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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º. Semestre de 2016 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir: Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte: CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão? Solução: Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA. 2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); Solução: Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim, teremos: Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % CSI 17 34 ER 12 24 Friends 14 28 Raymond 7 14 Total 50 100 3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados. Solução: Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. Assim, o gráfico será: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6. Tempo de conclusão (dias) Freqüências absolutas (ni) 10 15 4 15 20 8 20 25 5 25 30 2 30 35 1 Total 20 4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; Solução: Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre estes pontos médios e as freqüências absolutas. Tempo de conclusão (dias) Ponto médio (xi) Freqüências absolutas (ni) nixi 10 15 12,5 4 50,0 15 20 17,5 8 140,0 20 25 22,5 5 112,5 25 30 27,5 2 55,0 30 35 32,5 1 32,5 Total 20 390,0 A média é: �̅� = ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 𝒏 = 𝟑𝟗𝟎 𝟐𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟓. 5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓. Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; Solução: A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os 50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo. Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida: Tempo de conclusão (dias) Freqüências Absolutas (ni) Freq. Relativas % Freq. Acum Relativa % 10 15 4 20 20 15 20 8 40 60 20 25 5 25 85 25 30 2 10 95 30 35 1 5 100 Total 20 100 𝑄2 − 15 30 = 20 − 15 40 ⟹ 𝑄2 − 15 30 = 5 40 ⟹ 40(𝑄2 − 15) = 5 × 30 40𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2 − 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750 𝑄2 = 750 40 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir: Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. Figura 1: Tetraedro 7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? Solução: O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } 8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior que 5}. Determine A, B e 𝐴 ∩ 𝐵. Solução: O conjunto A será os destacados em cinza: 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } Logo: 𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} O conjunto B será os destacado em cinza: 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } Logo: 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. Logo: 𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assuma que �̅� = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑒 𝜎2 = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛�̅�2 𝑛 Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13. 9) (0,5 pt) A média; 10) (0,5 pt) A variância; 11) (0,5 pt) O desvio padrão; 12) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. Solução: (9) �̅� = 1.802 53 = 34. (10) 𝜎2 = 104.028 − (53 × 342) 53 = 104.028 − (53 × 1.156) 53 = 104.028 − 61.268 53 = 42.760 53 = 806,79. (11) 𝜎 = √806,79 = 28,4. (12) 𝐶𝑉 = 𝜎 �̅� = 28,4 34 = 0,84. (13) 𝑒 = �̅� − 𝑥∗ 𝜎 = 34 − 46 28,4 = − 12 28,4 = −0,42. Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões de 14 a 16. 0 50 60 70 1 00 10 10 90 2 10 10 20 20 20 20 3 00 00 60 4 00 00 14) (0,75 pt) O preço médio das ações; 15) (0,75 pt) O preço mediano das ações; 16) (0,5 pt) O preço modal das ações; Solução: 14) �̅� = (0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4)) 18 = 2,08. 15) Como há 18 observações, n é par. Assim: 𝑄2 = 𝑥9 + 𝑥10 2 = 2,1 + 2,2 2 = 2,15. 16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20.
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