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MATEMÁTICA FINANCEIRA BOA PROVA

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Matemática Financeira
Professor conteudista: Dalton Millan Marsola
Sumário
Matemática Financeira
Unidade I
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .........................................................................................................................1
1.1 Taxa de juros ..............................................................................................................................................2
1.2 Taxa percentual ........................................................................................................................................4
1.3 Taxa unitária ..............................................................................................................................................4
1.4 Juro exato e juro comercial .................................................................................................................6
1.5 Equivalência de capitais .......................................................................................................................7
2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................................................7
3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL ................................................................................. 10
3.1 Regime de capitalização dos juros .................................................................................................11
3.1.1 Regime de capitalização simples .......................................................................................................11
3.1.2 Regime de capitalização composta ................................................................................................. 12
3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta .............................................................. 13
4 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 14
4.1 Montante e capital .............................................................................................................................. 19
5 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 23
6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................................ 29
6.1 No regime de juros simples .............................................................................................................. 30
6.2 No regime de juros compostos ....................................................................................................... 32
7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 36
8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA” ................................................................ 39
Unidade II
9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 42
9.1 Definições básicas ................................................................................................................................ 43
10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................................................... 46
10.1 Expressões de cálculo do SAC ....................................................................................................... 49
10.2 SAC com carência .............................................................................................................................. 50
11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................. 54
11.1 Expressões de cálculo do SAF ........................................................................................................ 57
11.2 SAF com carência ............................................................................................................................... 58
12 TABELA PRICE ................................................................................................................................................. 61
13 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................................................... 65
14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM ............................................................................................. 66
14.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM ................................................................................. 67
15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ......................................................................................... 68
15.1 Sinking fund ou fundo de amortização ................................................................................... 70
16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) .......................................................................... 72
17 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE ........................................................................................................ 76
18 CUSTO EFETIVO .............................................................................................................................................. 80
18.1 Planilha com despesas adicionais ............................................................................................... 80
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Unidade I5
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OBJETIVOS
Fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica 
do discente na área financeira e, também, contribuir para o 
desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. 
Este é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica 
da função de administrador financeiro.
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
“Um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro...” 
(Gitman, 2004).
A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro 
ao longo do tempo. Seu objetivo é efetuar análises e comparações 
da movimentação de dinheiro em tempos diferentes.
As operações de aplicação e empréstimos são geralmente 
realizadas por uma instituição financeira, que capta recursos no 
mercado e os empresta a outros com taxas maiores. A diferença 
entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da 
instituição.
Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, 
e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e 
dos riscos envolvidos.
Do ponto de vista matemático, um determinado valor 
a qualquer época é chamado de Capital, e a soma dos 
juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de 
Montante.
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Segundo Assaf (2009), ao se emprestar um recurso a taxas de 
juros deve-se ser eficiente de maneira a remunerar os seguintes 
fatores importantes:
• risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não 
resgatar a dívida, sendo a incerteza como futuro;
• perda do poder de compra do capital motivado pela 
inflação: a inflação é um fenômeno que corrói o capital, 
é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto 
para o prazo do empréstimo, diminuindo o poder de 
compra de um bem pelo mesmo capital;
• ganho (ou lucro): fixado em função das demais 
oportunidades de investimentos; justifica-se pela privação 
da utilidade do capital pelo seu dono;
• despesas (nos dias atuais): todas as despesas 
operacionais, contratuais e tributárias para a formalização 
do empréstimo e à efetivação da cobrança.
1.1 Taxa de juros
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, 
a razão entre os juros recebidos (ou pagos)e o capital inicial 
aplicado (ou emprestado).
As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de 
tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas 
equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa 
unitária (fração decimal).
A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir 
um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, 
definida como:
i
J
P
=
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Exemplo 1
i x= = = =$
$ .
, , , %
110
10 000
0 0110 0 011 100 11
Exemplo 1.1
O gerente do banco outorgou um empréstimo de $2.000,00 
pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o 
devedor se comprometeu a devolver $2.250,00. Calcule o 
juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa 
operação.
• Juro da operação é j=2.250–2000=$250.
• Taxa unitária de juro é i= =$
$ .
,
250
2 000
0 125 em 48 dias.
• Taxa percentual de juro é i=0,125x100=12,5% em 48 
dias.
