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AULA 6 AULA 6 –– ELEMENTOS DE ELEMENTOS DE PROBABILIDADEPROBABILIDADE EstatísticaEstatística PROBABILIDADEPROBABILIDADE 1 INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO • A Estatística teve origem anterior à probabilidade e dizia respeito a coleta, organização e apresentação de dados em tábuas e cartas. • Com a probabilidade a estatística pode ser utilizada para tirar conclusões e tomar decisões com base na análise de dados.conclusões e tomar decisões com base na análise de dados. • A probabilidade teve início no século XVII onde Fermat e Pascal se esforçaram para resolver questões relacionadas com jogos de azar (roleta e cartas). Mas no século XX é que se desenvolveu uma teoria matemática baseada em axiomas, definições e teoremas. 2 • Os avanços tecnológicos em qualquer área do conhecimento devem-se aos experimentos. • Se efetuarmos um experimento repetidas vezes, sob condições idênticas obteremos resultados praticamente iguais. • Mas, em outros experimentos os resultados não são os• Mas, em outros experimentos os resultados não são os mesmos, ainda que as condições de realização do experimento sejam as mesmas. • Quando utilizamos a matemática para estudar fenômenos de observação devemos construir modelos para explicá-los que podem ser de dois tipos: determinísticos e probabilísticos. 3 Modelo Determinístico É aquele em que a partir das condições, nas quais um experimento foi realizado, pode-se determinar seu resultado por antecipação. Ex: velocidade = distância/tempo pressão=força/área 4 Modelo Probabilístico É aquele em que as condições de execução de um experimento não determinam o resultado do mesmo, mas sim o comportamento probabilístico do resultado observável. Este modelo caracteriza os experimentos aleatórios. - lançamento de um dado (verificar qual face cai voltada para- lançamento de um dado (verificar qual face cai voltada para cima); - lançamento de três moedas consecutivas; - tempo de vida de um ser humano; - número de votos de um candidato em uma eleição; - precipitação pluviométrica que ocorrerá em uma localidade após uma tempestade. 5 CONCEITOS FUNDAMENTAISCONCEITOS FUNDAMENTAIS Experimentos aleatórios: não podemos precisar por antecipação qual o resultado que ocorrerá, mas podemos definir o conjunto dos resultados possíveis. Características dos experimentos aleatórios:Características dos experimentos aleatórios: 1ª) cada experimento deve ser repetido inúmeras vezes sob as mesmas condições; 2ª) muito embora não se possa afirmar que o resultado particular ocorrerá, é sempre possível descrever o conjunto de todos os possíveis resultados; 6 3ª) quando o experimento for realizado várias vezes, os resultados parecem ocorrer de forma acidental, contudo, se repetirmos o experimento um grande número de vezes surgirá uma regularidade nos resultados que torna viável construir um modelo matemático com o qual é possível analisar o experimento. - jogar um dado para verificar qual face cai voltada para- jogar um dado para verificar qual face cai voltada para cima; - verificar o número de vezes que ocorre a face coroa em lançamentos de uma moeda; - verificar o sexo de crianças recém-nascidas, em uma determinada maternidade; - escolher uma carta de uma baralho e anotar o seu valor. 7 Espaço Amostral (S ou Ω): conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório. Representação: S (maiúscula) - escrito na forma de conjunto. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS→ S={a1, a2, a3, ..., an} ESPAÇOS AMOSTRAIS INFINITOS→ S={a1, a2, a3, ...} - lançar um dado para verificar qual face cai voltada para cima S - lançar um dado para verificar qual face cai voltada para cima → S1={1, 2, 3, 4, 5, 6} - lançar uma moeda para verificar qual face cai voltada para cima→ S2={cara(c); coroa (k)} - lançar uma moeda até aparecer a face “cara” e contar quantas vezes foi preciso lançar a moeda→ S3={1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 8 Evento: subconjunto do espaço amostral, ou seja, é qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório. Representação: letras A, B, C,... (maiúsculas). Lançar um dado e ver qual a face que cai para cima→ S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A={1, 2, 4} B={1, 3, 5, 6} C={2, 5} D={4} SA A={1, 2, 4} B={1, 3, 5, 6} C={2, 5} D={4} Eventos associados a esse espaço amostral Ponto Amostral: resultado particular de um experimento aleatório, portanto um espaço amostral é constituído por uma coleção de pontos amostrais. A={1, 2, 4} 3 pontos amostrais 9 Ocorrência de um evento: um evento do espaço amostral S ocorre se o resultado do experimento aleatório ao qual ele está associado for um ponto amostral desse evento. Ex.: Ocorrer número ímpar no lançamento de um dado Espaço amostral: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: A = {1, 3, 5} 10 OPERAÇÕES COM EVENTOS (conjuntos)OPERAÇÕES COM EVENTOS (conjuntos) Sejam A e B, dois eventos de um espaço amostral