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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 7 Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o Impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9 1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = cos(x+ x2) (b) f(x) = e √ x ln( √ x) (c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 − 4)3/4 (e) f(x) = arcsen(2x) (f) f(x) = √ x+ √ 2x (g) f(x) = ln(x √ x2 + 1) (h) f(x) = x3 − 3x2 (x4 + 1)5/2 (i) f(x) = arctan(3x2 + 1) (j) f(x) = (ex)x (k) f(x) = x2e−x (l) f(x) = arccos ( 1 x2 + 1 ) 2) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1/2, calcule g′(pi/2). 3) Seja g uma func¸a˜o deriva´vel e f(x) = (cosx)g2 ( tan x x2 + 2 ) . Sabendo que g(0) = 1/2 e g′(0) = 1, calcule f ′(0). 4) Seja f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva. Mostre que (ln f(x))′ = f ′(x) f(x) . (Essa expressa˜o e´ chamada de derivada logar´ıtmica de f . A`s vezes e´ mais fa´cil encontrar f ′ usando a derivada logar´ıtmica pois, como ja´ sabemos, os produtos transformam-se em somas na expressa˜o de log f(x).) 5) Usando a derivada logar´ıtmica calcule a derivada das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = (x+ 1)x (b) f(x) = ( senx)cosx. 6) Seja x = f(y) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − x√xy + 2y2 = 10 para x > 0 e y > 0. (a) Encontre uma expressa˜o m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao gra´fico de f(y), para os pontos onde x3/2 − 8y3/2 6= 0. (b) Sabendo-se que o ponto (4, 1) pertece ao gra´fico da curva acima, calcule lim x→4± m(x, 1). (c) Interprete geometricamente o resultado do item (b). 7) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+ y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo que f e´ uma func¸a˜o positiva. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 2 8) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3. (a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1). (b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que x = 3/2. RESPOSTAS 1) (a) f ′(x) = −(1 + 2x) sen(x+ x2) (b) f ′(x) = e √ x(1 + √ x ln( √ x)) 2x (c) f ′(x) = [(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)] cos((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f ′(x) = 3 4 (3x3 + 4x2 − 4)−1/4(9x2 + 8x) (e) f ′(x) = 2√ 1− 4x2 (f) f ′(x) = ( 1 + 1√ 2x ) 1 2 √ x+ √ 2x (g) f ′(x) = 2x2 + 1 x(x2 + 1) (h) f ′(x) = (x4 + 1)5/2(3x2 − 6x)− (x3 − 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3) (x4 + 1)5 (i) f ′(x) = 6x 9x4 + 6x2 + 2 (j) f ′(x) = 2xex 2 (k) f ′(x) = e−x(2x− x2) (l) f ′(x) = 2x (x2 + 1)2 √ 1− (x2 + 1)−2 2) 1 3) 1/2 4) basta usar a regra da cadeia 5) (a) f ′(x) = (x+ 1)x ( ln(x+ 1) + x x+1 ) (b) f ′(x) = ( sen x)cosx [ −( sen x) ln( senx) + cos 2 x sen x ] . 6) (a) m(x, y) = 3x1/2y − 4xy1/2 x3/2 − 8y3/2 (b) ±∞ 7) 1/4 8) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 2
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