3 - Movimento em 2D e 3D

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Movimento em 2D e 3D
- Conteúdo:
- Álgebra vetorial
- Vetor Posição e Vetor Deslocamento
- Vetor Velocidade Média e Vetor Velocidade Instantânea 
- Vetor Aceleração Média e Vetor Aceleração Instantânea 
- O Problema Inverso
- Corpo em Queda Livre
- Movimento de um projétil
- Movimento Circular Uniforme
-Referências:
-Young & Freedman. Física. Vol. 1. 12a Edição. Pearson (2008).
- Serway e Jewett. Princípios de Física. Vol. 1. 3a Edição. CENGAGE (2004).
- Resnick R. e D. Halliday. Física. Vol. 1. 4a Edição. Livros Técnicos e Científicos S.A. (1997).
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2006. (v.1)
Tipler, Paul. Física. Vol. 1. Livros Técnicos e Científicos S. A. (LTC), (2000).
- Movimento Circular Uniforme
- Período
- Aceleração Tangencial e Radial
- Movimento Relativo
01
aˆque tem um módulo (ou intensidade) e orientação especificado por , onde
1. Álgebra Vetorial
Seja um vetor A
r
| |aA=A ˆrr
1=a)
1.1 – Leis básicas da álgebra vetorial
| |A=A r
| |A=a r
r
ˆ 1=a)
aˆ aAA ˆ = 
r
A
---1--- 
| |AA=a rˆ e
02
BA
rr
= ⇔ BA = ba ˆˆ =eOBS:
– Soma de vetores
A
r
B
rC
r
= Br
A
r
C
r
Logo .CABBA
rrrrr
=+=+
– Subtração de vetores
r
BAD
rrr
−= )( BA
rr
−+=
A
r
B
r
−
D
r
03
– Produto de um número por um vetor
i=A ˆ3
r i=A ˆ62
r
⇒
04
05
onde,
e
Outra notação:
– Soma
– Subtração
06
– Produto de um número por um vetor
Vetor Posição e Vetor Deslocamento
Fig. 1 - Uma partícula em movimento no
plano xy é localizada pelo vetor posição
traçado da origem até a
partícula. O deslocamento da partícula
entre os pontos A e B no intervalo de
tempo é igual ao vetor
deslocamento .rrr rrr −=∆
if ttt −=∆
jyixr ˆˆ +=r
Trajetória 
da partícula
- Vetor Deslocamento
- Vetor Posição
if rrr
rrr
−=∆
ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++=r
kzzjyyixxr ififif ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=∆
r
deslocamento .
if rrr
rrr
−=∆
Em 3D
Raymond A. Serway / Jonh W. Jewet, Jr.
Prícipios de Física, Vol. 1- CENGATE Learning
07
da partícula
kzjyixr ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r
Exercício 1
A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) =
0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular o vetor deslocamento entre t = 3s
e t = 6s.
08
então,
Vetor Velocidade Média e Vetor Velocidade Instantânea
- Vetor velocidade média: 
if
if
m tt
rr
t
r
v
−
−
=
∆
∆
=
rrr
r
trttr
v
−∆+
=
)()( rrr
Fazendo,
)( ttrrf ∆+=
rr
,)(trri
rr
=e
Fig. 3 – Partícula
deslocando-se de A
para B. Seu vetor
velocidade muda
no decorrer do
tempo.
Fig. 4 – Fazendo
ttt
trttr
vm
−∆+
=
)()(
k
t
zj
t
yi
t
x
vm
ˆˆˆ
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
r
- Vetor velocidade instantânea: 
t
trttr
v
t ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0
rr
r
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
trd
v ˆˆˆ
)(
++==
r
r
0→∆t
if rr
rr
→
a posição
A se confunde
com a posição B,
ou seja, .
0→∆t
if rr
rr
→
Observações: 
- é sempre tangente à trajetória;
- coincide com o módulo da velocidade escalar 
no instante t.
v
r
v
r
09
- Vetor velocidade média: 
k
t
zj
t
yi
t
x
vm
ˆˆˆ
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
r
- Vetor velocidade instantânea: 
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
trd
v ˆˆˆ
)(
++==
r
r
kvjvivv mzmymxm ˆˆˆ ++=
r
kvjvivtrdv ˆˆˆ)( ++==
r
r
onde,
Fórmulas para Cálculo da Velocidade
(Derivada da posição em relação ao tempo).
t
z
v
t
y
v
t
x
v mzmymx ∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
= ;;
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v zyx === ;;
kvjviv
dt
trd
v zyx
ˆˆˆ
)(
++==
r
onde,
10
222
mzmymxm vvvv ++=
r
e
222
zyx vvvv ++=
r
e
Exercício 2
A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) =
0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular (a) o vetor velocidade média
entre t = 3s e t = 6s, (b) a velocidade instantânea em qualquer instante de tempo e (c) e
velocidade no instante t = 5s.