S, dizemos que o evento A ou B ocorrem se: o resultado do experimento aleatório for um ponto que pertença ao evento A, dizemos que A ocorreu e se for um ponto de B, dizemos que B ocorreu. A∪∪∪∪B→ ocorrência de A ou de B, ou ambos; A∩∩∩∩B → ocorrência de A e de B; A - B → ocorrência de A e não de B; → é a não ocorrência de A.ASA −= A A A A B B B A 11 Eventos aleatórios → a todo evento será sempre possível associar uma probabilidade. Ex.: Verificar a infecção de ferrugem nas folhas de 5 plantas de trigo. Considere:plantas de trigo. Considere: S={SI, Ifr, IM, Ifo, IG}; A={ SI, Ifr, IM} e B={IM, Ifo}. Calcule: A∪B; A∩B; A - B e .A 12 EVENTOS ESPECIAIS Evento certo: ocorre sempre, toda vez que se realiza o experimento, portanto esse evento é o próprio S. É também um evento porque todo o conjunto é um subconjunto de si mesmo (S ⊂ S). Ex.: no lançamento de um dado, fatalmente sairá a face 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento elementar: composto de um único ponto amostral. Ex.: no experimento anterior o evento A={2} 13 Evento impossível: nunca irá ocorrer, é também conhecido na teoria dos conjuntos como o conjunto vazio (∅). O conjunto vazio é um evento porque é subconjunto de qualquer conjunto, portanto é subconjunto de S (∅⊂ S). Ex.: sair a face 7 no lançamento de um dadoEx.: sair a face 7 no lançamento de um dado 14 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOSEVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ((e.m.ee.m.e)) Não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, quando a intersecção entre dois ou mais eventos for igual ao conjunto vazio (A∩∩∩∩B=∅∅∅∅). Na teoria dos conjuntos, são dois conjuntos disjuntos, istoNa teoria dos conjuntos, são dois conjuntos disjuntos, isto é, que não possuem nenhum ponto em comum. Ex.: No lançamento de um dado, o espaço amostral será S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, verifique se os eventos são e.m.e: A={face menor que 2} = {1 } B={face maior que 2} = {3, 4, 5, 6 } e.m.e A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅ 15 CONCEITOS DE PROBABILIDADECONCEITOS DE PROBABILIDADE Conceito clássico de probabilidade ou probabilidade “a priori” (Laplace) A probabilidade de um evento A é igual ao quociente entre o nº de pontos amostrais desse evento (k) e o nºentre o nº de pontos amostrais desse evento (k) e o nº de pontos amostrais do espaço amostral (n) ao qual ele está associado, desde que todos os pontos do espaço amostral sejam igualmente prováveis (espaço equiprovável), ou seja, a probabilidade de A é k/n e escreve-se: n k)A(P = 16 Ex. 1: no lançamento de um dado “honesto”, cujo espaço amostral é S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, calcule a probabilidade dos seguintes eventos: A={2, 4, 6}; B={1,5} e C={1, 2, 5, 6}. Ex. 2: Seja S, o espaço amostral referente aoEx. 2: Seja S, o espaço amostral referente ao lançamento de duas moedas e A o evento que indica a ocorrência de uma cara. Calcule a probabilidade de ocorrênciado evento A. 17 Conceito frequencial ou probabilidade “a posteriori” Se após “n” repetições de um determinado experimento com “n” suficientemente grande, se verificar “k” ocorrências de umgrande, se verificar “k” ocorrências de um evento A, então, a probabilidade de ocorrência desse evento será a sua freqüência relativa dada por k/n. Este processo é também chamada de probabilidade empírica. 18 Ex.: Lançar ao ar um dado “viciado”, sendo o evento A={6}. N° lançamentos Ocorrência da face 6 Probabilidade 10 8 0,8 100 71 0,71 1.000 722 0,722 10.000 7.202 0,7202 100.000 71.995 0,71995 Verifica-se que a probabilidade que procuramos tende a 0,72 e quanto mais vezes lançarmos o dado mais essa probabilidade se aproximará de 0,72, é o que chamamos REGULARIDADE ESTATÍSTICA. 19 Conceito axiomático de probabilidade Seja S um espaço amostral associado a um experimento aleatório e seja A um evento desse espaço amostral, ou seja, A ⊂ S. “P” é chamada função de probabilidade e P(A) é a probabilidade de ocorrência do evento A se os seguintes axiomasocorrência do evento A se os seguintes axiomas forem obedecidos: A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 A2) P(S) = 1 A3) Se A e B forem e.m.e., então, P(A∪B) = P(A) + P(B) A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅ 20 Ex. 1: Considere-se o lançamento de um dado perfeito. Seja A o evento que indica a ocorrência da face 2, calcule a probabilidade do evento A. Ex. 2: Sejam AB um segmento de reta e E um evento que se caracteriza pela escolha, ao acaso, de um ponto do segmento AB, que pertença também aoponto do segmento AB, que pertença também ao segmento menor ab, contido em AB. Se os comprimentos AB e ab são respectivamente, 5 e 2 unidades, calcule a probabilidade de ocorrência do evento E. 21 TEOREMAS SOBRE O CÁLCULO DE TEOREMAS SOBRE O CÁLCULO DE PROBABILIDADESPROBABILIDADES 1 – Seja o conjunto vazio, então: P(∅) = 0 22 2 – )BA(P)A(P)BA(P ∩−=− Sejam A e B dois eventos quaisquer, então: BA 23 3 – Sejam A e B