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Prévia do material em texto

1 
 
FLÁVIO MACEDO CUNHA 
 
 
 
 
 
MATERIAIS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
1. ESTRUTURA DOS MATERIAIS 
2. CONDUTORES 
3. SEMICONDUTORES 
4. DIELÉTRICOS 
5. MATERIAIS MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2012 
 
2 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A história da humanidade, de certa forma, tem sido datada a partir do domínio de 
determinadas técnicas empregadas e dos materiais usados por nossos antepassados em determinadas 
épocas. Nesse contexto os pesquisadores dessa área definem a ‘Idade da Pedra’ como uma fase em que 
os homens usavam a pedra como ferramenta, muitas vezes criando instrumentos com esses materiais 
para seu manuseio. No período de 2000 até 1000 a.C. já eram usadas ligas de cobre e estanho e foi 
caracterizada como ‘Idade do Bronze’. O período de 1000 a.C. até o ano zero caracteriza a ‘Idade do 
Ferro’, quando era utilizada a técnica de fabricação de ligas de ferro. Em diversas sociedades da 
antiguidade observou-se o uso da cerâmica e do vidro. Já a tecnologia do aço foi desenvolvida na 
Idade Moderna. Na segunda metade do século XX duas grandes tecnologias mudaram os costumes e 
utilizações de recursos materiais: a invenção do plástico e a tecnologia do silício grau eletrônico. Esses 
materiais produziram grandes impactos nos bens consumo atualmente empregados. As tendências 
futuras indicam que o domínio tecnológico dos materiais concentra-se nos campos da biotecnologia e 
a neurotecnologia. 
 O desenvolvimento da tecnologia dos materiais tem sido associado a um conhecimento, cada 
vez mais profundo, da física dos materiais. Portanto, sempre que se refere ao estudo dos materiais, 
usa-se o termo ‘ciência e engenharia’, referindo-se à engenharia de base científica. No entanto, cada 
modalidade de engenharia tem um foco definido para o estudo dos materiais no seu campo específico. 
Na engenharia civil, por exemplo, o estudo dos materiais leva em consideração as forças de tração e 
compressão, os processos de corrosão, a dilatação térmica, a durabilidade dos os materiais. Na 
engenharia mecânica os esforços mecânicos, as propriedades térmicas e químicas, os desgastes por 
atrito devem ser levados em consideração ao aplicar os materiais. Na engenharia elétrica os materiais 
são estudados sob o ponto de vista também dos fatores físicos (esforços em uma estrutura metálica, 
esforços em barramentos por curto-circuito, dentre outros), químicos (oxidação e desgaste de contatos 
elétricos, por exemplo), térmica (dissipação de calor em equipamentos, aquecimento de cabos 
elétricos, etc), mas, sobretudo, visa ao estudo do comportamento dos materiais sob campo elétrico e 
campo magnético. Para realizar o estudo com esse foco é fundamental iniciarmos pela estrutura dos 
materiais, especialmente o estudo do modelo do átomo e das ligações dos átomos entre si na 
constituição de um sólido. 
 O campo de estudos da ciência dos materiais tem como núcleo central a física, a química e a 
matemática. A ciência dos materiais se estrutura em torno desse núcleo implicando alguns campos de 
especialização tais como: geociência, biociência, metalurgia, cerâmicas, semicondutores dentre outras. 
Numa circunferência mais ampla, está a aplicação tecnológica que inclui áreas da medicina, farmácia, 
agricultura e as engenharias. Cada modalidade de engenharia, em seu campo específico, aborda alguns 
aspectos desse conhecimento. Cabe ao engenheiro adquirir competências para realizar sua atividade 
em interação com outras áreas, mesmo que ele não tenha conhecimento especializado em 
determinados tipos de conteúdos no campo específico de materiais. Mas é importante que alguns 
fundamentos nessa área sejam conhecidos. 
 Um problema que deve ser cada vez mais levado em conta é a questão ecológica. Uma vez que 
os materiais produzidos pela indústria e, cada vez mais consumidos pela sociedade, são obtidos da 
natureza, constata-se que esta fonte está atingindo o limite de sua capacidade. Além disso e o que é 
mais grave, é o retorno desses produtos para o meio ambiente na forma de lixo. Essa prática precisa 
 
3 
 
ser revista. É urgente que sejam desenvolvidas tecnologias de reaproveitamento e reciclagem desses 
produtos em nível econômico para reutilização desses materiais, nos diversos campos. Essa é uma 
tarefa da engenharia de materiais e que deve atuar em consonância com uma política de Estado nessa 
área. 
 O estudo dos materiais apresentado nesse texto foi organizado para fornecer um conteúdo 
técnico dos materiais usados na área eletroeletrônica com ênfase nos fundamentos da ciência dos 
materiais. Trata-se, de um modo geral, do estudo da física dos materiais, com foco nas aplicações no 
campo da engenharia. Busca-se, dessa forma, destacar as principais aplicações dos materiais na área de 
eletroeletrônica. Deve-se, o quanto antes, destacar que a área de materiais é uma das mais pesquisadas 
na atualidade, o que implica sempre em inovação tecnológica. O texto está estruturado considerando 
os seguintes pontos: fornecer os conceitos básicos da física dos materiais, apresentar e compreender as 
grandezas físicas relacionadas aos materiais e destacar algumas aplicações no campo da engenharia. 
Ao final de cada capítulo algumas questões são colocadas para uma melhor compreensão do estudo e 
solução de problemas. São indicados ainda alguns temas relacionados ao estudo realizado no capítulo 
para que o estudante desenvolva pesquisa em determinados assuntos que possam complementar sua 
formação. 
 O texto que constitui esse material é apresentado em cinco capítulos. No primeiro capítulo 
estuda-se a estrutura dos materiais, com foco inicial no modelo atômico passando para a organização 
estrutural da matéria e destacando-se algumas propriedades dos materiais usados na área 
eletroeletrônica. O entendimento dos conceitos tratados no primeiro capítulo é fundamental para a 
compreensão dos capítulos posteriores. Nos capítulos 2, 3 e 4 o estudo considera o comportamento dos 
materiais sob campo elétrico. Cada um desses capítulos aborda uma categoria específica de matérias: 
condutores, semicondutores e dielétricos. Nesses últimos encontram-se os isolantes. O capítulo cinco 
trata do comportamento dos materiais sob campo magnético. O estudo desse material deve ser 
precedido por uma base matemática inicial própria dos cursos de engenharia, pelo estudo da física em 
especial eletricidade e magnetismo e pelos conceitos da química inorgânica. Na estrutura de um curso 
de engenharia no campo da eletroeletrônica, esse estudo fornece uma base conceitual para os 
conteúdos de eletrotécnica, eletrônica e máquinas elétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
ESTRUTURA DOS MATERIAIS 
 
 Neste capítulo abordamos o estudo da estrutura dos materiais destacando os seguintes pontos: 
modelo atômico, níveis de energia atômico, bandas de energia nos sólidos, ligações atômicas, estrutura 
cristalina e amorfa. Apresentamos dois modelos atômicos – Rutherford e Bohr – desenvolvidos no 
início do século XX e que serviram de base para a evolução dos estudos posteriores no campo da física 
dos materiais e das pesquisas tecnológicas aplicadas. Evidencia-se o contraste entre a física clássica e 
a física quântica enquanto modelos para explicação de fenômenos observados no comportamento dos 
materiais. Ao considerar o modelo de bandas de energia, visamos introduzir a classificação dos 
materiais em condutores, semicondutores e isolantes, que constitui o foco dos capítulos posteriores. O 
estudo das estruturas cristalinas visa conhecer a aplicação de algumas propriedades importantes dos 
materiais usados na engenharia. Para o estudo da física dos materiais é fundamental esta introdução na 
estrutura da matéria e nos modelos apresentados. 
Aspectos teóricos e fundamentosconceituais que deverão ser compreendidos: 
- os modelos atômicos e a transição do modelo clássico para o modelo quântico; 
- bandas de energia e a classificação dos materiais em condutores, semicondutores e isolantes; 
- a estrutura cristalina e amorfa dos materiais e suas propriedades principais. 
 
