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Apostila II Estatística 2013-2

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AULA 6 AULA 6 –– ELEMENTOS DE ELEMENTOS DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
EstatísticaEstatística
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
1
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
• A Estatística teve origem anterior à probabilidade e dizia respeito
a coleta, organização e apresentação de dados em tábuas e
cartas.
• Com a probabilidade a estatística pode ser utilizada para tirar
conclusões e tomar decisões com base na análise de dados.conclusões e tomar decisões com base na análise de dados.
• A probabilidade teve início no século XVII onde Fermat e Pascal
se esforçaram para resolver questões relacionadas com jogos de
azar (roleta e cartas). Mas no século XX é que se desenvolveu
uma teoria matemática baseada em axiomas, definições e
teoremas.
2
• Os avanços tecnológicos em qualquer área do conhecimento
devem-se aos experimentos.
• Se efetuarmos um experimento repetidas vezes, sob
condições idênticas obteremos resultados praticamente
iguais.
• Mas, em outros experimentos os resultados não são os• Mas, em outros experimentos os resultados não são os
mesmos, ainda que as condições de realização do
experimento sejam as mesmas.
• Quando utilizamos a matemática para estudar fenômenos de
observação devemos construir modelos para explicá-los que
podem ser de dois tipos: determinísticos e probabilísticos.
3
Modelo Determinístico
É aquele em que a partir das condições, nas
quais um experimento foi realizado, pode-se
determinar seu resultado por antecipação.
Ex: velocidade = distância/tempo 
pressão=força/área
4
Modelo Probabilístico
É aquele em que as condições de execução de um experimento
não determinam o resultado do mesmo, mas sim o
comportamento probabilístico do resultado observável. Este
modelo caracteriza os experimentos aleatórios.
- lançamento de um dado (verificar qual face cai voltada para- lançamento de um dado (verificar qual face cai voltada para
cima);
- lançamento de três moedas consecutivas;
- tempo de vida de um ser humano;
- número de votos de um candidato em uma eleição;
- precipitação pluviométrica que ocorrerá em uma localidade
após uma tempestade.
5
CONCEITOS FUNDAMENTAISCONCEITOS FUNDAMENTAIS
Experimentos aleatórios: não podemos precisar por
antecipação qual o resultado que ocorrerá, mas
podemos definir o conjunto dos resultados possíveis.
Características dos experimentos aleatórios:Características dos experimentos aleatórios:
1ª) cada experimento deve ser repetido inúmeras vezes
sob as mesmas condições;
2ª) muito embora não se possa afirmar que o resultado
particular ocorrerá, é sempre possível descrever o
conjunto de todos os possíveis resultados;
6
3ª) quando o experimento for realizado várias vezes, os
resultados parecem ocorrer de forma acidental, contudo,
se repetirmos o experimento um grande número de
vezes surgirá uma regularidade nos resultados que torna
viável construir um modelo matemático com o qual é
possível analisar o experimento.
- jogar um dado para verificar qual face cai voltada para- jogar um dado para verificar qual face cai voltada para
cima;
- verificar o número de vezes que ocorre a face coroa em
lançamentos de uma moeda;
- verificar o sexo de crianças recém-nascidas, em uma
determinada maternidade;
- escolher uma carta de uma baralho e anotar o seu valor.
7
Espaço Amostral (S ou Ω): conjunto dos resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Representação: S (maiúscula) - escrito na forma de conjunto.
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS→ S={a1, a2, a3, ..., an}
ESPAÇOS AMOSTRAIS INFINITOS→ S={a1, a2, a3, ...}
- lançar um dado para verificar qual face cai voltada para cima
S
- lançar um dado para verificar qual face cai voltada para cima
→ S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}
- lançar uma moeda para verificar qual face cai voltada para
cima→ S2={cara(c); coroa (k)}
- lançar uma moeda até aparecer a face “cara” e contar quantas
vezes foi preciso lançar a moeda→ S3={1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
8
Evento: subconjunto do espaço amostral, ou seja, é qualquer
conjunto de resultados de um experimento aleatório.
Representação: letras A, B, C,... (maiúsculas).
Lançar um dado e ver qual a face que cai para cima→ S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A={1, 2, 4} B={1, 3, 5, 6} C={2, 5} D={4} 
SA
A={1, 2, 4} B={1, 3, 5, 6} C={2, 5} D={4} 
Eventos associados a esse espaço amostral
Ponto Amostral: resultado particular de um experimento
aleatório, portanto um espaço amostral é constituído por uma
coleção de pontos amostrais.
A={1, 2, 4} 3 pontos amostrais
9
Ocorrência de um evento: um evento do espaço
amostral S ocorre se o resultado do experimento
aleatório ao qual ele está associado for um ponto
amostral desse evento.
Ex.: Ocorrer número ímpar no lançamento de um dado
Espaço amostral: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: A = {1, 3, 5}
10
OPERAÇÕES COM EVENTOS (conjuntos)OPERAÇÕES COM EVENTOS (conjuntos)
Sejam A e B, dois eventos de um espaço amostral S, dizemos que
o evento A ou B ocorrem se: o resultado do experimento
aleatório for um ponto que pertença ao evento A, dizemos
que A ocorreu e se for um ponto de B, dizemos que B ocorreu.
A∪∪∪∪B→ ocorrência de A ou de B, ou ambos;
A∩∩∩∩B → ocorrência de A e de B;
A - B → ocorrência de A e não de B;
→ é a não ocorrência de A.ASA −= A
A
A
A
B
B
B
A 11
Eventos aleatórios → a todo evento será sempre 
possível associar uma probabilidade.
