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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Cálculo II - 2013/2 - Lista 3
Professora Talita Mello
• Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas
1. Converta as coordenadas polares para coordenadas cartesianas
(a) (3pi2 )
(b) (2
√
2, 3pi4 )
(c) (2, 2pi3 )
(d) (4, 3pi)
2. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares
(a) (1, 1)
(b) (2
√
3,−2)
(c) (−1,−√3)
(d) (−2, 3)
3. Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as
condições dadas.
(a) r > 1
(b) 0 ≤ θ ≤ pi4
(c) 0 ≤ r ≤ 2, pi2 ≤ θ ≤ pi
(d) 1 ≤ r < 3, −pi4 ≤ θ ≤ pi4
(e) 2 < r < 3, 5pi3 ≤ θ ≤ 7pi3
4. Esboce a curva com equação dada
(a) r = 2
(b) r cos θ = 1
(c) r = sin θ
(d) cos θ = pi3
5. Converta as coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas
(a) (3, pi2 , 1)
(b) (3, 0,−6)
(c) (4, −pi3 , 5)
6. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas
1
(a) (1,−1, 4)
(b) (−1,−√3, 2)
(c) (3, 3,−2)
7. Converta as coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas
(a) (1, 0, 0)
(b) (1, pi6 ,
pi
6 )
(c) (2, pi3 ,
pi
4 )
8. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas
(a) (−3, 0, 0)
(b) (
√
3, 0, 1)
(c) (1, 1,
√
2)
9. Esboce as superfícies abaixo
(a) r = 5
(b) z = r
(c) θ = pi4
(d) ρ = 1
(e) φ = pi3
(f) φ = pi2
(g) φ = 0
(h) r cos θ = −1
(i) r sin θ = 2
(j) ρ cosφ = 2
(k) ρ sinφ = 2
• Vetores no plano e no espaço
10. Determine o valor de x de modo que os vetores (−3x, 2x) e (4, x) sejam ortogonais.
11. Determine o vetor projeção de u sobre v
(a) u = (4, 1) e v = (2, 3)
(b) u = (1, 1, 1) e v = (4, 2, 0)
12. Mostre que o vetor ortuv = u−projuv é ortogonal a v. (Esse vetor é chamado projeção ortogonal
de u.)
2
13. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a (1,−1, 1) quanto a (0, 4, 4)
14. Determine a área do paralelogramo com vértices em (0, 1), (3, 0), (5,−2) e (2,−1).
15. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 2i+ 3j − 2k, i− j e 2i+ 3k.
16. Utilize produto misto para veri�car se os vetores 2i+3j+k, i−j e 7i+3j+2k são coplanaares.
• Funções vetoriais, equações paramétricas
17. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
(a) x = 2t+ 4, y = t− 1
(b) x = 3− t, y = 2t+ 3, 1 ≤ t ≤ 4
(c) x = 1− 2t, y = t2 + 4, 0 ≤ t ≤ 3
(d) x = t2, y = 6− 3t
18. Determine o domínio das funções vetoriais
(a) σ(t) = (t3,
√
t− 1,√5− t)
(b) σ(t) = (ln t, tt−1 , e
−t)
19. Calcule os limites
(a) limt→0+(cos t, sin t, t ln t)
(b) limt→o( e
t−1
t ,
√
1+t−1
t ,
3
1+t )
20. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sin t, z = t está na superfície
z2 = x2 + y2.
21. Mostre que a curva com equações paramétricas x = sin t, y = cos t, z = sin2 t é a curva de
interseção das superfícies z = x2 e x2 + y2 = 1.
22. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção de duas superfícies
(a) O cilindro x2 + y2 = 4 e a superfície z = xy
(b) O cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 1 + y
(c) O parabolóide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabólico y = x2
23. Suponha que u e v são funções vetoriais que possuam limites quando t → a e seja k uma
constante. Prove as seguintes propriedades de limites:
(a) limt→a[u(t) + v(t)] = limt→a u(t) + limt→a v(t)
(b) limt→a ku(t) = k limt→a u(t)
(c) limt→a[u(t)v˙(t)] = limt→a u(t) ˙limt→av(t)
(d) limt→a[u(t)× v(t)] = limt→a u(t)× limt→a v(t)
3
24. Sejam u e v funções diferenciáveis, k um escalar e f uma função vetorial. Demonstre as regras
de diferenciação abaixo:
(a)
d
dt [u(t) + v(t)] = u
′(t) + v′(t)
(b)
d
dt [ku(t)] = ku
′(t)
(c)
d
dt [f(t)u(t)] = f
′(t)u(t) + f(t)u′(t)
(d)
d
dt [u(t)v˙(t)] = u
′(t)v˙(t) + u(t)v˙′(t)
(e)
d
dt [u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t)
(f)
d
dt [u(f(t))] = f
′(t)u′(f(t)) (Regra da Cadeia)
25. Mostre que se |r(t)| = k (uma constante), então r′(t) é ortogonal a r(t) para todo t. Geome-
tricamente, esse resultado indica que se a curva está em uma esfera, então o vetor tangente
r′(t) é sempre perpendicular ao vetor posição r(t).
26. Determine a derivada da função vetorial
(a) σ(t) = (t2, 1− t,√t)
(b) σ(t) = i− j + e4tk
(c) σ(t) = (cos 3t, t, sin 3t)
27. Determine o vetor tangente T (t) no ponto com valor de parâmetro t dado
(a) σ(t) = (6t5, 4t3, 2t), t = 1
(b) σ(t) = (
√
t, t− t2, arctan t), t = 1
(c) σ(t) = (t, 2 sin t, 3 cos t), t = pi6
(d) σ(t) = (e2t cos t, e2t sin t, e2t), t = pi2
28. Se σ(t) = (t, t2, t3), determine σ′(t), T (1), A(t) e V (t)×A(t).
29. Se σ(t) = (e2t, e−2t, te2t), determine T (0), A(0) e V (t)A˙(t).
30. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações para-
métricas, no ponto especi�cado.
(a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1)
(b) x = t2 − 1, y = t2 + 1, z = t+ 1; (−1, 1, 1)
(c) x = t cos 2pit, y = t sin 2pit, z = 4t; (0, 14 , 1)
(d) x = sinpit, y =
√
t, z = cospit; (0, 1,−1)
31. Calcule a integral
(a)
∫ 1
0
(ti+ t2j + t3k)dt
(b)
∫ 2
1
[(1 + t2)i− 4t4j − (t2 − 1)k]dt
4
32. Determine r(t) se r′(t) = t2i+ 4t3j − t2k e r(0) = j.
33. Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r′′, então ddt [r(t)× r′(t)] = r(t)× r′′(t).
34. Determine o comprimento da curva dada
(a) r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t), −10 ≤ t ≤ 10
(b) r(t) = (t2, sin t− t cos t, cos t+ t sin t), 0 ≤ t ≤ pi
(c) r(t) = (
√
2t, et, e−t), 0 ≤ t ≤ 1
(d) r(t) = (t2, 2t, ln t), 1 ≤ t ≤ e
35. Reparametrize uma curva em relação ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direção
crescente de t
(a) σ(t) = et sin ti = et cos tj
(b) σ(t) = (1 + 2t)i+ (3 + t)j − 5tk
(c) σ(t) = 3 sin ti+ 4tj + 3 cos tk
5

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