cal1 1.Funcoes continuas UFAL

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FI´SICA – UFAL
Curso de Ca´lculo 1:
Limtes Fundamentais e Func¸o˜es
Contı´nuas
por
Carlos Alberto Silva dos Santos
Maceio´ – Setembro – 2009
Limites Fundamentais 1
Nesta sec¸a˜o, estudaremos dois limites especiais que desempenharam papel
importante nos capı´tulos seguintes.
Limites Trigonome´tricos Fundamentais
Vamos considerar a func¸a˜o f(x) =
sinx
x
, definida em R − {0}. Na˜o chegaria a
ser um problema o ca´lculo de limites como:
lim
x→pi
2
f(x) = lim
x→pi
2
sinx
x
=
1
pi
2
=
2
pi
lim
x→pi
f(x) = lim
x→pi
sinx
x
= 0
lim
x→pi
4
f(x) = lim
x→pi
4
sinx
x
=
√
2
2
pi
4
=
2
√
2
pi
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
sinx
x
= sin 1.
Surge, entretanto, o problema do lim
x→0
sinx
x
. Consideremos a seguinte a tabela:
x sinx
sinx
x
0, 09 0, 0898785 0, 99865
0, 08 0, 0799147 0, 99893
0, 07 0, 0699428 0, 99917
0, 06 0, 0599640 0, 99940
0, 05 0, 0499792 0, 99958
0, 04 0, 0399893 0, 99973
0, 03 0, 0299955 0, 99985
0, 02 0, 0199987 0, 99993
0, 01 0, 0099998 0, 99998
1Material produzido por Prof. Jose´ Adonai Pereira e adapatado por Prof. Carlos Alberto.
2
que sugere uma tendeˆncia de
sinx
x
para o valor 1.
Figura 1: f(x) =
sinx
x
E´ isso mesmo que ocorre, ou seja, temos o seguinte teorema.
Teorema 1
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Demonstrac¸a˜o:
Na figura acima, vemos o arco x, seu seno e sua tangente. Notamos inicial-
mente que se 0 < x <
pi
2
, temos sinx < x < tanx e dividindo por sinx (sinx > 0)
obtemos
1 <
x
sinx
<
1
cosx
.
Se −pi
2
< x < 0, temos sinx < x < tanx e dividindo por sinx (sinx < 0) obtemos
1 <
x
sinx
<
1
cosx
.
3
Concluı´mos, portanto, que, para −pi
2
< x <
pi
2
, e x 6= 0, vale
1 <
x
sinx
<
1
cosx
.
Como lim
x→0
1 = 1 e lim
x→0
1
cosx
= 1, concluı´mos que lim
x→0
x
sinx
= 1 e, portanto,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
�
Outro limite importante, e que pode ser obtido do limite anterior, aparece no
teorema abaixo.
Teorema 2
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0.
Demonstrac¸a˜o:
Figura 2: f(x) =
cosx− 1
x
Comec¸amos observando que
cosx− 1
x
=
cos(x
2
+ x
2
)− 1
x
=
cos2(x
2
)− sin2(x
2
)− 1
x
= −2sin
2(x
2
)
x
= −sin
2(x
2
)
x
2
.
Logo, podemos escrever
cosx− 1
x
= − sinusinu
u
,
4
onde u =
x
2
. Portanto,
lim
x→0
cosx− 1
x
= − lim
u→0
sinu
sinu
u
= lim
u→0
sinu lim
u→0
sinu
u
= 0 · 1 = 0.
�
Limite Exponencial Fundamental
Figura 3: f(x) =
(
1 +
1
x
)x
Vamos considerar a func¸a˜o dada por f(x) =
(
1 +
1
x
)x
, sendo 1 +
1
x
> 0, o
que implica x < −1 ou x > 0, cujo gra´fico esta´ ao lado. Prova-se que existem os
limites
lim
x→+∞
f(x) = e lim
x→−∞
f(x)
e sa˜o iguais a um nu´mero que representamos por e (e = 2, 71828 . . .), nu´mero
irracional, chamado de nu´mero de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), que e´
base do sistema de logaritmos naturais (ou neperianos). Em resumo:
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e e lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
5
Conve´m observar que o nu´mero e tambe´m pode ser obtido atrave´s do somato´rio
infinito (se´rie) dada por
e =
+∞∑
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
5!
+ · · · .
Conve´m observar que o nu´mero e tambe´m pode ser obtido atrave´s do somato´rio
infinito (se´rie) dada por
e =
+∞∑
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
5!
+ · · · .
Calculando a soma das seis primeiras parcelas, obtemos uma aproximac¸a˜o para
e:
e ' 2 + 1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
5!
=
163
60
= 2, 7167.
Func¸o˜es Contı´nuas
Comecemos examinando os dois gra´ficos abaixo. Inicialmente, consideremos
o gra´fico de
f(x) =
 x3 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 24x+ 1, se 2 < x ≤ 4
Agora vejamos o gra´fico de g(x) = x3 − 2.
6
Podemos observar que a curva y = f(x) da´ um ”salto”em x = 2. Em geral, se o
gra´fico de uma func¸a˜o e´ uma curva que na˜o apresenta “saltos” ou “furos”, como
no caso da curva y = g(x), dizemos que a func¸a˜o e´ contı´nua em todos os pontos
de seu domı´nio.
Definic¸a˜o 1 Uma func¸a˜o f : I → R definida no intervalo I e´ dita contı´nua em
x = a ∈ I, se exist lim
x→a
f(x) e este limite coincide com o valor da func¸a˜o em a, ou
seja: lim
x→a
f(x) = f(a). f e´ contı´nua em I se e´ contı´nua em todos pontos de I.
Isto significa que f e´ contı´nua num ponto a somente quando se verificam as
treˆs condic¸o˜es seguintes:
(i) Existe f(a).
(ii) Existe lim
x→a
f(x).
(iii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Exemplo 1 Sa˜o contı´nuas as seguintes func¸o˜es:
(i) f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (polinomial)
(ii) g(x) = |x|.
(iii) h(x) = 2x.
7
(iv) l(x) = cos x.
(v) s(x) = sinx.
Vejamos os gra´ficos de g, h, l e s .
Figura 4: g(x) = |x|
Figura 5: h(x) = 2x
8
Figura 6: l(x) = cos x
Figura 7: s(x) = sin x
Figura 8: r(x) =
√
x
9
Exemplo 2 A func¸a˜o f(x) =
|x|
x
, x ∈ R∗, e´ contı´nua. Entretanto, se quisermos
estendeˆ-la a todo R, deveremos defini-la em x = 0. A nova func¸a˜o obtida assim
nuca sera´ contı´nua em x = 0. Por queˆ?
Exemplo 3 a) A func¸a˜o f : R→ R dada por
f (x) =

