Exercísios de MU e MUV

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Notas de aula de MU e MUV. Prof. Irval 
1 
MOVIMENTO UNIFORME 
 
Quando um móvel se desloca com uma 
velocidade constante, diz-se que este móvel está 
em um movimento uniforme (MU). 
Particularmente, no caso em que ele se desloca 
com uma velocidade constante em trajetória 
reta, tem-se um movimento retilíneo 
uniforme.Uma observação importante é que, ao 
se deslocar com uma velocidade constante, a 
velocidade instantânea deste corpo será igual à 
velocidade média, pois não haverá variação na 
velocidade em nenhum momento do percurso. 
A equação horária do espaço pode ser 
demonstrada a partir da fórmula de velocidade 
média. 
𝑣 = 𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
 
isolando ∆𝑆, teremos: 
∆𝑆 = 𝑣 ∙ ∆𝑡 
como ∆𝑆 = 𝑆𝑓 − 𝑆0 , obtemos 
𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝒗 ∙ ∆𝒕 
É importante não confundir ∆𝑆 que 
simboliza o deslocamento de S que significa o 
ponto no qual se encontra o móvel. 
Diagrama s x t 
Existem diversas maneiras de se 
representar o deslocamento em função do 
tempo. Uma delas é por meio de gráficos, 
chamados diagramas espaço versus tempo 
(s x t). No exemplo a seguir, temos um diagrama 
que mostra um movimento retrógrado: 
 
 
Analisando o gráfico, é possível extrair 
dados que deverão ajudar na resolução dos 
problemas: 
S 50m 20m -10m 
T 0s 1s 2s 
 
Sabemos então que a posição inicial 
será a posição s0= 50m quando o tempo for 
igual a zero. Também sabemos que a posição 
final s=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, 
fica fácil utilizar a equação horária do espaço e 
encontrar a velocidade do corpo: 
𝑺 = 𝑺𝒊 + 𝒗 ∙ ∆𝒕 
−10 = 50 + 𝑣 2 − 0 → −10 − 50 = 2𝑣 
−60 = 2𝑣 → 𝑣 = −30𝑚/𝑠 
 A velocidade será numericamente igual 
à tangente do ângulo formado em relação à reta 
onde está situada, desde que a trajetória seja 
retilínea uniforme. 
 
Diagrama v x t 
Em um movimento uniforme, a 
velocidade se mantém igual no decorrer do 
tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma 
reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado este diagrama, uma forma de 
determinar o deslocamento do móvel é calcular 
a área sob a reta compreendida no intervalo de 
tempo considerado. 
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1-) Um móvel executa um movimento cuja 
função horária é s = 40 – 5t (SI). Determine: 
a) o instante em que o móvel passa pela origem 
da trajetória. 
b-) Em que ponto da trajetória estará o móvel no 
instante t = 6s? 
c-) Qual o espaço percorrido até este instante? 
 
2-) Duas cidades, A e B, distam 200Km entre si. 
Simultaneamente, um carro parte de A para B a 
60 Km/h, e outro de b para A com velocidade de 
40 Km/h, seguindo pela mesma estrada. 
a-) Depois de quanto tempo irão se encontrar? 
b-) A que distância de A eles irão se encontrar? 
c-) Qual a distância (espaço) percorrido pelo 
carro A e pelo carro B? 
 
3-) Um automóvel viaja a 30 Km/h durante 1h, 
em seguida, a 60 km/h durante 1/2h. Qual a 
velocidade média no percurso? 
 
