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Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 1
Va
m
os
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 Derivadas 
 
 principal objetivo dessa aula é apresentar o conceito de derivadas. 
Vamos começar apresentando a derivada como o coeficiente angular 
da reta tangente em um ponto e como a taxa de variação de uma 
variável em relação a outra. Também veremos o conceito formal de derivadas, as regras 
de derivação, além das derivadas das funções mais usuais. Veremos como calcular a 
derivada de funções compostas e funções inversas. 
 
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: 
 
• Entender o que é a derivada de uma função; 
• Saber calcular a derivada de uma função através das regras de derivação; 
• Compreender a derivada de uma função graficamente. 
• Derivar funções compostas; 
• Derivar funções inversas; 
 
 
 
Seja ( )xfy = uma curva definida no intervalo ( )ba, , conforme 
ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
)( 1xf 
)( 2xf 
1x a b 2x 
P 
Q s 
x 
y 
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 Sejam ( )( )11 , xfxP e ( )( )22 , xfxQ dois pontos distintos da curva ( )xfy = e s, a 
reta secante que passa pelos pontos P e Q. 
 Vamos denotar a diferença entre as abscissas de Q e de P por x∆ , assim: 
 
12 xxx −=∆ 
 
 A inclinação da reta secante s é dada por: 
 
 
( ) ( )
x
xfxf
ms ∆
−
= 12 
 
desde que a reta s não seja vertical. Como xxx ∆+= 12 , a inclinação da reta s pode ser 
escrita como: 
( ) ( )
x
xfxxf
ms ∆
−∆+
= 11 
 
 Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a 
P. Isto equivale a dizer que x∆ tende a zero. À medida que Q vai se aproximando cada 
vez mais de P, a inclinação da reta secante varia cada vez menos, tendendo pra um valor 
limite constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
P 
Q 
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Exemplo
 Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou 
também inclinação da curva em P. 
 
Definição: Dada uma curva ( )xfy = , seja ( )( )11 , xfxP um ponto sobre ela. A 
inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por 
 
( ) ( )






∆
−∆+
=
→∆ x
xfxxf
m
x
T
11
0
lim 
 
quando o limite existe. 
 
 Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos 
encontrar a equação da reta tangente à curva em P. 
 
Equação da reta tangente: Se a função ( )xf é contínua em x, então a reta tangente à 
curva ( )xfy = em ( )( )11 , xfxP é: 
 
i. A reta que passa por P tendo inclinação 
( ) ( )






∆
−∆+
=
→∆ x
xfxxf
m
x
T
11
0
lim , 
se este limite existe. Neste caso temos a equação ( ) ( )11 xxmxfy T −=− . 
 
ii. A reta 0xx = , se 
( ) ( )






∆
−∆+
→∆ x
xfxxf
x
11
0
lim for infinito. 
 
Encontre a inclinação da reta tangente à curva 122 +−= xxy no ponto 
( )11 , yx . 
 Solução: Se ( ) 122 +−= xxxf , então ( ) 12 1
2
11 +−= xxxf e 
( ) ( ) ( ) ( ) 122212 1
2
1
2
11
2
11 +∆−−∆+∆+=+∆+−∆+=∆+ xxxxxxxxxxxxf . 
 
 Como 
( ) ( )






∆
−∆+
=
→∆ x
xfxxf
m
x
T
11
0
lim , temos: 
 
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Exemplo
( ) ( ) ( )[ ] ( )
x
xxxxxxxx
x
xfxxf
m
xx
T ∆
+−−+∆−−∆+∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆
121222
limlim 1
2
11
2
1
2
1
0
11
0
 
Simplificando e colocando o termo comum x∆ em evidência, temos: 
 
( ) ( )
x
xxx
x
xxxx
m
xx
T ∆
−∆+∆
=
∆
∆−∆+∆
=
→∆→∆
22
lim
22
lim 1
0
2
1
0
 
 
Como x∆ tende a zero, podemos simplificar o termo comum novamente. 
 
( )
22
22
lim 1
1
0
−=
∆
−∆+∆
=
→∆
x
x
xxx
m
x
T . 
 
Portando, a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto ( )11 , yx é 22 1 −= xmT . 
 
Ache a equação da reta tangente à curva do exemplo anterior no ponto 
( )1,2 . 
 Solução: Como a inclinação da reta tangente em qualquer ponto ( )11 , yx é 
22 1 −= xmT , conforme encontrado no exemplo anterior, temos que a inclinação da reta 
tangente no ponto ( )1,2 poderá ser encontrada substituindo os respectivos valores na 
equação de Tm . 
 Dessa forma, no ponto ( )1,2 a inclinação da reta tangente será dada por 
2222 =−⋅=Tm . Logo, a equação da reta tangente à curva no ponto dado é: 
 
( )
32
221
−=
−=−
xy
xy
 
 
Definição: A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta 
tangente naquele ponto. 
 
 
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Exemplo Encontre a equação da reta normal à curva 
1
1
2 −
=
x
y no ponto ( )4,2P . 
 
 Solução: Duas retas t e n são perpendiculares se 1−=⋅ nt mm , onde tm e nm são 
as inclinações das retas t e n, respectivamente, num dado ponto P. Vamos então, 
calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto ( )11 , yxP qualquer: 
 
Calculamos ( )1xf e ( )xxf ∆+1 e substituímos no limite: 
( ) ( ) ( )
x
xxx
x
xfxxf
m
xx
T ∆
−
−
−∆+
=





∆
−∆+
=
→∆→∆
1
1
1
1
limlim 1
2
1
0
11
0
 
 
Tirando o mínimo nas frações do numerado e simplificando, tem-se: 
( ) ( )[ ]
( )[ ]( ) ( )
( )[ ]( ) xxxx
xxxxx
x
xxx
xxx
m
xx
T ∆
⋅
−−∆+
+∆−∆−−−
=
∆
−−∆+
−∆+−−
=
→∆→∆
1
11
121
lim
11
11
lim
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
0
 
 Simplificando novamente e colocando o fator comum x∆ em evidência, temos: 
 
( )
( )[ ]( )
( )
( )[ ]( ) ( )221
1
2
1
2
1
1
02
1
2
1
2
1
0 1
2
11
2
lim
11
2
lim
−
−
=
∆−−∆+
∆−−∆
=
∆−−∆+
∆−∆−
=
→∆→∆
x
x
xxxx
xxx
xxxx
xxx
m
xx
T 
 
 Como x∆ tende a zero, podemos simplificar o termo comum ao denominador e 
numerador e aplicar o limite. 
 Logo, para um ponto qualquer, temos que a inclinação da reta tangente à curva 
será dada por 
( )221
1
1
2
−
−
=
x
x
mT . Dessa forma, para 21 =x , temos ( ) 9
4
12
22
22
−=
−
⋅−
=Tm . 
Logo, a equação da reta tangente à curva no ponto P será ( )2
9
4
4 −−=− xy ou 
9
44
9
4
+−=
x
y , ou ainda, 04449 =−+ xy . 
 A inclinação da reta normal será 1
9
4
−=




−⋅nm , o que nos leva a 4
9
=nm . 
Assim, a equação da reta normal à curva no ponto ( )4,2P será: 
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( )
0294
4
2
4
9
2
4
9
4
=+−
−=
−=−
xy
x
y
xy
 
 
 