dois eventos quaisquer, então: )BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ 2 )BA(P)A(P)BA(P ∩−=− )BA(P)A(P)BA(P ∩−=− B A 24 4 – Seja o complemento do evento A, então: )A(P1)A(P −= A A A 25 Espaços de probabilidades finitos Seja S um espaço amostral finito, S={a1, a2, a3, ... , an}, um espaço amostral finito é obtido associando-se a cada ponto ai ∈ S um número real pi chamado de probabilidade de ai, com as seguintes propriedades: ESPAÇOS DE PROBABILIDADESESPAÇOS DE PROBABILIDADES as seguintes propriedades: Ex.: suponhamos um dado “viciado”, ou seja, um dado onde a probabilidade de sair a face “6” é o dobro das probabilidades das outras faces., então: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} para esse experimento, onde: P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1/7 e P(6)=2/7. ∑ ∞ = => 1i ii 1pe0p 26 Esse exemplo constitui um espaço de probabilidade porque as probabilidades individuais são maiores que zero e a soma das probabilidades é igual a 1. Se definirmos um evento A={3, 4, 6} a sua ∑ ∞ = => 1i ii 1pe0p Se definirmos um evento A={3, 4, 6} a sua probabilidade será dada por: P(A)=P(3)+P(4)+P(6)= 1/7+1/7+2/7=4/7 ou seja, pela soma das probabilidades individuais. 27 Espaços finitos equiprováveis São aqueles em que as probabilidades “pi” associadas aos pontos “ai”, do espaço amostral, são todas iguais. Se S finito, tiver “n” pontos, a probabilidade de cada ponto “ai” será dada por 1/n. Se A é um evento composto por “k” pontos amostrais, então P(A)=k/n.composto por “k” pontos amostrais, então P(A)=k/n. Ex.: No lançamento de um dado normal cujo S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, sendo o evento A a obtenção de um número ímpar, A={1, 3, 5}, calcule a probabilidade de A. 28 Espaços de probabilidade infinitos Seja S um espaço amostral infinito, S={a1, a2, a3, ...}. Um espaço de probabilidade infinito é obtido associando-se a cada ponto ai ∈ S uma probabilidade pi, que satisfaça as seguintes propriedades: Ex.: No lançamento de uma moeda até que apareça a ∑ ∞ = => 1i ii 1pe0p Ex.: No lançamento de uma moeda até que apareça a face cara, considerando c=cara e k=coroa o espaço amostral será: S={c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ...} e a probabilidade de cada um desses pontos será: P(c)=1/2; P(kc)=1/4; P(kkc)=1/8; ... É possível verificar que a probabilidade de cada ponto é maior que zero e a soma infinita de todas as possibilidades é igual a 1. 29 A probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição do evento B já ter ocorrido é chamada de PROBABILIDADE CONDICIONAL de A e sua notação é P(A/B). Se o evento B já ocorreu, então o resultado do PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL Se o evento B já ocorreu, então o resultado do experimento foi um ponto de B, logo S fica reduzido ao “tamanho” do evento B, então temos que ver quantos pontos de B pertencem ao evento A, que estão em A∩B: )B(P )BA(P)B/A(P ∩= desde que P(B) ≠ 0 B A 30 Se a probabilidade de ocorrência de um evento B não é afetada pela ocorrência ou não de um evento A, isto é, se P(B/A)=P(B), dizemos que A e B são eventos independentes. INDEPENDÊNCIA DE EVENTOSINDEPENDÊNCIA DE EVENTOS A e B são eventos independentes. Portanto, dois eventos são independentes se satisfizerem as condições: P(B/A)=P(B) ou P(A/B)=P(A), então, P(A∩∩∩∩B)=P(A).P(B) Teorema do Produto 31 Ex.: Seja o experimento sortear uma bola de uma urna que contém 10 bolas numeradas de 0 a 9. Sejam os eventos A={0, 1, 3, 6}; B={3, 4, 5, 8, 9} e C={1, 2, 3, 4, 5, 7}. Calcule: P(A); P(B); P(C); P(A∩B); P(A∩C);Calcule: P(A); P(B); P(C); P(A∩B); P(A∩C); P(B∩C); P(A/B); P(B/C). Verifique se os eventos B e C são independentes. 32 ANÁLISE COMBINATÓRIA Em muitos casos, o número de pontos do espaço amostral não é muito grande, permitindo a enumeração ou contagem direta dos pontos amostrais necessários para a determinação dasamostrais necessários para a determinação das probabilidades. Às vezes, em alguns problemas essa contagem é praticamente impossível. Em tais casos, lança-se mão da análise combinatória, que pode ser encarada como um processo sofisticado de contagem. 33 Ex.1: Em uma pilha com 5 sacos de sementes, 2 da variedade 1 e 3 da variedade 2, retiram-se dois sacos ao acaso sendo o primeiro reposto antes da retirada do segundo. Calcule as probabilidades dos eventos A, B e C. A={sair 2 sacos da variedade 1}; B={sair 2 sacos da variedade dois}; C={sair um saco de cada variedade} Ex.2: Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas,. Das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos uma seja defeituosa. 34 Ex.3: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Tiram-se 3 bolas de uma só vez. Determinar a probabilidade de obtenção de 0, 1, 2 e 3 bolas brancas. 