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Autovalores e Autovetores Milene Pimenta Autovalores e autovetores: Introdução Polinômio característico Métodos iterativos para cálculo de autovalores Uma aplicação de autovalores Introdução • Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem -se uma equação do tipo: onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e um n • Exemplo: 1) 2) Vamos investigar este fenômeno de forma mais geral. xAx 6,0 4,0 6,0 4,0 8,03,0 2,07,0 1 6 18 5,1 1 6 18 025,00 005,0 340 Definiç 1. Considere A uma matriz nxn. Um escalar é chamado de autovalor de A, se existe um vetor não nulo tal que A = . Tal vetor é chamado de autovetor de A. 2. Dados uma matriz A de ordem n e um autovalor de A, chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores correspondentes a cada acrescida do vetor nulo. Exemplos: 1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde e obtenha o autovalor correspondente. 2) Mostre que 5 é autovalor de 3) Encontre, geometricamente, os autovetores de 31 13 A 34 21 10 01 Polin Agora que já vimos algumas aplicações dos determinantes, vamos utilizá -lo para mais uma aplicação. Definições: 1. Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polin de A, o polinômio P( ) obtido pelo cálculo de: P() = det(A- I). 2. A equação P( ) = 0 é denominada equa caracter de A. 3. Os autovalores de uma matriz A são precisamente as soluções da equação característica. Polin Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo: 1) Encontrar o polinômio característico de A; 2) encontrar os autovalores de A através de sua equação característica; 3) para cada autovalor encontrar o subespaço anulado por A - I, esse é o auto -subespaço associado ao autovalor i , denominado E, formado pelos autovetores de A; 4) Encontre uma base para cada auto- subespaço. Multiplicidade do autovalor: Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor: 1. A mul tiplicidade alg é dada pela sua multiplicidade como raiz da equação característica. 2. A mul tiplicidade geom é dada pela dimensão de seu auto-subespaço. Exemplo: Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz A, dada por: 452 100 010 A Propriedades Se v é autovetor associado ao autovalor de um operador linear T, o vetor , para qualquer 0 é também autovetor de T associado ao mesmo . Se é um autovalor de um operador linear T:V V, o conjunto S de todos os vetores v, inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor , é subespaço vetorial de V. Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos autovalores. Semelhança e Diagonalização : Introdução Definições e teoremas Base de autovetores Polinômio minimal Exemplos e exercícios Introdução • Muitos problemas que envolvem o cálculo de autovalores, se tornam bem simples quando temos matrizes triangulares ou diagonais. • Nesses casos os autovalores aparecem de forma evidente. • Seria interessante, portanto, obter uma transformação para uma matriz qualquer, de forma a obter outra que seja diagonal e que preserve os autovalores. • Exemplos: 1) 2) Vamos investigar este fenômeno de forma mais criteriosa. 5,00 00,1 8,03,0 2,07,0 4 53 00 0 4 53 0 00 2 3 025,00 005,0 340 Definição: 1. Sejam A e B matrizes nxn. Dizemos que A semelhante a B se existir uma matriz nxn inversível P tal que P-1AP = B. Se A é semelhante a B, escrevemos A ~ B. Observaç i. Se A ~ B, podemos escrever também A = PBP-1 ou AP = PB. ii. Semelhança é uma relação entre matrizes quadradas, que implica um sentido. Assim como a ≤ b não implica necessariamente que b ≤ a, não devemos assumir que A ~ B implique B ~ A. iii. A matriz P depende de A e de B. Ela não é para um par de matrizes semelhantes A e B. Para comprovar isto basta tomar A=B=I, caso em que I ~ I, já que P-1I P = I, para qualquer matriz inversível P. Exemplo 12 01 11 11 11 13 11 11 10 21 12 01 ; 10 21 BA Exemplo: Dadas A e B, abaixo. A ~ B, pois: Teorema 1. Sejam A, B e C matrizes nxn. a) A ~ A. b) Se A ~ B, então B ~ A. c) Se A ~ B e B ~ C, então A ~ C. Observação: Toda relação que satisfaz as três propriedades acima é dita relação de equivalência Teorema 2. Sejam A e B matrizes nxn com A ~B. Então: a) det A = det B; b) A é