Exemplo 1.2
O gerente da instituição garantiu que aplicando $5.000,00, 
pelo prazo de sessenta (60) dias nominais, você resgatará 
$5.122,50 no final da operação. Calcule o juro, a taxa unitária 
de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação.
• Juro da operação é j = 5.122,50–5.000 =122,50.
• Taxa unitária de juro é i= =$ ,
$ .
,
122 50
5 000
0 0245i= =
$ ,
$ .
,
122 50
5 000
0 0245 em 60 
dias.
• Taxa percentual de juro é i=0,0245x100=2,45% em 60 
dias.
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1.2 Taxa percentual
Trata-se dos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros 
para cada centésima parte do capital. Esse valor é um acréscimo 
sobre o valor inicial em forma de fração, onde o denominador é 
sempre 100, conhecido como porcentagem (%).
Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada 
grupo de 100, haverá um acréscimo de 10.
Exemplo 1.3
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de 
juros, ao final deste período:
Juros x= $ ,2000 00
100
20 Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400,00
O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um 
deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é 
de $ 400,00.
1.3 Taxa unitária
É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. 
A transformação da taxa percentual em unitária é processada 
pela divisão da notação em percentagem por 100.
Exemplo 1.4
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de 
juros, ao final deste período.
A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 
0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja:
Juros R x= $ . ,2 000 00 20
100
 Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,00
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Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária 
por 100, assim transformando a taxa unitária em porcentagem.
Exemplo 1.5
Taxa percentual Fórmula N / 100 Taxa unitária
0,5% 0,5 / 100 0,005
1,3% 1,3 / 100 0,013
22% 22 / 100 0,22
31,5% 31,5 / 100 0,315
58% 58 / 100 0,58
150% 150 / 100 1,5
Exemplo 1.6
Converta para a forma percentual:
0,57 = 0,57 x 100 = 57%
2,08 = 2,08 x 100 = 208%
0,02 = 0,02 x 100 = 2%
Exemplo 1.7
Converta para a forma unitária:
163% = 163 / 100 = 1,63
2.107% = 2,107 / 100 = 21,07
12% = 12 / 100 = 0,12
Exemplo 1.8
Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. A razão 
entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas 
é dada por:
15
100
15= %
Nas fórmulas de matemática 
financeira, todos os cálculos são 
efetuados utilizando-se a taxa unitária 
de juros.
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Exemplo 1.9
Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse 
acrescido em 18%, quanto o DVD passaria a custar?
Se fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço 
original, quanto o DVD passaria a custar?
• Aumento: preço = 28 + 0,18 x 28 = 28 . (1 + 0,18) 
= 28 . 1,18 = R$ 33,04.
• Desconto: preço = 28 – 0,20 x 28 = 28 . (1 – 0,20) = 
28 . 0,80 = R$ 22,40.
1.4 Juro exato e juro comercial
Comum nas operações de curto prazo – onde predominam 
as aplicações com taxas referenciadas em juros simples – ter o 
prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de 
dias pode ser calculado:
a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário 
do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira 
denomina-se juro exato;
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o 
ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do 
denominado juro comercial ou ordinário.
Exemplo 1.10
15% ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa 
diária de:
a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia.
b) Juro comercial: 15% / 360 dias = 0,041667% ao dia.
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1.5 Equivalência de capitais
Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro 
de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de $1200,00. 
Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse 
débito. Será melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é 
não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar 
$1200,00 sendo que eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de 
um ano a uma taxa de 20% ao ano.
Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar 
do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação 
foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais.
Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que 
são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais 
são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos 
para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de 
oportunidade), são iguais.
Em termos gerais:
Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também,
Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de 
desconto referente ao período considerado. Como i corresponde 
ao período inteiro em consideração, é chamado de taxa simples. 
O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos 
diferentes.
A taxa de desconto pode corresponder a um custo de 
oportunidade.
2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Para facilitar a visualização dos movimentos monetários 
estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo, 
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o diagrama do fluxo de caixa é de grande utilidade para as 
operações de matemática financeira.
500 200
700 200
800
200
0 1 2 3 4 5
i%
A linha horizontal registra a escala de tempo, o ponto zero 
indica o momento inicial, e os demais pontos representam 
entrada e saída de caixa ao longo do tempo.
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas 
de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam 
saídas de dinheiro. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros 
estejam expressos na mesma unidade.
Exemplo 2
Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O 
devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação 
hoje de R$ 4.800,00, uma prestação de R$14.000,00 daqui a 2 
meses e uma última prestação de R$ 27.500,00 daqui a 7 meses. 