Taxa de Variação 
 
 Suponhamos que um carro se move em linha reta e que a sua distância ao ponto 
de partida, após um tempo t, é dada por ( )ts . Então, no intervalo de tempo entre t e 
tt ∆+ , o carro sofre um deslocamento ( ) ( )tsttss −∆+=∆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 A velocidade média do carro nesse intervalo de tempo é definida como o 
quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo, ou seja, 
 
t
s
vm ∆
∆
= ou 
( ) ( )
t
tstts
vm ∆
−∆+
= 
 
 Sabemos que a velocidade do carro varia durante o percurso, isto é, o carro tem 
sua velocidade aumentada ou diminuída durante o intervalo de tempo considerado. 
( )ts ( )tts ∆+ 
t tt ∆+ 
t∆ 
s∆ 
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Portanto, a velocidade média pode não ser igual à velocidade mostrada no velocímetro 
no instante t (velocidade instantânea). 
 Em princípio, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do carro no 
instante t. Entretanto, se fizermos os intervalos de tempo t∆ cada vez menores, a 
velocidade média encontrada é uma boa aproximação da velocidade instantânea. Dessa 
forma, a velocidade instantânea é dada como o limite da velocidade média para quando 
t∆ tende a zero, isto é: 
 
( )
t
s
tv
t ∆
∆
=
→∆ 0
lim ou ( ) ( ) ( )
t
tstts
tv
t ∆
−∆+
=
→∆ 0
lim 
 
Definição: Se ( )xfy = , então a taxa de variaçãode y em relação a x no intervalo 
[ ]xxx ∆+11 , é dada por: 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆ 11 
 
Definição: Se ( )xfy = , então a taxa de variação instantânea de y em relação a x no 
ponto 1x é dada por 
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
11
00
limlim 
 
 
 Esse tipo de limite usado pra definir a inclinação da reta tangente e a taxa de 
variação instantânea de uma variável em relação a outra, é um dos mais importantes em 
Cálculo: 
 
Definição: A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu valor em 
qualquer número x do domínio de f seja dado por 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆ 0
lim' 
se esse limite existir. 
 
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Exemplo
Exemplo
 Note que a inclinação da reta tangente ao gráfico de ( )xfy = e a taxa de 
variação instantânea de uma variável em relação à outra, no ponto ( )( )11 , xfx é 
precisamente a derivada de f calculada em 1x . 
 
Ache a derivada de f se ( ) 53 3 += xxf . 
 
 Solução: Se x for qualquer número do domínio de f, então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) 222
0
322
0
33223
0
33223
0
33
00
9
399
lim
399
lim 
5353993
lim 
535333
lim 
5353
limlim'
x
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxxxx
x
xxx
x
xfxxf
xf
xx
x
x
xx
=
∆
∆+∆+∆
=
∆
∆+∆+∆
=
=
∆
−−+∆+∆+∆+
=
=
∆
−−+∆+∆+∆+
=
=
∆
+−+∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
→∆
→∆
→∆→∆
 
 Logo, a derivada de f é a função f’, definida por ( ) 29' xxf = . O domínio de f’ é o 
conjunto de todos os números reais, sendo igual ao domínio de f. 
Dada ( ) 3
1
xxf = , encontre ( )xf ' . 
 Solução: ( ) ( ) ( ) ( )
x
xxx
x
xfxxf
xf
xx ∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
3
1
3
1
00
limlim' 
 Fazendo uma mudança de variáveis, chamando ( ) 3txx =∆+ e 3ax = . Dessa 
forma, temos que 333 atxtx −=−=∆ . Quando 0→∆x , temos que at → . Assim, 
( )
( )( )22330 limlim' atatat
at
at
at
xf
atx ++−
−
=
−
−
=
→→∆
. 
 Como at → , temos que at ≠ e, por conseguinte que ( ) 0≠− at . Logo 
podemos simplificar o termo comum ao denominador e numerador. Assim, 
( )
( )( ) 22222 3
11
limlim'
aatatatatat
at
xf
atat
=
++
=
++−
−
=
→→
 
 Como 3
1
xa = , temos que ( )
3
2
3
1
'
x
xf = . 
 
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 Observamos, nesse exemplo, que ( ) 3
1
xxf = é contínua em 0, mas ( )
3
2
3
1
'
x
xf = 
não é definida em 0. 
 
 Outras notações podem ser usadas no lugar de ( )xfy ''= para representar a 
derivada de f: 
 
i. ( )xfDx 
ii. yDx 
iii. 
dx
dy
 
 
A derivada de uma função em um ponto: A derivada de uma função f no ponto a, 
denotada por ( )af ' é definida pelo limite: 
( ) ( )
x
afxaf
x ∆
−∆+
→∆ 0
lim 
ou, de forma equivalente, ( ) ( ) ( )
ax
afxf
af
ax −
−
=
→
lim' , se o limite existir. 
 
 
Continuidade de Funções Deriváveis 
 
 O processo de cálculo da derivada é chamado de derivação. Se uma função 
possui uma derivada em 1x , a função será derivável em 1x , isto é, a função f será 
derivável em 1x se ( )1' xf existir. Uma função será derivável em um intervalo aberto se 
ela for derivável em todo número no intervalo aberto. 
 De acordo com a observação feita no exemplo anterior, concluímos que ( )xf 
contínua em 1x , não implica na existência de ( )1' xf . A recíproca, porém é verdadeira, 
como mostra o seguinte Teorema: 
 
 
 
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Teorema: Se uma função f for derivável em 1x , então f será contínua em 1x . 
 Demonstração: Como ( )1' xf existe, devemos mostrar que ( ) ( )1
1
lim xfxf
xx
=
→
, 
ou de maneira equivalente, que ( ) ( )11
0
lim xfhxf
h
=+
→
. 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) h
h
xfhxf
xfxfhxfxfhxf ⋅
−+
+=−++=+ 1111111 
 Daí, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1111
0
11
0
1
0
11
1
0
1
0
00'
limlimlimlimlim
xfxfxfxf
h
h
xfhxf
xfh
h
xfhxf
xfhxf
hhhhh
=+=⋅+=
⋅
−+
+=



⋅
−+
+=+
→→→→→
 
 
 Uma função f pode deixar de ser derivável em um número c por uma das 
seguintes razões: 
 
i. A função f é descontínua em c. Isto decorre do Teorema acima. 
 
 
ii. A função f é contínua em c e o gráfico de f tem uma reta tangente vertical no 
ponto x = c. 
 
y 
x c 
(c,f(c)) 
y 
x c 
(c,f(c)) 
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iii. A função f é contínua em c e o gráfico de f não tem uma reta tangente no ponto 
x = c. 
 
 
Derivadas Laterais 
 
Definição: Se a função ( )xfy = está definida em 1x , então a derivada à direita de f em 
1x , denotada por ( )1' xf + , é definida por: 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
+→∆
+
11
0
1 lim' 
caso este limite exista. 
 
Definição: Se a função ( )xfy = está definida em 1x , então a derivada à esquerda de f 
em 1x , denotada por ( )1' xf − , é definida por: 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
−→∆
+
11
0
1 lim' 
caso este limite exista. 
 
 Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à esquerda e à direita 
nesse ponto existem e são iguais. 
 Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um 
ponto 1x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. 
 
