utf-8''Lista 1 - coordenadas polares e gráficos de duas variáveis

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Londrina 
Curso de Engenharia de Materiais 
Cálculo Diferencial e Integral II – 2013/01 
Profa. Marcele Tavares 
 
 
 
 
 
 
Área em funções polares 
 
1) Calcular a área entre a 1ª e a 2ª volta da espiral (exponencial) , com 
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. 
 
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. 
 
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardioide r = 2- 2.cos. 
 
Resp.: A1 ; A2  3 /4 ; A3  8,34 ; A4 = 5 
 
 
Domínio, gráfico e curvas de nível de funções de duas variáveis 
 
5) Determine o domínio e faça um esboço da região representada pelo domínio em R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curvas de Nível 
Uma forma de representar uma função de duas variáveis geometricamente é similar à representação de uma 
paisagem tridimensional por um mapa topológico bidimensional. Suponha que uma superfície seja 
interceptada por um plano e que a curva de intersecção projetada no plano . A curva projetada tem por 
equação e é chamada de curva de nível ou curva de contorno da função em . Cada ponto da curva 
de nível corresponde a um único ponto na superfície que está unidades acima, se positivo, ou unidades 
abaixo, se for negativo. O conjunto as várias curvas de nível, projetadas no plano compõe uma mapa de 
contorno ou de nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Londrina 
Curso de Engenharia de Materiais 
Cálculo Diferencial e Integral II – 2013/01 
Profa. Marcele Tavares 
 
 
 
 
 
 
6) Esboce as curvas de nível para os seguintes valores de c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Esboce os gráficos das seguintes funções de duas variáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES DO EXERCÍCIO DO FINAL DA AULA... 
f(x, y) = (72 + 4x
2
 – 9y
2
)
1/2
 
-4x
2
 + 9y
2
+ z
2
 = 72, z>=0 
-x
2 
/18 + y
2
/8 + z
2
/72 =1, z>=0 
Se x =0 então y
2
/8 + z
2
/72 =1, elipse no plano-yz. 
Se y=0 então -x
2 
/18 + z
2
/72 =1, hipérbole no plano-xz 
Se z=0 então -x
2 
/18 + y
2
/8 =1, hipérbole no plano xy. 
As hipérboles encontradas tangenciam a elipse nos pontos que ela intercepta os respectivos eixos. 
No caso, a representação gráfica é um semi-hiperbolóide de uma folha, pois z precisa ser maior ou igual a zero para 
estar bem definido [z é uma raiz quadrada].