Ex.: 
Verificar a infecção de ferrugem nas folhas de 5
plantas de trigo. Considere:plantas de trigo. Considere:
S={SI, Ifr, IM, Ifo, IG}; A={ SI, Ifr, IM} e B={IM, Ifo}. 
Calcule: A∪B; A∩B; A - B e .A
12
EVENTOS ESPECIAIS
Evento certo: ocorre sempre, toda vez que se realiza o
experimento, portanto esse evento é o próprio S. É também
um evento porque todo o conjunto é um subconjunto de si
mesmo (S ⊂ S).
Ex.: no lançamento de um dado, fatalmente sairá a face 
1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento elementar: composto de um único ponto amostral.
Ex.: no experimento anterior o evento A={2}
13
Evento impossível: nunca irá ocorrer, é também conhecido na
teoria dos conjuntos como o conjunto vazio (∅).
O conjunto vazio é um evento porque é subconjunto de qualquer
conjunto, portanto é subconjunto de S (∅⊂ S).
Ex.: sair a face 7 no lançamento de um dadoEx.: sair a face 7 no lançamento de um dado
14
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOSEVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
((e.m.ee.m.e))
Não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, quando a
intersecção entre dois ou mais eventos for igual ao
conjunto vazio (A∩∩∩∩B=∅∅∅∅).
Na teoria dos conjuntos, são dois conjuntos disjuntos, istoNa teoria dos conjuntos, são dois conjuntos disjuntos, isto
é, que não possuem nenhum ponto em comum.
Ex.: No lançamento de um dado, o espaço amostral será
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, verifique se os eventos são e.m.e:
A={face menor que 2} = {1 }
B={face maior que 2} = {3, 4, 5, 6 }
e.m.e A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅
15
CONCEITOS DE PROBABILIDADECONCEITOS DE PROBABILIDADE
Conceito clássico de probabilidade ou
probabilidade “a priori” (Laplace)
A probabilidade de um evento A é igual ao quociente
entre o nº de pontos amostrais desse evento (k) e o nºentre o nº de pontos amostrais desse evento (k) e o nº
de pontos amostrais do espaço amostral (n) ao qual ele
está associado, desde que todos os pontos do espaço
amostral sejam igualmente prováveis (espaço
equiprovável), ou seja, a probabilidade de A é k/n e
escreve-se:
n
k)A(P =
16
Ex. 1: no lançamento de um dado “honesto”, cujo
espaço amostral é S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, calcule a
probabilidade dos seguintes eventos: A={2, 4, 6};
B={1,5} e C={1, 2, 5, 6}.
Ex. 2: Seja S, o espaço amostral referente aoEx. 2: Seja S, o espaço amostral referente ao
lançamento de duas moedas e A o evento que
indica a ocorrência de uma cara. Calcule a
probabilidade de ocorrênciado evento A.
17
Conceito frequencial ou probabilidade “a
posteriori”
Se após “n” repetições de um determinado
experimento com “n” suficientemente
grande, se verificar “k” ocorrências de umgrande, se verificar “k” ocorrências de um
evento A, então, a probabilidade de
ocorrência desse evento será a sua freqüência
relativa dada por k/n. Este processo é
também chamada de probabilidade empírica.
18
Ex.: Lançar ao ar um dado “viciado”, sendo o evento A={6}.
N° lançamentos Ocorrência da face 6 Probabilidade
10 8 0,8
100 71 0,71
1.000 722 0,722
10.000 7.202 0,7202
100.000 71.995 0,71995
Verifica-se que a probabilidade que procuramos tende a 0,72 e 
quanto mais vezes lançarmos o dado mais essa probabilidade 
se aproximará de 0,72, é o que chamamos REGULARIDADE 
ESTATÍSTICA.
19
Conceito axiomático de probabilidade
Seja S um espaço amostral associado a um
experimento aleatório e seja A um evento desse
espaço amostral, ou seja, A ⊂ S. “P” é chamada
função de probabilidade e P(A) é a probabilidade de
ocorrência do evento A se os seguintes axiomasocorrência do evento A se os seguintes axiomas
forem obedecidos:
A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
A2) P(S) = 1
A3) Se A e B forem e.m.e., então, P(A∪B) = P(A) + P(B)
A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅
20
Ex. 1: Considere-se o lançamento de um dado perfeito.
Seja A o evento que indica a ocorrência da face 2,
calcule a probabilidade do evento A.
Ex. 2: Sejam AB um segmento de reta e E um evento
que se caracteriza pela escolha, ao acaso, de um
ponto do segmento AB, que pertença também aoponto do segmento AB, que pertença também ao
segmento menor ab, contido em AB. Se os
comprimentos AB e ab são respectivamente, 5 e 2
unidades, calcule a probabilidade de ocorrência do
evento E.
21
TEOREMAS SOBRE O CÁLCULO DE TEOREMAS SOBRE O CÁLCULO DE 
PROBABILIDADESPROBABILIDADES
1 – Seja o conjunto vazio, então: P(∅) = 0
22
2 –
)BA(P)A(P)BA(P ∩−=−
Sejam A e B dois eventos quaisquer, então:
BA
23
3 – Sejam A e B dois eventos quaisquer, então:
)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪
2
)BA(P)A(P)BA(P ∩−=− )BA(P)A(P)BA(P ∩−=−
B
A
24
4 – Seja o complemento do evento A, então:
)A(P1)A(P −=
A
A A
25
Espaços de probabilidades finitos
Seja S um espaço amostral finito, S={a1, a2, a3, ... , an}, um
espaço amostral finito é obtido associando-se a cada ponto ai
∈ S um número real pi chamado de probabilidade de ai, com
as seguintes propriedades:
ESPAÇOS DE PROBABILIDADESESPAÇOS DE PROBABILIDADES
as seguintes propriedades:
Ex.: suponhamos um dado “viciado”, ou seja, um dado onde a
probabilidade de sair a face “6” é o dobro das probabilidades
das outras faces., então:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} para esse experimento, onde:
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1/7 e P(6)=2/7.