1 Materiais e a física 
 
 Antes de tratarmos dos tópicos específicos relacionados à estrutura da matéria, alguns dados 
devem ser destacados para início desse estudo, em caráter de revisão de conceitos da física, conforme 
segue. Os átomos são constituídos de nêutrons (no) e prótons (p+) no núcleo central com elétrons (e-) 
girando em órbita. Um átomo com 1 p+ e 1 e- apresenta um raio de 10-10 m, enquanto que o raio do e- 
é da ordem de 10-15 m. O e- gira em torno do núcleo atômico cerca de 10 trilhões de voltas por 
segundo. Quando analisamos a matéria no nível atômico, parece existir um imenso ‘vazio’, uma vez 
que as dimensões das partículas são extremamente pequenas e suas distâncias muito grandes se 
comparadas com essas dimensões. Observe os dados acima. Por outro lado, os valores atribuídos às 
massas das partículas são também intrigantes. A massa do próton (ou do nêutron) é 1,66x10-24 g e 
constitui uma unidade de massa atômica (uma). Se fizermos 1/(1 uma) obtemos o 6,02x1023 que 
representa o número de prótons (ou nêutrons) necessários para obter 1 grama. Esse é o número de 
Avogadro. O número de prótons no núcleo atômico define o número atômico de um elemento que 
obtemos facilmente ao consultarmos uma Tabela Periódica de elementos químicos. Assim, um átomo 
de carbono tem 6 prótons, de silício 14, de ferro 26. A quantidade de nêutrons não afeta a identidade 
química. Estaremos utilizando ainda alguns conceitos físicos durante esse estudo, tais como ‘corrente 
elétrica’ e ‘eletron-volt’(eV). Apenas a título de revisão, uma corrente de 1A equivale a 1C/s ou a 
6,25x1018 elétrons fluindo por segundo. Observe que a carga do elétron é 1,6x10-19C. Um eV 
corresponde à energia adquirida por um elétron em um potencial de 1 volt, ou seja, 1eV = 1,6x10-19J. 
 No estudo que vamos iniciar serão apresentados dois modelos atômicos: Rutherford e Bohr. 
Visamos, além de apresentar a descrição desses modelos, principalmente, descrever a evolução do 
modelo de átomo desenvolvido no paradigma da física clássica para o modelo desenvolvido na física 
quântica. Vale lembrar que a idéia de átomo como partícula elementar da matéria foi proposta na 
Grécia Antiga por Demócrito. Certamente que esse conceito no contexto grego era bastante diferente 
do que foi desenvolvido na modernidade. O átomo teria sido uma proposição de que haveria uma base 
elementar da matéria que era indivisível (a-tomo). Esse conceito permaneceu apenas no nível 
1 
 
5 
 
qualitativo, ao considerar a idéia de existir uma partícula elementar que pudesse ser o fundamento do 
mundo material. No entanto, uma vez aprofundado os estudo da estrutura da matéria, o átomo 
moderno, como sabemos, tornou-se constituído de partículas ainda menores, os elétrons, os prótons e 
os neutrons. Ainda assim os prótons e nêutrons são constituídos por quarks. Enquanto que o elétron é 
considerado uma partícula sem estrutura interna, não se sabe ainda exatamente o que é um quark. 
Novas descobertas no campo da física das partículas podem alterar essas conclusões. Da Grécia 
Antiga até meados do século XIX, pouca coisa foi mudada em termos de modelo para o átomo. Com a 
descoberta do próton e do elétron, o átomo deixou de ser indivisível e passou, até final do século XIX, 
a ser considerado uma estrutura constituída pela junção de prótons e elétrons. Na primeira década do 
século XX o nêutron ainda não havia sido descoberto. Portanto, o modelo do átomo era ainda simples 
em relação ao que hoje é conhecido. O modelo de Rutherford foi o primeiro que considerou o átomo 
com núcleo central. Conforme veremos, o modelo de Bohr evoluiu esse conceito levando em 
consideração as descobertas da física quântica no início do século XX. 
2 O modelo atômico de Rutherford 
 O modelo atômico proposto por Rutherford em 1911, consiste de um núcleo com carga 
positiva em torno do qual circundam os elétrons. Para o átomo de hidrogênio o núcleo é constituído 
pelo próton como carga positiva em torno do qual gira um elétron com carga negativa conforme Fig. 
1. O próton contém praticamente toda a massa do átomo. Quanto ao valor da carga, o elétron e o 
próton apresentam a mesma intensidade, porém sinais opostos. Existe, portanto, uma força de atração 
entre estas duas cargas, dada pela Lei de Coulomb: 
onde: q = valor da carga do elétron ou do próton; 
r = raio do átomo de hidrogênio; 
 εo� = constante de permissividade para o espaço livre. 
 
 órbita do elétron 
 
 raio próton 
 
 Fig. 1 – Modelo átomo de Rutherford 
 Supondo que o elétron desenvolva um movimento circular uniforme, com uma 
velocidade V, o mesmo estará submetido a uma força dada por: 
Igualando as equações: 
mV
q
r
2
0
21
4
=
πε 
2
2
4
1
r
q
F
oπε
=
r
mV
Fc
2
=
 
6 
 
 O termo à direita da equação é a energia potencial do elétron. Esta energia é igual a 
zero quando r tende ao infinito, que corresponde ao maior valor da energia potencial (observe o sinal 
negativo). Assim, a energia potencial é: 
 
 
Para a energia cinética do elétron temos: 
 
E
mV
c =
2
2
 
onde m é a massa do elétron. 
Para um determinado valor de r, e tendo como referência a lei da conservação da energia, podemos 
considerar que a energia total do elétron será: 
 
 
Das equações acima resulta: 
 
 Esta equação nos fornece a energia do elétron em relação à distância deste ao núcleo. À 
medida que o elétron se aproxima do núcleo sua energia diminui. Deve-se destacar, no entanto que, 
apesar de sua formulação ter sido elaborada com base em dados experimentais, esse modelo atômico 
apresentou uma contradição com uma lei clássica do eletromagnetismo. Segundo esta lei: “uma carga 
oscilando a uma freqüência f, irá irradiar energia com essa freqüência.” 
 Deste modo, o elétron deveria emitir uma radiação na mesma freqüência em que gira em torno 
de sua órbita. Deveria haver, portanto, uma radiação emitida pelo átomo, de freqüência igual à 
freqüência de giro do elétron. Se o elétron está irradiando energia, sua energia total deveria diminuir 
de uma quantidade igual à energia emitida. Se a energia total diminui então o raio r diminui, de forma 
que o elétron iria girar em órbitas cada vez menores até atingir o núcleo. Deve-se ainda considerar 
que, como a freqüência depende do tamanho da órbita circular, a energia irradiada deveria ser de 
freqüência gradativamente em mudança. Entretanto esta variação de freqüência, conforme descrito 
acima, não era observada na prática. Observe que, apesar do modelo de Rutherford ter sido 
apresentado a partir de dados experimentais (fica por conta do estudante pesquisar o tipo de 
experimento realizado por Rutherford) e de ter sido estruturado em termos dos conhecimentos e 
formalismos da física de sua época, seu modeloapresentou contradições com alguns conceitos 
existentes na física. Como então explicar este modelo atômico em contraste com as leis clássicas do 
eletromagnetismo? Esta foi uma questão que surgiu na época e buscaremos a analisar as tentativas de 
soluções no item seguinte. 
 
E
q
rp
= −
1
4 0
2
πε
W E Ec p= +
W
mV q
r
= −
2 2
02 4πε
W
q
r
= −
2
08πε
 
7 
3 O modelo atômico de Bohr 
 O modelo atômico alternativo e, de certa forma, complementar ao de Rutherford, foi 
apresentado por Bohr em 1913. Bohr utilizou os dados observados no diagrama de linhas espectrais do 
hidrogênio. Para explicar os fenômenos observados na prática, Bohr propôs três leis fundamentais 
conhecidas como postulados de Bohr que serão citados sucintamente e, na sequência, analisados com 
mais detalhes. 
Primeiro postulado: 
O elétron no átomo ocupa estados discretos de energia, representados por níveis n = 1, 2, 3 ..., e não 
emite radiação nesses estados. 
Segundo postulado: 
A energia de cada estado é um valor discreto dado em função de n, cuja equação em eV é 
En = - 13,6/n
2. 
Terceiro postulado: 
Quando o elétron salta de um nível para outro irá emitir ou absorver energia com freqüência 
proporcional à diferença da energia entre os níveis, i.e. ∆E α f. 
 
 Com esses postulados as questões destacadas em relação ao modelo de Rutherford foram 
praticamente respondidas. Vamos agora analisar com mais detalhes os postulados acima citados. 
 Os estados no átomo são considerados níveis discretos não irradiantes. Para o hidrogênio estes 
níveis são representados na Fig. 2, denominado diagrama de linhas espectrais. Portanto, o elétron não 
cai no núcleo. O elétron pode ocupar os níveis n = 1,2,3,..., até o infinito ( ). Enquanto o elétron 
permanecer nesses níveis não há emissão de radiação. O elétron ainda não pode ocupar estados de 
energia que não sejam esses mencionados, i.e. pode ocupar apenas os estados 1, 2, 3... Dessa forma o 
elétron não ocupará uma posição entre os níveis 1 e 2 ou entre os níveis 2 e 3 e assim por diante. 
 n E (eV) 
 0 
 5 -0,56 
 4 -0,87 
 
 3 -1,53 
 
 2 -3,41 
 
 
 1 -13,60 
 
Fig. 2 - níveis de energia para o hidrogênio 
∞
∞
 
8 
 
Podemos agora avaliar a energia correspondente a cada nível da Fig. 2. Tomando-se como ponto de 
partida a equação de Einstein que apresenta a equivalência entre matéria e energia, temos: 
E = mc2 
onde c = velocidade da luz no espaço livre. 
Outro conceito da física moderna é a hipótese quântica de Planck, que considera que uma radiação de 
freqüência f apresenta energia dada por: 
 E = hf 
onde h = constante de Planck. 
A equação de Planck introduz o conceito de quantum de energia. Temos ainda que a relação entre 
freqüência e comprimento de onda de uma radiação que propaga a uma velocidade v em um meio 
é: 
 � =
�
�
 
Portanto obtemos a equação de E: 
 
 
Usamos v no lugar de c para a equação apresentada. Neste caso trata-se da velocidade do elétron na 
órbita atômica, que não corresponde à velocidade da luz. O elétron gira em torno do núcleo cerca de 
10.000 bilhões de vezes por segundo. Assim, a eq. para o comprimento de onda é: 
 
 
 A equação acima é resultado dos trabalhos de Louis de Broglie, denominada equação de de 
Broglie, que buscou aplicar o conceito da dualidade onda-partícula (antes atribuída apenas à natureza 
da luz) ao elétron na órbita atômica. Esta conclusão considera a natureza ondulatória e corpuscular do 
elétron. Deve-se, portanto, considerar o elétron como uma partícula com movimento ondulatório 
deslocando em torno do núcleo em uma órbita de raio r. Portanto, uma volta completa do elétron 
deverá corresponder a n comprimentos de ondas, de forma a não haver irradiação de energia, onde n 
são números inteiros (ver Fig.3). Podemos então escrever: 
 (onde n = 1,2,3 ...) 
 
