Gabarito da Lista 4 (Módulo 1) - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 1.o/2013
1) Sejam f : A→ R uma func¸a˜o dada e c ∈ R tal que (c, d) ⊂ A para algum d > c. Segundo
os itens que se seguem, as afirmac¸o˜es I e II dadas abaixo sa˜o equivalentes, e caracterizam a
existeˆncia do limite lateral limx→c+ f(x).
I - (f(xn)) e´ convergente para toda sequeˆncia xn → c com xn > c.
II- Existe l ∈ R com a propriedade de que: dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)− l| < ǫ
para todo x ∈ A com c < x < c+ δ.
a) Para i = 1, 2, supor que as sequeˆncias xin → c e xin > c sejam tais que f(xin) → li.
Mostre que, se l1 6= l2, enta˜o existe sequeˆncia (xn) tal que (f(xn)) na˜o converge.
Resposta: escolher x2n−1 = x1n e x2n = x
2
n para n = 1, 2, . . .
b) Conclua que, nas condic¸o˜es de I acima, f(xn)→ l onde l e´ independente de (xn).
Resposta: argumentar por contradic¸a˜o e usar o item acima
c) Obtenha a negac¸a˜o lo´gica da afirmac¸a˜o: dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)− l| < ǫ
para todo x ∈ A com c < x < c+ δ.
Resposta: ∃ ǫ0 > 0 tal que, ∀ δ > 0, |f(x0)− l| ≥ ǫ0 para algum x0 ∈ A com c < x0 < c+ δ
d) Use os itens anteriores para mostrar que I ⇒ II.
Resposta: argumentando por contradic¸a˜o, obte´m-se c < xn < c+ 1n com |f(xn)− l| ≥ ǫ0
e) Finalmente, mostre que II ⇒ I.
Resposta: por II, se xn → c, xn > c, dado δ > 0 ∃ n0; c < xn < c+ δ ∀ n > n0 ⇒ |f(xn)− l| < ǫ
2) Indique por [x] o maior inteiro menor ou igual a x, e seja f : R→ R dada por f(x) = [x].
Observe que, para n ∈ Z, tem-se que f(x) = n para n ≤ x < n + 1.
a) Esboce o gra´fico de f no intervalo [−2, 2].
Resposta: ver gra´fico ao lado
b) Calcule os limites laterais de f em um ponto x 6∈ Z.
Resposta: se n < x < n+1, enta˜o limy→x+ f(y) = limy→x− f(y) = n
c) Calcule os limites laterais de f em um ponto x ∈ Z.
Resposta: se x = n, enta˜o limy→x+ f(y) = n e limy→x− f(y) = n− 1
−2 −1
1 2
−2
−1
1
2
d) Use a desigualdade (1 + r)n ≥ n(n− 1) r2
2
, com n ∈ N e r ≥ 0, para calcular os limites
limn→∞ n
√
n e limn→∞
n
√
n + 1.
Resposta: supor n
√
n = 1 + r0n, ou
n
√
n+ 1 = 1 + r1n, e mostrar que r
i
n → 0
e) Use os itens anteriores e as propriedades do limite para calcular limx→∞ [x]
√
x.
Resposta: se n ≤ x < n+ 1, enta˜o n√n ≤ [x]√x < n√n+ 1⇒ limx→∞ [x]
√
x = 1
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 1.o/2013 – 1/2
3) Seja f : I → R uma func¸a˜o dada, onde I ⊂ R e´ um intervalo. f e´ Ho¨lder-cont´ınua se
existem M > 0 e α > 0 tais que |f(x)− f(y)| ≤ M |x − y|α ∀ x, y ∈ I. M e α sa˜o ditos a
constante e o expoente de Ho¨lder, respectivamente.
a) Mostre que uma func¸a˜o Ho¨lder-cont´ınua e´ cont´ınua em seu domı´nio.
Resposta: dado ǫ > 0, basta escolher δ < ( ǫ
M
)
1
α
b) Verifique que, se I = [a, b] e´ um intervalo limitado e f : I → R e´ dada por f(x) = x2,
enta˜o f e´ Ho¨lder-cont´ınua com expoente α = 1.
Resposta: se |x| ≤M para x ∈ I, enta˜o |f(x)− f(y)| = |x+ y||x− y| ≤ 2M |x− y| ∀ x, y ∈ I
c) Argumentando por contradic¸a˜o, verifique agora que f : R → R, f(x) = x2, na˜o e´
Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1.
Resposta: por contradic¸a˜o, teria-se que |x|2 = |f(x)− f(0)| ≤M |x− 0| ∀x ∈ R E
d) Suponha f : [0,∞) → R, f(x) = √x. Use a igualdade x − y = (√x −√y)(√x +√y)
para concluir que f na˜o e´ Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1.
Resposta: |f(x)− f(y)| = |x−y|√
x+
√
y
, onde
√
x→ 0 com x→ 0
e) Finalmente, multiplicando a desigualdade
√
x − √y ≤ √x + √y por √x − √y, com
x ≥ y, conclua que a func¸a˜o do item anterior e´ Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1
2
.
Resposta: |f(x)− f(y)| ≤ |x− y| 12 ∀ x, y ∈ [0,∞)
4) Suponha que f : [a, b] → [a, b] seja uma contrac¸a˜o, isto e´, que existe 0 < λ < 1 tal que
|f(x)− f(y)| ≤ λ|x − y| para todo x, y ∈ [a, b]. Nesse caso, como segue dos itens abaixo, a
func¸a˜o necessariamente possui um ponto fixo, isto e´, um ponto x ∈ [a, b] tal que f(x) = x.
Escolha um x1 ∈ [a, b] qualquer e defina a sequeˆncia (xn) por xn = f(xn−1) para n ≥ 2.
a x b
a
f(x)
b
a) Mostre que f e´ cont´ınua em qualquer ponto de seu domı´nio.
Resposta: dado ǫ > 0, basta escolher δ < ǫ
λ
b) Mostre que existe K > 0 tal que |xn+2 − xn+1| ≤ Kλn para
todo n ∈ N.
Resposta: usar que |xn+2−xn+1| ≤ λ|xn+1−xn| e escolher K = |x2−x1|
c) Verifique agora que existe o limn→∞ xn = x.
Resposta: do item anterior segue-se que (xn) e´ de Cauchy
d) Conclua que o valor x do limite acima e´ um ponto fixo de f .
Resposta: como f e´ cont´ınua, tem-se x = limxn = lim f(xn−1) = f(limxn−1) = f(x)
e) Verifique que a func¸a˜o f : [0, 1]→ [0, 1] dada por f(x) = 1
3
x2 e´ uma contrac¸a˜o, e calcule
o seu ponto fixo.
Resposta: |f(x)− f(y)| = 1
3
|x+ y||x− y| ≤ 2
3
|x− y| e f(0) = 0
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 1.o/2013 – 2/2