∑
∞
=
=>
1i
ii 1pe0p
26
Esse exemplo constitui um espaço de
probabilidade porque as probabilidades
individuais são maiores que zero e a soma
das probabilidades é igual a 1.
Se definirmos um evento A={3, 4, 6} a sua
∑
∞
=
=>
1i
ii 1pe0p
Se definirmos um evento A={3, 4, 6} a sua
probabilidade será dada por:
P(A)=P(3)+P(4)+P(6)= 1/7+1/7+2/7=4/7 ou seja,
pela soma das probabilidades individuais.
27
Espaços finitos equiprováveis
São aqueles em que as probabilidades “pi”
associadas aos pontos “ai”, do espaço amostral, são
todas iguais.
Se S finito, tiver “n” pontos, a probabilidade de
cada ponto “ai” será dada por 1/n. Se A é um evento
composto por “k” pontos amostrais, então P(A)=k/n.composto por “k” pontos amostrais, então P(A)=k/n.
Ex.:
No lançamento de um dado normal cujo S={1, 2, 3, 4,
5, 6}, sendo o evento A a obtenção de um número
ímpar, A={1, 3, 5}, calcule a probabilidade de A.
28
Espaços de probabilidade infinitos
Seja S um espaço amostral infinito, S={a1, a2, a3, ...}.
Um espaço de probabilidade infinito é obtido
associando-se a cada ponto ai ∈ S uma probabilidade
pi, que satisfaça as seguintes propriedades:
Ex.: No lançamento de uma moeda até que apareça a
∑
∞
=
=>
1i
ii 1pe0p
Ex.: No lançamento de uma moeda até que apareça a
face cara, considerando c=cara e k=coroa o espaço
amostral será: S={c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ...} e a
probabilidade de cada um desses pontos será:
P(c)=1/2; P(kc)=1/4; P(kkc)=1/8; ... É possível verificar 
que a probabilidade de cada ponto é maior que zero 
e a soma infinita de todas as possibilidades é igual a 
1. 29
A probabilidade de ocorrer o evento A sob a
condição do evento B já ter ocorrido é chamada de
PROBABILIDADE CONDICIONAL de A e sua notação é
P(A/B).
Se o evento B já ocorreu, então o resultado do
PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
Se o evento B já ocorreu, então o resultado do
experimento foi um ponto de B, logo S fica reduzido ao
“tamanho” do evento B, então temos que ver quantos
pontos de B pertencem ao evento A, que estão em A∩B:
)B(P
)BA(P)B/A(P ∩=
desde que P(B) ≠ 0
B
A
30
Se a probabilidade de ocorrência de um evento
B não é afetada pela ocorrência ou não de um
evento A, isto é, se P(B/A)=P(B), dizemos que
A e B são eventos independentes.
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOSINDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
A e B são eventos independentes.
Portanto, dois eventos são independentes se
satisfizerem as condições: P(B/A)=P(B) ou
P(A/B)=P(A), então, P(A∩∩∩∩B)=P(A).P(B)
Teorema do Produto
31
Ex.: Seja o experimento sortear uma bola de
uma urna que contém 10 bolas numeradas de
0 a 9.
Sejam os eventos A={0, 1, 3, 6}; B={3, 4, 5,
8, 9} e C={1, 2, 3, 4, 5, 7}.
Calcule: P(A); P(B); P(C); P(A∩B); P(A∩C);Calcule: P(A); P(B); P(C); P(A∩B); P(A∩C);
P(B∩C); P(A/B); P(B/C).
Verifique se os eventos B e C são
independentes.
32
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Em muitos casos, o número de pontos do espaço
amostral não é muito grande, permitindo a
enumeração ou contagem direta dos pontos
amostrais necessários para a determinação dasamostrais necessários para a determinação das
probabilidades.
Às vezes, em alguns problemas essa contagem é
praticamente impossível. Em tais casos, lança-se mão
da análise combinatória, que pode ser encarada
como um processo sofisticado de contagem.
33
Ex.1: Em uma pilha com 5 sacos de sementes, 2 da
variedade 1 e 3 da variedade 2, retiram-se dois sacos ao
acaso sendo o primeiro reposto antes da retirada do
segundo. Calcule as probabilidades dos eventos A, B e
C. A={sair 2 sacos da variedade 1}; B={sair 2 sacos da
variedade dois}; C={sair um saco de cada variedade}
Ex.2: Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre
15 lâmpadas,. Das quais 5 são defeituosas. Encontre a
probabilidade de que a) nenhuma seja defeituosa; b)
exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos uma
seja defeituosa.
34
Ex.3: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bolas
vermelhas. Tiram-se 3 bolas de uma só vez.
Determinar a probabilidade de obtenção de 0, 1, 2 e
3 bolas brancas.
35
AULA 7 AULA 7 –– VARIÁVEIS ALEATÓRIASVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
EstatísticaEstatística
36
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Ao descrevermos um espaço amostral de um experimento
aleatório, não especificamos se o resultado
necessariamente seja um número, como por exemplo:
lançamento de moedas, morte ou não de pacientes em
hospitais, sexo de crianças recém-nascidas, existência
ou não de proteínas em alimentos.ou não de proteínas em alimentos.
Contudo em muitas situações experimentais desejamos
atribuir um número real (x) a todo elemento “s” do
espaço amostral S (s∈S), para isso usaremos uma
função real denominada de VARIÁVEL ALEATÓRIA.