 Até agora observamos que para calcular a derivada de uma função temos que 
calcular um limite cada vez mais trabalhoso, dependendo da função. 
y 
x c 
(c,f(c)) 
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 Para facilitar os nossos cálculos, as seguintes regras podem ser usadas para 
obtermos a derivada de uma função, sem o uso da definição. 
 
Regras de Derivação 
 
1. Derivada de uma constante: Se c é uma constante e ( ) cxf = para todo x, 
então ( ) 0' =xf . 
 Demonstração: Se ( ) cxf = , então 
( ) ( ) ( ) 0limlim'
00
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
→∆→∆ x
cc
x
xfxxf
xf
xx
 
 
2. Derivada de uma potência: Se n é um número inteiro positivo e ( ) nxxf = , 
então ( ) 1' −= nnxxf . 
 Demonstração: Se ( ) nxxf = , então 
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxx
x
xfxxf
xf
nn
xx ∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆ 00
limlim' 
 Pelo Teorema Binomial, temos: 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
∆
−


 ∆+∆++∆
−
+∆+
=
−−−
→∆ x
xxxnxxx
nn
xnxx
xf
nnnnnn
x
1221
0
!2
1
lim'
L
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
xxnxxx
nn
nxx
x
xxnxxx
nn
xnx
nnnn
x
nnnn
x
∆





 ∆+∆++∆
−
+∆
=
=
∆
∆+∆++∆
−
+∆
=
−−−−
→∆
−−−
→∆
1221
0
1221
0
!2
1
lim 
!2
1
lim 
L
L
 
 
 Simplificando o termo comum x∆ e aplicando o limite, temos que ( ) 1' −= nnxxf 
 
Essa regra também se aplica para ( ) nxxf = , ℜ∈n . 
 
Observação
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 13
Exemplo
Exemplo
Exemplo
( ) xxf = . Note que 2
1
xx = . Daí, 
( )
x
xxxxf
2
1
2
1
2
1
' 2
1
2
1
1
'
2
1
===







=
−−
 
 
Para 1=n , temos a função ( ) xxf = e 
( ) ( ) 11111' 011'1 =⋅=⋅=⋅== − xxxxf 
 Logo, se ( ) xxf = , então ( ) 1' =xf . 
 
3. Derivada do produto de uma constante por uma função: Sejam f uma 
função, c uma constante e g a função definida por ( ) ( )xfcxg ⋅= . Se ( )xf ' 
existe, então ( ) ( )xfcxg '' ⋅= . 
 Demonstração: Se ( ) ( )xfcxg ⋅= , então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfc
x
xfxxf
c
x
xfxxf
c
x
xfcxxfc
x
xgxxg
xg
xx
xx
'limlim
limlim'
00
00
⋅=
∆
−∆+
⋅=



∆
−∆+
⋅=
=
∆
⋅−∆+⋅
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
→∆→∆
 
 
Se ( ) 38xxf = , então ( ) ( ) 22 2438' xxxf == 
 
Se ( ) 53xxg −= , então ( ) ( ) 44 1553' xxxg −=−= 
 
4. Derivada de uma soma: Sejam f e g duas funções e h a função definida por 
( ) ( ) ( )xgxfxh += . Se ( )xf ' e ( )xg ' existirem, então ( ) ( ) ( )xgxfxh ''' += .Demonstração: Se ( ) ( ) ( )xgxfxh += , então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xgxf
x
xgxxg
x
xfxxf
x
xgxxg
x
xfxxf
x
xgxfxxgxxf
x
xhxxh
xh
xx
x
xx
'' 
limlim 
lim 
limlim'
00
0
00
+=
=
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
=



∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
∆
+−∆++∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
→∆
→∆→∆
 
 
Observação
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 14
Exemplo
Exemplo
Chamando ( )xfu = e ( )xgv = , temos: 
( ) ''' vuvu +=+ 
 
 Essa regra se aplica para um número finito de funções, isto é, a derivada da soma 
de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem. 
 
Seja ( ) 432 5 ++= xxxf , então ( ) 310' 4 += xxf 
 
Se ( ) 17654 234 +−−+= xxxxxg , então ( ) 7121516' 23 −−+= xxxxg 
 
5. Derivada do produto: Sejam f e g funções e h a função definida por 
( ) ( ) ( )xgxfxh ⋅= . Se ( )xf ' e ( )xg ' existirem, então 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxh ''' ⋅+⋅= 
 
 Demonstração: Se ( ) ( ) ( )xgxfxh ⋅= , então 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
 
limlim'
00 x
xgxfxxgxxf
x
xhxxh
xh
xx ∆
⋅−∆+⋅∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆ 
 Somando e subtraindo ( ) ( )xgxxf ⋅∆+ ao numerador, temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
lim'
0 x
xgxfxgxxfxgxxfxxgxxf
xh
x ∆
⋅−⋅∆++⋅∆+−∆+⋅∆+
=
→∆ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xg
x
xgxxg
xxf
x
xfxxf
xg
x
xgxxg
xxf
x
xfxxf
xg
x
xgxxg
xxf
xxxx
xx
x
∆
−∆+
⋅+
∆
−∆+
⋅∆+=




∆
−∆+
⋅+



∆
−∆+
⋅∆+=




∆
−∆+
⋅+
∆
−∆+
⋅∆+=
→∆→∆→∆→∆
→∆→∆
→∆
0000
00
0
limlimlimlim
limlim
lim 
 
 
 Como f é derivável em x, então sabemos que f é contínua em x, pelo teorema 
anterior. Logo, ( ) ( )xfxxf
x
=∆+
→∆ 0
lim . Temos também, que ( ) ( )xgxg
x
=
→∆ 0
lim e, além 
disso, 
( ) ( ) ( )xg
x
xgxxg
x
'lim
0
=
∆
−∆+
→∆
 e 
( ) ( ) ( )xf
x
xfxxf
x
'lim
0
=
∆
−∆+
→∆
. Com isso, temos: 
 
Observação
Para compreender 
melhor esta regra de 
Derivação 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 15
Exemplo
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxh ''' ⋅+⋅= 
 
 
Chamando ( )xfu = e ( )xgv = , temos: 
( ) ''' uvvuvu ⋅+⋅=⋅ 
 
Seja ( ) ( )( )xxxxf 212 33 +−= , então 
( ) ( )( ) ( )( )2323 622312' xxxxxxf +++−= 
 
Se ( ) ( )( )xxxxg 45
2
1 62 −+= , então 
( ) ( )( ) ( )( )[ ]xxxxxxg 24465
2
1
' 652 −+−+= 
 
6. Derivada do quociente: Sejam f e g funções e h a função definida por 
( ) ( )
( )xg
xf
xh = , onde ( ) 0≠xg . Se ( )xf ' e ( )xg ' existirem, então 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2
''
'
xg
xgxfxfxg
xh
⋅−⋅
= 
 
 Demonstração: Se ( ) ( )
( )xg
xf
xh = , então 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xgxxgx
xxgxfxgxxf
x
xg
xf
xxg
xxf
x
xhxxh
xh
xxx ⋅∆+⋅∆
∆+⋅−⋅∆+
=
∆
−
∆+
∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆ 000
limlimlim'
 