4-) Um trem de 400m de comprimento e 
velocidade de 20m/s atravessa um túnel de 
1800m de comprimento. Qual o intervalo de 
tempo necessário para quer o trem atravesse o 
túnel? 
5-) Um automóvel que se desloca com 
velocidade constante de 72 km/h, ultrapassa 
outro que se desloca com velocidade constante 
de 54 km/h, numa mesma estrada reta. O 
primeiro encontra-se a 200m atrás no instante t 
= 0s. Em que instante o primeiro estará ao lado 
do segundo? Qual o espaço percorrido por cada 
um dos automóveis? 
6-) Dois amigos, correndo sobre uma mesma 
pista retilínea e em sentido contrário, avistam-se 
quando a distância que os separa é de 150m. 
Um está correndo com velocidade escalar 
constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade, 
também constante, de 7,0 m/s. Que distância 
cada um percorrerá na pista, desde se avistam 
até o momento do encontro? 
7-) Um tiro é disparado contra um alvo preso a 
uma grande parede capaz de refletir o som. O 
eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do 
momento do golpe. Considerando a velocidade 
do som 340m/s, qual deve ser a distância entre o 
atirador e a parede? 
𝑺 = 𝑺𝒊 + 𝒗 ∙ ∆𝒕 → 2𝑠 = 0 + 340(2,5) 
𝑆 = 425 𝑚 
8-) Um móvel segue a equação horária 
( ) 5 10[ ]s t t SI  
. Pedem-se: 
(a) a posição do móvel no instante t = 1s. 
(b) a posição do móvel no instante t = 5s. 
(c) o percurso do movel entre os instantes t= 1s 
e t = 5 s. 
 
9-) Um móvel segue a equação horária 
2( ) 9 25[ ]s t t t SI   
. Pedem-se: 
(a) a posição do móvel no instante t = 4s. 
(b) a posição do móvel no instante t = 5s. 
(c) o percurso do móvel entre os instantes t= 4s 
e t = 5 s. 
 
 
 
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE 
VARIADO 
Também conhecido como movimento 
acelerado, consiste em um movimento onde há 
variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre 
aceleração à medida que o tempo passa. 
Mas se essa variação de velocidade for 
sempre igual em intervalos de tempo iguais, 
então dizemos que este é um Movimento 
Uniformemente Variado (também chamado de 
Movimento Uniformemente Acelerado), ou 
seja, que tem aceleração constante e diferente de 
zero. 
O conceito formal de aceleração é: a 
taxa de variação de velocidade numa unidade de 
tempo, então como unidade teremos: 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑚
𝑠 
𝑠
=
𝑚
𝑠2
 
Aceleração 
Assim como para a velocidade, 
podemos definir uma aceleração média se 
considerarmos a variação de velocidade ∆v em 
um intervalo de tempo ∆t, e esta média será 
dada pela razão: 
𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
 
Velocidade em função do tempo 
No entanto, quando este intervalo de 
tempo for infinitamente pequeno, ou seja, 
∆𝑡 → 0, tem-se aceleração instantânea do 
móvel. 
 
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𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
 
isolando ∆𝑣, teremos: 
∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 
como ∆𝑆 = 𝑣 − 𝑣0 , obtemos 
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕 
Esta é a função horária da velocidade do 
Movimento Uniformemente Variado, que 
descreve a velocidade em função do tempo 
[v=f(t)]: 
Posição em função do tempo 
A melhor forma de demonstrar esta 
função é através do diagrama 
velocidade versus tempo (v x t) no movimento 
uniformemente variado. 
 
O deslocamento será dado pela área sob a reta 
da velocidade, ou seja, a área do trapézio. 
∆𝑆 =
𝑣 + 𝑣0
2
∙ 𝑡 
Onde sabemos que: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡 
logo: 
∆𝑆 =
𝑣 + 𝑎𝑡 + 𝑣0
2
∙ 𝑡 
∆𝑆 =
2𝑣0𝑡
2
+
𝑎𝑡2
2
 
∆𝑆 = 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 ou 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
Interpretando esta função, podemos 
dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é 
resultado de uma função do segundo grau. 
EQUAÇÃO DE TORRICELLI 
Até agora, conhecemos duas equações 
do movimento uniformemente variado, que nos 
permitem associar velocidade ou deslocamento 
com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar 
uma função na qual seja possível conhecer a 
velocidade de um móvel sem que o tempo seja 
conhecido. 
Para isso, usaremos as duas funções horárias 
que já conhecemos: 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ ∆𝑡 𝑒 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
 
Isolando-se t em na equação da velocidade: 
𝑡 =
𝑣 − 𝑣0
𝑎
 
Substituindo t na função dos espaços: 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0 ∙
𝑣 − 𝑣0
𝑎
+
1
2
𝑎 ∙ (
𝑣 − 𝑣0
𝑎
)2 
 