37
Assim, quando atribuímos a um experimento,
por exemplo, uma lâmpada, como sendo uma
lâmpada perfeita ou uma lâmpada defeituosa.
Podemos atribuir valores numéricos como valorPodemos atribuir valores numéricos como valor
(1) para as lâmpadas perfeitas evalor (zero)
para as lâmpadas defeituosas
38
DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
Seja S um espaço amostral associado a um experimento
aleatório, uma função que associa um número real a cada
elemento do espaço amostral é denominada de VARIÁVEL
ALEATÓRIA.
Seja X a variável aleatória e “s” um elemento do espaço amostral
S (s ∈ S), então temos: X=f(s), onde “s” é a variávelS (s ∈ S), então temos: X=f(s), onde “s” é a variável
independente e X é a variável dependente.
Matematicamente, o espaço amostral S, onde a função está
definida é chamado domínio da função f(s) e o conjunto
formado pelos valores que X assume (xi), chamado Rx é o
contra-domínio de f(s) e representaremos por:
X = f(s)
S Rx 39
Graficamente podemos representar por:
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
x
1
x
2
x
3
x
4
S Rx
Resumindo: variável aleatória é aquela cujos valores
são obtidos por um experimento aleatório e aos
quais podemos associar probabilidades. Lembrando
que a soma das probabilidades de todos os valores
que a variável aleatória pode assumir é igual a 1.
40
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS
DISCRETAS
ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
41
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Quando o número de valores possíveis de X (Rx), constituir um
conjunto finito ou infinito enumerável, a variável aleatória X é
chamada de discreta.
1- Consideremos o experimento de lançar dois dados
simultaneamente para verificar quais as faces que caem voltadassimultaneamente para verificar quais as faces que caem voltadas
para cima. O espaço amostral desse experimento será:
S = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 5) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)}
42
Seja X = f(s), com s∈S, uma variável aleatória que se define sobre
esse espaço amostral. Na realidade uma função é uma regra
que indica a relação entre a variável independente e o valor
da função (variável dependente). Para o exemplo o valor da
função será dado pela soma dos pontos obtidos nos dois
dados. Portanto:
X = f(1; 1) = 1 + 1 = 2
X = f(1; 2) = 1 + 2 = f(2; 1) = 2 + 1 = 3X = f(1; 2) = 1 + 2 = f(2; 1) = 2 + 1 = 3
X = f(1; 3) = 1 + 3 = f(2; 2) = 2 + 2 = f(3; 1) = 3 + 1 = 4
X = f(6; 6) = 6 + 6 = 12
O conjunto Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} chamado de
contradomínio dessa função (variável aleatória) é um
conjunto finito enumerável.
43
2 - Consideremos o experimento aleatório de jogar
uma moeda duas vezes para verificar quais as faces
que caem voltadas para cima. Se considerarmos “c”
como sendo cara e “k” como sendo coroa, o espaço
amostral desse experimento será: S = {cc, ck, kc, kk}.
Definido a variável aleatória X como sendo o
número de caras que forem obtidas nos doisnúmero de caras que forem obtidas nos dois
lançamentos teremos:
x1 = f(cc) = 2; x2 = f(ck) = f(kc) = 1 e x3 = f(kk) = 0,
portanto Rx = {0, 1, 2} que é um conjunto finito
enumerável
44
3 - Consideremos o experimento de lançar um dado para
verificar qual a face que cai voltada para cima. Portanto S = {1,
2, 3, 4, 5, 6}. Definimos a variável aleatória X como sendo
igual ao número de pontos que obtivemos no dado. Neste
caso X = f(s) = s e S = Rx . Uma função onde isso acontece é
chamada de “função identidade”.
4 -4 - Consideremos o experimento aleatória de lançar uma
moeda até que a face “cara” aconteça, portanto o espaço
amostral desse experimento S = {c, kc, kkc, kkkc,.......}.
Definimos a variável aleatória X como sendo o número de
vezes que foi necessário lançar a moeda para a face “cara”
aparecer, portanto Rx = {1, 2, 3, 4, 5, ...........}, que é um
conjunto infinito enumerável.
45
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
A função representada pela equação P(X = xi) = pi , onde xi ∈ Rx ,
denomina-se distribuição de probabilidades da variável
aleatória X e usualmente é dada na forma da tabela:
xi x1 x2 ... Xn
A função “p” é denominada função de probabilidade da variável 
aleatória X e deve satisfazer as seguintes condições:
1ª) pi ≥ 0, para qualquer i
2ª) ∑ pi = 1
pi p1 p2 ... pn
46
A partir do exemplo 1, se calcularmos P(X = xi) para todos os
valores de Rx , considerando que o espaço amostral S tem 36
pontos teremos os seguintes resultados:
P(X = 2) = P[(1; 1)] = 1/36
P(X = 3) = P[(1; 2), (2; 1)] = 2/36
P(X = 4) = P[(1; 3), (2; 2), (3; 1)] = 3/36
P(X = 5) = P[(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)] = 4/36P(X = 5) = P[(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)] = 4/36
P(X = 12) = P[(6; 6)] = 1/36, que podem ser escritos da seguinte 
forma:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
47
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória
discreta pode ser representada através de um diagrama como
na figura a seguir:
p
i
x
i2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
48
FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA - F(y)
Seja X uma variável aleatória discreta, a função distribuição
acumulada F é uma função real definida por:
F(y) = P(X ≤ y) = p i
x yi≤
∑
A partir do exemplo podemos calcular a função distribuição A partir do exemplo podemos calcular a função distribuição 
acumulada, como segue:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
F(xi ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36
49
A função distribuição acumulada F(y), assim
definida, é uma função real e pode ser calculada
para qualquer valor do intervalo (− ∞; + ∞).
