Lista 1 Funções Prof Dino

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FEG-UNESP - 2016 Lista 1 - Func¸o˜es Reais Prof. MSc. Dino Beghetto
Func¸o˜es de uma varia´vel real
Exerc´ıcio 1:
a) O que e´ uma func¸a˜o?
b) O que e´ um func¸a˜o injetora, sobrejetora e bijetora?
c) Qual a condic¸a˜o necessa´ria para que a func¸a˜o com-
posta f(g(x)) exista, sendo f(x) e g(x) func¸o˜es
reais?
d) Demonstrar a desigualdade triangular |a + b| 6
|a|+ |b|.
e) Demonstre que senx e´ uma func¸a˜o impar e cosx e´
uma func¸a˜o par. (E´ importante que voceˆ compre-
enda o porqueˆ essas func¸o˜es sa˜o pares e ı´mpares.)
f) Seja f(x) = 2x4 − 3x3 − 5x2 + 6x− 10. Encontrar
φ(x) = 12 (f(x) + f(−x)) e ψ(x) = 12 (f(x)− f(x)).
g) Seja f(x) = ln
(
1+x
1−x
)
. Demonstrar que f(x) +
f(y) = f
(
x+y
1+xy
)
h) Seja φ(x) = 12 (a
x + a−x) e ψ(x) = 12 (a
x − a−x).
Demonstrar que
φ(x+ y) = φ(x)φ(y) + ψ(x)ψ(y)
e
ψ(x+ y) = φ(x)ψ(y) + ψ(x)φ(y).
Exerc´ıcio 2: Encontre o domı´nio das func¸o˜es,
suas imagens e desenhe seus gra´ficos:
a) f(x) = 4−x
2
2−x ;
b) g(x) =
√
x− 5;
c) h(x) = |2x+ 1|;
d) I(x) = |x|x2 ;
e) j(x) = ln(2 + x);
f) k(x) = e2x;
g) l(x) = tg(x);
h)
f(x) =
 x se x 6 0,x+ 1 se x > 0;
i)
f(x) =

−1 se x 6 −1,
3x+ 2 se |x| < 1,
7− 2x se x > 1.
Exerc´ıcio 3: Para as func¸o˜es
f(x) = 3x2 − x+ 2 e f(x) = 1x2+1 ,
encontre:
a) f(a); g) 1/f(a);
b) f(−a); h) [f(a)]2;
c) f(1/a); i)
√
f(a);
d) f(a2); j) f(a+ h);
e) f(
√
a); k) f(a) + f(h);
f) −f(a); l) f(a+h)−f(a)h , com h 6= 0.
Exerc´ıcio 4: Classifique as func¸o˜es como par,
ı´mpar ou nenhum dos dois.
a) f(x) = lnx; g) f(x) = e
2x+e−2x
4 ;
b) f(x) = ex; h) f(x) = 9− 5x2;
c) f(x) = xx; i) f(x) = 3
√
x3 − 4;
d) f(x) = cosx; j) f(x) =
√
x2 + 1;
e) f(x) = senx; k) f(x) =
√
senx
x3 ;
f) f(x) = sec2 3x; l) f(x) = tg x.
Exerc´ıcio 5: Encontre as func¸o˜es compostas
f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) e g(g(x)) e seus domı´nios,
para as func¸o˜es1:
a) f(x) = lnx e g(x) = ex;
b) f(x) = cosx e g(x) = secx;
c) f(x) = e
ix−e−ix
2i e g(x) = 1/x;
d) f(x) =
√
xx e g(x) = senx;
e) f(x) = xln x e g(x) = tg x;
1Note que aqui estamos trabalhando com func¸o˜es compos-
tas de apenas f(x) e g(x), mas podemos fazer composic¸o˜es de
func¸o˜es com quantas quisermos, como f(g(h(j(x)))), por exem-
plo, desde que satisfac¸am a condic¸a˜o de existeˆncia para func¸o˜es
compostas.
FEG-UNESP - 2016 Lista 1 - Func¸o˜es Reais Prof. MSc. Dino Beghetto
f) f(x) =
√
1− x e g(x) = 2(1 + ex);
g) f(x) = senx e g(x) = arcsenx
Exerc´ıcio 6: Encontre a func¸a˜o inversa caso ela
exista.
a) f(x) = x2; f) f(x) = ex;
b) f(x) = x3 + 5; g) f(x) = ln x2 ;
c) f(x) = xx; h) f(x) = 3
√
x3 − 4;
d) f(x) = cosx; i) f(x) =
√
x2 + 1;
e) f(x) = senx; j) f(x) = x4 + x+ 2
Refereˆncias
Os exerc´ıcios foram obtidos dos livros2:
1) B. Demidovich, G. Baranenkov - Problemas e
exerc´ıcios de ana´lise matema´tica;
2) T. Apostol - Ca´lculo com func¸o˜es de va´rias
varia´veis e a´lgebra linear;
3) N. Piskunov - Ca´lculo diferencial e integral I;
4) R. Courant - Ca´lculo diferencial e integral, vol. I;
5) J. Stewart - Ca´lculo, vol. I;
6) G. Thomas - Ca´lculo, vol. I.
Respostas
Os exerc´ıcios relacionados a func¸o˜es podem ser
verificados no Wolfram.
2Nem todos os exerc´ıcios foram obtidos de livros, parte consi-
dera´vel foi desenvolvida por mim e pelo Prof. Msc. Thiago Gui-
mara˜es