11
Vetor Aceleração Média e Vetor Aceleração Instantânea
- Vetor aceleração média: 
t
tvttv
t
v
am ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()( rrrr
k
t
vj
t
v
i
t
v
a z
yx
m
ˆˆˆ
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
r
- Vetor aceleração instantânea: 
tvttv −∆+ )()( rrr
- Lembrando que: 
dt
trd
v
)(rr
=
dt
tvd
a
)(rr
=e 
Então, 
dt
tvd
a
)(rr
= 



=
dt
trd
dt
d )(r
2 )(trd
a
r
r
=
t
tvttv
a
t ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0
rr
r
k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dv
dt
tvd
a z
yx ˆˆˆ
)(
++==
r
r
onde,
kajaia
dt
tvd
a zyx
ˆˆˆ
)(
++==
r
r
dt
dv
a
dt
dv
a
dt
dv
a zz
y
y
x
x === ;;
2
)(
dt
trd
a
r
=
ou ainda,
k
dt
tzdj
dt
tydi
dt
txd
a ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
2
2
2
2
2
2
++=
r
12
k
dt
tzd
a
dt
tyd
a
dt
txd
a zyx
ˆ
)(
;
)(
;
)(
2
2
2
2
2
2
===
onde,
Características da Aceleração Instantânea
-A aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da 
direção ou do sentido de ). 
- O vetor aceleração sempre está voltado para o “interior” da trajetória.
v
r
13
Exercício 3
A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) =
0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular (a) o vetor aceleração média para
t = 3s e t = 6s, (b) a velocidade instantânea em qualquer instante de tempo e (c) e
velocidade no instante t = 5s.
14
O Problema Inverso
- Para uma aceleração conhecida, integrando obtém-se a velocidade :)(tar )(tvr
,)()(
0
tdtavtv
t
i ′′=− ∫
rrr
onde, 
t
′′+= ∫
.)()(
;)()(
;)()(
0
0
0
tdtavtv
tdtavtv
tdtavtv
t
zziz
t
yyiy
xxix
′′+=
′′+=
′′+=
∫
∫
∫
15
- Integrando novamente, obtém a posição expressão da posição em função do tempo:
O Problema Inverso
,)()(
0
tdtvrtr
t
i ′′+= ∫
rrr
onde, 
;)()( tdtvxtx
t
′′+= ∫
.)()(
;)()(
;)()(
0
0
0
tdtvztz
tdtvyty
tdtvxtx
t
zi
t
yi
t
xi
′′+=
′′+=
′′+=
∫
∫
∫
16
Exercício 4
Uma partícula descreve uma trajetória no sistema de coordenadas cartesiano com uma
aceleração constante com componentes ax, ay e az não nulas. (a) Determine a velocidade
instantânea e a (b) posição da partícula para qualquer instante de tempo.
17
Lançamento Horizontal
A descrição do movimento é feita decompondo-se em:
x
yReferencial :
Eixo-x : Movimento uniforme 
Eixo-y : Movimento com aceleração da gravidade 
tvxtx ixi+=)(
2)2/()( tgtvyty iyi −+=
18
tgvtv iyy −=)(
Exercício 5 :
Uma avião de salvamento lança um pacote com suprimentos de emergência para um
grupo em terra. Se o avião está viajando horizontalmente com velocidade de 40 m/s a
uma altura de 100 m do solo, encontre a distância que o pacote atinge o solo em relação
ao ponto de lançamento.
19
Movimento de um projétil
A trajetória de um projétil é unicamente determinado pela velocidade inicial .0v
r
vx = vx i= vi cos θi = constante
vy = vy i - gt= vi sen θi - gt
Componente x :
Componente y :
Tempo para atingir altura
máxima h (quando vy = 0):
th = (vy i / g) = (vi /g) sen θi
Altura máxima h:
h = (vy i th) – (g/2) th2= (vi2sen2 θi )/(2g)
Note que o movimento é simétrico: o corpo leva um tempo th para subir e o mesmo 
tempo th para cair ao mesmo nível.