35 AULA 7 AULA 7 –– VARIÁVEIS ALEATÓRIASVARIÁVEIS ALEATÓRIAS EstatísticaEstatística 36 INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO Ao descrevermos um espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos se o resultado necessariamente seja um número, como por exemplo: lançamento de moedas, morte ou não de pacientes em hospitais, sexo de crianças recém-nascidas, existência ou não de proteínas em alimentos.ou não de proteínas em alimentos. Contudo em muitas situações experimentais desejamos atribuir um número real (x) a todo elemento “s” do espaço amostral S (s∈S), para isso usaremos uma função real denominada de VARIÁVEL ALEATÓRIA. 37 Assim, quando atribuímos a um experimento, por exemplo, uma lâmpada, como sendo uma lâmpada perfeita ou uma lâmpada defeituosa. Podemos atribuir valores numéricos como valorPodemos atribuir valores numéricos como valor (1) para as lâmpadas perfeitas evalor (zero) para as lâmpadas defeituosas 38 DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA Seja S um espaço amostral associado a um experimento aleatório, uma função que associa um número real a cada elemento do espaço amostral é denominada de VARIÁVEL ALEATÓRIA. Seja X a variável aleatória e “s” um elemento do espaço amostral S (s ∈ S), então temos: X=f(s), onde “s” é a variávelS (s ∈ S), então temos: X=f(s), onde “s” é a variável independente e X é a variável dependente. Matematicamente, o espaço amostral S, onde a função está definida é chamado domínio da função f(s) e o conjunto formado pelos valores que X assume (xi), chamado Rx é o contra-domínio de f(s) e representaremos por: X = f(s) S Rx 39 Graficamente podemos representar por: s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 x 1 x 2 x 3 x 4 S Rx Resumindo: variável aleatória é aquela cujos valores são obtidos por um experimento aleatório e aos quais podemos associar probabilidades. Lembrando que a soma das probabilidades de todos os valores que a variável aleatória pode assumir é igual a 1. 40 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 41 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Quando o número de valores possíveis de X (Rx), constituir um conjunto finito ou infinito enumerável, a variável aleatória X é chamada de discreta. 1- Consideremos o experimento de lançar dois dados simultaneamente para verificar quais as faces que caem voltadassimultaneamente para verificar quais as faces que caem voltadas para cima. O espaço amostral desse experimento será: S = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 5) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)} 42 Seja X = f(s), com s∈S, uma variável aleatória que se define sobre esse espaço amostral. Na realidade uma função é uma regra que indica a relação entre a variável independente e o valor da função (variável dependente). Para o exemplo o valor da função será dado pela soma dos pontos obtidos nos dois dados. Portanto: X = f(1; 1) = 1 + 1 = 2 X = f(1; 2) = 1 + 2 = f(2; 1) = 2 + 1 = 3X = f(1; 2) = 1 + 2 = f(2; 1) = 2 + 1 = 3 X = f(1; 3) = 1 + 3 = f(2; 2) = 2 + 2 = f(3; 1) = 3 + 1 = 4 X = f(6; 6) = 6 + 6 = 12 O conjunto Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} chamado de contradomínio dessa função (variável aleatória) é um conjunto finito enumerável. 43 2 - Consideremos o experimento aleatório de jogar uma moeda duas vezes para verificar quais as faces que caem voltadas para cima. Se considerarmos “c” como sendo cara e “k” como sendo coroa, o espaço amostral desse experimento será: S = {cc, ck, kc, kk}. Definido a variável aleatória X como sendo o número de caras que forem obtidas nos doisnúmero de caras que forem obtidas nos dois lançamentos teremos: x1 = f(cc) = 2; x2 = f(ck) = f(kc) = 1 e x3 = f(kk) = 0, portanto Rx = {0, 1, 2} que é um conjunto finito enumerável 44 3 - Consideremos o experimento de lançar um dado para verificar qual a face que cai voltada para cima. Portanto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definimos a variável aleatória X como sendo igual ao número de pontos que obtivemos no dado. Neste caso X = f(s) = s e S = Rx . Uma função onde isso acontece é chamada de “função identidade”. 4 -4 - Consideremos o experimento aleatória de lançar uma moeda até que a face “cara” aconteça, portanto o espaço amostral desse experimento S = {c, kc, kkc, kkkc,.......}. Definimos a variável aleatória X como sendo o número de vezes que foi necessário lançar a moeda para a face “cara” aparecer, portanto Rx = {1, 2, 3, 4, 5, ...........}, que é um conjunto infinito enumerável. 