Substituindo a equação do comprimento de onda, resulta: 
 
A expressão para v será: 
 
λ
E h
v
=
λ
λ =
h
mv
n Rλ π= 2
nh
mv
R= 2π
v
nh
mR
=
2π
 
9 
 
ou 
 
A equação da velocidade no modelo clássico é: 
 
Igualando as equações de velocidade obtemos a expressão para os raios permitidos para o 
hidrogênio, isto é: 
 
A equação acima nos fornece os raios para os níveis n =1,2,3, ... que o elétron pode ocupar no átomo. 
Substituindo esta equação na equação do modelo de Rutherford obtemos: 
 
onde Wn são valores de energia (em joules) para os níveis n = 1,2,3, ... respectivamente. O estudante 
agora pode fazer uma análise comparativa das equações de Rutherford e de Bohr. 
Sendo joules, assim a equação de energia dos níveis do H pode ser escrita na 
forma: 
 
para En em eV. 
Os valores da energia para (En) para o hidrogênio é indicado na Fig. 2. 
A Fig. 3 indica algumas órbitas possíveis para o H a partir da equação de de Broglie. 
 
 
a-) n = 2, λ π= n b-) n = 3, λ π=
2
3
n c-) n = 4, λ π=
1
2
n 
Fig. 3 - Algumas órbitas possíveis para o átomo H 
v
n h
m R
2
2 2
2 2 24
=
π
v
q
Rm
2
2
04
=
πε
R
n h
q m
=
2 2
0
2
ε
π
W
q m
h n
n = −
4
0
2 2 28
1
ε
1 1 6 10 19eV x= −,
E
n
n = −13 6
1
2
,
 
10 
 
 
Consideremos agora dois estados com energia W1 
 e W2 no átomo de H. Quando o elétron passar de 
um estado para outro, haverá uma irradiação de energia cuja freqüência da onda será diretamente 
proporcional à diferença de energia desses dois estados. Assim temos: 
 W2 – W1 α f
 
A constante de proporcionalidade para este caso é a constante de Planck. A equação resultante é: 
W W2 1− = hf 
Esta equação pode também ser expressa em função do comprimento de onda (λ ) da radiação em 
angstron (A0) e com os valores de energia (E) em eV. Temos 1eV = 1,6 x 10 -19 J. 
Sendo f = c /λ e substituindo h por seu valor (em J.s), obtemos: 
E E2 1
12400
− =
λ
 (unidade em eV) 
Retornando agora à Fig. 2, para que o elétron salte do nível n=1 (menor energia) para o nível n = 2 
(maior energia), haverá absorção de energia. Ao saltar do nível 2 para o nível 1 haverá emissão de 
energia pelo átomo na forma de um fóton. 
4 Excitação e ionização do átomo 
Para o átomo de hidrogênio, Fig. 2, o elétron normalmente ocupa o nível n =1, denominado de 
estado normal, que corresponde ao estado de menor energia do átomo. Para o átomo de H, quando o 
elétron ocupa os níveis n = 2, 3, 4 e 5, o átomo está excitado. Esses são os níveis de excitação do H. À 
medida que o elétron recebe determinadas quantidades de energia poderá mover-se para esses níveis.Se o átomo receber uma quantidade de energia muito grande, suficiente para retirar seu elétron da ação 
do núcleo, dizemos que o elétron atingiu o nível n →∞ ou nível de ionização. Neste momento, o 
átomo fica ionizado, resultado da perda de um elétron e da obtenção de um íon H+. 
 Sabemos agora que, para o elétron mover-se do estado normal n = 1 para o nível de excitação 
n = 2, precisamos fornecer energia ao átomo. Qual a quantidade de energia necessária para que ocorra 
essa translação de níveis? Essa energia será exatamente igual à diferença de energia dos dois níveis n 
= 1 e n = 2, isto é, 10,19 eV. Esta energia incidente no átomo pode ser na forma de uma radiação. 
Podemos, portanto, calcular a freqüência (em Hz) desta radiação. Com este mesmo raciocínio você 
pode calcular a freqüência e o comprimento de onda da radiação absorvido pelo átomo, para que o 
elétrons possa mover de n = 2 para n = 3, de n = 3 para n = 4. Qual seria a energia necessária para 
ionizar o átomo de hidrogênio, ou seja, para mover o elétron do nível n = 1 para o nível infinito? 
 Como vimos acima, o átomo ao absorver uma radiação pode saltar para um nível excitado. 
Porém o elétron não mantém neste estado, i.e., retorna ao estado normal após um intervalo de tempo 
de 10-8s. Nesta etapa de retorno do elétron (por exemplo, de n = 2 para n = 1) o átomo emitirá uma 
radiação cuja energia será igual à diferença de energia dos dois níveis. A energia emitida será, portanto 
igual a W2 - W1 = hf. Esta energia é denominada fóton de energia e é dada pelo produto da constante h 
pela freqüência f da radiação. Esta característica quantizada da onda eletromagnética foi introduzida 
por Planck em 1900. Portanto quando o elétron, no átomo de hidrogênio, salta de n = 2 para n = 1 
haverá emissão de uma radiação de λ = 1216 A0, correspondente ao comprimento de onda do 
 
11 
 
ultravioleta. Para o infravermelho temos λ = 18750 A0, correspondente à transição de n = 4 para n = 3. 
Portanto, a emissão de luz por um átomo ocorre somente durante a transição de um nível para outro de 
menor energia. De n = 3 para n = 2 a radiação emitida correspondente à luz visível. A luz, portanto, 
não é emitida continuamente por um átomo. Não percebemos a radiação descontínua devido a grande 
quantidade de átomos emitindo energia. 
 A esta altura é interessante analisar como se pode provocar a excitação do átomo. Como levar 
o elétron de n = 1 para n = 2, por exemplo, no átomo de H? Suponhamos ainda que a energia fornecida 
ao átomo seja suficiente para o elétron ultrapassar o nível n = 2, mas insuficiente para que o mesmo 
atinja o nível n = 3. Esta energia será absorvida pelo átomo? Como se explica esta questão? Um dos 
métodos de fornecer energia ao átomo é fazer que sofra colisões com um elétron, transferindo-lhe 
energia necessária para levar o átomo ao estado de excitação correspondente. Neste caso, a quantidade 
de energia excedente será mantida como energia cinética pelo elétron após a colisão. As colisões com 
elétrons podem ser elásticas ou inelásticas. Em uma colisão elástica não ocorre alteração de energia 
cinética, i. e., o elétron transmite uma pequena energia cinética ao átomo, devido à pequena massa do 
elétron. Em uma colisão inelástica, há uma alteração interna na energia do átomo, ocorrendo uma 
excitação, conforme descrito acima. 
 Outro método de fornecer energia a um átomo é fazer que sofra colisões com um fóton. Neste 
caso, para que o átomo seja excitado, a energia da radiação eletromagnética incidente deverá ser 
exatamente igual à diferença de energia de dois níveis atômicos. Isto se deve à característica 
quantizada da radiação eletromagnética incidente. Nos processos em que o átomo absorve energia de 
forma a ocorrer uma passagem de seu elétron para um nível mais elevado e, em seguida, seu retorno 
ao nível de origem com a emissão de energia, dizemos que ocorreu uma fotoexcitação. No caso em 
que a radiação que colide com o átomo possua energia no mínimo igual à energia de ionização do 
átomo, o resultado poderá ser um íon e um elétron livre, i. e., o elétron não retornará ao nível de 
origem. Temos, no final deste processo, uma ionização. 
 Como podemos constatar, o modelo de Bohr descreve uma série significativa de fenômenos, 
mas é designada de ‘antiga teoria quântica’. A evolução das pesquisas em relação ao átomo levou a 
outras versões da teoria denominada de ‘nova teoria quântica’. Essa evolução correspondeu ao modelo 
de Erwin Schrodinger, que considerou o conceito de onda associada a cada partícula material. Nessa 
versão o elétron passou a ser percebido não como um ponto material, mas como uma entidade 
matemática denominada ‘função de onda’. Essa função é a solução da equação de Schrodinger e 
assume diferentes valores em diferentes pontos do espaço. Nosso estudo, no entanto, não irá abordar 
esse conceito, que deixamos como um tema que pode ser pesquisado pelo estudante de acordo com 
seus interesses. 
5 Os números quânticos 
O nível de energia em que o elétron se encontra no átomo é denominado de número quântico 
principal e identificado pelo número n = 1, 2, 3... Para representar a quantidade de movimento angular 
do elétron, que refere-se ao subnível, usa-se o número quântico secundário que assume os valores de 
l = 0,1,2, ...,(n-1). O número quântico magnético (m) refere-se ao orbital no qual o elétron se 
encontra e assume valores de m = - l ... -1, 0, +1 ...+ l . O movimento de rotação do elétron em torno 
de seu próprio eixo é denominado de spin que pode ser de ½ ou -½, equivalendo à rotação no sentido 
horário ou anti-horário. Portanto, cada estado atômico é formado por um conjunto de quatro números 
quânticos. Pelo princípio de exclusão de Pauli não mais que dois elétrons de spins opostos podem 
ocupar o mesmo orbital de energia, ou seja, dois elétrons com spins iguais não ocupam o mesmo 
estado quântico. Os elétrons de um átomo que estão em um mesmo nível ou camada apresentam um 
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mesmo valor de n. Temos n = 1,2,3, ... ou representado por K, L, M, ... Esses níveis se dividem em 
subníveis correspondentes aos valores de l ou representados pelas letras s, p, d, f. Portanto para n = 
1, l= 0, m = 0, spin = -½, temos dois estados denominados 1s. Sabemos que o número atômico Z 
indica o número de elétrons em torno do núcleo. Assim, a configuração eletrônica para o sódio (Z = 
11) será 1s2 2s2 2p6 3s1. Temos então indicados os estados específicos de energia nos quais os elétrons 
ocupam neste átomo (Fig. 4). 
 spin m l n 
 ½ 0 0 3 
 