 Somando e subtraindo ( ) ( )xgxf ⋅ no numerador, temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
 
lim'
0
=
⋅∆+⋅∆
⋅+∆+⋅−⋅−⋅∆+
=
→∆ xgxxgx
xgxfxxgxfxgxfxgxxf
xh
x 
 Multiplicando o numerador pelo inverso de x∆ , temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
 
lim 
0
=
⋅∆+




∆
−∆+
⋅−



∆
−∆+
⋅
=
→∆ xgxxg
x
xgxxg
xf
x
xfxxf
xg
x
 
 Usando as propriedades de limite, tem-se: 
Observação
Para compreender 
melhor esta regra de 
Derivação 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 16
Exemplo
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xgxxg
x
xgxxg
xf
x
xfxxf
xg
xx
xxxx
00
0000
limlim
limlimlimlim
 
→∆→∆
→∆→∆→∆→∆
⋅∆+
∆
−∆+
⋅−
∆
−∆+
⋅
= 
 
 Como g é derivável em x, então g será contínua em x. Dessa forma, 
( ) ( )xgxxg
x
=∆+
→∆ 0
lim e como ( ) ( )xgxg
x
=
→∆ 0
lim e ( ) ( )xfxf
x
=
→∆ 0
lim , teremos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2
''''
'
xg
xgxfxfxg
xgxg
xgxfxfxg
xh
⋅−⋅
=
⋅
⋅−⋅
= 
 
 
 
Chamando ( )xfu = e ( )xgv = , temos: 
2
''
'
v
uvvu
v
u −
=





 
 
Encontrar ( )xf ' , sendo ( )
35
32
2
4
+−
−
=
xx
x
xf 
 
 Solução: Chamando 32 4 −= xu e 352 +−= xxv , temos 38' xu = e 52' −= xv . 
Dessa forma, aplicando a fórmula acima, temos que a derivada da função f será dada 
por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )22
345
22
45345
22
432
35
15624304
 
35
15106424408
 
35
5232835
'
+−
−++−
=
+−
−++−+−
=
+−
−⋅−−⋅+−
=
xx
xxxx
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
xf
 
 
Se ( )
x
xg
1
= , encontrar ( )xg ' : 
 
 Solução: Temos que 
 
( )
22
1110
'
xx
x
xg −=
⋅−⋅
= 
 
 
Observação
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 17
Exemplo
Em geral, a derivada de funções do tipo 
v
1
, onde v é função de x é dada 
por: 
 
2
'
'1
v
v
v
−=





 
 
 
 
Calcule a derivada da função ( ) ( )xx
x
x
xf 63
3
1 2
3
2
+⋅




 +
= . 
 
 Solução: Observe que a função f trata-se do produto das funções ( )
3
2
3
1
x
x
xg
+
= e 
( ) xxxh 63 2 += , logo, aplicaremos a regra do produto. 
 
( ) ''' uvvuvu ⋅+⋅=⋅ 
 
 Chamando 
3
2
3
1
x
x
u
+
= e xxv 63 2 += , temos que encontrar as derivadas de u e v. 
Para encontrarmos a derivada da função u, teremos que usar a regra do quociente: 
 
 Chamando 12 += xs e 33xr = , temos que xs 2'= e 29' xr = . Dessa forma, 
temos que a derivada da função u será dada por 
( )
( ) 4
2
6
24
6
244
23
223
3
3
9
93
9
996
3
9123
'
x
x
x
xx
x
xxx
x
xxxx
u
−
=
+−
=
+−
=
⋅+−⋅
= 
 
 A derivada da função v é dada por 66' += xv 
 Voltando à regra do produto, temos: 
( ) ( ) ( ) 




 −
⋅+++⋅




 +
=
4
2
2
2
2
3
3
6366
3
1
'
x
x
xxx
x
x
xf 
 
Derivada das funções trigonométricas 
 
1. Derivada da função seno: Se ( ) xxf sen = , então ( ) xxf cos' = , ou seja, 
xx
dx
d
cossen = . 
 Demonstração: Se ( ) xxf sen = , então 
Observação
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 18
( ) ( )
x
sen xxsen
lim'
0 ∆
−∆+
=
→∆
x
xf
x
 
 Pela fórmula do seno de uma soma, temos que 
( ) xxxxxx cossen cossen sen ∆+∆=∆+ 
 Dessa forma: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
x x-
x
x 
x
x
 x-
x
x 
x
x
 x-
x
xx x x
xxx x x
xf
xx
x
x
x
cos
1cos0sen
sen
limcos
x
cos1
limsen
sen
cos
x
cos1
senlim
cossen
x
1cossen
lim
x
sen cossencossen
lim'
00
0
0
0
=
⋅+⋅=
∆
∆
+
∆
∆−
=




∆
∆
+
∆
∆−
=




∆
∆
+
∆
−∆
=
∆
−∆+∆
=
→∆→∆
→∆
→∆
→∆
 
 
2. Derivada da função cosseno: Se ( ) xxf cos= , então ( ) xxf sen ' −= , ou seja, 
x
dx
d
sen cosx −= . 
 Demonstração: Se ( ) xxf cos= , então 
( ) ( )
x
 cosxxcos
lim'
0 ∆
−∆+
=
→∆
x
xf
x
 
 Pela fórmula do cosseno de uma soma, temos que 
( ) xxxxxx sensen cos coscos ⋅∆−∆⋅=∆+ 
 Dessa forma: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
x x
x
x 
x
x
 x
x
x 
x
x
 x
x
xx x x
xxx x x
xf
xx
x
x
x
sen 
1sen0cos
sen
limsen
x
cos1
limcos
sen
sen
x
1cos
coslim
sensen
x
1coscos
lim
x
 cossensencoscos
lim'
00
0
0
0
−=
⋅−⋅−=
∆
∆
−





∆
∆−
−=




∆
∆
−
∆
−∆
=




∆
⋅∆
−
∆
−∆⋅
=
∆
−⋅∆−∆⋅
=
→∆→∆
→∆
→∆
→∆
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 19
3. Derivada da função tangente: Se ( ) xxf tan= , então ( ) xxf 2sec' = , ou seja, 
xx
dx
d
 sec tan 2= . 
 Demonstração: Se ( ) xxf tan= , então ( )
x
x
xf
cos
sen 
= . Daí. 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
xf
2
2
2
22
2
2
''
sec
cos
1
cos
 sencos
cos
sen sen coscos
cos
cossen sen cos
'
=
=
+
=
−⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
 
 
4. Derivada da função cotangente: Se ( ) xxf cot= , então ( ) xxf 2seccos'−= , 
ou seja, xx
dx
d
 seccos cot 2−= . 
 Demonstração: Se ( ) xxf cot= , então ( )
x
x
xf
sen 
cos
= . Daí, 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxxx
x
xxxx
xf
2
2
''
sen
 cos cossen sen 
sen
sen coscossen 
'
⋅−−⋅
=
⋅−⋅
=
 
( )
x
x
x
xx
x
xx
2
2
2
22
2
22
seccos
sen
1
sen
 cos sen
sen
 cos sen
−=
−=
+−
=
−−
=
 
 
5. Derivada da função secante: Se ( ) xxf sec= , então ( ) xxxf tansec' = , ou 
seja, xxx
dx
d
tan sec sec = . 
 Demonstração: Se ( ) xxf sec= , então ( )
x
xf
cos
1
= . Daí, 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 20
( ) ( ) ( )
( )
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xf
tansec
cos
sen 
cos
1
cos
sen 
cos
sen 10cos
cos
cos11cos
'
2
2
2
''
⋅=
⋅=
=
−⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
 
