CALCULO1 ap2 gab2011 2

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AP02 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
Resposta da AP02 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o [3, 0 pontos]
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (4 + e2x−1) sen (x3 − 1) (b) f(x) = arccos (2x)
(c) f(x) =
(x− 1
x+ 2
)3
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) = (2 e2x−1) sen (x3 + 1) + (12x2 + 3x2 e2x−1) cos (x3 + 1)
(b) f ′(x) =
2
√
1− 4x2
4x2 − 1
(c) f ′(x) =
9(x− 1)2
(x+ 2)4
2aQuesta˜o [1, 5 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) = x3− 3x2+3x− 1. Determine os valores de ma´ximo e mı´nimo
absolutos de f no intervalo [−1, 2].
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) = 3x2 − 6x+ 3 = 3(x− 1)2, para todo x ∈ R. Da´ı,
f ′(x) = 0 ⇔ x = 1.
Logo, x = 1 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f . Ainda, f(1) = 0, f(−1) = −8 e f(2) = 1.
Portanto, f possui um ma´ximo absoluto em x = 2 e um mı´nimo absoluto em x = −1.
3aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Calcule o seguinte limite de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) lim
x→−1
sen (x+ 1)
x2 − 1 (b) limx→+∞
x2 + x
e2x + 4
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−1
sen (x+ 1)
x2 − 1 = −
1
2
1
AP02 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
(b) lim
x→+∞
x2 + x
e2x + 4
= 0
4aQuesta˜o. [1, 5 pontos]
Suponha que as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa sa˜o satisfeitas pela func¸a˜o f .
Se f(2) = 5 e f ′(2) =
1
4
, determine (f−1)′(5).
Soluc¸a˜o:
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, temos que:
(f−1)′(5) = (f−1)′(f(2)) =
1
f ′(2)
=
1
1/4
= 4.
5aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Esboce o gra´fico de f : R→ R sabendo-se que:
(a) f intercepta o eixo x nos pontos (−2, 0) e (1, 0).
(b) f ′(x) > 0 em x ≤ −2 e em x ≥ 0, e f ′(x) < 0 em −2 < x < 0.
(c) f ′′(x) < 0 para x < −1 e f ′′(x) > 0 para x > −1.
(d) f possui um ponto de mı´nimo local em (0,−4).
(e) f possui um ponto de ma´ximo local em (−2, 0).
(f) lim
x→−∞
f(x) = −∞ e lim
x→+∞
f(x) = +∞
(g) O ponto (−1,−2) e´ ponto de inflexa˜o.
Soluc¸a˜o:
2