45 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A função representada pela equação P(X = xi) = pi , onde xi ∈ Rx , denomina-se distribuição de probabilidades da variável aleatória X e usualmente é dada na forma da tabela: xi x1 x2 ... Xn A função “p” é denominada função de probabilidade da variável aleatória X e deve satisfazer as seguintes condições: 1ª) pi ≥ 0, para qualquer i 2ª) ∑ pi = 1 pi p1 p2 ... pn 46 A partir do exemplo 1, se calcularmos P(X = xi) para todos os valores de Rx , considerando que o espaço amostral S tem 36 pontos teremos os seguintes resultados: P(X = 2) = P[(1; 1)] = 1/36 P(X = 3) = P[(1; 2), (2; 1)] = 2/36 P(X = 4) = P[(1; 3), (2; 2), (3; 1)] = 3/36 P(X = 5) = P[(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)] = 4/36P(X = 5) = P[(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)] = 4/36 P(X = 12) = P[(6; 6)] = 1/36, que podem ser escritos da seguinte forma: xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 47 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta pode ser representada através de um diagrama como na figura a seguir: p i x i2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 48 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA - F(y) Seja X uma variável aleatória discreta, a função distribuição acumulada F é uma função real definida por: F(y) = P(X ≤ y) = p i x yi≤ ∑ A partir do exemplo podemos calcular a função distribuição A partir do exemplo podemos calcular a função distribuição acumulada, como segue: xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 F(xi ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36 49 A função distribuição acumulada F(y), assim definida, é uma função real e pode ser calculada para qualquer valor do intervalo (− ∞; + ∞). Portanto o valor da função F(y), no exemplo acima, para qualquer y < 2 é 0 (zero) e paraacima, para qualquer y < 2 é 0 (zero) e para qualquer y ≥ 12 é 1(um). Também devemos considerar que F(y) = 1/36 para o intervalo [2; 3), e que F(y) = 3/36 para o intervalo [3; 4) e assim sucessivamente para os outros valores intermediários. 50 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 24/36 26/36 28/36 30/36 32/36 34/36 1 F(x) +00 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 12/36 14/36 16/36 18/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20/36 22/36 24/36 x 51 MÉDIA (Esperança matemática ou Epectância), VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO para v.a.d. Média→µ = E(X) = Σ xi pi Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2 p = Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2 pi = = E (X2) - [E (X) ]2 onde: E(X2) = Σ xi2 pi Desvio padrão →σ = DP(X) = )X(V 52 Ex.: Considerando o experimento aleatório e a variável aleatória como definidos no exemplo 2 teremos: µ = E(X) = ∑ xi pi = xi 0 1 2 pi 1/4 2/4 1/4 0 1 1 2 2 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ =µ = E(X) = ∑ xi pi = σ2 = V(X) = ∑ (xi - µ)2 pi = ou σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = σ = DP(X) = 0 4 1 4 2 4 1⋅ + ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( )0 1 1 4 1 1 2 4 2 1 1 4 1 4 1 4 2 4 1 2 2 2 2 − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = + = = 0 1 4 1 2 4 2 1 4 1 0 2 4 4 4 1 1 2 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ − = + + − = 1 2 53 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Quando os valores que compõe Rx formam um conjunto infinito não enumerável a variável aleatória X será chamada de contínua. Exemplos: Tempo de vida de um animal, peso de umaExemplos: Tempo de vida de um animal, peso de uma pessoa, vida útil de um componente eletrônico, duração do efeito de um anestésico, etc. O conjunto Rx será escrito como: Rx = { x; x é o peso de uma pessoa adulta} 54 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Seja X uma variável aleatória contínua, então Rx é um conjunto infinito não enumerável, portanto X podeassumir qualquer valor num intervalo [a; b] ou no intervalo (−∞; + ∞). Admite-se uma função contínua f(x) chamada função densidade de probabilidade que satisfaça as seguintes condições: 1ª) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ Rx 2ª) 1dx)x(f Rx =∫ 55 A função densidade de probabilidade é tal que a P(a < x < b) é igual a área da figura limitada pela curva da função f(x), o eixo da abscissas e as ordenadas dos pontos “a” e “b” e é dada pela expressão P(a < x < b) = f x dx b a ( )∫ f(x) xa b P(a < x < b) = área sombreada da figura É interessante observar que quando se trata de variáveis aleatórias contínuas, temos que P(x = a) = , portanto P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x < b). f x dx a a ( )∫ = 0 56 Medidas para variáveis aleatória contínuas Esperança matemática (média) µ = E(X) = ∫ Rx x.f(x)dx Variância σ2 = V(X) = E[x2] - [E(x)] 2 = Desvio padrão x f x dx xf x dx RxRx 2 2 ( ) ( )− ∫∫ σ = =DP(X V X) ( ) 57 AULA 8 AULA 8 –– DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEPROBABILIDADE EstatísticaEstatística PROBABILIDADEPROBABILIDADE 58 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAVARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA DISTRIBUIÇÃO DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 59 DISTRIBUIÇÃO BINOMIALDISTRIBUIÇÃO BINOMIAL * É uma das mais importantes para v.a.d. * Conhecida como distribuição de Bernoulli, em homenagem ao suíço J. Bernoulli que foi o primeiro a estudar esta distribuição no séculoprimeiro a estudar esta distribuição no século XVII. * Foi ele quem introduziu o modelo probabilístico chamado de “experimentos repetidos ou “experimentos de Bernoulli”. 