𝑆 − 𝑆0 =
𝑣 ∙ 𝑣0 − 𝑣0
2
𝑎
+
1
2
𝑎 ∙ (
𝑣 − 𝑣0
𝑎
)2 
 
𝑆 − 𝑆0 =
𝑣 ∙ 𝑣0 − 𝑣0
2
𝑎
+
𝑣2 − 2𝑣 ∙ 𝑣0 + 𝑣0
2𝑎
2
 
 Reduzindo-se a um denominador comum: 
 2𝑎 𝑆 − 𝑆0 = 2𝑣0𝑣 − 2𝑣0
2 + 𝑣2 − 2𝑣0𝑣 + 𝑣02 
 2𝑎∆𝑆 = 𝑣0
2 + 𝑣2 ou 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 
Exemplo: 
Uma bala que se move a uma 
velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em 
um bloco de madeira fixo sobre um muro, é 
desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala 
levou em movimento dentro do bloco, se a 
distância total percorrida em seu interior foi 
igual a 10cm? 
Apesar de o problema pedir o tempo que a bala 
levou, para qualquer uma das funções horárias, 
precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a 
Equação de Torricelli. 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 
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02 = (200)2 + 2𝑎(0 − 0,1) 
Observe que as unidades foram passadas para o SI 
(10cm=0,1m). 
−4000 = 0,2𝑎 → 𝑎 =
−40000
0,2
 ∴ 
𝑎 = −200000𝑚/𝑠2 
 A partir daí, é possível calcular o tempo gasto: 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 → 0 = 200 + −200000 𝑡 
𝑡 =
−200
−200000
= 0,001𝑠 = 1𝑚𝑠 
 MOVIMENTO VERTICAL 
Se largarmos uma pena e uma pedra de 
uma mesma altura, observamos que a pedra 
chegará antes ao chão. 
Por isso, pensamos que quanto mais 
pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. 
Porém, se colocarmos a pedra e a pena em um 
tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos 
os objetos levam o mesmo tempo para cair. 
Assim, concluímos que, se 
desprezarmos a resistência do ar, todos os 
corpos, independente de massa ou formato, 
cairão com uma aceleração constante: a 
aceleração da Gravidade. 
Quando um corpo é lançado nas 
proximidades da Terra, fica então, sujeito à 
gravidade, que é orientada sempre na vertical, 
em direção ao centro do planeta. 
O valor da gravidade (g) varia de 
acordo com a latitude e a altitude do local, mas 
durante fenômenos de curta duração, é tomado 
como constante e seu valor médio no nível do 
mar é: 
g=9,80665m/s² 
No entanto, como um bom 
arredondamento, podemos usar sem muita perda 
nos valores: 
g=10m/s² 
 
LANÇAMENTO VERTICAL. 
Um arremesso de um corpo, com 
velocidade inicial na direção vertical, recebe o 
nome de Lançamento Vertical. 
Sua trajetória é retilínea e vertical, e, 
devido à gravidade, o movimento classifica-se 
com Uniformemente Variado. 
As funções que regem o lançamento 
vertical, portanto, são as mesmas do movimento 
uniformemente variado, revistas com o 
referencial vertical (h), onde antes era 
horizontal (S) e com aceleração da gravidade 
(g). 
𝑕 = 𝑕0 + 𝑣0𝑡 ±
𝑔𝑡2
2
 
𝑣 = 𝑣0 ± 𝑔 ∙ 𝑡 
𝑣2 = 𝑣0
2 ± 2𝑔∆𝑕 
Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo 
da direção do movimento: 
Lançamento Vertical para Cima 
g é negativo 
Como a gravidade aponta sempre para 
baixo, quando jogamos algo para cima, o 
movimento será acelerado negativamente, até 
parar em um ponto, o qual chamamos Altura 
Máxima. 
 