 
 ½ - ½ 1, 0, -1 1 
 2 
 
 ½ - ½ 0 0 
 
 
 ½ - ½ 0 0 1 
 
Fig. 4 – representação dos números quânticos para Z =11 
 
Observa-se que existe uma relação entre os números quânticos dada por: 
n = 1, 2, 3... 
 l = 0, 1, 2, 3... n -1 
 m = - l ... -1, 0, +1, ... , + l 
O spin, indicado por uma seta, tem dois valores + ½ ou – ½. 
Verifica-se que em n = 3, existe um estado semi-cheio, que pode ser preenchido por um elétron com 
spin oposto ao spin existente. 
 
6 Níveis de energia molecular 
 
 Num cristal formado por átomos, os níveis de energia dos elétrons das camadas maisinternas 
de cada átomo não são afetados apreciavelmente pela presença de átomos vizinhos. Entretanto os 
níveis de energia dos elétrons da camada mais externa são preenchidos parcialmente. As condições 
para os níveis de energia de um elétron que se move em um campo de núcleos múltiplos são diferentes 
em relação ao nível de apenas um átomo. Os níveis de energia no cristal são denominados de bandas. 
Um cristal constituído de n átomos terá uma distribuição de elétrons similar aos níveis atômicos, 
porém na forma de bandas. Portanto um subnível s (que contém 2 elétrons) se converte em uma banda 
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com capacidade para 2N elétrons. Um subnível p se converte em uma banda com capacidade para 6n 
elétrons. Na fig. 5 temos os átomos suficientemente afastados nos níveis de energia, que serão os 
mesmos do átomo isolado. Se o espaço interatômico for diminuído, um átomo exercerá uma força 
elétrica sobre os átomos vizinhos, resultando um grande número de níveis de energia discretos, mas 
bastante próximos. São as bandas de energia. As bandas constituem estados de níveis moleculares 
múltiplos correspondendo aos níveis atômicos de iguais energias de cada átomo. 
 Assim se considerarmos os níveis n = 1 e n = 2, poderíamos representar esquematicamente a 
interação entre estes níveis em função da proximidade dos átomos, resultando a formação de bandas 
de energia conforme indica a fig. 5. 
 
2p6 6N elétrons banda de energia 
2s2 2N elétrons banda de energia 
 região entre 2 níveis (sem estados) “gap” ou proibida 
1s2 2N elétrons banda de energia 
 Fig. 5 - Interação entre os átomos resultando na formação de bandas de energia 
A banda de energia proibida representa a não existência de estados que possam ser ‘ocupados’ 
por elétrons. Os elétrons dos estados internos não afetados pela aproximação dos átomos e são 
denominados de elétrons centrais ou níveis internos. Os elétrons dos estados exteriores são 
denominados de elétrons de valência. A energia do estado mais alto ocupado por elétrons (a 0K) 
recebe o nome de Nível de Fermi. Em temperaturas elevadas a energia térmica levará os elétrons 
acima do Nível de Fermi. Portanto um elétron poderá passar acima do Nível de Fermi, apenas se 
receber energia suficiente. 
 Para o alumínio, Z = 13, sua configuração eletrônica é 1s2 2s2 2p6 3s2 3p1. O diagrama de 
banda de energia para o sólido pode ser representado conforme a Fig. 6 para os níveis externos. Uma 
banda pode ter todos os estados preenchidos ou parcialmente preenchidos com elétrons. Uma região 
proibida corresponde a não existência de estados que possam receber elétrons. A banda de maior 
energia (mais alta) está parcialmente cheia e recebe o nome de banda de condução. 
 
 Banda de condução ou de energia livre (e- livres) 
 Banda de valência (e- de ligação) 
 Região proibida 
 Banda cheia 
 Elétrons centrais correspondentes aos níveis internos 
 
Fig. 6 - Modelo de bandas de energia para um cristal 
 
 
 
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7 Modelo de bandas para condutores, semicondutores e isolantes 
 No diagrama de bandas de energia da Fig. 6, correspondente ao alumínio, apenas os elétrons 
acima do Nível de Fermi atingirão a banda de energia livre e consequentemente estarão livres para 
constituir a corrente elétrica. Alguns materiais, entretanto, apresentam uma região proibida entre a 
região de energia livre e região cheia, dificultando a liberação de elétrons livres. Esses diagramas 
levam a uma diferenciação de classes de materiais em função da sua condutividade elétrica. A Fig. 7 
relaciona os diagramas de níveis energia para condutores, semicondutores e isolantes. Nesses diagrmas 
estão representadas apenas as bandas de condução e de valência, pois os níveis internos não exercem 
influência nesse caso, uma vez que estão completamente preenchidos. Esta classificação esta ligada à 
facilidade em se obter o elétron livre. O elétron livre, que conduz a corrente elétrica, fica na banda de 
condução. 
 Condutor Semicondutor Isolante 
 condução condução condução 
 proibida proibida 
 valência valência valência 
 
Fig. 7 - Diagrama de bandas de energia para condutor, semicondutor e isolante 
 Os condutores são materiais nos quais a banda ocupada pelos elétrons de valência está em 
contato com a banda de energia livre e inclusive se sobrepõe a esta. Em conseqüência, os elétrons 
nesta região podem passar para a banda de energia livre com facilidade. Sob ação de um campo 
elétrico esses irão constituir uma corrente elétrica. 
 Os semicondutores são materiais com uma estreita banda proibida, que dificulta a passagem de 
elétrons para a banda de níveis de energia livre. Entretanto os elétrons podem atingir esta região de 
energia livre, se recebere energia externa, tal como calor. 
 Os isolantes são materiais nos quais a banda de energia proibida é muito grande, dificultando a 
passagem de elétrons para o nível de energia livre. Portanto a condutividade é muito pequena nesses 
materiais. 
 Em um semicondutor, um elétron poderá saltar a zona proibida e atingir a região livre, com o 
fornecimento de energia da ordem de 1 eV. A partir daí, este elétron poderá se deslocar sob ação de 
um campo elétrico. Para o isolante esta energia deve ser da ordem de 4,5 a 7 eV. 
 As propriedades elétricas são determinadas pela estrutura da matéria, i.e., do modo como os 
átomos (ou as moléculas) se organizam, não constituindo uma particularidade de um dado átomo. 
Como exemplo, temos o carbono que, na forma de diamante é um isolante elétrico e na forma de 
grafite apresenta condutividade elétrica alta. Portanto, o estudo da estrutura dos materiais deve levar 
em conta, não apenas os diagramas de níveis de energia do átomo e de bandas de energia nos sólidos, 
mas também a forma como os átomos e as moléculas se organizam na constituição do sólido. Este é o 
estudo das estruturas cristalinas e amorfas. 
 
 
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 8 Estruturas cristalinas e amorfas 
 Os sólidos podem ser classificados em dois tipos segundo sua estrutura: amorfos e cristalinos. 
Num sólido de estrutura amorfa os átomos (ou moléculas) não apresentam um ordenamento regular na 
distribuição espacial. Nos sólidos cristalinos observa-se um ordenamento regular dos átomos (ou das 
moléculas) formando um retículo (Fig. 8). De uma forma geral todos os átomos apresentam alguma 
ordem. Mesmo os sólidos amorfos apresentam um determinado ordenamento em torno de cada átomo 
denominado de ordem de curto alcance. Um sólido que não se cristaliza é aquele que suas moléculas 
podem se imobilizarem em uma grande variedade de arranjos. 
 