60 HIPÓTESESHIPÓTESES em que se baseia a distribuição: 1ª) Existem apenas dois resultados possíveis, sucesso e fracasso; 2ª) A probabilidade de sucesso é constante nas2ª) A probabilidade de sucesso é constante nas diversas realizações do experimento; 3ª) Os experimentos são todos independentes. 61 Função de probabilidade para a Distribuição Binomial xnxx n .qp.Cx)P(X −== ⇒ onde: n → número de ensaios x → número de sucessos em n ensaios p → probabilidade de ocorrência de sucesso em um único ensaio q → probabilidade de ocorrência de fracasso em um único ensaio PARÂMETROS ⇒ n e p q = 1 – p 62 COMBINAÇÃO: dados n elementos distintos, o número de combinações desses n elementos tomados r a r é dado por: )!rn(!r !nCrn − = Não interessa a ordem Ex.1: De quantas maneiras podemos formar combinações de 5 letras, tomadas 3 a 3? Ex.2: De um grupo de 8 pessoas, quantas combinações podem ser formadas com 3 delas? 63 Média→µ = E(X) = n . p Variância→σ2 = V(X) = E (X - µ )2= E (X2) - [E (X) ]2 = = n . p . q = n . p . (1 - p)= n . p . q = n . p . (1 - p) Desvio padrão→σ = DP(X) = = npq)X(V 64 Exemplo 1: Lança-se uma moeda 5 vezes. Qual é a probabilidade de ocorrerem 3 caras? Determine a função de probabilidade para o experimento e verifique se é uma função de probabilidade. Calcule E(X), V(X) e DP(X). Exemplo 2: Num rebanho bovino 30 % dos animaisExemplo 2: Num rebanho bovino 30 % dos animais estão atacados por febre aftosa. Retira-se ao acaso, uma amostra de 10 animais. a) Qual o número esperado de animais sadios? b) Qual a probabilidade de se obter pelo menos um animal sadio? c) Qual a probabilidade de se obter 3 animais sadios? 65 ���� Caso particular da distribuição binomial. ���� Caso limite da binomial quando o número de repetições “n” tende para o infinito e a probabilidade “p” de sucesso tende a zero (é muito pequena). DISTRIBUIÇÃO DE POISSONDISTRIBUIÇÃO DE POISSON ����Utilizada para eventos raros como: � número de erros de datilografia em um livro; � número de frutos caídos; � número de chamadas telefônicas em uma central; � taxa de chegada de clientes em um banco. 66 µ x e. x! µ x)P(X −== Função de probabilidade para a Distribuição de Poisson onde: µµµµ →média de sucessos →µµµµ = n. p e = 2,718 é o número base do sistemas de logaritmos neperianos x é o número de ocorrências PARÂMETRO ⇒ µµµµ 67 Média e Variância→µ = E(X) = σ2 = V(X) = n . p Desvio padrão →σ = DP(X) = = np)X(VDesvio padrão →σ = DP(X) = = np)X(V 68 Exemplo 1: Um medicamento para o tratamento de uma doença manifesta um efeito colateral raro em 0,25 % dos pacientes em que é administrado. Qual é a probabilidade de que 10 pessoas de um total de 3.000 pacientes manifestem efeito colateral? Exemplo 2: O número médio de frutas que caem de umExemplo 2: O número médio de frutas que caem de um pessegueiro em uma safra com duração de 20 dias é 2. Qual é a função de probabilidade da variável aleatória X= número de frutas que caem de um pessegueiro durante a safra? Determine a probabilidade de que em uma safra caia apenas uma fruta de um pessegueiro. 69 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 70 ⌦Mais importante distribuição de probabilidades para v.a.c. ⌦Distribuição teórica de frequências onde a maioria das observações se situam em torno da média, que é o centro da distribuição, e logo diminuem gradual e simetricamente no sentido dos extremos. DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL ⌦Estudada por Laplace e Gauss que tinha grande interesse nas aplicações da matemática associada à astronomia, por isso, também é chamada Distribuição de Gauss ou Distribuição Gaussiana. ⌦Definida por dois parâmetros, que são a média (µµµµ) e o desvio- padrão (σσσσ) da variável aleatória X. 71 Função densidade de probabilidade para a Distribuição Normal 2 2 2 )x( e. 2 1)x(f σ µ− − piσ = -∞ <x <+∞ PARÂMETROS ⇒ µµµµ e σσσσ onde: pi= 3,1416.... e = 2,7183 a b P( a < x < b ) = f x dx a b ( )∫ 72 CARACTERÍSTICAS 1ª) É simétrica em torno do ponto x = µ; 2ª) Possui um ponto de máximo em x = µ; 3ª) Possui dois pontos de inflexão: x1=µ + σ e x2=µ - σ; 4ª) P(µ - σ < X < µ + σ) = 0,6827 (68 %); P(µ - 2σ < X < µ + 2σ) = 0,9545 (95 %); P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9972 (99 %); µµµµ = Mo = Md P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9972 (99 %); 73 5ª) E(X) = µ; 6ª) V(X) = σ2 → DP(X) = σ 7ª) A área total da curva é igual a 1 (um) ou 100 %. 8ª) A curva é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, quanto mais prolongamos as extremidades da curva mais elas se aproximam do eixo das abscissas, sem no entanto nunca alcançá-lo. 74 Distribuição Normal Padrão É uma distribuição normal de uma variável aleatória “Z” que tem média zero (µ = 0) e variância igual a 1 (σ2 = 1) e pode ser obtida pela transformação da variável aleatória “X” (que tem distribuição normal) na variável(que tem distribuição normal) na variável aleatória “Z” através da fórmula: σ µ− = XZ 75 Função densidade de probabilidade 2 Z2 e. 2 1)Z(g − pi = As áreas que correspondem as probabilidades da curva normal padrão, estão tabeladas. Para utilizarmos a tabela devemos transformar os valores da v. a. “X” que tem distribuição normal com parâmetros µ e σ, na v. a. “Z” pela fórmula. 