Portanto o valor da função F(y), no exemplo
acima, para qualquer y < 2 é 0 (zero) e paraacima, para qualquer y < 2 é 0 (zero) e para
qualquer y ≥ 12 é 1(um).
Também devemos considerar que F(y) = 1/36 para
o intervalo [2; 3), e que F(y) = 3/36 para o
intervalo [3; 4) e assim sucessivamente para os
outros valores intermediários.
50
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO 
DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
24/36 
26/36 
28/36 
30/36 
32/36 
34/36 
1 
F(x) 
+00 
2/36 
4/36 
6/36 
8/36 
10/36 
12/36 
14/36 
16/36 
18/36 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
20/36 
22/36 
24/36 
x 
 
51
MÉDIA (Esperança matemática ou Epectância), 
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO para v.a.d.
Média→µ = E(X) = Σ xi pi
Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2 p = Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2 pi = 
= E (X2) - [E (X) ]2 onde: E(X2) = Σ xi2 pi
Desvio padrão →σ = DP(X) = )X(V
52
Ex.: Considerando o experimento aleatório e a
variável aleatória como definidos no exemplo 2
teremos:
µ = E(X) = ∑ xi pi = 
xi 0 1 2
pi 1/4 2/4 1/4
0
1
1
2
2
1
1⋅ + ⋅ + ⋅ =µ = E(X) = ∑ xi pi = 
σ2 = V(X) = ∑ (xi - µ)2 pi = 
ou
σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 
σ = DP(X) = 
0
4
1
4
2
4
1⋅ + ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( )0 1 1
4
1 1
2
4
2 1
1
4
1
4
1
4
2
4
1
2
2 2 2
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = + = =
0
1
4
1
2
4
2
1
4
1 0
2
4
4
4
1
1
2
2 2 2 2
⋅ + ⋅ + ⋅ − = + + − =
1
2
53
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Quando os valores que compõe Rx formam um
conjunto infinito não enumerável a variável aleatória
X será chamada de contínua.
Exemplos: Tempo de vida de um animal, peso de umaExemplos: Tempo de vida de um animal, peso de uma
pessoa, vida útil de um componente eletrônico,
duração do efeito de um anestésico, etc.
O conjunto Rx será escrito como:
Rx = { x; x é o peso de uma pessoa adulta}
54
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Seja X uma variável aleatória contínua, então Rx é um conjunto
infinito não enumerável, portanto X podeassumir qualquer
valor num intervalo [a; b] ou no intervalo (−∞; + ∞).
Admite-se uma função contínua f(x) chamada função densidade
de probabilidade que satisfaça as seguintes condições:
1ª) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ Rx
2ª) 1dx)x(f
Rx
=∫
55
A função densidade de probabilidade é tal que a P(a < x < b) é
igual a área da figura limitada pela curva da função f(x), o eixo
da abscissas e as ordenadas dos pontos “a” e “b” e é dada
pela expressão P(a < x < b) = f x dx
b
a ( )∫
f(x)
xa b
P(a < x < b) = área sombreada da figura
É interessante observar que quando se trata de variáveis aleatórias
contínuas, temos que P(x = a) = , portanto P(a ≤ x ≤ b) =
P(a < x < b).
f x dx
a
a ( )∫ = 0
56
Medidas para variáveis aleatória contínuas
Esperança matemática (média)
µ = E(X) = ∫
Rx
x.f(x)dx
Variância
σ2 = V(X) = E[x2] - [E(x)] 2 = 
Desvio padrão
x f x dx xf x dx
RxRx
2
2
( ) ( )− 




∫∫
σ = =DP(X V X) ( )
57
AULA 8 AULA 8 –– DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
EstatísticaEstatística
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
58
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAVARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DISTRIBUIÇÃO 
BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO 
DE POISSON
59
DISTRIBUIÇÃO BINOMIALDISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
* É uma das mais importantes para v.a.d. 
* Conhecida como distribuição de Bernoulli, em
homenagem ao suíço J. Bernoulli que foi o
primeiro a estudar esta distribuição no séculoprimeiro a estudar esta distribuição no século
XVII.
* Foi ele quem introduziu o modelo probabilístico
chamado de “experimentos repetidos ou
“experimentos de Bernoulli”.
60
HIPÓTESESHIPÓTESES em que se baseia a distribuição:
1ª) Existem apenas dois resultados possíveis,
sucesso e fracasso;
2ª) A probabilidade de sucesso é constante nas2ª) A probabilidade de sucesso é constante nas
diversas realizações do experimento;
3ª) Os experimentos são todos independentes.
61
Função de probabilidade para a 
Distribuição Binomial
xnxx
n .qp.Cx)P(X −==
⇒
onde:
n → número de ensaios
x → número de sucessos em n ensaios
p → probabilidade de ocorrência de sucesso em um único ensaio
q → probabilidade de ocorrência de fracasso em um único ensaio
PARÂMETROS ⇒ n e p
q = 1 – p
62
COMBINAÇÃO: dados n elementos distintos, o
número de combinações desses n elementos
tomados r a r é dado por:
)!rn(!r
!nCrn
−
= Não interessa a ordem
Ex.1: De quantas maneiras podemos formar
combinações de 5 letras, tomadas 3 a 3?
Ex.2: De um grupo de 8 pessoas, quantas
combinações podem ser formadas com 3
delas?