Exemplo 
Uma bola de futebol é chutada para 
cima com velocidade igual a 20m/s. . 
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar 
para retornar ao solo. . 
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? 
Dado g=10m/s². 
(a) Neste exemplo, o movimento é uma combinação 
de um lançamento vertical para cima + um 
lançamento vertical para baixo (que neste caso 
também pode ser chamado de queda livre). 
Então, o mais indicado é calcularmos por partes: 
Movimento para cima: 
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡 → 0 = 20 − 10𝑡 ∴ 𝑡 = 2𝑠 
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 Movimento para baixo: 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 ∙ 𝑡 
Como não estamos considerando a resistência do ar, 
a velocidade final será igual à velocidade com que a 
bola foi lançada. 
20 = 0 + 10𝑡 ∴ 𝑡 = 2𝑠 
 Observamos, então, que nesta situação, onde a 
resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é 
igual ao de decida. 
𝑡 = 2 + 2 ∴ 𝑡 = 4𝑠 
 (b)Sabendo o tempo da subida e a velocidade de 
lançamento, podemos utilizar a função horária do 
deslocamento, ou então utilizar a Equação de 
Torricelli. 
𝑕 = 𝑕0 + 𝑣0𝑡 −
𝑔𝑡2
2
 
 Lembre-se de que estamos considerando apenas a 
subida, então t=2s 
𝑕 = 0 + 20 ∙ 2 −
10 ∙ 22
2
 → 
 𝑕 = 20𝑚 
 ou 
𝑣2 = 𝑣0
2 − 2𝑔∆𝑕 → 0 = 202 − 2 ∙ 10(𝑕 − 0) 
 
𝑕 = 20𝑚 
 EXERCICIOS: 
1-) Um móvel segue a equação horária 
2( ) 9 25[ ]s t t t SI   
. Pedem-se: 
(a) a posição do móvel no instante t = 4s. 
(b) a posição do móvel no instante t = 5s. 
(c) o percurso do movel entre os instantes t= 4s 
e t = 5 s. 
 
2-) Um móvel segue a equação horária 
2( ) 9 25[ ]s t t t SI   
. Pedem-se: 
(a) a velocidade média do móvel entre os 
instantes t =1 e 4s. 
(b) a velocidade média do móvel entre os 
instantes t =1 e 4s. 
 
3-) Um móvel segue a equação horária 
2( ) 3 9 25[ ]s t t t SI    
. Pedem-se: 
(a) a velocidade instantânea em função do 
tempo. 
(b) a velocidade instantânea para t = 5s. 
 
4-) Um móvel segue equação horária 
3 2( ) 5 2 25[ ]s t t t SI    
 
Pedem-se: 
(a) a velocidade instantânea em função do 
tempo. 
(b) a velocidade instantânea para t = 1s. 
(c) a velocidade instantânea para t = 3s. 
(d) a aceleração média entre os instantes 1 e 3 s. 
 
5-) Um móvel segue equação horária 
4 3( ) 5 2 25[ ]s t t t SI    
 
Pedem-se: 
(a) a velocidade instantânea em função do 
tempo. 
(b) a aceleração instantânea em função do 
tempo. 
 
6-) Um móvel segue equação horária 
2( ) 3 9 25[ ]s t t t SI    
 
Pedem-se: 
(a) a velocidade instantânea em função do 
tempo. 
(b) os instantes de parada do móvel. 
(c) a aceleração instantânea em função do 
tempo. 
(d) a classificação do movimento. 
 
7-) Um móvel tem velocidade instantânea dada 
por: 
   6 9 . .v t t S I  
 
Obter a posição do móvel em função do tempo, 
sabendo-se que o mesmo encontra-se na posição 
s = 22 m no instante t = 1s. 
 