20
Alcance
Alcance: distância horizontal percorrida até o objeto voltar à altura inicial 
R = vox(2th )
Para um módulo dado da velocidade 
)2(
2
i
i
sen
g
v
R θ=
Para um módulo dado da velocidade 
inicial o alcance máximo é :
°=⇒= 452/2 ii θpiθ
Então, 
g
v
R i
2
max=
21
Exercício 6 :
Uma pedra é arremessada do alto de um prédio de 45 m com um ângulo de 30,0° e com
velocidade escalar inicial de 20 m/s . (a) Por quanto tempo a pedra permanece em vôo?
(b) Qual a velocidade da pedra antes de alcançar o solo?
22
Movimento Circular Uniforme
(a) Um carro em movimento ao longo de
um trajetória circular com velocidade
constante está em movimento circular
uniforme. (b) Quando a partícula desloca de
A para B, seu vetor velocidade muda de vi
para vf. (c) A construção para determinar a
direção na velocidade ∆v, a qual se dirige
para o centro da curva do círculo para ∆θ
(a)
(b) (c)
para o centro da curva do círculo para ∆θ
pequeno.
Módulo da aceleração centrípeta:r
v
ac
2
=
23
v é a velocidade escalar;
r é o raio de curvatura.
No movimento circular uniforme (MCU), o intervalo de tempo necessário
para completar uma volta é chamado período (T)
Período
RS pi2=∆Para ⇒ Tt =∆
T
R
v
pi2
=
t
S
v
∆
∆
= ⇒ ⇒
v
RT pi2=
Exercício 7:Exercício 7:
Em um brinquedo de um parque de diversões, os passageiros viajam com
velocidade constante num círculo de raio 5,0 m. Se eles fazem uma volta
completa em no círculo em 4,0 s, qual é a aceleração deles?
R
v
ac
2
=
R
TR 2)/2( pi
= 2
24
T
Rpi
= 2
2
)0,4(
)0,5(4
s
mpi
= ⇒ 2/12 smac =
24
Aceleração Tangencial e Radial
Aceleração tangencial: 
mudança na velocidade escalar
Aceleração radial: 
mudança na direção da velocidade 
r
v
aa cr
2
−=−=
dt
vd
at
r
=
Módulo da Aceleração: 22
tr aaa +=
25
Exercício 8 :
Uma partícula em movimento circular de raio 1m, parte do repouso com aceleração
uniforme e atinge uma velocidade escalar de 2 m/s em 5s. Determinar no instante 3 s (a)
a aceleração tangencial, (b) a aceleração centrípeta e (c) a aceleração total.
Resolução:
(a) 
dt
vd
at =
Como a aceleração é 
uniforme:
v
a
∆
=
02−
=
(b) A aceleração centrípeta depende da velocidade 
escalar. Para t = 7s: 
v
a
2
=
2,1 2
=
tavv ti +=
0
⇒ )3(4,0=v sm /2,1=
2/44,1 sm=
t
v
at ∆
∆
=
05
02
−
−
=
2/4,0 smat =
26
r
ac = 1
=
2/44,1 smac =
2/44,1 sm=
Para t =3s ⇒
(c) A aceleração total para t =3s: 
22
tc aaa +=
22 4,044,1 +=a
2/49,1 sma=
A aceleração tangencial tem
módulo igual ao da aceleração
escalar, portanto, após 7s:
2/4,0 smat =
Movimento Relativo
Dois observadores medem a velocidade escalar do carro da frente. Para o observador O
que está parado ao lado da rodovia, a velocidade escalar é 60 mi/h. Já para o observador
O’ que está no carro de trás movendo-se com mesma velocidade escalar, o carro da
frente tem velocidade escalar nula.
27
Movimento Relativo – Sistema de Referência
Seja uma partícula localizada no
ponto P no plano xy. O observador
O’ está no sistema de referência S’
move-se com velocidade em
relação à S.
- Para t = 0, S’ coincide com S.
- Para t > 0, S’ está a uma distância
de S.
Assim,
Ov
r
tvO
r
Assim,
tvrr O
rr
+′=
Derivando em relação à t: 
( ) ( )tvr
dt
d
r
dt
d
O
rrr
+′=
Ovvv
rrr
+′=
Ovvv
rrr
−=′
28
Exercício 8 :
Um barco direcionado para o norte cruza um rio largo com velocidade escalar em
relação à água. O rio tem uma correnteza tal que a água está em movimento com
velocidade escalar de 5,00 km/h em relação ao solo. (a) Qual é a velocidade do barco
em relação a um observador estacionário ao lado do rio? (b) A qual ângulo deveria estar
direcionado o barco se ele se ele deve navegar em direção ao norte pelo rio, e qual é a
velocidade do barco em relação a terra?
29