Como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida?
R$ 48.000,00
0 2 6 7
R$ 4.800,00 R$ 14.000,00 R$ 27.500,00
Exemplo 2.1
Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados 
pela Caixa Econômica com juros de 14% aoano. Observe que 
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esses juros totais, inferiores à inflação, correspondem a um 
subsídio. A devolução iniciará após a formatura. Assim, a quantia 
emprestada no início do primeiro ano será devolvida no início 
do sétimo ano.
Primeiro 
empréstimo
Ingresso na escola
Formatura
Primeira
devolução
anos
A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ 14.000,00. 
É de se esperar reajustes anuais de 35% devidos à inflação. O 
custo de oportunidade do capital é de 40% ao ano (depósito 
bancário a prazo fixo).
Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a 
que correspondem esses empréstimos a juros baixos da Caixa 
Econômica.
A B C D
Anuidades 
em R$
Devolução para 
CE 6 períodos 
depois: 14% a.a.
Valor do 
empréstimo 6 
períodos mais 
tarde: 40% a.a.
Desconto 
(C – B) / C
1º ano 14.000 30.730 105.414 71%
2º ano 18.900 41.485 142.308 71%
3º ano 25.515 56.005 192.116 71%
4º ano 34.445 75.606 259.355 71%
5º ano 46.501 102.068 350.131 71%
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De fato, o estudante que deixar de pagar R$ 14.000,00 no 
primeiro ano e depositar essa quantia a prazo fixo durante seis 
anos receberá R$ 105.414,00, mas só terá de devolver R$ 30.730,00 
à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa 
Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido 
às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo.
3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR 
ATUAL
Trata-se de comparar e discutir critérios econômicos para 
escolher a melhor alternativa baseando-se no valor atual das 
possibilidades.
Exemplo 3
500 600 500 550
– 1000
Alternativa I
400 550 450 550
– 1200
Alternativa II
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Na figura acima, fica evidente que a alternativa II é melhor, 
devido aos valores estarem no mesmo tempo e período, o que 
torna simples a comparação, sem a necessidade de cálculo.
O método do valor atual consiste em descapitalizar todos os 
valores para a data de hoje (período igual a zero). Dadas diversas 
alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes 
às séries correspondentes e compará-los para decidir qual é a 
melhor.
3.1 Regime de capitalização dos juros
É a forma como os juros são incorporados ao capital no 
decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes 
de capitalização: simples e composto.
3.1.1 Regime de capitalização simples
Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce 
de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente 
ao capital inicial da operação e não acumulativo.
Ano
Saldo no 
início de 
cada ano
Juros apurados 
para cada ano
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano
Crescimento 
anual do saldo 
devedor
Hoje 0 – 1000 –
1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100 100
2 1100 0,10 x 1000 = 100 1200 100
3 1200 0,10 x 1000 = 100 1300 100
4 1300 0,10 x 1000 = 100 1400 100
5 1400 0,10 x 1000 = 100 1500 100
Algumas observações podem ser apresentadas:
• os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital 
inicial de $1.000,00, apresentam valores idênticos ao final 
de cada ano ($ 100,00);
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• em consequência, o crescimento dos juros no tempo é 
linear, revelando um comportamento idêntico a uma 
progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, 
nos 5 anos, $ 500,00;
• se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a 
remuneração do capital emprestado somente se opera pelo 
seu valor inicial ($ 1.000,00), não ocorrendo remuneração 
sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º 
ano, a remuneração calculada de $ 100,00 é obtida com 
base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os 
$400,00 de juros que se foram acumulando ao longo do 
período;
• como os juros variam linearmente no tempo, a apuração 
do custo total da dívida no prazo contratado é processada 
simplesmente pela multiplicação do número de anos pela 
taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 
anos.
3.1.2 Regime de capitalização composta
Compara-se a uma progressão geométrica, isto é, o juro 
cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Os juros 
incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma 
acumulativa, isto é, juros sobre juros.
Ano
Saldo no 
início de cada 
ano
Juros apurados para 
cada ano
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano
Hoje – – 1000
1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100
2 1100 0,10 x 1100 = 110 1210
3 1210 0,10 x 1210 = 121 1331
4 1331 0,10 x 1331 = 133,1 1464,1
5 1464,1 0,10 x 1464,10 = 146,41 1610,51
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Os comentários sobre o quadro ilustrativo são colocados:
• no critério composto, os juros não incidem unicamente 
sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas sobre o saldo total 
existente no início de cada ano. Esse saldo incorpora o capital 
inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos 
anteriores;
• o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, 
evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo.