63
Média→µ = E(X) = n . p 
Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2= E (X2) - [E (X) ]2 = 
= n . p . q = n . p . (1 - p)= n . p . q = n . p . (1 - p)
Desvio padrão→σ = DP(X) = = npq)X(V
64
Exemplo 1: Lança-se uma moeda 5 vezes. Qual é a
probabilidade de ocorrerem 3 caras? Determine a
função de probabilidade para o experimento e
verifique se é uma função de probabilidade. Calcule
E(X), V(X) e DP(X).
Exemplo 2: Num rebanho bovino 30 % dos animaisExemplo 2: Num rebanho bovino 30 % dos animais
estão atacados por febre aftosa. Retira-se ao acaso,
uma amostra de 10 animais. a) Qual o número
esperado de animais sadios? b) Qual a probabilidade
de se obter pelo menos um animal sadio? c) Qual a
probabilidade de se obter 3 animais sadios?
65
���� Caso particular da distribuição binomial.
���� Caso limite da binomial quando o número de
repetições “n” tende para o infinito e a probabilidade
“p” de sucesso tende a zero (é muito pequena).
DISTRIBUIÇÃO DE POISSONDISTRIBUIÇÃO DE POISSON
����Utilizada para eventos raros como:
� número de erros de datilografia em um livro;
� número de frutos caídos;
� número de chamadas telefônicas em uma central;
� taxa de chegada de clientes em um banco.
66
µ
x
e.
x!
µ
x)P(X −==
Função de probabilidade para a 
Distribuição de Poisson
onde:
µµµµ →média de sucessos →µµµµ = n. p
e = 2,718 é o número base do sistemas de logaritmos neperianos
x é o número de ocorrências 
PARÂMETRO ⇒ µµµµ
67
Média e Variância→µ = E(X) = σ2 = V(X) = n . p 
Desvio padrão →σ = DP(X) = = np)X(VDesvio padrão →σ = DP(X) = = np)X(V
68
Exemplo 1: Um medicamento para o tratamento de
uma doença manifesta um efeito colateral raro em
0,25 % dos pacientes em que é administrado. Qual é
a probabilidade de que 10 pessoas de um total de
3.000 pacientes manifestem efeito colateral?
Exemplo 2: O número médio de frutas que caem de umExemplo 2: O número médio de frutas que caem de um
pessegueiro em uma safra com duração de 20 dias é
2. Qual é a função de probabilidade da variável
aleatória X= número de frutas que caem de um
pessegueiro durante a safra? Determine a
probabilidade de que em uma safra caia apenas uma
fruta de um pessegueiro.
69
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
70
⌦Mais importante distribuição de probabilidades para v.a.c.
⌦Distribuição teórica de frequências onde a maioria das
observações se situam em torno da média, que é o centro da
distribuição, e logo diminuem gradual e simetricamente no
sentido dos extremos.
DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL
⌦Estudada por Laplace e Gauss que tinha grande interesse nas
aplicações da matemática associada à astronomia, por isso,
também é chamada Distribuição de Gauss ou Distribuição
Gaussiana.
⌦Definida por dois parâmetros, que são a média (µµµµ) e o desvio-
padrão (σσσσ) da variável aleatória X.
71
Função densidade de probabilidade 
para a Distribuição Normal
2
2
2
)x(
e.
2
1)x(f σ
µ−
−
piσ
=
-∞ <x <+∞
PARÂMETROS ⇒ µµµµ e σσσσ
onde:
pi= 3,1416.... 
e = 2,7183
a b
P( a < x < b ) = f x dx
a
b ( )∫ 72
CARACTERÍSTICAS
1ª) É simétrica em torno do ponto x = µ;
2ª) Possui um ponto de máximo em x = µ;
3ª) Possui dois pontos de inflexão: x1=µ + σ e x2=µ - σ;
4ª) P(µ - σ < X < µ + σ) = 0,6827 (68 %);
P(µ - 2σ < X < µ + 2σ) = 0,9545 (95 %);
P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9972 (99 %);
µµµµ = Mo = Md
P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9972 (99 %);
73
5ª) E(X) = µ;
6ª) V(X) = σ2 → DP(X) = σ
7ª) A área total da curva é igual a 1 (um) ou
100 %.
8ª) A curva é assintótica em relação ao eixo das
abscissas, isto é, quanto mais prolongamos as
extremidades da curva mais elas se
aproximam do eixo das abscissas, sem no
entanto nunca alcançá-lo.
74
Distribuição Normal Padrão
É uma distribuição normal de uma variável
aleatória “Z” que tem média zero (µ = 0) e
variância igual a 1 (σ2 = 1) e pode ser obtida
pela transformação da variável aleatória “X”
(que tem distribuição normal) na variável(que tem distribuição normal) na variável
aleatória “Z” através da fórmula:
σ
µ−
=
XZ
75
Função densidade de probabilidade
2
Z2
e.
2
1)Z(g
−
pi
=
As áreas que correspondem as probabilidades da
curva normal padrão, estão tabeladas. Para
utilizarmos a tabela devemos transformar os valores
da v. a. “X” que tem distribuição normal com
parâmetros µ e σ, na v. a. “Z” pela fórmula.
76
Os valores de “Z”, na tabela, encontram-se sem
sinal porque ela serve tanto para valores
positivos de “Z” como para negativos, visto
que é simétrica em relação ao ponto central.