76 Os valores de “Z”, na tabela, encontram-se sem sinal porque ela serve tanto para valores positivos de “Z” como para negativos, visto que é simétrica em relação ao ponto central. Tabela da distribuição normal padrão z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0120 ,0160 ,0199 ,0239 ,0279 ,0319 ,0359 0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0754 0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1884 1879 0,5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,6 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2518 2549 0,7 2580 2612 2642 2673 2704 27342764 2794 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2996 3023 3051 3078 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 Tabela da distribuição normal padrão Área subtendida pela curva normal reduzida de 0 a Z ... 77 Exemplo 1: Calcular as seguintes probabilidades: a) P(0 < Z < 1,23); b) P(Z > 1,23); c) P(1,23 < Z < 2,12); d) P(Z > - 1,23) Exemplo 2: Determine o valor de X, tal que: a) P(Z > X) = 0,05; b) P(- X < Z < + X) = 0,95; c) P(Z > X) = 0,01; d) P(Z < - X e Z > X) = 0,01c) P(Z > X) = 0,01; d) P(Z < - X e Z > X) = 0,01 Exemplo 3: A média de pesos ao nascer de 800 terneiros foi de 28 kg com desvio padrão de 4,5 kg. Determinar o número de animais com peso: a) maior que 30 kg; b) entre 25 e 29 kg. 78 AULA 9 AULA 9 –– INFERÊNCIA ESTATÍSTICAINFERÊNCIA ESTATÍSTICA EstatísticaEstatística 79 Considerações geraisConsiderações gerais INFERÊNCIA ESTATÍSTICA é a parte da Estatística que trata do estudo de populações com base em dados amostrais. Amostragem – é o processo de retirada de amostras. É oAmostragem – é o processo de retirada de amostras. É o estudo das relações existentes entre uma população e as amostras dela selecionadas Parâmetros – são grandezas populacionais desconhecidas que devem ser estimadas pelas grandezas amostrais (ou estatísticas) correspondentes. 80 POPULAÇÃO – é o conjunto de todos os elementos com uma ou mais características em comum. Pode ser finita ou infinita dependendo do número de elementos que a compõe. População Finita – é esgotada por extrações sucessivas de seus elementos. Quando tem um número finito de elementos e a amostragem é feita sem reposição doselementos e a amostragem é feita sem reposição dos elementos. População Infinita – não é esgotada por extração sucessiva de seus elementos. Quando não se conhece o número de elementos da população, quando o número de elementos da população é muito grande, quando efetuamos a amostragem com reposição dos elementos de uma população finita. 81 Amostra – conjunto de indivíduos de uma população obtidos através de um processo probabilístico e que possuem a característica da população. Amostragem Aleatória – é um processo de obtenção de uma amostra que se caracterizaobtenção de uma amostra que se caracteriza pelo fato de que todos os elementos da população tem igual probabilidade de nela participarem. Amostras obtidas por esse processo são chamadas AMOSTRAS ALEATÓRIAS. 82 AMOSTRAS ALEATÓRIAS Seja uma população da variável aleatória X formada pelos seguintes valores RX = {1, 2, 3, 4, 5}. Seja a amostra aleatória (X1, X2) obtida de amostragem sem reposição dos elementos, o número de amostras distintas é dado por: n NCm = onde: N – tamanho da população n – tamanho da amostra Ex.: NCm = 10Cm 25 == (10 amostras distintas quetem a mesma probabilidade de serem escolhidas) 83 (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (1,3) (2,4) (3,5) (1,4) (2,5) (1,5) 84 Se a amostragem for com reposição dos elementos, o número de amostras distintas será: Ex.: nNm = 25Nm 2 == Na amostragem com reposição os elementos da população podem ser escolhidos diversas vezes (População Infinita ou Finita com reposição). Na amostragem sem reposição os elementos da população não podem ser escolhidos mais de uma vez (População Finita). 85 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) 86 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Seja X uma variável aleatória com E(X) = µ e V(X) =σ2 e (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de X. Então a distribuição terá E(Y) = nµ e V(Y) =nσ2.∑ = = n 1i iXY À medida que n cresce a distribuição de Y tende para a distribuição normal. Padronizando a variável Y, tem- se: =1i n nYZ σ µ− = 87 À medida que n cresce (tende a infinito) a distribuição das médias se aproxima da normal . ) n ,(NX 2σµΩ µ)XE( = n )X(V 2σ = Então 88 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Conjunto de medidas do mesmo tipo. Retiram-se todas as possíveis amostras de tamanho n da população de tamanho N. População ⇒ Número de elementos: N Parâmetros : µ, σ2, σParâmetros : µ, σ2, σ Amostras ⇒ tamanho : n1, n2, ..., nm Amostra 1: Amostra 2: Amostra m: 1 2 11 s,s,X 2 2 22 s,s,X m 2 mm s,s,X µµµµ σσσσ2 σ s2 s X População Amostra 89 Distribuição Amostral das Médias ... 