Exemplo 3.1
Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa 
de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do 
período, o montante será?
• 1o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 ⇒ Montante = $ 1.100,00
• 2o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 ⇒ Montante = $ 1.210,00
• 3o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 ⇒ Montante = $ 1.331,00
3.2 Diferenças entre capitalização simples e 
composta
Segundo Mathias e Gomes (2002), a diferença entre o 
regime de juros simples e juros compostos é caracterizada pelo 
fato de que nos juros simples apenas o capital inicial rende juros 
e este é diretamente proporcional ao tempo e à taxa, e os juros 
compostos, que retratam melhor a realidade, são capitalizados 
junto ao capital, incorporando-o e passando a participar da 
geração de juros do período seguinte.
Juros compostos
Juros simples
M
n
0 0,5 1 1,5
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Observe, na figura acima, que o comportamento do juro 
simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro 
composto cresce exponencialmente.
Os juros simples têm aplicações práticas limitadas devidas 
às suas restrições técnicas. São raras as operações financeiras 
que usam a capitalização linear e, dentre elas, as operações 
financeiras de curtíssimo prazo.
O regime composto é adotado por todo mercado financeiro 
e de capitais: aplicações financeiras, cartão de crédito, sistema 
financeiro de habitação etc.
4 JUROS SIMPLES
O regime de juros simples tem como particularidade a 
incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, 
os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com 
referência no valor principal, independente do período. Sobre os 
juros gerados a cada período, não incidirão novos juros.
Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o 
valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os 
juros. Transformando isso em fórmula, temos:
J=C.i.n
Algebricamente:
C=J/(i.n)
I=J/(C.n)
n=J/(C.i)
Onde:
J = juros
C = Capital (Principal)
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i = taxa de juros
n = número de períodos
Abreviaturas empregadas na notação das taxas:
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.m. ao mês
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
Observação: a taxa de juros (i) e o número de períodos (n) 
devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, 
evitando-se alterar i.
Exemplo 4
Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m. pelo 
período de 2 meses no regime de capitalização simples. Qual o 
valor dos juros mensais?
J=C.i.n
1500 x 0,05 x 2
J = $ 150
Exemplo 4.1
Um capital de $1120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no 
regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos 
juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?
J=C.i.n
1120,00 x 0,05 x 7
J = $ 392,00
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Exemplo 4.2
Uma pessoa compra a prazo um DVD (que custa, à vista, 
$ 500,00) que pode ser pago em três parcelas mensais iguais 
(entrada no ato) no valor de $ 270,00. Qual é a taxa de juros 
mensal cobrada pela loja?
C = 500,00 – 270,00 = $ 230,00
J = 270,00 – 230,00 = $ 40,00
i=J/(C.n)
i = 40 / 230 x 1
i = 0,1739 ou 17,39%
Exemplo 4.3
Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga com 
juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la 
em 3 meses. Quanto pagaremos de juros?
J=C.i.n
J = 80000 x 0,08 x 3
J = R$ 19.200,00
Exemplo 4.4
Temos uma dívida de R$ 50.000,00 que deve ser paga com 
juros de 20% a.m. pelo regime de juros simples e devemos 
pagá-la em 8 meses. Quanto pagaremos de juros?
J=C.i.n
J = 50000 x 0,20 x 8
J = R$ 80.000,00
Exemplo 4.5
Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa 
de 12% no regime de juros simples para pagar daqui a 10 
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meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou 
emprestado?
C=J/(i.n)
C = 20000 / (0,12 x 10)
C = R$ 24.000,00
Exemplo 4.6
Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45,000,00 por 12 
meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. 
Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação?
i=J/(C.n)
i = 8000 / (45000 x 12)
i = 0,014815 “taxa unitária”
taxa percentual = 0,014815 x 100 = 1,4815% a.m.
Exemplo 4.7
Quanto tempo você tem de deixar R$ 6.200,00 aplicados 
a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 
1.625,00.
n=J/(C.i)
n = 1625 / ( 6200 x 0,047)
n = 5,576 meses ou 6 meses
Exemplo 4.8
Um capital de $75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês 
durante um período de um quadrimestre. Calcular o valor dos 
juros acumulados.