 
6. Derivada da função cossecante: Se ( ) xxf seccos= , então 
( ) xxxf cotseccos' −= , ou seja, xxx
dx
d
cot seccos cossec −= . 
Demonstração: Se ( ) xxf seccos= , então ( )
x
xf
sen 
1
= . Daí, 
( ) ( ) ( )
( )
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xf
cotseccos
sen 
 cos
sen 
1
 sen
 cos
 sen
 cos10sen 
 sen
sen 11sen 
'
2
2
2
''
⋅−=
⋅−=
−=
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
 
 
Derivada da função composta - Regra da Cadeia 
 
 Suponhamos que ( )32 5xxy += e que desejamos determinar 
dx
dy
. Uma saída é 
expandir ( )32 5xx + e então derivarmos o polinômio resultante. Assim, 
( ) 345632 12575155 xxxxxxy +++=+= 
 Então: 
2345 375300756' xxxx
dx
dy
y +++== 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 21
Exemplo
Exemplo
 Outro método é considerarmos duas funções deriváveis f e g onde ( )ugy = e 
( )xfu = , e escrever ( ) ( )[ ]xfgugy == . Na função acima, se tomarmos ( ) 3uugy == 
e ( ) xxxfu 52 +== , teremos a função composta ( )( ) ( )[ ] ( )32 5xxxfgxfg +==o . 
 Para derivarmos esse tipo de função, temos a seguinte regra: 
 
Regra da Cadeia: Se ( )ugy = e ( )xfu = , e as derivadas 
du
dy
e 
dx
du
 existem, então a 
função composta ( )[ ]xfgy = tem derivada que é dada por: 
dx
dy
=
dx
du
du
dy
⋅ ou ( ) ( ) ( )xfugxy ''' ⋅= 
 
 
Encontre a derivada da função ( )32 5xxy += 
 
 Solução: Temos que ( ) 3uug = e xxu 52 += , assim, aplicando a regra da 
cadeia, temos: 
( ) ( )5253' 22 +⋅+= xxxy 
( ) ( )
( )
2345
233445
234
375300756
125505020523
5225103
xxxx
xxxxxx
xxxx
+++=
+++++=
+⋅++=
 
 
 
Calcule a derivada de ( )21 xy += 
 
 Solução: Aplicando a regra da cadeia, temos: 
22 1
' 2
12
1
'
x
x
yx
x
y
+
=∴⋅
+
= 
 
 Com isso, podemos generalizar as regras de derivação. Se ( )xfu = , então: 
[ ]
dx
du
unu
dx
d nn 1−⋅= [ ]
dx
du
uu
dx
d 2sectan = 
 
Para consultar 
explicação 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 22
Exemplo
Exemplo
 [ ]
dx
du
u
u
dx
d
2
1
= [ ]
dx
du
uu
dx
d 2seccoscot −= 
 
 [ ]
dx
du
uu
dx
d
cossen = [ ]
dx
du
uuu
dx
d
tansecsec = 
 
 [ ]
dx
du
uu
dx
d
sen cos −= [ ]
dx
du
uuu
dx
d
cotseccosseccos −= 
 
Ache ( )[ ]1tan 2 +x
dx
d
 
 
 Solução: Aplicando a regra da cadeia, temos: 
( )[ ] ( ) [ ]
( )
( )1sec2
21sec
11sec1tan
22
22
2222
+⋅=
⋅+=
++=+
xx
xx
x
dx
d
xx
dx
d
 
 
Encontre ( )[ ]x
dx
d
2cos 
 
 Solução: Aplicando a regra da cadeia: 
( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( )xxx
dx
d
xx
dx
d
2sen222sen22sen2cos −=⋅−=−= 
 
Se tivermos uma função composta gf o , tal que ( )( ) ( )[ ]xgfxgf =o , 
e chamarmos ( )xg de função interna e ( )xf de função externa nessa composição 
(devido às posições que ocupam na expressão ( )[ ]xgf ), então poderemos estabelecer a 
regra da cadeia da seguinte forma: 
 
Regra da Cadeia: A derivada da composta de duas funções é a derivada da função 
externa aplicada na função interna vezes as derivada da função interna. 
 
 
Observação
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 23
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Encontre ( )xf ' se ( ) ( )xxxf 23seccos 2 += . 
 
 Solução: Se ( ) ( )xxxf 23seccos 2 += , então para encontrarmos ( )xf ' , 
necessitaremos aplicar a regra da cadeia. Assim, 
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )xxxxx
xxxxx
xx
dx
d
xxxxxf
23cot23seccos26
2623cot23seccos
2323cot23seccos'
22
22
222
+++−=
+++−=
+++−=
 
 
Calcule a derivada da função ( ) ( )xxg sen cos= . 
 
 Solução: Aplicando a regra da cadeia: 
( ) ( ) [ ]
( )[ ] xx
x
dx
d
xxg
cossen sen
sen sen sen'
−=
−=
 
 
Ache a derivada da função ( ) ( )24 2sec xxh = . 
 
 Solução: Note que a função h é a composição de três funções. Logo, 
aplicaremos a regra da cadeia duas vezes. 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] [ ]





=
=
22223
223
22tan2sec2sec4
2sec2sec4'
x
dx
d
xxx
x
dx
d
xxh
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }
( ) ( )224
2223
2tan2sec16
42tan2sec2sec4
xxx
xxxx
=
⋅=
 
 
Derivação Implícita 
 
 Considere a equação ( ) 0, =yxF . Dizemos que a função ( )xfy = é definida 
implicitamente pela equação acima se ao substituirmos y por ( )xf na equação, ela se 
torna uma identidade. 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 24
Exemplo
Exemplo
A equação 01
2
12 =−+ yx define implicitamente a função ( )212 xy −= . 
De fato, substituindo ( )212 xy −= na equação 01
2
12 =−+ yx , obtemos a identidade 
( )[ ] 011112
2
1 2222 =−−+=−−⋅+ xxxx . 
 
A equação x
y
y
−=
+
−
1
74
32
 define implicitamente a equação 
x
x
y
42
107
−
−
= , 
pois, se 
( ) ( )( )
( )
( )
y
x
x
yxx
xyyx
xxyyy
yxy
x
y
y
=
−
−
−=−
−=−
−++=−
+−=−
−=
+
−
42
107
42107
42107
774432
74132
1
74
32
 
 
 Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida 
implicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função ( )xfy = definida pela 
equação 0ln35 =−+ yxyy ? 
 O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função 
assim definida, sem a necessidade de explicitá-la. 
 De modo geral, temos: 
 
Processo para derivação implícita: Dada uma equação na qual se estabelece y 
implicitamente como função diferenciável de x, calcula-se 
dx
dy
 do seguinte modo: 
1. Derive ambos os membros da equação em relação a x, isto é, aplique o operador 
dx
d
 aos dois membros da equação termo a termo. Ao fazê-lo, tenha em mente 
que y é encarado como uma função de x e use a regra da cadeia quando 
necessário para diferenciar as expressões nas quais figure y. 
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Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 25
Exemplo
Exemplo
2. O resultado do item anterior será uma equação onde figure não somente x e y, 
mas também 
dx
dy
. Resolva tal equação para obter a derivada 
dx
dy
desejada. 
 