Tabela da distribuição normal padrão
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0120 ,0160 ,0199 ,0239 ,0279 ,0319 ,0359
0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0754
0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141
0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517
0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1884 1879
0,5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224
0,6 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2518 2549
0,7 2580 2612 2642 2673 2704 27342764 2794 2823 2852
0,8 2881 2910 2939 2967 2996 3023 3051 3078 3106 3133
0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389
Tabela da distribuição normal padrão
Área subtendida pela curva normal reduzida de 0 a Z
... 77
Exemplo 1: Calcular as seguintes probabilidades:
a) P(0 < Z < 1,23); b) P(Z > 1,23); 
c) P(1,23 < Z < 2,12); d) P(Z > - 1,23)
Exemplo 2: Determine o valor de X, tal que:
a) P(Z > X) = 0,05; b) P(- X < Z < + X) = 0,95; 
c) P(Z > X) = 0,01; d) P(Z < - X e Z > X) = 0,01c) P(Z > X) = 0,01; d) P(Z < - X e Z > X) = 0,01
Exemplo 3: A média de pesos ao nascer de 800
terneiros foi de 28 kg com desvio padrão de 4,5 kg.
Determinar o número de animais com peso:
a) maior que 30 kg; b) entre 25 e 29 kg.
78
AULA 9 AULA 9 –– INFERÊNCIA ESTATÍSTICAINFERÊNCIA ESTATÍSTICA
EstatísticaEstatística
79
Considerações geraisConsiderações gerais
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA é a parte da Estatística que trata
do estudo de populações com base em dados
amostrais.
Amostragem – é o processo de retirada de amostras. É oAmostragem – é o processo de retirada de amostras. É o
estudo das relações existentes entre uma população e
as amostras dela selecionadas
Parâmetros – são grandezas populacionais desconhecidas
que devem ser estimadas pelas grandezas amostrais (ou
estatísticas) correspondentes.
80
POPULAÇÃO – é o conjunto de todos os elementos com uma
ou mais características em comum. Pode ser finita ou
infinita dependendo do número de elementos que a
compõe.
População Finita – é esgotada por extrações sucessivas de
seus elementos. Quando tem um número finito de
elementos e a amostragem é feita sem reposição doselementos e a amostragem é feita sem reposição dos
elementos.
População Infinita – não é esgotada por extração sucessiva de
seus elementos. Quando não se conhece o número de
elementos da população, quando o número de elementos
da população é muito grande, quando efetuamos a
amostragem com reposição dos elementos de uma
população finita.
81
Amostra – conjunto de indivíduos de uma
população obtidos através de um processo
probabilístico e que possuem a característica
da população.
Amostragem Aleatória – é um processo de
obtenção de uma amostra que se caracterizaobtenção de uma amostra que se caracteriza
pelo fato de que todos os elementos da
população tem igual probabilidade de nela
participarem. Amostras obtidas por esse
processo são chamadas AMOSTRAS
ALEATÓRIAS.
82
AMOSTRAS ALEATÓRIAS
Seja uma população da variável aleatória X formada
pelos seguintes valores RX = {1, 2, 3, 4, 5}. Seja a
amostra aleatória (X1, X2) obtida de amostragem sem
reposição dos elementos, o número de amostras
distintas é dado por:
n
NCm =
onde:
N – tamanho da população
n – tamanho da amostra
Ex.:
NCm =
10Cm 25 == (10 amostras distintas quetem a mesma probabilidade
de serem escolhidas) 83
(1,2) (2,3) (3,4) (4,5)
(1,3) (2,4) (3,5)
(1,4) (2,5)
(1,5)
84
Se a amostragem for com reposição dos
elementos, o número de amostras distintas
será:
Ex.:
nNm =
25Nm 2 ==
Na amostragem com reposição os elementos da população podem
ser escolhidos diversas vezes (População Infinita ou Finita com
reposição).
Na amostragem sem reposição os elementos da população não
podem ser escolhidos mais de uma vez (População Finita).
85
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
86
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Seja X uma variável aleatória com E(X) = µ e V(X) =σ2 e
(X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de X.
Então a distribuição terá E(Y) = nµ e V(Y) =nσ2.∑
=
=
n
1i
iXY
À medida que n cresce a distribuição de Y tende para a
distribuição normal. Padronizando a variável Y, tem-
se:
=1i
n
nYZ
σ
µ−
=
87
À medida que n cresce (tende a infinito) a
distribuição das médias se aproxima da
normal .
)
n
,(NX
2σµΩ
µ)XE( =
n
)X(V
2σ
=
Então
88
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Conjunto de medidas do mesmo tipo. Retiram-se todas
as possíveis amostras de tamanho n da população de
tamanho N.
População ⇒ Número de elementos: N
Parâmetros : µ, σ2, σParâmetros : µ, σ2, σ
Amostras ⇒ tamanho : n1, n2, ..., nm
Amostra 1: 
Amostra 2: 
Amostra m: 
1
2
11 s,s,X
2
2
22 s,s,X
m
2
mm s,s,X
µµµµ
σσσσ2 σ
s2 
s X
População
Amostra
89
Distribuição Amostral das Médias
...
1/m 1/m ... 1/m
1X 2X mX
)XX(P i=
iX
População Infinita ou Finita 
População Finita sem reposição
nC
População Infinita ou Finita 
com reposição
Número de amostras: nN
µ=µX
n
2
2
X
σ
=σ
Número de amostras: 
n
NC
µ=µX






−
−
⋅
σ
=σ
1N
nN
n
2
2
X






−
−
1N
nN
Fator de correção
90
Exemplos:
1 - Considere uma população formada pelos
números 3, 5, 7 e 9 de onde extraíremos todas
as amostras possíveis de tamanho n=2, com
reposição.
2 - Considere uma população formada pelos
números 3, 5, 7 e 9 de onde extraíremos todas
as amostras possíveis de tamanho n=2, sem
reposição.
91
1 - População Infinita – com reposição
Valores populacionais:
Valores amostrais:
Serão extraídas Nn = 16 amostras possíveis de
tamanho n=2, dessa população.