J=C.i.n
J = 75.000 x 0,04 x 4
J = $ 12.000,00
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Para operações com prazo em dias e o período da taxa 
de juro com período anual, o prazo da operação em dias é 
convertido numa fração de um ano, faltando definir quantos 
dias tem um ano e como se calcula a fração de um ano. Por 
exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação a prazo 
de t dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo 
da operação é (t/360).No cálculo do juro, o período da taxa 
de juro é ajustado ao prazo da operação utilizando taxas 
proporcionais:
J = P x i x t / 360
Exemplo 4.9
O empréstimo de $ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias foi 
acertado com a taxa de juro de 19% ao ano, com a condição de 
pagar o juro junto à devolução do empréstimo. Calcule o juro no 
regime de juros simples considerando o ano de 360 dias.
J C i
n= . .
360
J = 17000 x 0,19 x 55 / 360
J = $ 493,47
Exemplo 4.10
Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. no 
regime de capitalização simples por um período de 4 meses. 
Qual o valor dos juros mensais?
J=C.i.n
J = 1500 x 0,03 x 4
J = $ 180,00
No cálculo do exemplo 4.9, foi utilizada a taxa de juro 4% 
com período igual a 55 dias, igual ao prazo do empréstimo, 
resultado obtido com:
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it = 0 4
55
360
, .
A partir da taxa anual i com período de 360 dias e a taxa 
proporcional it com período igual ao prazo da operação t 
obtém-se:
i i
t
t = . 360
t i
t
t
360
=
O resultado do primeiro membro da última expressão é 
a taxa diária proporcional da taxa i com período de um ano 
de 360 dias. E o resultado do segundo membro é a mesma 
taxa unitária, porém calculada com a taxa de juro it com 
período t.
4.1 Montante e capital
Um capital aplicado a uma taxa periódica de juro por 
determinado tempo produz um valor acumulado denominado 
de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é 
calculado com o capital mais o valor acumulado dos juros:
M = C + J
No entanto, sabe-se que:
J = C . i . n
Assim,
M = C + C . i . n
M = C.(1 + i . n)
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O valor de C pode ser obtido por:
C = M
(1 + i .n)
O valor de i pode ser obtido por:
i
M
C
n
=
−

1
O valor de n pode ser obtido por:
n
M
C
i
=
−

1
Exemplo 4.11
Um capital de $ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês 
no RCS, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos 
juros acumulados neste período.
J = C . i . n
J = 70000 . 0,035 . 6
J =$ 14.700,00
Exemplo 4.12
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa 
de juros simples de 8% ao mês durante dez meses. Ao final deste 
período, calculou em $ 255.000,00 o total dos juros incorridos 
na operação. Determinar o valor do empréstimo:
C
M
i n
=
+ ⋅( )1
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C
C= −
+ ⋅( )
255 000
1 0 08 10
.
,
C = 318.750,00
Exemplo 4.13
Um capital de $ 35.000,00 foi aplicado num fundo de 
poupança por 9 meses, produzindo um rendimento financeiro 
de $ 9.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida 
por esta operação.
i
M
C
n
=
−

1
i=
−


44750
35000
1
9
i = 0,03095 = 3,095%
Exemplo 4.14
Uma aplicação de $ 244.000,00 rendendo uma taxa de juros 
simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, 
juros no valor de $ 31.000,00. Calcular o prazo da aplicação.
n
M
C
i
=
−

1
n =
−


275 000
244 000
1
0 019
.
.
,
n = 6,686 meses ou 7 meses
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Exemplo 4.15
Uma empresa tomou $ 3.500,00 emprestados para pagar 
dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% 
a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.
M = C.(1 + i . n)
M = 3.500.(1 + 0,055 . 7)
M = $ 4.847,50
Exemplo 4.16
Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um 
montante igual a $ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% 
a.m. Qual o capital inicial da operação?
C
M
i n
=
+ ⋅( )1
C =
+ ⋅( )
780
1 0 095 6,
C = $ 496,81
Exemplo 4.17
O valor de $ 350,00 foi aplicado por seis meses, permitindo 
a obtenção de $ 480,00. Sabendo que o regime de capitalização é 
simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.
i
M
C
n
=
−

1
i=
−


480
350
1
6
i =0,0619 = 6,19%
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Exemplo 4.18
A quantia de $ 254,00 foi obtida como montante de uma 
aplicação de $ 78,00 feita à taxa de 2,5% a.m. no regime de 
capitalização simples. Qual a duração da operação?
n
M
C
i
=
−

1
n =
−


254
78
1
0 025,
n = 90,26 ou 91 meses
5 JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é comumente usado no sistema 
financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas 
financeiros do cotidiano.
