Lista 1 - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 Lista 1 1.o/2013
1) Apenas como um exerc´ıcio, escreva a negac¸a˜o lo´gica das sentenc¸as abaixo.
a) Para quaisquer nu´meros reais satisfazendo a < b existe n ∈ N tal que a + 1
n
< b.
b) Entre quaisquer dois nu´mero reais distintos existe um nu´mero racional.
c) Para qualquer natural n ∈ N , √n ou e´ um nu´mero natural ou e´ um nu´mero racional.
d) Dado qualquer nu´mero real x existe n ∈ N satisfazendo n > x.
e) Dado qualquer nu´mero real a > 0 existe um n ∈ N tal que 1
n
< a.
2) Dado A ⊂ R, indique por Ac o seu complementar, isto e´, Ac = {x ∈ R; x 6∈ A}. Indique
ainda por B e C dois outros subconjuntos de R.
A B
C
a) Verifique a inclusa˜o (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ Bc mostrando que, se
x ∈ (A ∩ B)c, enta˜o x ∈ Ac ∪Bc.
b) Verifique a inclusa˜o contra´ria (A∩B)c ⊇ Ac ∪Bc para concluir
a igualdade entre esses dois conjuntos.
c) Mostre agora a igualdade (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc verificando a
inclusa˜o nos dois sentidos.
d) Verifique a “lei associativa”A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
e) Verifique a “lei distributiva”A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
3) A unicidade da decomposic¸a˜o em fatores primos afirma que, se m ∈ N\{1}, enta˜o m
escreve-se de modo u´nico na forma m = qn1
1
qn2
2
· · · qnkk , onde os qi sa˜o primos e os ni ∈ N,
i = 1, 2, · · ·k. Os itens a seguir ilustram como essa unicidade pode ser usada para demonstrar
que certas ra´ızes na˜o sa˜o nu´meros racionais.
a) Use a unicidade da decomposic¸a˜o em fatores primos para mostrar que, se p e´ primo,
enta˜o m e´ mu´ltiplo de p se, e somente se, m2 e´ mu´ltiplo de p.
b) Suponha agora que r = m
n
∈ Q seja tal que (m
n
)2 = 3. Use o item anterior para concluir
que tanto m como n sa˜o mu´ltiplos de 3.
c) Conclua do item acima que, se r2 = 3, enta˜o r 6∈ Q.
d) Generalize o resultado acima mostrando que, se p e´ primo e r2 = p, enta˜o r 6∈ Q.
e) Explique porque os argumentos acima na˜o podem ser usados para mostrar que, se
r2 = 4, enta˜o r 6∈ Q.
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4) Uma propriedade importante dos nu´meros racionais e´ que Q e´ denso em R, no seguinte
sentido: dados quaiquer x < y em R, existe r ∈ Q tal que x < r < y. Essa propriedade esta´
relacionada com o fato de R ser arquimediano, com ilustra os itens a seguir.
a) Use o fato de que 2n ∈ N para todo n ∈ N para
mostrar que N na˜o e´ limitado superiormente. 0 y − x x y
1
n0
m0−1
n0
m0
n0
b) Use o item anterior para mostrar que R e´ arquimediando, isto e´, que dados 0 < a ≤ b
em R, existe n ∈ N tal que b < na.
c) Do item anterior, conclua que, dados x < y em R, existe n0 ∈ N tal que 1n0 < y − x.
d) Com o valor de n0 acima, use a propriedade arquimediana para mostrar que o conjunto
A = {m ∈ Z; y ≤ m 1
n0
} e´ na˜o vazio. Em seguida, conlua que existe m0 = inf A,
onde m0 ∈ A.
e) Finalmente, conclua que r = m0−1
n0
∈ Q e´ tal que x < r < y.
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