CIII_Aula10-Aula_funcoesvetoriais

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Aula 10 
Introdução às Funções 
Vetoriais 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
Objetivos 
• Estudar funções que associam vetores a 
números reais. 
• Ferramenta básica para a análise de 
movimento de partículas 
• Efetuar cálculos com estas funções 
 
• Objetivo da aula: Definir funções vetoriais e 
estudar algumas de suas características. 
 
Parametrizar... 
 
• Exprimir as variáveis 
utilizadas em função de 
uma outra variável 
• Facilitar a representação de 
expressões em ordens 
superiores. 
• Passam por um ponto e são 
paralelas a um vetor. 
• Geram uma curva:Caminho 
traçado pelo movimento de 
um ponto. 
Revisão: Equações paramétricas 
Teorema 
a) A reta no espaço 2D que passa pelo ponto (x0, y0) e 
é paralela ao vetor não-nulo v = [a,b]= ai + bj tem 
as equações paramétricas: 
 
b) A reta no espaço 3D que passa pelo ponto (x0, y0, z0) 
e é paralela ao vetor não-nulo v = [a,b,c]= ai + bj + 
ck tem as equações paramétricas: 
 
 x = x0 + at y= y0 + bt 
 x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct 
Curvas paramétricas 
• Se f e g são funções bem comportadas, então o 
par de equações paramétricas 
 x=f(t) e y=g(t) 
Gera uma curva no espaço 2D. 
• A curva cresce no sentido em que t cresce 
• t é a orientação da curva. 
• Curva + orientação = gráfico das equações ou 
Curva paramétrica. 
• Análogo para o caso 3D. 
 
Exemplo 1: 
• Descreva a curva 
paramétrica 
representada pelas 
equações 
 x = cos(t) 
 y = sen(t) 
 z = ct , onde a e c 
são constantes 
positivas. 
“Problema” 
• Curvas paramétricas nem sempre são simples 
de visualizar 
• Superposições se misturam com intersecções 
• Solução: Utilizar um programa de visualização. 
Forma de 
tubo 
Equações paramétricas de 
intersecções de superfícies: 
• Curvas em 3D ocorrem como interseção de 
superfícies (Veja Fig. 13) 
• EXEMPLO 2: Como encontrar as equações 
paramétricas da curva de intersecção? (*lousa) 
 Cúbica 
torcida 
Note que a cúbica torcida é um vetor! 
• Cúbica torcida é um conjunto de pontos na forma (t, 
t2,t3) para valores reais de t. 
• Pode ser escrito como um vetor, da forma: 
2 3 2 3, , , ,r x y z t t t ti t j t k    
r(t) é uma função vetorial 
( ) ( ), ( ) ( )i ( ) jr r t x t y t x t y t   
X(t) e y(t) são 
funções 
componentes do 
vetor. 
Funções vetoriais 
• Definição: Uma vez que dois vetores são iguais 
se e somente se seus componentes são iguais, 
as duas equações paramétricas definidas por 
x=f(t) e y=f(t) 
 podem ser expressas como uma única 
equação vetorial da forma: 
 
 xi + yj = f(t)i +g(t)j 
Domínio de uma função vetorial r(t) 
• É o conjunto dos valores admissíveis de t. 
• Se r(t) estiver definida em função das 
componentes temos que: 
Domínio será a intersecção dos domínios 
naturais das funções componentes 
(Chamaremos de Domínio Natural de r(t)) 
Exemplo 3* 
• Encontre o domínio natural de 
 
 
 
*lousa 
( ) (ln 1) tr t t i e j tk   
Gráfico de funções vetoriais 
 
• O gráfico de uma 
função vetorial r(t) é a 
curva paramétrica 
descrita pelas funções 
componentes de r(t) 
• Curva C: representa a 
variação do vetor 
• r(t) é o vetor posição de 
C 
Exemplo 4* 
• Esboce um gráfico e o vetor posição de: 
a) r(t)=cos(t)i +sen(t)j 0≤t ≤2π 
b) r(t)=cos(t)i +sen(t)j +2k 0≤t ≤2π 
 
*lousa 
Forma vetorial de um segmento de 
reta 
• r0 e r1 são vetores no espaço com início na origem. 
• A reta que passa pelo ponto final desses dois vetores 
pode ser dada por: 
0 1 0
0 1
( )
(1 )
r r t r r
r t r tr
  
  
 r é a Forma vetorial de uma 
reta que passa por dois 
pontos.