Uma particularidade dos juros compostos é que são juros 
gerados a cada período e incorporados ao principal para serem 
referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, juros 
sobre juros.
O momento quando os juros são incorporados ao valor 
principal é quando ocorre a capitalização.
Abaixo, temos a expressão algébrica que demonstra os juros 
sobre juros em três períodos:
1º mês:
M =C.(1 + i)
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2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Dessa forma, é possível obter a fórmula:
M=C.(1+i)n
Algebricamente:
C = M
(1 + i)n
Para calcular o juro:
j=C.[(1+i)n–1]
Importante: a taxa i tem de ser expressa na mesma medida 
de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como 
ano, semestre, entre outras, mas sempre usar a mesma unidade 
para período e taxa.
Para calcular o juro, basta diminuir o principal do montante 
ao final do período:
J=M–C
Exemplo 5
Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de onze 
meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 
1,65% de juros compostos ao mês?
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C
M
i n
=
+( )1
C =
+
26750
1 0 0165 11( , )
C = R$ 22.343,05
Exemplo 5.1
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta 
de 3,5% a.m.?
M = C . (1 + i)n
M = 12000 (1 + 0,035 )8
M = R$ 15.801,71
Exemplo 5.2
Calcule o montante de um capital de R$6.750,00 aplicado a 
juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês.
C = R$6.750,00
n = 13 meses
i = 3,8% a.m. = 0,038
M = ?
M=C.(1+i)n
M=6750.(1+0,038)13
M=10.961,48
Exemplo 5.3
Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 87.520,00 
pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 3,35% ao mês.
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j=C[(1+i)n–1]
j = 87.520 [(1,0335 )6 – 1]
j = $ 19.132,29
Exemplo 5.4
Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar 
$ 100.000,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de 
juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos.
C = M / (1 + i)n
C = 100.000 / (1+0,0175) 15
C = $ 77.087,46
Exemplo 5.5
Um financiamento foi desenvolvido após seis meses, 
desembolsando $ 141.852,00. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa operação sabendo que o valor recebido pelo cliente foi 
$ 100.000,00.
i = (M / C)1/n –1
i = (141.852 / 100.000)1/6 –1
i = 0,06
Exemplo 5.6
Hoje, foram aplicados $ 10.000,00 pelo prazo de 4 trimestres, 
com taxa de juro de 3,5 ao trimestre. Calcule o valor do resgate 
considerando o regime de juros compostos.
M = C x ( 1 + i )n
M = 10.000 x ( 1 + 0,035 )4 = $ 11.475,23
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Exemplo 5.7
Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem 
$ 10.000,00 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro 
constante de 2,2% ao mês no regime de juros compostos.
C = M / (1 + i)n
C = 10000 / (1+0,022)12
C = $ 7.701,75
Exemplo 5.8
Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 
meses. Consultou um determinado banco e recebeu as propostas 
de investimento:
• I – 2,5% de juros simples ao mês;
• II – 1,3% de juros compostos ao mês;
• III – resgate de R$ 11.450,00, no final de um período de 
quatro meses.
A considerar a situação hipotética acima, e, uma vez aplicado 
o dinheiro, não haja retirada alguma antes de quatro meses, 
julgue os itens seguintes:
a) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, 
R$11.275,00.
b) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais 
de R$11.500,00.
c) Se optar pela proposta II, ele terá, no final do 2º mês, mais 
de R$11.250,00.
d) Para o investidor, a proposta financeiramente menos 
favorável é a III.
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Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,025
Na proposta I, no final do primeiro mês:
MI = 11000 * (1+0,025*1)
MI = 11.275,00
Na proposta I, no final do segundo mês:
MI = 11000 * (1+0,025*2)
MI = 11.550,00
Logo, as alternativas a) e b) são verdadeiras.
Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,013
Na proposta II, no final do segundo mês:
iII = 0,01
MII = 11.000 * (1+0,013)²
MII = 11.287,86
Então, a alternativa c) também é verdadeira.