x2 − 4
x− 2 , se x 6= 2
4, se x = 2
e´ contı´nua no ponto 2, pois
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 = limx→2x+ 2 = 4 = f(2).
b) A func¸a˜o
f (x) =

x
|x| , se x 6= 0
4, se x = 0
na˜o e´ contı´nua no ponto 0, pois, como na˜o existe lim
x→0
f(x), visto que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x
|x| = limx→0+
x
x
= 1
e
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x
|x| = limx→0−
x
−x = −1
na˜o podemos ter lim
x→0
f(x) = 2.
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Operac¸o˜es com Func¸o˜es Contı´nuas
Enunciaremos, agora, alguns resultados sobre as operac¸o˜es com func¸o˜es
contı´nuas.
Teorema 3 Seja I ⊂ R, um intervalo. Se f, g : I → R sa˜o func¸o˜es contı´nuas no
ponto a ∈ I, enta˜o as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o contı´nuas em a.
(i) [Soma]
f + g : D −→ R
x 7−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(ii) [Subtrac¸a˜o]
f − g : D −→ R
x 7−→ (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(iii) [Produto]
fg : D −→ R
x 7−→ (fg)(x) = f(g(x))
(iv) [Quociente]
f
g
: D −→ R(
f
g
)
(x) 7−→ f(x)
g(x)
, se g(x) 6= 0, para todo x ∈ I.
Demonstrac¸a˜o:
Vejamos a prova de (i). Como f e g sa˜o contı´nuas em a, vem que lim
x→a
f(x) = f(a)
e lim
x→a
g(x) = g(a). Usando as propriedades de limite, obtemos que
lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).
Logo, obtemos a continuidade de f + g em a.
�
Vejamos mais uma pec¸a u´til para a verificac¸a˜o da continuidade de certas
func¸o˜es, a partir do conhecimento da continuidade de outras.
Teorema 4 Sejam f : I ⊂ R → R e g : J ⊂ R → R tais que f(I) ⊂ J . Sejam a ∈ I e
b = f(a) ∈ J . Se f e´ contı´nua em a e g e´ contı´nua em b, enta˜o g ◦ f e´ contı´nua em a.
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Demonstrac¸a˜o:
Seja � > 0. Como g e´ contı´nua em b = f(a), existe δ1 > 0 tal que
y ∈ E, ‖y − b‖ < δ1 =⇒ ‖g(y)− g(b)‖ < �.
Ja´ a continuidade de f em a produz δ > 0 tal que
x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖f(x)− f(a)‖ = ‖f(x)− b‖ < δ1.
Logo, se y = f(x), para x ∈ D e ‖x− a‖ < δ, vale
‖y − b‖ = ‖f(x)− f(a)‖ < δ1,
a qual implica que
‖g(y)− g(b)‖ = ‖g(f(x))− g(f(a))‖ = ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < �.
Em resumo, temos que
∀� > 0, ∃δ > 0 : x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < �,
isto e´, g ◦ f e´ contı´nua em a.
�
Exemplo 4 Tomemos f(x) = cosx, que e´ contı´nua em 0 e g(x) = 2x, que e´ contı´nua
em f(0) = cos 0 = 1. A func¸a˜o composta (g◦ f)(x) = g(f(x)) = 2cosx e´ contı´nua em 0.
Mais geralmente, 2cosx e´ contı´nua em todo R.
Teorema 5 (Teorema do Valor Intermedia´rio) Se f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o
contı´nua em [a, b] e f(a) < d < f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d
A demonstrac¸a˜o deste teorema exige conhecimentos na˜o aboradados aqui e
podem ser encontrada em livros de Ana´lise Matema´tica.
Exemplo 5 Consideremos o polinoˆmio p(x) = 4x3−6x2+3x−2. Afirmamos que p(x)
possui uma raiz real entre 1 e 2. De fato, como p(x) e´ uma func¸a˜o contı´nua em [1, 2]
e temos que
p(1) = 4− 6 + 3− 2 = −1 < 0
e
p(2) = 32− 24 + 6− 2 = 12 > 0.
Assim, p(1) < 0 < f(2). Enta˜o, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio existe c ∈ (1, 2)
tal que p(c) = d = 0.
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