Se 1643 3423 +=+− xyyxx , ache 
dx
dy
. 
 
 Solução: Usando o processo de derivação implícita, temos: 
[ ] [ ]1643 3423 +=+− x
dx
d
yyxx
dx
d
 
 Note que, ao derivarmos o primeiro membro da equação acima, teremos que 
usar a regra do produto no termo 423 yx . Dessa forma, 
6126433 4322 =+


 +⋅−
dx
dy
yxy
dx
dy
yxx 
 Simplificando e colocando o termo 
dx
dy
 em evidência, temos: 
6126123 4322 =+−−
dx
dy
yxy
dx
dy
yxx 
( ) 4232 6361212 xyx
dx
dy
yxy +−=− 
 Logo, a derivada procurada é dada por: 
32
42
1212
636
yxy
xyx
dx
dy
−
+−
= 
 
 Note que a derivada da função foi dada de forma implícita. 
 
Dada 1coscos =+ xyyx , ache 'y . 
 
 Solução: Derivando implicitamente ambos os membros em relação a x, 
obteremos: 
[ ] [ ]'' 1coscos =+ xyyx 
 Observe que os termos yx cos e xy cos devem ser derivados usando a regra do 
produto. Dessa forma, 
( )[ ] ( )[ ] 0sen cos''sen cos1 =−++−+⋅ xyxyyyxy 
 Isolando os termos que possuem 'y , temos: 
Para visualizar outro 
exemplo 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de MatemáticaNotas de Aula - Calculo I - Derivadas 26
Exemplo
( ) yxyyxxy cossen sen cos' −⋅=− 
 Logo, temos que 'y será dada por: 
yxx
yxy
y
sen cos
cossen 
'
−
−⋅
= 
 
 
Ache uma equação da reta tangente à curva 933 =+ yx no ponto ( )2,1 . 
 
 Solução: Vamos derivar implicitamente em relação a x: 
2
2
22
22
'
0'
0'33
y
x
y
yyx
yyx
−=
=+
=+
 
 Logo no ponto ( )2,1 , 
4
1
2
1
'
2
2
−=−=y . Uma equação da reta tangente à curva 
nesse ponto é então: 
( )
094
1
4
1
2
=−+
−−=−
yx
xy
 
 
Derivada das funções exponencial e logarítmica 
 
Derivada da função exponencial: Se xay = , ( )1 e 0 ≠> aa , então aay x ln'= . Se 
a = e, temos a função xey = , e a derivada da função será xx eeey == ln' . 
 
Derivada da função logarítmica: Se xy alog= , ( )1 e 0 ≠> aa , então 
ax
y
ln
1
'= . 
 Demonstração: Seja xy alog= . Então, por definição, xa
y = . Derivando 
implicitamente ambos os lados da equação, temos: 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 27
[ ]
aadx
dy
dx
dy
aa
dx
dx
a
dx
d
y
y
y
ln
1
1ln
=
=
=
 
 Mas, xa y = , assim: 
axdx
dy
ln
1
= 
 
 Se a = e, temos a função xy ln= , e a derivada da função será 
xex
y
1
ln
1
' == . 
 
 
Taxas Relacionadas 
 
 Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado 
de problema de taxas relacionadas. 
 Sejam x e y quantidades variáveis relacionadas de modo a satisfazer a uma certa 
equação, por exemplo, 122 =+ yx . Suponha que estas quantidades dependem do tempo 
t (transcorrido a partir de algum instante inicial fixado) de acordo com as equações 
( )tfx = e ( )tgy = , logo, ( )tf
dt
dx
'= e ( )tg
dt
dy
'= estabelecem a taxa de variação 
instantânea de x e y por unidade de tempo. 
 Se x e y estão relacionados de acordo com a equação 122 =+ yx , esta sustenta a 
razão pela qual suas taxas de variação 
dt
dx
 e 
dt
dy
 seriam também relacionadas de alguma 
forma definida. Para achar esta relação, procedemos do mesmo modo que na derivação 
implícita, mas desta vez derivamos ambos os membros da equação 122 =+ yx em 
relação a t. Como [ ] 01 =
dt
d
 e como (pela regra da cadeia) [ ]
dt
dx
xx
dt
d
22 = e 
[ ]
dt
dy
yy
dt
d
22 = , a derivada de 122 =+ yx nos dois membros nos permite escrever 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 28
Exemplo
022 =+
dt
dy
y
dt
dx
x , logo, 0=+
dt
dy
y
dt
dx
x . A última equação estabelece a relação entre 
as taxas de variação 
dt
dx
 e 
dt
dy
 quando 122 =+ yx . 
 
Se a área de um círculo é crescente a uma taxa constante de 4cm²/s, a que 
taxa está crescendo o raio no instante em que o raio é de 5 cm? 
 
 Solução: Seja r o raio do círculo em cm, A a área do círculo em cm², e t o tempo 
em segundos. A equação que relaciona A com r é 2rA ⋅= π . Considerando a derivada 
de ambos os lados da equação em relação a t, temos: 
[ ]2r
dt
d
dt
dA
⋅= π , isto é, 
dt
dr
r
dt
dA
⋅⋅= π2 
 Foi dado no problema que scm
dt
dA
/4 2= , logo. 
dt
dr
r⋅⋅= π24 e scm
rdt
dr
/
2
⋅
=
π
 
 Assim, quando r = 5cm, scmscm
dt
dr
/13,0/
5
2
≈=
π
. 
 
 Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver 
problemas envolvendo taxas relacionadas: 
 
1. Faça uma figura, se isso for possível. 
2. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis 
usualmente dependem de t. 
3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas 
em relação a t. 
4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 
5. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada no item 
anterior. 
6. Substitua os valores de quantidades conhecidas da equação encontrada na etapa 
anterior e resolva em termos da quantidade desejada. 
 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 29
Exemplo Acumula-se areia em um monte com forma de um cone onde a altura é 
igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10m³/h, a que razão 
aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 
 
 Solução: Sejam V = volume de areia 
 h = altura do monte 
 r = raio da base 
 A = área da base 
 
 Da geometria, sabemos que 2rA ⋅= π e hrV ⋅⋅⋅= 2
3
1
π . 
 Por hipótese, hm
dt
dV
/10 3= e h = r. Substituindo h = r na fórmula do volume, 
temos: 
3
3
1
rV ⋅= π 
 Queremos encontrar a taxa de variação 
dt
dA
, quando r = 4m. 
 Derivando 2rA ⋅= π em relação a t, temos: 
dt
dr
r
dt
dr
dr
dA
dt
dA
⋅⋅=⋅= π2 
 Precisamos determinar 
dt
dr
. Derivando a equação 3
3
1
rV ⋅= π em relação a t, 
temos: 
dt
dr
r
dt
dr
dr
dV
dt
dV 2⋅=⋅= π 
 Como hm
dt
dV
/10 3= , temos: 
2
10
rdt
dr
⋅
=
π
 
 Portanto, 
rr
r
dt
dA 2010
2
2
=
⋅
⋅⋅=
π
π 
 Quando r = h = 4m, 5
4
20
==
dt
dA
 
 Logo, quando a altura do monte é de 4m, a área da base cresce a uma taxa 
de 5m²/h. 
 
h 
r 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 30
Exemplo
Exemplo
Funções Inversas 
 
 Seja ( )xfy = uma função de A em B. Se, para cada By∈ , existir exatamente 
um valor Ax∈ tal que ( )xfy = (bijeção), então podemos definir uma função 
ABy →: tal que ( )ygx = . A função g, definida desta maneira é chamada função 
inversa de f e denotada por 1−f . 
 