 Estrutura amorfa 
Estrutura cristalina 
 
Fig. 8 – Estrutura amorfa e estrutura cristalinaNo estado cristalino os átomos mantêm-se unidos por ação de diversas forças que constituem 
as ligações: iônica, covalente, metálica e molecular, conforme Fig.9. Os elétrons de ligação são os 
elementos constitutivos dessas ligações. 
 Na ligação iônica um átomo perde elétron para outro constituindo íons. Esses íons obtêm um 
arranjo regular graças ao equilíbrio entre atração e repulsão das cargas. Exemplo é o NaCl. 
 Na ligação covalente os átomos partilham seus elétrons constituindo o cristal com orientações 
definidas. Como exemplo, temos o diamante, no qual cada átomo de C está ligado a quatro outros 
átomos eqüidistantes resultando numa configuração tetraédrica. 
 Na ligação metálica os átomos compartilham seus elétrons de valência. O resultado é um 
retículo de íons positivos circundados por uma nuvem eletrônica que neutralizam esses íons. Esses 
elétrons podem mover através do retículo resultando em alta refletividade óptica e a condutividade 
elétrica e térmica característica dos metais. 
 Na ligação molecular existe uma fraca atração entre os átomos. Esse tipo de ligação pode 
ocorrer entre líquidos e gases assim como em determinados cristais. Exemplo típico é o grafite no qual 
lâminas de átomos de C, ligados por covalência, são fracamente unidos por forças de Van der Walls, o 
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que possibilita que essas lâminas deslizem umas sobre as outras. Essa característica que faz do grafite 
um material macio quando comparado com um metal, por exemplo. 
 
 Ligação iônica: Na Cl 
 
 Estrutura metálica cúbica 
 
 Esquema da ligação covalente de 2 átomos 
Fig. Fig. 9 – Ligações atômica 
 
O processo de formação dos cristais é denominado cristalização. A cristalização pode ocorrer 
de diversos modos, destacando-se: a partir de uma solução, a partir de uma massa em fusão e a partir 
do vapor. 
 A cristalização a partir de uma solução ocorre, por exemplo, com o NaCl, quando há 
evaporação da água de uma solução, resultando agrupamento dos íons de Na e Cl em uma forma 
definida. 
 A formação de um cristal a partir de uma massa em fusão resulta normalmente da redução da 
temperatura do material fundido com o posicionamento de seus átomos em pontos definidos mediante 
a formação dos centros de nucleação que, posteriormente dá origem à estrutura cristalina. É o caso da 
obtenção de ligas metálicas. 
 A cristalização a partir do vapor ocorre mediante o resfriamento do gás com a conseqüente 
aglutinação de seus átomos que se agrupam obedecendo a uma orientação definida. Esse processo é 
utilizado para obter o crescimento do cristal a partir de uma ‘semente’. Uma ‘semente’ é um cristal 
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com orientação cristalográfica bem definida e que servirá de guia para orientar o crescimento do 
cristal. O crescimento ocorre em um ambiente com temperatura e pressão sob controle de modo a 
produzir a agregação dos átomos na ‘semente’. Um exemplo é o crescimento do cristal de quartzo 
piezoelétrico utilizado nos osciladores eletrônicos. O silício grau eletrônico pode ser também obtido 
mediante esse processo. 
 
9 Retículos cristalinos 
 Podemos caracterizar o cristal como uma estrutura geométrica, denominada rede cristalina, na 
qual cada ponto é associado ao átomo ou conjunto de átomos, denominado de base. No cristal de NaCl 
a base é constituída por átomos diferentes de Na e Cl. O paralelepípedo que gera a rede cristalina é 
denominado célula unitária da rede. Quando temos paralelepípedos de diferentes tamanhos, o menor 
paralelepípedo é denominado célula primitiva da rede. 
 Um retículo cristalino é definido de acordo com as relações entre os lados e os ângulos da 
célula unitária. Esses retículos ou redes cristalinas podem ser divididos em sete sistemas cristalinos. 
Cada um desses sistemas pode apresentar um ou mais tipos de retículos. Esse estudo foi realizado por 
Bravais, em 1848, resultando daí nos 14 retículos espaciais de Bravais. A rede geométrica mais 
simples é a cúbica, que pode apresentar três tipos de retículos: cúbica simples, cúbica de face central 
(Al, Cu, Au) e cúbica de corpo central (Cr, Cs, W) (Fig. 10). 
 
 
 
 
 Fig. 10 – célula unitária cúbica: um átomo em cada vértice. 
10 Direções em um cristal 
 A direção de um cristal é definida por um vetor identificado por 3 números inteiros. Por uma 
questão de simplificação deste estudo vamos considerar apenas o cristal cúbico. Esse cristal apresenta 
3 direções, definidas a partir dos eixos x, y, z denominadas: 
[100] – direção correspondente à aresta do cubo 
[110] – direção correspondente à diagonal da face 
[111] – direção correspondente à diagonal do cubo 
A Fig. 11 apresenta os eixos x, y, z com as direções indicadas por vetores, para o caso específico da 
célula unitária cúbica. 
 [111] 
 
 
 [100] 
 [110] 
Fig. 11 – direções [100], [110], [111] 
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 Em um cristal cúbico define-se um plano cristalográfico como o plano perpendicular ao eixo 
cristalino correspondente. Assim, ao eixo [100] corresponde o plano (100) que é a face do cubo. 
 Diversas propriedades dos cristais são definidas em função do eixo cristalográfico. A 
propriedade que mais nos interessa é a anisotropia cristalina. Anisotropia cristalina caracteriza-se pela 
variação do comportamento do material em função da direção do eixo cristalográfico em que 
determinado parâmetro físico é medido. Esses parâmetros podem ser permeabilidade magnética, 
dureza, condutividade elétrica etc. 
Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de anisotropia cristalina. 
Ex. 1 – Para o cobre a resistência à tração é função da direção cristalográfica conforme apresentado: 
Direção [100] – 14,60 Kgf/mm2 
 [110] – 20,15 Kgf/mm2 
 [111] – 35,00 Kgf/mm2 
 
Ex. 2 – O FeSi GO (grãos orientados) utilizado nos núcleos magnéticos dos transformadores 60Hz, a 
magnetização é maior na direção [100] (Fig. 12). Observe que a melhor magnetização ocorre na 
direção [100]. O tema será retomado no capítulo de materiais magnéticos. 
 M 
 direção [100]: melhor magnetização 
 direção [110] 
 direção [111] 
 H 
 Fig. 12 – Curva M x H para o FeSi GO (linearizada) 
Ex. 3 – Determinados tipos de cristais líquidos apresentam índice de refração da luz variável em 
função da direção cristalográfica em que a luz incide no material. 
Ex. 4 – A cianita é um mineral que forma cristais alongados em lâminas que pode ser facilmente 
riscado na direção paralela ao comprimento do cristal e que apresenta alta dureza na direção 
perpendicular. 
 Os cristais podem ainda ser classificados em monocristalinso e policristalinos. Um 
monocristal apresenta um eixo cristalográfico único. Um policristal é um cristal com diversas 
orientações cristalográficas. Assim, um monocristal pode apresentar propriedade anisotrópica, o que 
pode não ocorrer com um policristal. O silício grau eletrônico usado na indústria eletrônica além de 
apresentar alta pureza precisa ser monocristalino. Essa propriedade garante a fabricação dos 
dispositivos na microeletrônica e na nanoeletrônica. O mesmo ocorrecom o cristal piezoelétrico para 
fabricação de osciladores eletrônicos. A anisotropia não pode ser verificada nos materiais amorfos, em 
função da não existência de eixo cristalográfico único nesses materiais. 
Outras propriedades observadas nos cristais são destacadas a seguir. 
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a – Piezoeletricidade: formação de carga elétrica no cristal em função da aplicação de uma pressão em 
uma determinada direção. O cristal que apresenta esse fenômeno não tem um centro de simetria. 
Exemplo típico é o quartzo piezoelétrico, usado nos osciladores eletrônicos e que é obtido por 
crescimento por vapor. 
b – Pireletricidade: aparecimento de cargas elétricas em um cristal quando a temperatura é variada sob 
determinadas condições. O efeito pirelétrico é devido à expansão térmica desigual no material. É o 
caso da turmalina. 
c – Luminescência: é o fenômeno de emissão de luz por um material que não seja resultado direto da 
incandescência. Os 2 tipos principais são a fluorescência e a fosforescência. Na fluorescência o 
material emite luz quando submetido à radiação ultravioleta, raio x e raios catódicos. Na 
fosforescência o material emite luz sob radiação eletromagnética, porém a emissão perdura após a 
interrupção da radiação excitante. 
 
