 8.303∗10−3
4.5.3 Grau do polinoˆmio interpolador
A tabela de diferenc¸as divididas junto com a relac¸a˜o entre a diferenc¸a
dividida de ordem k e a derivada de ordem k, podem nos auxiliar na
escolha do grau do polinoˆmio que usaremos para interpolar uma
func¸a˜o f (x) dada.
Dado o seu conjunto de (n + 1) pontos, deve-se contruir a tabela de
diferenc¸as divididas.
Apo´s isso examinamos as diferenc¸as divididas de f (x) na vizinhanc¸a
do ponto de interesse.
Se nesta vizinhanc¸a as diferenc¸as divididas de ordem k sa˜o
praticamente constantes e as de ordem k + 1 variarem em torno de
zero. Enta˜o, o polinoˆmio interpolador de grau k sera´ o que melhor
aproxima f (x) na regia˜o considerada na tabela.
4.5.3 Grau do polinoˆmio interpolador
A tabela de diferenc¸as divididas junto com a relac¸a˜o entre a diferenc¸a
dividida de ordem k e a derivada de ordem k, podem nos auxiliar na
escolha do grau do polinoˆmio que usaremos para interpolar uma
func¸a˜o f (x) dada.
Dado o seu conjunto de (n + 1) pontos, deve-se contruir a tabela de
diferenc¸as divididas.
Apo´s isso examinamos as diferenc¸as divididas de f (x) na vizinhanc¸a
do ponto de interesse.
Se nesta vizinhanc¸a as diferenc¸as divididas de ordem k sa˜o
praticamente constantes e as de ordem k + 1 variarem em torno de
zero. Enta˜o, o polinoˆmio interpolador de grau k sera´ o que melhor
aproxima f (x) na regia˜o considerada na tabela.
4.5.3 Grau do polinoˆmio interpolador
Exemplo: Considere a func¸a˜o f (x) =
»
(x) tabelada abaixo
x ordem 0 ordem 1 ordem 2
1 1
1.01 1.005 0.5
1.02 1.01 0.5 0
1.03 1.0149 0.49 −0.5
1.04 1.0198 0.49 0
1.05 1.0247 0.49 0
Vemos que para o intervalo x ∈ [1, 1.05] a interpolac¸a˜o linear e´ uma
boa aproximac¸a˜o para f (x) =
»
(x).
4.5.3 Grau do polinoˆmio interpolador
Exemplo: Considere a func¸a˜o f (x) =
»
(x) tabelada abaixo
x ordem 0 ordem 1 ordem 2
1 1
1.01 1.005 0.5
1.02 1.01 0.5 0
1.03 1.0149 0.49 −0.5
1.04 1.0198 0.49 0
1.05 1.0247 0.49 0
Vemos que para o intervalo x ∈ [1, 1.05] a interpolac¸a˜o linear e´ uma
boa aproximac¸a˜o para f (x) =
»
(x).
4.5.3 Grau do polinoˆmio interpolador
Exerc´ıcio: Mostre que o polinoˆmio que interpola os dados abaixo tem
grau 3.
xk −2 −1 0 1 2 3
f (xk) 1 4 11 16 13 −4
4.6 Interpolac¸a˜o Inversa
4.6 Interpolac¸a˜o Inversa
4.6 Interpolac¸a˜o Inversa
4.6 Interpolac¸a˜o Inversa
4.6 Interpolac¸a˜o Inversa
Pro´xima semana...
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V Ca´lculo
Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora McGraw-Hill.1997.Sites consultados acessados em 24/03/2011:
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/notas.html
Colli, E., Asano, H. C,Ca´lculo Nume´rico — Fundamentos e
Aplicac¸o˜es-Departamento de Matema´tica Aplicada – IME-USP, 2009
Cunha, C. Me´todos nume´ricos para as engenharias e cieˆncias
aplicadas;Editora da UNICAMP,1993
Este material na˜o substitui a bibliografia.