Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Disciplina: Cálculo I Química - Bacharelado Prof. Guilherme Gomes – guilherme.silva@unifal-mg.edu.br Limites e Continuidade O que é Cálculo? O cálculo é usualmente dividido em duas partes principais: o cálculo diferencial e o cálculo integral. Cada um deles tem sua própria terminologia não-familiar, notação enigmática e métodos especializados. Acostumar-se a isso exige tempo e prática, caso semelhante ao aprender um novo idioma. Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos que são muitos fáceis de ser entendidos. Ambos se referem ao gráfico de uma função y = f(x). (gráfico – lousa) Problema 1: Problema das tangentes: calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em um ponto dado. Problema 2: Problema das áreas: Calcular a área abaixo da curva de uma função, entre os pontos x = a e x = b. Problema 1: (Ideia) – considere uma curva y = f(x) e um ponto P qualquer fixo sobre essa curva. Considere Q um segundo ponto próximo a P sobre a curva e desenhe a reta secante PQ. A reta tangente em P pode agora ser encarada como a POSIÇÃO-LIMITE da secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. (gráfico - lousa) Exemplo: Seja � = (��, ��) um ponto arbitrário sobre a parábola y = x2. Escolhemos um ponto próximo = (� , � ) sobre a curva. (desenho – lousa) O coeficiente angular da reta secante PQ determinada por esses dois pontos é dado por �� � = ����������� ������� �� � = � − ��� − �� Façamos � se aproximar de ��, de modo que o ponto variável Q se aproxime do ponto fixado P, deslizando ao longo da curva. Quando acontece isto, a secante muda de MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 direção e se aproxima visivelmente da tangente em P como sua posição limite. O coeficiente angular m da tangente é o valor-limite aproximado pelo coeficiente angular �� � da secante. Usando o símbolo → para significar “se aproxima” ou “tende”, então a última frase poderia ser expressa de forma mais concisa e adequada: � = lim"→#�� � = lim$%→$& � − �� � − �� Lê-se: “limite, quando � tende a ��, de ...” Não podemos calcular o valor limite m na expressão anterior simplesmente tomando � = �� porque isto daria um resultado sem significado: � − �� � − �� = 0 0 Devemos pensar que � chega muito perto de ��, mas permanece distinto dele. No entanto quando isto acontece ambos � − �� e � − �� tornam-se arbitrariamente pequenos é não é de todo claro de que valor-limite esse quociente se aproxima. Como sair dessa dificuldade? Lembre-se que a função no caso é y = x2. Como P e Q estão sobre a curva, temos que �� = ��( e � = � (. Assim temos que �� � = ����������� ������� �� � = � − ��� − �� = � ( − ��( � − �� A expressão $% *+$&* $%+$& pode ser escrita da seguinte forma: � ( − ��( � − �� = (� − ��)(� + ��) � − �� = � + �� Assim �� � = � + �� e como � = lim"→#�� � = lim$%→$& � − �� � − �� Temos que � = lim$%→$& � − �� � − �� = lim$%→$& � + �� Agora é fácil ver o que está acontecendo. Quando � fica cada vez mais próximo de �� temos que � + �� fica cada vez mais próximo de �� + �� = 2��. Assim � = 2�� é o coeficiente angular da tangente à curva y = x2 no ponto � = (��, ��). MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Por exemplo, o coeficiente angular da reta tangente ao ponto (3,9) sobre a curva y = x2 é agora facilmente encontrado: Como � = 2�� e, nesse caso, �� = 3, temos que m = 2.3 m= 6. Melhorando a notação (lousa) O limite de uma função Exemplo: Estime o valor abaixo preenchendo a tabela a seguir lim$→ � − 1 �( − 1 Pela esquerda de 1 x -2 -1 0 0.5 0.99 0.99 0.999 0.9999 f(x) Pela Direita de 1 x 3 2 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 f(x) É possível substituir direto tomar x =1? Por quê? Como encontrar esse limite sem utilizar aproximações? Exemplo: Estime o valor abaixo preenchendo a tabela a seguir lim$→(�( − � + 2 Pela esquerda de 2 x -1 0 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 f(x) Pela Direita de 2 x 4 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 f(x) É possível substituir direto tomar x =2? Por quê? MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exemplo: Faça uma estimativa do lim$→� 012$$ . Cálculos usando propriedades dos limites Seja c uma constante e suponha que existam os limites Então: Alguns limites especiais: (lousa) Exemplos (lousa) Propriedade da soma direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f então lim$→3 �(�) = �(�) Atenção: Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta. lim ( ) x a f x → lim ( ) x a g x → [ ]4.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x → → → = ⋅ [ ]1.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x → → → + = + [ ]2.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x → → → − = − [ ]3.lim ( ) lim ( ) x a x a cf x c f x → → = lim ( )( )5.lim lim ( ) 0( ) lim ( ) x a x a x a x a f xf x if g x g x g x → → → → = ≠ MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exemplos (lousa) Limites Laterais Escrevemos ���$→34 �(�) = 5 e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. Analogamente lim $→36 �(�) = 5 e dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x maior que a. (Gráfico - lousa) Importante: lim $→3 �(�) = 5 7� � 7������ 7� lim$→34 �(�) = 5 � lim $→36 �(�) = 5 Exemplo: Prove que o limite abaixo não existe: 0 lim x x x→ MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exemplo: Dada a função abaixo, verifique se existe o lim$→8 �(�) Limites infinitos Exemplo: Encontre, se existir, lim$→� $* e lim$→� 9− $*: (lousa) (Gráficos lousa) Reta assíntota: A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita; lim$→3 �(�) = ∞ lim$→34 �(�) = ∞ lim$→36 �(�) = ∞ lim$→3 �(�) = −∞ lim$→34 �(�) = −∞ lim$→36 �(�)= −∞ (Gráficos – lousa) Exemplo: �(�) = ($$+< (Geogebra) Teorema: Se �(�) ≤ �(�) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a, então lim$→3 �(�) ≤ lim$→3�(�) Teorema do confronto (Ou teorema do sanduíche) Se �(�) ≤ �(�) ≤ ℎ(�) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e lim$→3 �(�) = lim$→3 ℎ(�) = 5 Então lim$→3 �(�) = 5 4 4( ) 8 2 4 x if xf x x if x − > = − < MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exemplo: Mostre que lim$→��(. 7�� ? 1 �@ = 0 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exercícios (1) Encontre os seguintes limites: (a) ( )379lim 2 5 ++ → xx x (b) ( )5 1lim 20 + − → xx x x (d) 2 2lim | 2 |x x x→ − − (2) Se ,22)(1 2 ++≤≤ xxxf para todo x, encontre o limite )(lim 1 xf x −→ (3) Seja ( )2 0 ( ) 3 0 3 3 3 x if x f x x if x x if x − < = − ≤ < − > . Calcule, caso exista, 0 lim ( ) x f x +→ e 0 lim ( ) x f x −→ . (4) Calcule: (a) lim$→ 9 A<$ A8$*A<$B: < (b) lim$→( 9$ *A$+C $+( : (c) lim$→8 9 $*AD$A8 $*A<$+8: (d) lim$→� (8A$) *+ C $ (d) lim$→ $E+ $*+ (e) limF→G G+F <+√F (e) lim$→I √$A( + <$+I
Compartilhar