QUESTÕES 
 
1 - Fazer um estudo comparando os modelos atômicos de Rutherford e de Bohr. Avaliar, nesse 
caso, os conceitos introduzidos pela física quântica no modelo de Bohr. 
2 - Conceituar fotoexcitação de um átomo e citar situações práticas desse efeito. 
3 - Conceituar fotoionização de um átomo e citar situações práticas desse efeito. 
4 – Explicar o que são os números quânticos. 
5 - Explicar o modelo de bandas de energia para condutores, semicondutores e isolantes. 
6 - Definir colisão elástica e inelástica e citar exemplos. 
7 - Considerando o diagrama de linhas espectrais do hidrogênio, calcular a energia nos níveis n = 
1, 2 e 3. 
8 - Calcular o fóton de energia emitido por um átomo de hidrogênio quando o elétron passa de n = 
3 para n = 2. Explicar o que é um fóton. 
9 - O átomo de hidrogênio é excitado de forma que emitirá uma radiação quando o elétron retorna 
de n=2 para o estado normal (nível 1). a) Calcular a freqüência da radiação emitida; b) Calcular o 
comprimento de onda correspondente. 
10 - Calcular o raio da órbita de menor energia do átomo de hidrogênio (raio de Bohr). 
11 - Calcular a energia de ionização do átomo de hidrogênio a partir do estado normal. 
12 - Com o bombardeamento do átomo de hidrogênio observou-se raios fluorescentes de 1216 Ao 
e de 6563 Ao. a) Calcular o comprimento e a freqüência da onda da radiação de bombardeamento; 
b) Quais foram os níveis atingidos, neste átomo, no processo acima citado. 
13 - Um elétron com energia cinética Ec = 11eV colide com o átomo de hidrogênio em seu esta 
normal. Verificar se seria possível a excitação do átomo de hidrogênio com esta colisão. 
14 - Se a colisão (descrita na questão 13) fosse realizada por um fóton de freqüência f = 2,65 x 
1015 Hz, poderia ocorrer excitação no hidrogênio. Explicar. 
 
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15 – Explicar como a luz é produzida em uma lâmpada se descarga em gás. 
16 – Explicar o que é um material: monocristalino, policristalino e amorfo. 
17 – Explicar o que é direção em um cristal e citar as direções preferenciais do cristal cúbico. 
18 – Explicar o que é anisotropia cristalina de um material e citar aplicações na engenharia. 
 
TEMAS PARA PESQUISA 
 
- Raio Laser: princípios físicos e aplicações 
- Lâmpadas de descarga em gás: princípio de funcionamento e tecnologias 
- Fenômenos incandescentes, fosforescentes e fluorescentes e suas aplicações 
- O surgimento da física quântica e suas influências no desenvolvimento da tecnologia moderna 
- Metais amorfos e aplicações em transformadores elétricos 
- Piezoeletricidade e aplicações na engenharia 
- Medições nos cristais utilizando difração de raio X 
- Anisotropia cristalina: princípios e aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONDUTORES 
 
 Neste capítulo apresentamos as características e aplicações dos materiais condutores, iniciando 
com o conceito de condutividade elétrica dos materiais e os fatores que interferem nesse parâmetro 
tais como temperatura e impurezas. Retomando o diagrama de bandas de energia realizamos uma 
análise da estatística de distribuição eletrônica nos metais com ênfase no nível de Fermi e aplicação 
nos efeitos termelétricos. Destacamos diversas aplicações dos condutores metálicos mais usados na 
engenharia, com destaque para o cobre e alumínio e algumas ligas metálicas. Realizamos um estudo 
dos contatos elétricos com destaque para a influência do arco voltaico nos equipamentos. Abordamos, 
com foco no tema de condutores, os seguintes tópicos: efeito corona, efeito pelicular e 
supercondutores. 
Aspectos teóricos e fundamentos conceituais que deverão ser compreendidos: 
- condutividade elétrica nos metais e ligas metálica; 
- a influência da temperatura e impurezas na condutividade elétrica dos metais; 
- nível de Fermi nos metais, estatística de distribuição de elétrons e efeitos termelétricos; 
- metais e ligas e aplicações na engenharia elétrica; 
- efeitos físicos nos condutores elétricos e suas aplicações. 
 
1 Condutores na engenharia elétrica 
 As características que precisam ser consideradas em um condutor, tendo em vista sua 
aplicação na engenharia elétrica, envolvem conceitos de condutividade elétrica, resistividade 
mecânica, resistência à oxidação, comportamento térmico especialmente em temperaturas elevadas, 
tudo isso associado a fatores econômicos. Quanto mais adequadas essas características para uma 
determinada aplicação, mais investimentos em pesquisa e inovação tecnológica são requeridos. No 
caso, por exemplo, do uso de metais como o cobre e o alumínio para fabricação de fios e cabos, a 
condutividade elétrica é um fator fundamental, mas não é o único. Diversos outros fatores devem ser 
avaliados na escolha do material incluindo critérios econômicos, facilidade de manutenção e vida útil 
do sistema. Muitas vezes é mais interessante usar uma liga metálica em determinadas aplicações que 
o metal puro, em função de fatores físicos, químicos e econômicos. O engenheiro tem o papel de 
conhecer e analisar essas questões para tomar decisões adequadas. Para isso é necessário 
conhecimento de conceitos técnicos e científicos, alguns dos quais são estudados nesse texto. 
 Os sólidos condutores mais usados em engenharia elétrica são os metais e de modo particular 
as ligas metálicas, que juntam características importantes acima citadas para aplicações diversas. Uma 
das formas de melhorar as características elétricas do metal é aumentar seu grau de pureza. Este 
tratamento pode ser trabalhoso e muitas vezes a melhoria de uma propriedade pode resultar em 
prejuízo para outras. O cobre encontrado em sua forma natural apresenta-se com uma pureza em torno 
de 2,5%. Às vezes, requer-se deste metal com grau de pureza de até 99,9999% para aplicações 
especiais. O alumínio é outro metal bastante empregado na engenharia elétrica. Encontrado na 
natureza em forma de bauxita (50 % Al203) é abundante no Brasil, o que não ocorre com o cobre. 
Alguns metais tem importância em aplicações específicas, como é o caso do níquel na construção de 
baterias. Constitui fator de desenvolvimento de uma nação saber utilizar os recursos de que dispõe 
2 
 
22 
 
dominando todo o ciclo tecnológico para a fabricação de produtos. O conhecimento dos fundamentos 
da física dessesmateriais fornece ao engenheiro capacidade para tomar decisões quanto à definição de 
projetos de engenharia, ao planejamento de processos de manutenção e à escolha, tanto econômica 
quanto técnica, de suas aplicações tecnológicas. 
 Considerando-se a resistividade elétrica os materiais podem ser classificados em condutores, 
semicondutores e isolantes, de acordo com a tabela abaixo. 
CLASSE DE MATERIAIS ρ (Ωm) TIPODE CONDUÇÃO 
Condutor 10-8 ___ 10-5 por elétrons 
Semicondutor 10-6 ___ 108 por elétrons (n e p) 
Isolante 107___ 1016 por elétrons e íons 
 
A diferença estrutural entre os materiais é uma das principais razões de seu comportamento 
diverso, razão pela qual é necessário estudar a própria estrutura molecular do material e suas 
características de ionização e excitação. A circulação de corrente elétrica é notada em materiais sólidos 
e nos líquidos, e sob condições favoráveis, também nos gasosos. A maior parte dos materiais 
condutores no estado sólido são os metais e ligas. No grupo dos líquidos, temos os eletrólitos, os 
metais em estado de fusão e o mercúrio, único metal que à temperatura ambiente se encontra no estado 
líquido. O mercúrio solidifica-se a –39ºC. Os gasosos tornam-se condutores quando submetidos a 
campos muito intensos, ocorrendo ionização. A corrente elétrica nos gases é um deslocamento de 
cargas (elétrons e íons) que se realiza em virtude da aplicação de energia externa, fazendo com que as 
partículas elementares que compõem o átomo elevem seu nível de energia. Neste capítulo o estudo dos 
condutores elétricos será focalizado especialmente nos sólidos. Iniciamos esse estudo com o conceito 
de condutividade elétrica. 
2 Condutividade elétrica dos metais 
 Os metais e ligas, conforme vimos no capítulo 1, caracterizam-se por apresentar uma estrutura 
cristalina. Não obstante algumas ligas, dependendo de seu processo de produção, podem ter estrutura 
amorfa o que lhes confere o nome de ‘vidros metálicos’. Na formação dos cristais, os átomos 
individuais respeitam entre si determinados afastamentos evitando, assim, que se choquem. A 
representação gráfica para os metais, indicando apenas os núcleos de seus átomos, pode ser uma 
estrutura cristalina tridimensional. Na maior parte dos casos a célula unitária tem o formato de cubo 
havendo casos de disposições hexagonais. O afastamento entre os átomos é da ordem de 10-8 cm. Os 
átomos não permanecem parados, mas apresentam um movimento vibratório. Essa vibração está 
associada a um equilíbrio de forças de atração e repulsão dando origem a uma situação designada 
coesão. Se a temperatura for elevada, a amplitude aumentará até que os átomos rompam seu percurso 
normal de vibração, fazendo com que a energia cinética supere a ação da força de coesão e o metal 
passará para o estado líquido. Por isso, de um modo geral, os metais mais duros e resistentes 
mecanicamente, com elevada coesão entre seus núcleos, são também metais cujo ponto de fusão é 
mais elevado. Nos metais a estrutura cristalina resulta da ligação metálica, na qual os átomos 
compartilham seus elétrons de valência. Na ligação metálica, devido à liberação dos elétrons de 
valência, os átomos da estrutura tornam-se eletropositivos. Resultam nesta ligação, elétrons livres que 
preenchem os espaços entre os átomos formando uma nuvem eletrônica que por sua vez exerce força 
de atração entre os átomos eletropositivos. 
 A condutividade elétrica dos metais é realizada pelos elétrons livres da banda de valência. A 
teoria eletrônica clássica considera o condutor sólido como um sistema formado por uma rede 
 
23 
 
cristalina (núcleo do átomo mais elétrons internos) sendo uma média de 1 a 2 elétrons livres para cada 
átomo do metal. O elétron livre desloca-se nessa estrutura sofrendo colisões, conforme Fig. 1. 
 
