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Universidade Federal do Rio de Janeiro Cálculo II - 2013/2 - Lista 3 Professora Talita Mello • Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 1. Converta as coordenadas polares para coordenadas cartesianas (a) (3pi2 ) (b) (2 √ 2, 3pi4 ) (c) (2, 2pi3 ) (d) (4, 3pi) 2. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares (a) (1, 1) (b) (2 √ 3,−2) (c) (−1,−√3) (d) (−2, 3) 3. Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas. (a) r > 1 (b) 0 ≤ θ ≤ pi4 (c) 0 ≤ r ≤ 2, pi2 ≤ θ ≤ pi (d) 1 ≤ r < 3, −pi4 ≤ θ ≤ pi4 (e) 2 < r < 3, 5pi3 ≤ θ ≤ 7pi3 4. Esboce a curva com equação dada (a) r = 2 (b) r cos θ = 1 (c) r = sin θ (d) cos θ = pi3 5. Converta as coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas (a) (3, pi2 , 1) (b) (3, 0,−6) (c) (4, −pi3 , 5) 6. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas 1 (a) (1,−1, 4) (b) (−1,−√3, 2) (c) (3, 3,−2) 7. Converta as coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas (a) (1, 0, 0) (b) (1, pi6 , pi 6 ) (c) (2, pi3 , pi 4 ) 8. Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas (a) (−3, 0, 0) (b) ( √ 3, 0, 1) (c) (1, 1, √ 2) 9. Esboce as superfícies abaixo (a) r = 5 (b) z = r (c) θ = pi4 (d) ρ = 1 (e) φ = pi3 (f) φ = pi2 (g) φ = 0 (h) r cos θ = −1 (i) r sin θ = 2 (j) ρ cosφ = 2 (k) ρ sinφ = 2 • Vetores no plano e no espaço 10. Determine o valor de x de modo que os vetores (−3x, 2x) e (4, x) sejam ortogonais. 11. Determine o vetor projeção de u sobre v (a) u = (4, 1) e v = (2, 3) (b) u = (1, 1, 1) e v = (4, 2, 0) 12. Mostre que o vetor ortuv = u−projuv é ortogonal a v. (Esse vetor é chamado projeção ortogonal de u.) 2 13. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a (1,−1, 1) quanto a (0, 4, 4) 14. Determine a área do paralelogramo com vértices em (0, 1), (3, 0), (5,−2) e (2,−1). 15. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 2i+ 3j − 2k, i− j e 2i+ 3k. 16. Utilize produto misto para veri�car se os vetores 2i+3j+k, i−j e 7i+3j+2k são coplanaares. • Funções vetoriais, equações paramétricas 17. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva (a) x = 2t+ 4, y = t− 1 (b) x = 3− t, y = 2t+ 3, 1 ≤ t ≤ 4 (c) x = 1− 2t, y = t2 + 4, 0 ≤ t ≤ 3 (d) x = t2, y = 6− 3t 18. Determine o domínio das funções vetoriais (a) σ(t) = (t3, √ t− 1,√5− t) (b) σ(t) = (ln t, tt−1 , e −t) 19. Calcule os limites (a) limt→0+(cos t, sin t, t ln t) (b) limt→o( e t−1 t , √ 1+t−1 t , 3 1+t ) 20. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sin t, z = t está na superfície z2 = x2 + y2. 21. Mostre que a curva com equações paramétricas x = sin t, y = cos t, z = sin2 t é a curva de interseção das superfícies z = x2 e x2 + y2 = 1. 22. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção de duas superfícies (a) O cilindro x2 + y2 = 4 e a superfície z = xy (b) O cone z = √ x2 + y2 e o plano z = 1 + y (c) O parabolóide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabólico y = x2 23. Suponha que u e v são funções vetoriais que possuam limites quando t → a e seja k uma constante. Prove as seguintes propriedades de limites: (a) limt→a[u(t) + v(t)] = limt→a u(t) + limt→a v(t) (b) limt→a ku(t) = k limt→a u(t) (c) limt→a[u(t)v˙(t)] = limt→a u(t) ˙limt→av(t) (d) limt→a[u(t)× v(t)] = limt→a u(t)× limt→a v(t) 3 24. Sejam u e v funções diferenciáveis, k um escalar e f uma função vetorial. Demonstre as regras de diferenciação abaixo: (a) d dt [u(t) + v(t)] = u ′(t) + v′(t) (b) d dt [ku(t)] = ku ′(t) (c) d dt [f(t)u(t)] = f ′(t)u(t) + f(t)u′(t) (d) d dt [u(t)v˙(t)] = u ′(t)v˙(t) + u(t)v˙′(t) (e) d dt [u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t) (f) d dt [u(f(t))] = f ′(t)u′(f(t)) (Regra da Cadeia) 25. Mostre que se |r(t)| = k (uma constante), então r′(t) é ortogonal a r(t) para todo t. Geome- tricamente, esse resultado indica que se a curva está em uma esfera, então o vetor tangente r′(t) é sempre perpendicular ao vetor posição r(t). 26. Determine a derivada da função vetorial (a) σ(t) = (t2, 1− t,√t) (b) σ(t) = i− j + e4tk (c) σ(t) = (cos 3t, t, sin 3t) 27. Determine o vetor tangente T (t) no ponto com valor de parâmetro t dado (a) σ(t) = (6t5, 4t3, 2t), t = 1 (b) σ(t) = ( √ t, t− t2, arctan t), t = 1 (c) σ(t) = (t, 2 sin t, 3 cos t), t = pi6 (d) σ(t) = (e2t cos t, e2t sin t, e2t), t = pi2 28. Se σ(t) = (t, t2, t3), determine σ′(t), T (1), A(t) e V (t)×A(t). 29. Se σ(t) = (e2t, e−2t, te2t), determine T (0), A(0) e V (t)A˙(t). 30. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações para- métricas, no ponto especi�cado. (a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1) (b) x = t2 − 1, y = t2 + 1, z = t+ 1; (−1, 1, 1) (c) x = t cos 2pit, y = t sin 2pit, z = 4t; (0, 14 , 1) (d) x = sinpit, y = √ t, z = cospit; (0, 1,−1) 31. Calcule a integral (a) ∫ 1 0 (ti+ t2j + t3k)dt (b) ∫ 2 1 [(1 + t2)i− 4t4j − (t2 − 1)k]dt 4 32. Determine r(t) se r′(t) = t2i+ 4t3j − t2k e r(0) = j. 33. Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r′′, então ddt [r(t)× r′(t)] = r(t)× r′′(t). 34. Determine o comprimento da curva dada (a) r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t), −10 ≤ t ≤ 10 (b) r(t) = (t2, sin t− t cos t, cos t+ t sin t), 0 ≤ t ≤ pi (c) r(t) = ( √ 2t, et, e−t), 0 ≤ t ≤ 1 (d) r(t) = (t2, 2t, ln t), 1 ≤ t ≤ e 35. Reparametrize uma curva em relação ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direção crescente de t (a) σ(t) = et sin ti = et cos tj (b) σ(t) = (1 + 2t)i+ (3 + t)j − 5tk (c) σ(t) = 3 sin ti+ 4tj + 3 cos tk 5
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