A função }1{}3{: −ℜ→=ℜf definida por 
x
x
y
−
−
=
3
1
 admite a função 
inversa }3{}1{:1 −ℜ→−−ℜ−f , definida por 
1
31
+
+
=
x
x
y . 
 
 O domínio de 1−f será igual à imagem de f e a imagem de 1−f será igual ao 
domínio de f. 
 Note que se BAf →: , então, 
 ( )[ ] xxff =−1 , para todo x em A. 
 ( )[ ] xxff =−1 , para todo x em B.. 
 
 Como achar a função inversa: 
 
1. Escreva ( )xfy = ; 
2. Resolva essa equação para x em termos de y (se possível); 
3. Para expressar 1−f como uma função de x, troque x por y. A equação resultante 
é ( )xfy 1−= . 
 
Encontre a função inversa de ( ) 23 += xxf . 
 
 Solução: Seguindo os passos acima, temos: 
23 += xy 
 Resolvendo para x: 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 31
Exemplo
3
3
2
2
−=
−=
yx
yx
 
 Trocando x por y: 
3 2−= xy 
 Logo, 
( ) 31 2−=− xxf 
 
 
 O gráfico de 1−f é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta y = x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada das funções inversas 
 
Teorema: Seja f uma função cujo domínio é um intervalo I. Se f tem uma função 
inversa, então as seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
i. Se f é contínua no seu domínio, então 1−f é contínua no seu domínio. 
ii. Se f é crescente (decrescente) no seu domínio, então 1−f é crescente 
(decrescente). 
iii. Se f é diferenciável em c e ( ) 0≠cf , então 1−f é diferenciável em ( )cf . 
 
 
 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 32
Exemplo
Teorema: Seja f uma função que é diferenciável em um intervalo I. Se f tem uma 
função inversa ( )ygx = , então g é diferenciável em qualquer x para o qual 
( )[ ] 0' ≠ygf . Além disso, 
( )
( )[ ]ygf
yg
'
1
' = , ( )[ ] 0' ≠ygf 
 
 
Seja ( ) 1
4
1 2 −+= xxxf . Calcule ( )[ ]xf
dx
d 1− , quando x = 1. 
 
 Solução: Se 21 xx > , segue que ( ) ( )22321311 14
1
1
4
1
xfxxxxxf =−+>−+= . 
Logo, ( )xf é crescente e assim, bijetora. Portanto admite inversa. O ponto 





4
1
,1 
pertence ao gráfico de f. Logo 





1,
4
1
 está no gráfico da inversa 1−= fg . Dessa forma, 
( ) ( ) 7
4
11
4
3
1
1'
1
4
1
'
2
=
+
==





f
g 
 
Funções trigonométricas inversas 
 
 Pela definição de função inversa, sabemos que é impossível definir uma função 
inversa para a função xy sen = , pois para cada valor de y corresponde umainfinidade 
de valores de x. Portanto, para definirmos a função inversa de xy sen = , e das outras 
funções trigonométricas, necessitamos restringir o domínio. 
 
Função arco-seno: Seja [ ]1,1
2
,
2
: −→


−
ππ
f a função definida por ( ) xxf sen = . 
A função inversa de ( )xf será chamada de arco-seno e denotada por 
[ ] 


−→−−
2
,
2
1,1:1
ππ
f , onde ( ) xxf arcsen 1 =− 
 Simbolicamente, para 
22
ππ
≤≤− y , xyxy =⇔= sen arcsen 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 33
 
 
Função arco-cosseno: Seja [ ] [ ]1,1,0: −→πf a função definida por ( ) xxf cos= . A 
função inversa de f será chamada arco-cosseno, denotada por [ ] [ ]π,01,1:1 →−−f , onde 
( ) xxf arccos1 =− . 
 Simbolicamente, para π≤≤ y0 , yxxy cosarccos =⇔= 
 
 
A função xy arccos= pode ser definida como xx arcsen 
2
arccos −=
π
 
 
Função arco-tangente: A função inversa da tangente é definida para todo número real. 
Seja ℜ→




−
2
,
2
:
ππ
f a função definida por ( ) xxf tan= . A função inversa de f, 
chamada de arco-tangente e denotada por 




−→ℜ−
2
,
2
:1
ππ
f , onde ( ) xxf arctan1 =− . 
 Simbolicamente, para 
22
ππ
<<− y , yxxy tanarctan =⇔= 
 
Observação
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 34
 xxy arctan
2
arccot −==
π
, onde π<< y0 
 




==
x
xy
1
arccossecarc , onde 1≥x 
 




==
x
xy
1
arcsensecarccos , onde 1≥x 
 
Derivadas das funções trigonométricas inversas 
 
Derivada da função arco-seno: Sabemos que se xy arcsen = , então yx sen = ,. 
Derivando yx sen = implicitamente em ralação a x, temos: 
[ ] [ ]
dx
dy
y
dx
dy
y
y
dx
d
x
dx
d
=
=
=
cos
1
cos1
sen 
 
 Como 0cos ≥y , pois 


−∈
2
,
2
ππ
y , temos: 
22 1sen1cos xyy −=−= 
 Portanto, 
21
1
cos
1
xydx
dy
−
== 
 Logo, 
[ ]
21
1
arcsen 
x
x
dx
d
−
= 
 
Derivada da função arco-cosseno: Sabemos que se xy arccos= , então 
xy arcsen 
2
−=
π
. Logo, 
21
1
arcsen 
2 x
x
dx
d
dx
dy
−
−=


 −=
π
, para ( )1,1−∈x 
 Logo, 
Observação
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 35
Exemplo
[ ]
21
1
arccos
x
x
dx
d
−
−= 
 
Derivada da função arco-tangente: Sabemos que se xy arctan= , então yx tan= , 





−∈
2
,
2
ππ
y . Assim, derivando implicitamente ambos os lados da equação, temos: 
[ ] [ ]
dx
dy
y
dx
dy
y
y
dx
d
x
dx
d
=
=
=
2
2
sec
1
sec1
tan
 
 Como yy 22 tan1sec += , obtemos: 
ydx
dy
2tan1
1
+
= 
 Substituindo ytan por x, temos: 
21
1
xdx
dy
+
= 
 Logo, 
[ ]
21
1
arctan
x
x
dx
d
+
= 
 
 
xy arccot = , então 
21
1
'
x
y
+
−= 
 xy secarc= , onde 1≥x , então 1,
1
1
'
2
>
−
= x
xx
y 
 xy secarccos= , onde 1≥x , então 1,
1
1
'
2
>
−
−= x
xx
y 
 
Se ( )1arcsen += xy , encontre y’. 
 Solução: Chamando 1+= xu , temos que uy arcsen = . Dessa forma, temos que 
'
1
1
'
2
u
u
y
−
= . Logo, 
( )211
1
'
+−
=
x
y . 
Observação
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 36
Exemplo Encontre a derivada da função 





+
−
=
2
2
1
1
arctan
x
x
y . 
 Solução: Chamando 
2
2
1
1
x
x
u
+
−
= , temos uy arctan= e, aplicando a regra da 
cadeia, 
'
1
1
'
2
u
u
y ⋅
+
= 
 Calculando 'u : 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )22
22
33
22
22
1
4
1
2222
1
2121
'
x
x
x
xxxx
x
xxxx
u
+
−
=
+
+−−−
=
+
⋅−−−⋅+
=
 
 Dessa forma, voltando para a variável x: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 444
4444
2222
222222
22
22
22
2222
22
22
22
222
2
2
1
2
12
4
22
4
2121
4
11
4
1
4
11
1
1
4
1
11
1
1
4
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
'
x
x
x
x
x
x
xxxx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
y
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+−+++
−
=
−++
−
=








+
−
⋅








−++
+
=








+
−
⋅
+
−++
=








+
−
⋅
+
−
+
=








+
−
⋅






+
−
+
=
 
 Logo, 
41
2
'
x
x
y
+
−= 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 37
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Derivadas de ordem superior 
 
 Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada 'f é 
também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na 
derivada da função 'f . 
 