 
 _ + 
 
 
Fig. 1 – Deslocamento do elétron livre na rede cristalina metálica indicada pelas setas 
 O movimento destes elétrons chocando-se contra a rede cristalina, sob ação do campo externo, 
resulta em perda de energia de deslocamento e consequentemente no aquecimento do metal. A 
quantidade de energia perdida pela nuvem de elétrons por unidade de tempo (W) é dado por: 
 W = σ E2 
onde: σ é a condutividade elétrica do material, cuja unidade é Simens/m ou 1/ (Ωm) e E é campo 
elétrico aplicado 
 Quando o metal é submetido a um campo elétrico, o movimento dos elétrons livres são 
orientados de forma a constituir uma corrente elétrica. A existência do elétron livre é uma hipótese que 
pode ser verificada por alguns tipos de argumentos, conforme descrito a seguir: 
- se durante um grande período passa uma corrente elétrica de um metal para o outro, não 
observa-e que os átomos de um metal penetram uns nos outros; 
- em altas temperaturas, os elétrons livres aumentam a velocidade e chegam a desprender-se 
do metal, vencendo a força da barreira de potencial superficial; 
- se um condutor move rapidamente e pára instantaneamente, os elétrons livres, devido à 
inércia, tendem a continuar movendo-se; e se colocarmos um instrumento medidor nos 
extremos deste condutor, este indicará uma d.d.p. no instante da parada. 
O campo elétrico E atua sobre o elétron de carga q com uma força F, que tende acelerá-lo: 
F = qE 
Considerando a massa do elétron igual a m, temos: 
F = ma 
Igualando as duas equações acima, resulta: 
 ma = qE 
 
m
qE
a =
 
 
 
24 
 
 O elétron sob ação dessa força não é acelerado indefinidamente, pois irá perder energia devido 
a colisões com impurezas, imperfeições estruturais da rede e fónons (quanta de energia térmica sob 
forma de onda). Essas colisões ocorrem em um tempo de relaxação, indicado pela letra τ. Ver Fig. 2. 
Portanto, sendo a velocidade média do elétron igual a vm, a aceleração pode ser dada por: 
 
 v 
 pontos de colisões do elétron na rede cristalina 
 
 
 
 0 2τ 4τ 
Fig. 2 – Velocidade do elétron no metal (τ: tempo de relaxação) 
 A densidade de corrente J em um material é dada por: 
ou ainda: 
em que n é o número de elétrons livres por unidade de volume. 
 Quando circula corrente em um condutor sólido geralmente a densidade de corrente é 
proporcional ao campo elétrico aplicado, isto é: 
 O fator de proporcionalidade é a condutividade elétrica do material (σ) que refere-
se à facilidade de condução de corrente elétrica de um material. Temos portanto: 
 
 J = σ E 
 
 
Igualando-se as equações de densidade de corrente acima, obtemos: 
 
 nq2τ 
 σ = ------- 
 m 
 
τ
= m
v
a
 m
qE
avm
τ
=τ=
 
m
Enq
J
τ
=
2
mnqvJ =
 
 
EJ α25 
 
Conclui-se, portanto, que a condutividade elétrica é função do número de elétrons livres por 
unidade de volume sendo que este número é maior nos metais e varia de metal para metal. A equação 
demonstra ainda que a condutividade é função do tempo de relaxação que, por sua vez, depende da 
temperatura, das impurezas e imperfeições do metal. 
 
A densidade de corrente em um condutor é: 
A resistência de fio metálico de comprimento L e seção A (unidade em Ω) é: 
 L 
 R = ρ ---- 
 A 
onde ρ = 1 / σ, é a resistividade do material (Ωm). 
Portanto a resistência R de um material é função de sua configuração geométrica (L/A) e depende da 
natureza e condições intermoleculares do material (ρ ). O efeito das impurezas e da temperatura na 
condutividade dos metais é objeto de estudo dos próximos tópicos. 
3 Regra de Matthiessen e equação de Nordhein 
 O estudo da condutividade elétrica dos metais nos permite concluir que a condutividade é 
função do número de elétrons livres e do tempo de relaxação. Esse tempo tem uma relação com o 
número de colisões que o elétron sofre ao deslocar-se na estrutura do material. As colisões, por sua 
vez, ocorrem em função da vibração térmica e dos defeitos estruturais, das impurezas e bolhas no 
material. Assim, a resistividade do metal pode ser expressa em função de dois parâmetros 
denominados resistividade térmica (ρT) e resistividade residual (ρR), resultando na equação de 
Matthiessen: 
 ρ = ρT + ρR 
A ρT é maior quanto mais alta a temperatura do metal. A ρR é devida às impurezas, ranhuras 
internas e outras imperfeições estruturais. Nos materiais, mesmo a 0 K , quando temos ρT = 0, existe a 
parcela ρR. 
Uma forma de determinar a pureza e perfeição de um material condutor é medindo a razão de 
sua resistividade a 25ºC (298K) e à temperatura de 4,2K (temperatura do hélio líquido): 
Considerando ρT ≅ 0 na temperatura de 4,2 K, resulta ρ = ρR . Portanto para esta 
temperatura temos: 
Assim, quanto mais puro o metal, menor o valor de ρR, consequentemente maior o valor de K. 
Para metais puríssimos temos K = 100.000. Para materiais comerciais K pode chegar a 100. 
A
I
J =
 
)K,(/)K(K 24298 ρρ= 
R
K
ρ
ρ
≅
 
 
26 
 
Como vimos, a adição de impurezas aumenta a resistividade residual do material. A 
variação de ρR em função da adição de impurezas, indicado na Fig. 3, é dado por: 
 
Essa expressão é denominada de equação de Nordheim, 
onde: Ax é a constante de Nordheim para um dado metal base com uma impureza específica; 
X é a concentração da impureza no metal base. 
 Para soluções diluídas, x<<1, temos: 
 
 
 ρR A x(1-x) 
 
 
 x 
Fig. 3 – resistividade residual em função da concentração de impurezas 
 
Para valores muito pequenos de x, a relação entre a resistividade residual e a concentração de 
impurezas no metal é uma relação linear. A fig. 4 mostra a variação da resistividade elétrica do cobre a 
20ºC em função da percentagem de impurezas de Fe, Mn e Ag. Como vemos para cada tipo de 
impureza haverá uma declividade característica da curva. A resistividade de 1,7 x 10-8 representa a 
resistividade do cobre puro na temperatura de 293K. 
 
 ρ (x10-8) Ω.m Fe 
 2,5 Mn 
 Ag 
 1,7 
 
 0 0,05 0,10 0,15 0,20 % impureza por massa 
 Fig. 4 – Resistividade do cobre em função da percentagem de impureza (Fe, Mn e Ag 
 
)X(AxR −=ρ 1
 
xR A=ρ
 
27 
 
4 Coeficiente de Temperatura 
Como vimos, a resistividade elétrica de um metal varia com a percentagem e 
com o tipo de impureza existente no mesmo. Outro fator que influencia na variação da 
resistividade elétrica do metal é a temperatura do mesmo. A variação da resistividade 
elétrica do metal em função da temperatura é indicada pela curva da fig. 5. Trata-se de uma reta de 
inclinação ∆T / ∆ρ , cuja expressão matemática é: 
onde ρ é a resistividade elétrica do metal na temperatura T 
 ρ0 é a resistividade a 0º C 
 α0 é um coeficiente relacionado à temperatura de 0º 
 
região de supercondutividade 
 
 ρ 
 
 
 
 -273oC (Zero K) 0 Temperatura 
Fig. 5 – Curva de variação da resistividade elétrica em função da temperatura para metais 
 
A variação da resistividade de um metal (ou liga metálica) com a temperatura, (T – T1) pode ser 
calculada pela equação: 
 
α1 é o coeficiente de temperatura relacionado à temperatura T1 e ρ1 refere-se à 
temperatura T1. 
Normalmente a temperatura T1 é tomada como T1=20ºC. Neste caso α1=α20. 
 A tabela 1 indica os valores característicos de α e ρ para os valores de metais referidos à 
temperatura de 20ºC. A coluna Tf refere-se ao ponto de fusão dos metais sob pressão normal. 
 De uma forma geral os materiais podem apresentar coeficiente positivo de temperatura (CPT 
ou PTC) ou coeficiente negativo de temperatura (CNT ou NTC). PTC constituem o grupo dos 
materiais condutores (metais e ligas) e NTC referem-se aos materiais semicondutores e isolantes. A 
Fig. 6 indica a curva da resistividade com a temperatura para esses grupos. 
 