92
(3,3) (3,5) (3,7) (3,9)
(5,3) (5,5) (5,7) (5,9)
(7,3) (7,5) (7,7) (7,9)
(9,3) (9,5) (9,7) (9,9)
As médias dessas 16 amostras são:As médias dessas 16 amostras são:
3 4 5 6 
4 5 6 7
5 6 7 8
6 7 8 9
X
93
Distribuição de probabilidade de :
µ = E(X) = ∑ xi pi = 96/16 = 6
σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 40/16 = 5/2
iX
3 4 5 6 7 8 9
pi 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16
iX
σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 40/16 = 5/2
Pelas fórmulas:
6µµX ==
2
5
n
σ
σ
2
2
X ==
94
2 - População Finita – sem reposição
Valores populacionais:
Valores amostrais:
Serão extraídas = 6 amostras possíveis de
tamanho n=2, dessa população.
n
NC
95
(3,5) (3,7) (3,9)
(5,7) (5,9)
(7,9)
As médias dessas 6 amostras são:X
4 5 6 
6 7
8
96
Distribuição de probabilidade de :
µ = E(X) = ∑ xi pi = 36/6 = 6
σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 10/6 = 5/3
iX
4 5 6 7 8
pi 1/6 1/6 2/6 1/6 1/6
iX
σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 10/6 = 5/3
Pelas fórmulas:
6µµX ==
3
5
6
10
3
2
2
5
14
24
2
5
1N
nN
n
σ
σ
2
2
X ==⋅=





−
−
⋅=





−
−
⋅=
97
Estimação de parâmetros
Parâmetros – valores calculados em uma
população, ou seja, são os valores que
caracterizam essa população.
Estimadores – valores calculados em umaEstimadores – valores calculados em uma
amostra com o objetivo de obter informações
sobre os parâmetros e sobre a própria
população.
Estimativa – é o valor numérico que o estimador
assume.
98
Estimação por ponto
Quando temos um único ponto, ou seja, um
único valor para estimar o parâmetro.
Parâmetros ⇒ 22 ,,,, σσσσµParâmetros ⇒
Estimadores ⇒
2
XX
2
,,,, σσσσµ
2
XX
2 s,s,s,s,X
99
Propriedades dos Estimadores
Para escolher um estimador deve-se levar em
conta duas propriedades principais:
imparcialidade e eficiência
IMPARCIALIDADE (ou não tendenciosidade): um estimador é dito
imparcial se sua esperança matemática for igual ao parâmetro
correspondente, ou seja,se a média da distribuição amostral
desse estimador for igual ao parâmetro que ele estima.
Ex.: µ=)X(E
100
EFICIÊNCIA: se a distribuição amostral de dois
estimadores tiver a mesma média, igual ao
parâmetro correspondente, ou seja, se dois
estimadores forem imparciais, será eficiente
aquele que tiver a menor variância.
Ex.: eµ=)X(E µ=)Md(E
2σe
n
)X(V
2σ
= 57,1
n
)Md(V
2
⋅=
σ
101
Estimação por intervalo
Quando a estimativa é dada por dois valores
entre os quais se espera que o parâmetro
esteja compreendido.
Estimação por ponto ⇒ um único valorEstimação por ponto ⇒ um único valor
representa o parâmetro, .
Estimação por intervalo ⇒ representado por
dois números que indicam os limites do
intervalo, .
0,32X =
[ ]35,33;65,30X∈
102
Estimativa por intervalo para a média (µ) ou 
intervalo de confiança (IC) para a média de 
uma população
Utilizaremos a variável aleatória (em uma
amostra onde n≥≥≥≥30) que tenha uma
distribuição normal com e .
X
σdistribuição normal com e .µµX =
n
X
σ
σ =
Xc .ZX)1)((IC σαµ ±=−
onde:
(1-α) = é o nível de confiança
Zc = é o valor de Z crítico
= é o grau de precisãoXcZ σ⋅
103
X58,2X%99)(IC01,0 σ⋅±=µ→=α
X96,1X%95)(IC05,0 σ⋅±=µ→=α X96,1X%95)(IC05,0 σ⋅±=µ→=α
No caso da amostra ser pequena n<30 teremos uma outra 
variável chamada “t” que tem uma distribuição chamada 
DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT
104
Exemplo:
1 – a) Determinar o intervalo de confiança de 99 % e
95 % com a finalidade de avaliar o peso médio dos
universitários de Pelotas, sendo que a respeito foi
obtida uma amostra de 100 estudantes com média
e variância . b) Supondo que a
população é de 1.000 estudantes o que acontece?
kg5,65X = 22 kg04,23s =
a) População infinita – não diz quantos são, só diz que
a amostra é de 100 estudantes.
0,48
10
4,8
100
4,8
n
σ
σX ====
105
48,058,2%99)(01,0 ⋅±=→= XIC µα
48,058,25,65%99)(01,0 ⋅±=→= µα IC
24,15,65%99)(01,0 ±=→= µα IC
74,6626,64 <<µ
48,096,1%95)(05,0 ⋅±=→= XIC µα
48,096,15,65%95)(05,0 ⋅±=→= µα IC
94,05,65%95)(05,0 ±=→= µα IC
44,6656,64 <<µ
106
b) População finita → N=1.000
207,090,0.23,0
999
900
100
23,04
11.000
1001.000
100
23,04
σ
2
X ==





⋅=





−
−
⋅=
0,45σX =
45,058,25,65%99)(01,0 ⋅±=→= µα IC
45,096,15,65%95)(05,0 ⋅±=→= µα IC
38,6662,64 <<µ
66,6634,64 <<µ
107

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