CIII_Aula 2_monotonas e series

Prévia do material em texto

Aula 2 
Sequências monótonas e 
Séries infinitas 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
Na última aula... 
 
• Sequências, 
• Gráfico de sequências, 
• Limite de uma sequência, 
• Teorema do confronto para sequências. 
 
2 
 
Aula de hoje: 
 
• Em algumas situações é mais importante 
saber se a sequência converge, do que saber 
qual é o valor do limite! 
 
• Objetivo: estudar técnicas para verificar se 
uma sequência é convergente. 
 
3 
Definição 
Uma sequência é chamada: 
 
• Estritamente crescente se a1 < a2 < ... < an <... 
• Crescente se a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤... 
• Estritamente decrescente se a1 > a2 > ... > an >... 
• Decrescente se a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥... 
 
 
 
• EXEMPLOS?????? 
 
 
1n n
a


Sequências Monótonas 
4 
 
Sequências monótonas: 
 
 Estritamente 
crescente/decrescente 
Estritamente 
MONÓTONA 
crescente/decrescente 
 
MONÓTONA 
5 
Teste de monotonicidade 1 
• Diferença entre termos sucessivos: 
 
 
 
 
Diferença Classificação 
an+1 –an >0 Estritamente crescente 
an+1 –an <0 Estritamente decrescente 
an+1 –an ≥0 Crescente 
an+1 –an ≤0 Decrescente 
6 
Teste de monotonicidade 2 
• Razão entre termos sucessivos: 
 
 
 
 
Diferença Classificação 
an+1 /an > 1 Estritamente crescente 
an+1 /an < 1 Estritamente decrescente 
an+1 /an ≥ 1 Crescente 
an+1 –an ≤ 1 Decrescente 
7 
Teste de monotonicidade 3 
• Derivada de f para x ≥ 1 
 
Diferença Classificação 
f’(x) >0 Estritamente crescente 
f’(x) <0 Estritamente decrescente 
f’(x) ≥0 Crescente 
f’(x) ≤0 Decrescente 
8 
Exemplo 1*: 
• Mostre que 
 
 
é uma sequência estritamente crescente, utilizando os três 
testes de monotonicidade que aprendemos até agora, 
ou seja: 
a) Teste da diferença entre termos sucessivos, 
b) Teste da razão entre termos sucessivos, 
c) Teste da derivada 
 
 
*lousa 
 
1 2 3
, , ,...,
2 3 4 1
n
n
9 
Propriedade a partir de um certo 
termo 
Definição: Se for descartado um número finito 
de termos do começo de uma sequência, e se 
a sequência assim produzida tiver uma 
propriedade, dizemos que a sequência original 
tem essa propriedade a partir de um certo 
termo. 
 
 EX: 9, -8, -17, 12, 1, 2, 3, 4,... 
10 
 
Exemplo 2*: 
Mostre que a sequência 
 
 
 
É estritamente crescente a partir de um certo 
termo. *lousa 
 
 
1
10
!
n
n
n


 
 
 
Mas... 
Qual a relação entre 
monotonicidade e 
convergência????? 
11 
 
Convergência de sequências 
monótonas: 
TEOREMA: Se uma sequência {an} for crescente 
(decrescente) a partir de um certo termo, então 
existem duas possibilidades: 
a) Existe uma constante M chamada cota 
superior(inferior), tal que an ≤ M (an ≥ M ), para 
todo n a partir de um certo termo, e neste caso 
a sequência converge para um limite L 
b) Não existe cota superior (inferior) e neste caso , 
 
lim n
n
a

  lim n
n
a

 
12 
Resumindo 
 
 
 
 
Crescente 
Decrescente 
Tem cota superior 
Não tem cota 
superior 
Tem cota inferior 
Não tem cota 
inferior 
Convergente 
Divergente 
Convergente 
Divergente 
 
Séries infinitas: 
OBJETIVO: soma de um número infinito de 
números reais. 
DEFINIÇÃO: Uma série infinita é uma expressão 
que pode ser escrita na forma: 
1 2 3
1
... ...k k
k
u u u u u


     
TERMOS da Série 
14 
Exemplo 3*: Como calcular a soma?? 
• Cálculo do limite indireto: análise do decimal 
 0,3333333333... 
 
Pode ser escrito como uma série infinita!!! 
 
 0,3+0,03+0,003+0,0003+... 
 
 * continua na lousa 
15 
Definição: Enésima soma parcial: 
Soma dos n primeiros termos da série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sn: enésima soma parcial. 
{sn}: Sequência das somas parciais. 
 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3
1
...
n
n n k
k
s u
s u u
s u u u
s u u u u u


 
  
     
2 1 2s u u 
16 
Importante!!!!! 
 
 
Matematicamente... 
Sequência = sucessão 
Série = soma 
17 
• Seja {Sn} a sequência das somas parciais da série 
 
Se a sequência {Sn} convergir para um limite 
dizemos, então, que a série converge para S, e S é 
a soma da série 
 
 
ou seja, a série 0,3+0,03+0,003+... Converge para 
1/3 
Definição: 
1 2 3 ... ...ku u u u    
1
k
k
S u



18 
Consequência 
Se a sequência das somas parciais divergir, 
dizemos que a série DIVERGE. 
 
 
Uma série divergente 
não tem soma! 
19 
Conclusão principal: 
 
• Se a sequencia das somas parciais converge 
para um limite, esse limite é o valor da 
soma!!!! 
20 
Exemplo 4*: 
Determine se a série 
 
1-1+1-1+1-1+1-... 
 
converge ou diverge. Se convergir, encontre a 
soma. 
 *lousa 
21 
Séries Geométricas: 
 
 
Cada termo é obtido multiplicando o termo 
precedente por uma constante fixada. Essa 
constante é chamada de razão, aqui denotada 
por r 
 
 
 
Exemplos: 
1+2+4+8+...+2k+... a=1 e r=2 
1-1+1-1+...+(-1)k+1+... a=1 e r=-1 
 
2 3
0
... ...k k
k
ar a ar ar ar ar


      
22 
Teorema: 
• Uma série geométrica 
 
 
Converge se |r|<1 
Diverge se |r|≥1 
Se a série converge, então a soma da série é: 
 
 
 
2 3
0
... ...k k
k
ar a ar ar ar ar


      
0 1
k
k
a
ar
r





23 
Exemplo 5*: 
Determine se a série converge, e neste caso, 
encontre sua soma: 
 
a) 
 
 
b) 
0
k
k
x



24 
1
1 1 1 1 1
...
( 1) 1*2 2*3 3*4 4*5k k k


    


Série Harmônica: 
 
 
 
• Sons harmônicos produzidos por uma corda 
• Relacionada ao comprimento de ondas 
• Divergente. 
 
 Para pensar em casa: por que a série 
harmônica é divergente?? 
0
1 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 5k k


     
25 
Resumindo... 
• Sequências monótonas 
• Convergência a partir de um certo termo 
• Convergência de sequências monótonas 
• Séries infinitas e sua convergência 
• Séries geométricas 
• Séries Harmônicas. 
26 
Próxima aula: 
 
• Testes de convergência! 
27