CIII_Aula_8_taylor_maclaurin

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Aula 8 
Polinômios e Séries de 
Taylor e Maclaurin. 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
Relembrando: 
• Última aula: 
Teste da razão 
Teste da raiz 
Séries alternadas – Convergência. 
 
• Aula de hoje: 
Polinômios de Taylor e Maclaurin 
Séries de Taylor e Maclaurin. 
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Aproximação linear local 
• PROBLEMA: quanto mais se afasta de x, pior fica a 
aproximação linear. 
 
 
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0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x  
Solução: 
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Aproximar por um polinômio de grau 2, 
com a condição de que os valores do 
polinômio p e de suas duas primeiras 
derivadas coincidam com os valores de f 
no ponto x0. 
Na prática, como encontrar uma fórmula 
para aproximação quadrática de f em x=0? 
A aproximação tem a forma: 
 
Os valores dos coeficientes devem ser escolhidos de tal forma que os 
valores do polinômio 
 
E de suas primeiras duas derivadas coincidam com os de f em 0, ou 
seja: 
 
 
 
 
* Exemplo 1: Quais serão os valores dos coeficientes? (*Cálculo na 
lousa) 
 
 
5 
2
0 1 2( )f x c c x c x  
(0) (0)
'(0) '(0)
''(0) ''(0)
p f
p f
p f



2
0 1 2( )p x c c x c x  
Polinômios de Maclaurin 
• Idéia: se aumentarmos o grau da 
aproximação, teremos uma aproximação melhor 
 
 
• EXEMPLO 2*: PROBLEMA - dada uma função f 
que possa ser diferenciada n vezes em x=x0, 
encontre um polinômio p de grau n com a 
propriedade de que o valor de p e os das suas n 
primeiras derivadas coincidam com aqueles de f 
em x0. 
*lousa 
 
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Enésimo polinômio de Maclaurin 
 
 
 
 
 
7 
Exemplo 3* 
Encontre o polinômio de Maclaurin pn(x) 
Para ex 
 
 
 
*lousa 
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Polinômios de Taylor 
• Ao invés de focar a aproximação na vizinhança 
de x=0, vamos expressar o polinômio em 
potências de x-x0. 
• Novo formato do polinômio: 
 
 
 
 
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2
0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ... ( )
n
np x c c x x c x x c x x       
Note que a aproximação 
não é mais no ponto 
zero, e sim na vizinhança 
Fazendo os mesmos cálculos... 
Enésimo Polinômio de Taylor: 
 
 
 
 
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Exemplo 4* 
Encontre os quatro primeiros polinômios de 
Taylor para ln(x) em torno de x=2 
 
 
 
 
 
*lousa 
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Note que os polinômios são somas 
enésimas... 
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Então: 
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