1/m 1/m ... 1/m 1X 2X mX )XX(P i= iX População Infinita ou Finita População Finita sem reposição nC População Infinita ou Finita com reposição Número de amostras: nN µ=µX n 2 2 X σ =σ Número de amostras: n NC µ=µX − − ⋅ σ =σ 1N nN n 2 2 X − − 1N nN Fator de correção 90 Exemplos: 1 - Considere uma população formada pelos números 3, 5, 7 e 9 de onde extraíremos todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição. 2 - Considere uma população formada pelos números 3, 5, 7 e 9 de onde extraíremos todas as amostras possíveis de tamanho n=2, sem reposição. 91 1 - População Infinita – com reposição Valores populacionais: Valores amostrais: Serão extraídas Nn = 16 amostras possíveis de tamanho n=2, dessa população. 92 (3,3) (3,5) (3,7) (3,9) (5,3) (5,5) (5,7) (5,9) (7,3) (7,5) (7,7) (7,9) (9,3) (9,5) (9,7) (9,9) As médias dessas 16 amostras são:As médias dessas 16 amostras são: 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 X 93 Distribuição de probabilidade de : µ = E(X) = ∑ xi pi = 96/16 = 6 σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 40/16 = 5/2 iX 3 4 5 6 7 8 9 pi 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 iX σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 40/16 = 5/2 Pelas fórmulas: 6µµX == 2 5 n σ σ 2 2 X == 94 2 - População Finita – sem reposição Valores populacionais: Valores amostrais: Serão extraídas = 6 amostras possíveis de tamanho n=2, dessa população. n NC 95 (3,5) (3,7) (3,9) (5,7) (5,9) (7,9) As médias dessas 6 amostras são:X 4 5 6 6 7 8 96 Distribuição de probabilidade de : µ = E(X) = ∑ xi pi = 36/6 = 6 σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 10/6 = 5/3 iX 4 5 6 7 8 pi 1/6 1/6 2/6 1/6 1/6 iX σ2 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 10/6 = 5/3 Pelas fórmulas: 6µµX == 3 5 6 10 3 2 2 5 14 24 2 5 1N nN n σ σ 2 2 X ==⋅= − − ⋅= − − ⋅= 97 Estimação de parâmetros Parâmetros – valores calculados em uma população, ou seja, são os valores que caracterizam essa população. Estimadores – valores calculados em umaEstimadores – valores calculados em uma amostra com o objetivo de obter informações sobre os parâmetros e sobre a própria população. Estimativa – é o valor numérico que o estimador assume. 98 Estimação por ponto Quando temos um único ponto, ou seja, um único valor para estimar o parâmetro. Parâmetros ⇒ 22 ,,,, σσσσµParâmetros ⇒ Estimadores ⇒ 2 XX 2 ,,,, σσσσµ 2 XX 2 s,s,s,s,X 99 Propriedades dos Estimadores Para escolher um estimador deve-se levar em conta duas propriedades principais: imparcialidade e eficiência IMPARCIALIDADE (ou não tendenciosidade): um estimador é dito imparcial se sua esperança matemática for igual ao parâmetro correspondente, ou seja,se a média da distribuição amostral desse estimador for igual ao parâmetro que ele estima. Ex.: µ=)X(E 100 EFICIÊNCIA: se a distribuição amostral de dois estimadores tiver a mesma média, igual ao parâmetro correspondente, ou seja, se dois estimadores forem imparciais, será eficiente aquele que tiver a menor variância. Ex.: eµ=)X(E µ=)Md(E 2σe n )X(V 2σ = 57,1 n )Md(V 2 ⋅= σ 101 Estimação por intervalo Quando a estimativa é dada por dois valores entre os quais se espera que o parâmetro esteja compreendido. Estimação por ponto ⇒ um único valorEstimação por ponto ⇒ um único valor representa o parâmetro, . Estimação por intervalo ⇒ representado por dois números que indicam os limites do intervalo, . 0,32X = [ ]35,33;65,30X∈ 102 Estimativa por intervalo para a média (µ) ou intervalo de confiança (IC) para a média de uma população Utilizaremos a variável aleatória (em uma amostra onde n≥≥≥≥30) que tenha uma distribuição normal com e . X σdistribuição normal com e .µµX = n X σ σ = Xc .ZX)1)((IC σαµ ±=− onde: (1-α) = é o nível de confiança Zc = é o valor de Z crítico = é o grau de precisãoXcZ σ⋅ 103 X58,2X%99)(IC01,0 σ⋅±=µ→=α X96,1X%95)(IC05,0 σ⋅±=µ→=α X96,1X%95)(IC05,0 σ⋅±=µ→=α No caso da amostra ser pequena n<30 teremos uma outra variável chamada “t” que tem uma distribuição chamada DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT 104 Exemplo: 1 – a) Determinar o intervalo de confiança de 99 % e 95 % com a finalidade de avaliar o peso médio dos universitários de Pelotas, sendo que a respeito foi obtida uma amostra de 100 estudantes com média e variância . b) Supondo que a população é de 1.000 estudantes o que acontece? kg5,65X = 22 kg04,23s = a) População infinita – não diz quantos são, só diz que a amostra é de 100 estudantes. 0,48 10 4,8 100 4,8 n σ σX ==== 105 48,058,2%99)(01,0 ⋅±=→= XIC µα 48,058,25,65%99)(01,0 ⋅±=→= µα IC 24,15,65%99)(01,0 ±=→= µα IC 74,6626,64 <<µ 48,096,1%95)(05,0 ⋅±=→= XIC µα 48,096,15,65%95)(05,0 ⋅±=→= µα IC 94,05,65%95)(05,0 ±=→= µα IC 44,6656,64 <<µ 106 b) População finita → N=1.000 207,090,0.23,0 999 900 100 23,04 11.000 1001.000 100 23,04 σ 2 X == ⋅= − − ⋅= 0,45σX = 45,058,25,65%99)(01,0 ⋅±=→= µα IC 45,096,15,65%95)(05,0 ⋅±=→= µα IC 38,6662,64 <<µ 66,6634,64 <<µ 107
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