)T( 00 1 α+ρ=ρ
 
 
 
 
[ ])TT( 111 1 −α+ρ=ρ
 
 
28 
 
 
 ρ NTC ρ PTC 
 
 T T 
Fig. 6 – Variação da resistividade com a temperatura para materiais: NTC e PTC 
 
TABELA 1 – PROPRIEDADE DOS METAIS 
METAL ρ (Ωm) X 108 TF ( ºC ) α X (10-4) (K-1) 
Mercúrio Hg 95.8 -39 9 
Sódio Na 4.6 97.7 50 
Índio In 9.6 156 47 
Estanho Sn 12.0 232 44 
Cádmio Cd 7.6 321 42 
Chumbo Pb 21.0 327 37 
Zinco Zn 5.9 420 40 
Magnésio Mg 4.5 651 42 
Alumínio Al 2.8 657 42 
Prata Ag 1.6 961 40 
Ouro Au 2.4 1063 38 
Cobre Cu 1.7 1083 43 
Berílio Be 4.0 1284 60 
Níquel Ni 7.3 1455 65 
Cobalto Co 6.2 1490 60 
Ferro Fe 9.8 1535 60 
Platina Pt 10.5 1773 39 
Zirconio Zr 41.0 1860 45 
Nióbio Nb 18.0 2415 30 
Tungstênio W 5.5 3380 46 
 
29 
 
 
 Deve-se observar que o valor de αT depende da escolha inicial da temperatura de 
referência. Metais puros possuem uma estrutura cristalina perfeita, o que reduz sua resistividade. As 
impurezas, mesmo em quantidades mínimas, alteram a perfeição da estrutura, 
elevando consequentemente a resistividade do material. Pode-se referir a um material 
indicando sua resistividade em função do padrão internacional.Assim para o cobre duro comercial 97% 0 20ºC sua característica será: 
 
 
 
onde ρ100 é resistividade padrão do cobre a 20ºC. 
O coeficiente de temperatura para o cobre é: 
 
 Α 20/97 = αp . 0,97 
sendo αp o coeficiente de temperatura padrão do cobre a 20ºC. 
5 Nível de Fermi nos metais 
 No capítulo 1 apresentamos o diagrama de bandas de energia nos metais, destacando os níveis 
de maior energia que representam as bandas de valência e de condução. Na banda de condução estão 
os elétrons livres. Pergunta-se agora, que fatores interferem na concentração de elétrons livres 
existentes na banda de condução e como podem ser determinados? A determinação do número de 
elétrons livres consiste em um estudo probabilístico, definido pela função de probabilidade de Fermi-
Dirac e apresenta uma relação de dependência com a temperatura. 
 No prisma da física quântica os elétrons nos materiais são distribuídos em níveis crescentes de 
energia e atendem ao princípio da exclusão de Pauli segundo o qual “não mais que dois elétrons de 
spins opostos podem ocupar o mesmo orbital energético”. Os elétrons de maior energia são os elétrons 
que estão na banda de valência. Partindo, portanto, do diagrama de bandas de energia para os metais, 
podemos considerar que: 
- a zero K, a energia máxima que os elétrons podem apresentar corresponde ao Nível de Fermi (NF); 
portanto, a zero K todos os elétrons estão abaixo do NF; 
- os elétrons livres em um metal não estão sujeitos a quaisquer forças desde que não haja nenhum 
campo no metal; 
- para temperatura acima de zero K, alguns elétrons passam acima do NF; 
- para que um elétron salte para fora da superfície do metal deverá adquirir uma energia mínima acima 
da energia de Fermi, indicada por EW. 
Os postulados acima podem ser representados na Fig. 7. 
970
100
97 .
ρ
=ρ
 
 
30 
 
(a) (b) (c) 
Figura 7a – indica que à medida que distanciamos do núcleo aumentam o número de elétrons livres 
com energia próximo de EB. 
Figura 7b - indica a densidade de elétrons com energia acima de EF para temperatura de 2500
oK e 
inclusive a densidade de elétrons que podem escapar para T > 2500oK. 
Figura 7c – diagrama indicando o N.F. e a distribuição de energia a 2500oK. 
A densidade de elétrons livres com energia E num metal é: 
onde dnE = número de elétrons livres/m
3 
 dE = intervalo de energia ∆E que estes elétrons livres possuem. 
Podemos ainda expressar ρE por : 
 
ρ(E) = f(E) N(E) 
onde f(E) = probabilidade de ter um estado quântico com energia E, ocupado por 1 elétron. 
 N(E) = número de estados / eV . m3. 
A 0 K temos: 
- a probabilidade de encontrar elétrons com energia En < EF é f(E) = 1, ou seja, a 0K todos os elétrons 
estão abaixo no NF. 
- a probabilidade de encontrar elétrons com energia En > EF é f(E) = 0, ou seja, a 0K nenhum elétron 
está acima do NF 
A expressão para f(E) é a função probabilidade de Fermi-Dirac. 
 
onde KT = energia térmica do elétron. 
dE
d
 nEE =ρ
1e
1
 )(
 KT / )E - (E F +
=Ef
 
31 
Para E = EF, i.e., se quisermos saber a probabilidade de encontrar elétrons com energia E=EF (qualquer 
que seja T) temos: 
 
Assim, analisando a expressão de f(E), temos: 
Para T = 0K e E < EF [∆E negativo] 
Para T = 0K e E > EF [∆E positivo] 
A Fig. 8 indica o gráfico de E em função de f(E) nas temperaturas 0K e 2500K. 
Fig. 8 – Nível de Fermi nos metais a 0oK e a 2500oK. 
A 2500K a probabilidade de encontrar elétrons com energia E = E1 (com < EF) é 0,75; 
para E = E2 (com > EF) a probabilidade é 0,25. 
A probabilidade de encontrar elétrons com energia E = EF é 0,5 para qualquer T. 
 A 0K é impossível para um elétron escapar da superfície do metal, pois precisaríamos de no 
mínimo Energia = EB. O máximo de energia que temos a 0K é EF. A quantidade de energia acima de 
EF que devemos fornecer ao elétron para que ele escape da superfície do metal é: 
Ew = EB - EF 
Ew é denominada função trabalho do metal 
2
1
1 e
1
 )(
0
=
+
=Ef
1
1 e
1
 )(
E/0
=
+
=
∆
Ef
0 
1 e
1
 )(
E/0
=
+
=
∆
Ef
 
32 
 
A corrente termoiônica resultante dos elétrons que podem ultrapassar a superfície do metal (com 
E>EB) é dada por: 
I TERMOIÔNICA = SAT
2 e-Ew /KT) 
onde S = área do metal e A = constante (A/m2 . K2) 
A corrente termoiônica ocorre sempre que uma superfície metálica sob campo elétrico intenso é 
aquecida. Esse tema pode ser importante no efeito do arco voltaico que ocorre na abertura e 
fechamento dos contatos a vácuo como é o caso dos disjutores e contatores a vácuo. 
6 Efeito termelétrico nos metais 
 O efeito termelétrico que trataremos nesse tópico é denominado Efeito Seebeck. Considere a 
Fig.8 em que uma barra metálica apresenta uma extremidade quente e a outra extremidade fria. Os 
elétrons na extremidade quente ganham energia passando acima do Nível de Fermi e, como 
conseqüência, difundem-se para a extremidade fria. Dessa forma, o lado quente fica positivo em 
relação ao lado frio. É possível medir uma ddp ao longo da barra, desde que sejam usados materiais 
diferentes entre a barra e o medidor. A ddp é função da diferença de temperatura entre as extremidades 
da barra, não importando como esta se distribui ao longo da barra. 
 QUENTE FRIA 
 + - V1 
 
 E 
 
 V2 
 
Fig.8 Efeito Seebeck e o circuito equivalente 
 A tensão induzida pode ser medida por um voltímetro conectado nas extremidades quente/fria 
da barra. Os condutores que fazem a ligação da barra ao voltímetro também estão sujeitos à 
temperatura quente e fria. Dessa forma, surgem também nesses condutores a ddp com polaridades 
positiva (no lado quente) e negativa (no lado frio). O modelo equivalente do efeito pode ser indicado 
por duas fontes cc, com valores V1 e V2. Observe que, se o material do fio de conexão for o mesmo 
da barra, teremos V1 = V2. Neste caso a leitura no voltímetro será zero e o efeito não será medido. 
Para que o efeito possa ser medido no voltímetro, o material do fio de conexão deve ser diferente do 
material da barra. Assim, V1 será diferente de V2 e o voltímetro indicará a diferença dessa leitura. 
Essa variação da tensão com a diferença de temperatura define a potência termelétrica da junção: 
 ST = dV / dT 
A tensão induzida termicamente é denominada de Potencial de Seebeck. 
O Efeito Seebeck pode ser aplicado na medição de temperatura utilizando-se o par termelétrico. O par 
termelétrico consiste de uma junção de dois metais diferentes em que uma extremidade é mantida 
numa temperatura a ser medida (geralmente a junção quente) e a outra em outra temperatura (que pode 
V 
V 
 
33 
 
ser a temperatura ambiente). Nessa região utiliza-se um voltímetro para indicar a tensão induzida. 
Mediante o potencial de Seebeck pode-se obter a temperatura no ponto de medição. Um dos pares 
termelétricos mais usados é o ferro-constantan. A Fig 9 apresenta a força eletromotriz (fem) térmica 
do par ferro-constantan. É fácil obter informações sobre outros pares comercialmente usados. 
 V

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