inversível B for inversível; c) A e B têm o mesmo posto; d) A e B têm o mesmo polinômio característico; e) A e B têm os mesmos autovalores. Exemplo 1 2 1 0 e não são semelhantes, já que det( ) -3 mas det( ) -1 2 1 2 1 A B A B Definição: 2. Uma matriz A nxn é diagonaliz se existe uma matriz diagonal D, tal que A é semelhante a D, ou seja, se existe uma matriz P nxn inversível tal que P-1AP = D. Exemplo: Considere a matriz A, a seguir. Esta matriz é diagonalizável, pois: 10 04 21 31 22 31 5 1 5 1 5 3 5 2 21 31 ; 22 31 PA Teorema: 3. Seja A uma matriz nxn. Então A é diagonalizável se, e somente se, tiver n autovetores linearmente independentes. Mais precisamente, existem uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D de maneira que P-1AP = D se, e somente se, as colunas de P forem n autovetores de A, linearmente independentes, e os elementos da diagonal de D forem os autovalores correspondentes àqueles, colocados na mesma ordem. Exemplo: Se possível, determine a matriz P que diagonaliza A, a seguir. A tem os seguintes autovalores 1 = 2 = 1 e 3 = 2; cujas bases E1= {(x,x,x), x ℝ } e E2 = {(x,0,0), xℝ}. Como não existem três vetores LI, A não é disagonalizável. ; 452 100 010 A Teoremas: 4. Seja A uma matriz nxn e sejam 1 2 , ... , k autovalores distintos de A. Se Bi é uma base do auto -espaço Ei, então B = B1 B2 ... Bk, (isto é, a coleção completa dos vetores das bases de todos os auto-espaços) é linearmente independente. 5. Se A é uma matriz nxn com n autovalores distintos entre si, então A é diagonalizável. Exemplo: tem autovalores: 1 = 5, 2 = 2 e 3 = -1. Como esses são 3 autovalores distintos de uma matriz 3x3, A é diagonalizável pelo teorema 5. 100 150 732 A Teorema da diagonalização: Lema: Seja A uma matriz nxn, então a multiplicidade geométrica de cada autovaloré menor ou igual à sua multiplicidade algébrica. 6. Seja A uma matriz nxn com autovalores distintos 1 2 , ... , k. Os seguintes enunciados são equivalentes: a) A é diagonalizável; b) A união B das bases dos auto-espaços de A contém n vetores; c) A multiplicidade algébrica de cada autovetor é igual a sua multiplicidade geométrica. Exemplos: tem autovalores 1 = 2 = 1 e 3 = 2. Como o autovalor 1 = 1 tem multiplicidade algébrica 2 e sua multiplicidade geométrica é igual a 1, A não é diagonalizável pelo teorema 6. 452 100 010 A Propriedades Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T:VV são linearmente independentes. A matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P -1AP seja diagonal. Neste caso, P é denominada de matriz diagonalizadora. Observação Um operador linear T:V V é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T. Diagonalização de Matrizes Semelhantes A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais. Se T:V V é um operador linear simétrico com autovalores distintos, então os autovetores são ortogonais. Os autovetores ortonormais de P formam uma matriz ortogonal e D = PtTP e diz-se que P diagonaliza T ortogonalmente. Exerc 1. Calcule A10, onde . Solução: Essa matriz tem autovalores 1 = -1 e 2 = 2, com autovetores correspondentes a v1 = [1 -1] T e v2 = [1 2] T. Daí, segue pelo teorema 6, que A é diagonalizável e P-1AP = D, onde e Assim, isolando A, temos A = PDP-1, o que torna mais fácil obter a potência desejada de A, pois A2 = (PDP-1)(PDP-1) = PD(P-1P)DP-1 = PDIDP-1 = PD2P-1 e, em geral, An = PDnP-1 para todo n 1. Daí, A10 = PD10P-1 = 12 10 A 21 11 21 vvP 20 01 D 10 2 1 1 1 1 0 342 3413 3 1 2 0 2 1 1 682 683 3 3 Lista de exerc 1. Mostre que as matrizes a seguir não são semelhantes. a) b) c) 2. Dada a diagonalização da matriz A na forma P-1AP = D. Explicite os autovalores de A e bases para os correspondentes auto- subespaços. a) b) 3. Determine se A é diagonalizável e, quando for, encontre uma matriz P tal que P-1AP = D. a) b) c) d) 4. Calcule a potência da matriz indicada a seguir, usando o processo de diagonalização. 10 01 e 13 14 BA 64 12 e 75 13 BA 432 041 001 e 400 320 412 BA 30 04 21 11 22 15 11 12 200 020 006 113 012 103 133 202 331 8 3 8 3 8 5 4 1 4 3 4 1 8 1 8 1 8 1 11 43 A 011 110 101 A 011 101 121 A 2000 0200 0020 4002 A 8 21 30 A
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