Definição: Seja f uma função derivável. Se 'f também for derivável, então a sua 
derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por ( )xf '' . 
 
Seja ( ) xxxxf +−= 24 35 , então, 
 ( ) 1620' 3 +−= xxxf 
 ( ) 660'' 2 −= xxf 
 
Se ( ) xxf sen = , então, 
 ( ) xxf cos' = 
 ( ) xxf sen '' −= 
 
 Se ''f é uma função derivável, sua derivada, representada por ( )xf ''' é 
chamada derivada terceira de ( )xf . 
 A derivada de ordem n, ou n-ésima derivada de f, representada por ( ) ( )xf n é 
obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f. 
 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 6 para ,0
0
120
24120
2460'''
1220''
45'
,1
6
5
4
2
23
34
45
≥=
=
=
+=
+=
+=
+=
−+=
nxf
xf
xf
xxf
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
n
M
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 38
 
 
1. Calcule a derivada das funções abaixo. 
a) xxy 42 += R: 42 += x
dx
dy
 
 
b) ( )
2
2
x
xf = R: ( )
3
2
x
xf −=′ 
 
c) 
2
3
2
3 xx
y += R: ( )1
2
3 2 += x
dx
dy 
 
d) 3 xy = R : 
3 23
1
xdx
dy
= 
 
e) ( ) ( )1613 −⋅




 += x
x
xxf R : 
( )
3
1
32
2
++=
x
x
dx
xdf
 
 
f) x
ba
x
ba
x
y −
−
−
+
=
25
 R: 1
25 4
−
−
−
+
=
ba
x
ba
x
dx
dy
 
 
g) 
( )
2
3
31
x
x
y
+
= R: 
( ) ( )
2
52
113 2
x
xx
dx
dy −+
= 
 
h) ( )( )2312 +−= xxxy R: ( )192 2 −+= xx
dx
dy
 
 
i) 
22
42
xb
x
y
−
= R: 
( )
( )222
223 24
xb
xbx
dx
dy
−
−
= 
 
j) 
xa
xa
y
+
−
= R: 
( )2
2
xa
a
dx
dy
+
= 
 
k) 
3






+
−
=
xa
xa
y R: 
( )
( )4
26
xa
xaa
dx
dy
+
−
= 
 
l) 
x
x
y
−
+
=
1
1
 R: 
( ) 211
1
xxdx
dy
−−
= 
Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula 
sobre derivadas e sanar suas dúvidas. 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 39
m) ( )331 xy += R: 
2
3
11








+=
xxxdx
dy
 
 
n) 
2
2
1
12
xx
x
y
+
−
= R: 
( )322
2
1
41
xx
x
dx
dy
+
+
= 
 
o) ( )522 axy −= R: ( )42210 axx
dx
dy
−= 
 
2. Encontre a reta tangente à curva 
x
x
y
−
+
=
3
6
 no ponto ( )2,0=P 
 
3. Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24





 −
x
xx no ponto ( )4,1=P 
 
4. Obter a derivada da função 35 23 +−= xxy em um ponto genérico. 
 
5. Obter a derivada da função ( )22 32 −= xy no ponto ( )1,1=P 
 
6. Obter a derivada da função 22 axy += em um ponto genérico. 
 
7. Obter a derivada da função ( ) ( ) 211
1
1 −−=
−
= v
v
vf no ponto ( )1,2=P 
8. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3x2 +2x−3, 
 
 a) que é paralela à reta de equação y−4x+ 3 = 0 ; 
 b) que é perpendicular à reta de equação 2y−x= 0 . 
 
9. Encontre a derivada das funções dadas implicitamente: 
 
a) 2522 =+ yx R.: 
y
x
− 
b) xyyx +=− 332 56 R.: 
223
3
153
21
yyx
xy
−
−
 
c) xyyx =+ 33 R.: 
xy
xy
−
−
2
2
3
3
 
d) 0132 22 =+−+ xxyy R.: 
( )xy
y
212
23 2
+
−
 
e) ( ) xyx =+ 32 R.: 
( )
2
23
1
2
−
+ yx
 
f) ( ) xyyx 23 522 =+ R.: ( )
( ) xyxy
yxxy
2330
3102
422
422
−+
+−
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 40
10. Encontre as derivadas de ordem 3 das funções abaixo: 
 
a) ( ) 42765 510 +−−= xxxxf 
b) ( ) ( )513 += xxf 
c) ( ) 21 xxf += 
d) ( )
21
2
x
xf
+
= 
e) ( ) ( )412 += xxxf 
f) ( )
2
1






+
=
x
x
xf 
 
11. Uma indústria está aumentando a produção de um artigo à razão de 200 unidades 
por semana. A função demanda semanal admite como modelo xp 01,0100 −= , 
onde p é o preço e x é o número de unidades produzidas em uma semana. Ache a 
taxa de variação da receita em relação ao tempo, quando a produção semanal é de 
2.000 unidades. 
 
 R.: 19.200,00 por semana 
 
 
12. Numa indústria automobilística, se C é o custo total da produção de s unidades, 
então ( )
100024
1
2 ++
=
ss
sC . Além disso, se s carros são produzidos durante t 
horas desde o início da produção, então ( ) ttts 503 2 += . Determine a taxa de 
variação de custo em relação ao tempo, 2 horas após o início da produção. 
 
 R.: R$3.596,00 por hora 
 
13. Suponha que num certo mercado p seja o preço de uma caixa de uvas, x o número de 
milhares de caixas ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta dada 
implicitamente por 0105320 =+−− xppx . Se a oferta está decrescendo a uma 
taxa de 250 caixas por dia, como está variando o preço da caixa no instante em que a 
oferta é de 5.000 caixas? 
 
 R: decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 por dia. 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática 
Notas de Aula - Calculo I - Derivadas 41
 
Para saber mais sobre derivadas, consulte as referências listadas 
abaixo... 
 
 
Para você começar ! 
• G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. 
• J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. 
• H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. 
 
Quer aprof undar mai s um pouco? 
• L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 
1994 
• E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 
1, Ed. Prentice-Hall, 1997. 
• E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 
2ª edição, 1994 
 Gost a de desaf i os?? 
• H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 
2001. 
• P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 
1974. 
• G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. 
McGraw-Hill, 1987 
 
Para os amant es da net ... 
• http://ecalculo.if.usp.br/