8-) A velocidade de um móvel varia segundo o 
gráfico anexo. Sabe-se que a aceleração média 
entre os instantes 0 e 2 s é: am = 10 m/s². 
Pedem-se: 
(a) a velocidade no instante 0s. 
(b) a aceleração em função do tempo. 
 
 v(m/s) 
30 
 
 
 
 v0 
 
 2 4 6 8 10 12 t(s) 
 
 
-30 
 
9-) A velocidade de um móvel varia segundo o 
gráfico anexo. Sabe-se que a posição do mesmo 
é s = 15m no instante t = 4 s. Pedem-se: 
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(a) a posição do móvel no instante 0s. 
(b) a posição do móvel no instante t = 12 s. 
 
 v(m/s) 
30 
 
 
 
 10 A1 A2 
 
 2 4 6 8 10 12 t(s) 
 
 
-30 
 
11-) O carro A deslocando-se com velocidade 
constante vA = 30 m/s passa pelo carro B parado 
no boxe. Após 5 s da passagem do carro A pelo 
carro B, este último parte mantendo aceleração 
constante aB = 4m/s². Pedem-se: 
 
(a) a distância entre os carros no instante de 
partida do carro B. 
(b) o tempo necessário para que o carro B 
alcance o carro A. 
(c) a velocidade do carro B, no instante da 
ultrapassagem pelo carro A. 
 
 Atividade 1 
 
1-) Num instante inicial t = 0s, um carro 
localizado em xg = 220m possui velocidade 
constante de 5 m/s, enquanto outro carro em xr = 
-120 m possui velocidade constante para a 
direita de valor 3 m/s. 
 
 
 
 
 
 
(a) Encontre as funções horárias dos dois carros 
e determine a posição e o instante do encontro. 
(b) Faça o gráfico (t, s) e (t, v) para os dois 
carros. 
(c) Após 10 s da situação inicial, determine a 
distância de separação entre os dois carros. 
 
2-) O movimento de um ponto material é dado 
pela equação horária: 𝑆 = 5𝑡3+ 8𝑡 − 2 𝑆𝐼 . 
obs. Aqui deve ser utilizada a derivada. 
Determinar: 
a-) a posição da partícula nos intervalos 
𝑡1 = 1,0𝑠 𝑒 𝑡2 = 4,0𝑠; 
b-) o deslocamento da partícula (∆𝑆), da 
partícula no intervalo de 1 a 4 s; 
c-) a velocidade escalar média no intervalo de 1 
a 4 s; 
d-) a função horária da velocidade da partícula; 
e-) a função horária da aceleração da partícula; 
3-) Uma partícula P percorre um eixo Ox com 
velocidade de acordo com a função: 
𝒗 = 𝟏𝟐𝒕 − 𝟔𝒕𝟐. Na data zero ele passa pela 
posição X0 = - 8m. Obs. Usa-se integral. 
a-) Deduzir a sua função horária. 
b-) Em que data o móvel pára? 
c-) Onde se situa o móvel no instatnte de 
parada? 
d-) Fazer os gráficos cartesianos (t, S); (t, v) e 
(t, a). 
 
4-) Um móvel com MRU parte de um ponto A 
em direção a B, com velocidade de 90 Km/h. 
No mesmo instante sai de B um outro móvel, 
também com MRU. A distância entre A e B é de 
10 Km. Calcule a velocidade do móvel B, para 
que ambos se cruzem a 6 Km de A. 
 
5-) Um móvel parte de um certo ponto com 
movimento que obedece a função horária 
S = 4t
2 
onde S está em metros e t em segundos. 
Um segundo após parte outro móvel do mesmo 
ponto do primeiro com movimento uniforme e 
seguindo a mesma trajetória. Qual a menor 
velocidade que deve ter esse segundo móvel, a 
fim de encontrar o primeiro? 
 
6-) Um móvel parte da origem do eixo x com 
velocidade constante e igual a 3 m/s. No 
instante t = 6s o móvel sofre uma aceleração de 
a = - 4m/s
2
. Qual a sua equação horária a partir 
do instante t = 6s? 
 
7-) Um automóvel passa por uma posição a 10 
km de um ponto O, afastando-se dele em MRU 
com v = 84 km/h. Que velocidade deve ter um 
motociclista que nesse instante passa por O, 
para alcançar o automóvel em 20 minutos? 
 
8-) Um móvel se desloca segundo a função 
horária X = (2t-2)
2
, sendo X o deslocamento em 
metros e t o tempo em segundos. Nessas 
condições podemos afirmar que a diferença 
entre a sua aceleração pata t = 1s e t = 5s é? 
Obs. Derive e encontre uma expressão para a 
aceleração, depois analise o tipo do movimento.