Olhando para todas as opções de investimento, temos:
MI = 11000 * (1+0,025*4) = 12.100,00
MII = 11.000 * (1+0,013)
4 = 11.583,25
• MI = 12.100,00
• MII = 11.583,25
• MIII = 11.450,00
Então, a alternativa d) também é verdadeira.
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Exemplo 5.9
Calcule os juros compostos e o montante referentes a um 
capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 
10% a.m.
C = R$ 7.500,00
i = 10% a.m. = 0,10
n = 6 meses
J = ?
M = ?
M = C . (1 + i)n
M = 7.500,00 . (1 + 0,10)6
M = 7.500,00 . 1,106
M = 7.500,00 . 1,77
M = 13.286,71
J = M – C
J = 13.286,71 – 7.500,00
J = 5.786,71
ou
J = C . [(1 + i)n – 1]
J = 7.500,00 . [(1 + 0,10)6 – 1]
J = 5.786,71
6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Para compreender o significado dessas taxas, é necessário 
reconhecer que toda operação envolve dois prazos:
• prazo a que se refere a taxa de juros;
• prazo de capitalização dos juros.
A fim de exemplificar, um investimento paga aos investidores 
uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal 
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todo mês por meio de um percentual proporcional de 0,5% ao 
mês. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo 
da capitalização em mês.
Para uso das fórmulas da matemática financeira, é 
necessário expressar esses prazos diferentes, na mesma unidade 
de tempo.
6.1 No regime de juros simples
No regime de juros simples, essa transformação é processada 
pela denominada taxa proporcional de juros e é obtida pela 
divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o 
número de vezes em que ocorrerão os juros (número de períodos 
de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 25% a.a., se a 
capitalização for definida mensalmente (ocorrerão juros 12 
vezes em um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o 
capital a cada mês será:
Taxa proporcional = 25% / 12 = 2,083% ao mês.
A aplicação de taxas proporcionais é difundida em operações 
de curto e curtíssimo prazo como: cálculo de juros de mora, 
descontos bancários, apuração de encargossobre saldo devedor 
de conta corrente bancária etc.
As taxas de juros simples são equivalentes quando aplicadas a 
um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo: produzem 
o mesmo volume linear de juros.
Exemplo 6
Em juros simples, um capital de $4.000,00, se aplicado a 5% 
ao mês ou 15% ao trimestre pelo prazo de um ano, produz o 
mesmo montante linear de juros:
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J (5% a.m.) = $ 4.000,00 x 0,05 x 12 meses = $ 2.4000,00
J (15% a.t.) = $ 4.000,00 x 0,15 x 4 trimestres = $ 2.4000,00
Os juros produzidos pelas taxas lineares são iguais, portanto, 
equivalentes.
Exemplo 6.1
Calcular a taxa de juros semestral proporcional de:
60% ao ano:
Solução: i= =60
12
6 30
%
. % ao semestre;
9% ao trimestre:
Solução: i= =9
3
6 18
%
. % ao semestre ou i=9%.2=18%.
Exemplo 6.2
Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao 
trimestre:
Solução: 
12
3
36
12
=
Colocadas as taxas em proporções iguais para comparação, 
notamos que as taxas não são proporcionais, pois o produto 
dos meios (3x6) é diferente do produto dos extremos 
(12x12).
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6.2 No regime de juros compostos
No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente 
permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa 
de juros.
i iq
q= + −1 1
onde:
q = número de períodos de capitalização.
Exemplo 6.3
Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao 
semestre?
i6 6 1 0 103826 1= + −,
i6 6 1103826 1 1 0166 1 0 0166= − = − =, , , ou 1,66%
A um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente 
indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao 
semestre.
A fim de demonstrar, usaremos um exemplo de aplicação de 
$ 50.000,00 aplicado por dois anos:
Para i = 1,66% e n = 24 meses:
M = 50.000,00 (1,0166)24 = $ 74.228,81
Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:
M = 50.000,00 (1,103826)4 = $ 74.228,81
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Exemplo 6.4
A taxa Selic anual (do dia 8 de junho de 2004) foi de 15,84%. 
Calcule a taxa equivalente diária.
i ia= + −( )1 1
1
252 ou i ia= + −1 1
252
 (essas fórmulas são as 
mesmas!)
i= + −( , )1 0 1584 1
1
252 = 0,00058366
Resposta: para as aplicações no mercado financeiro, em 
setembro de 2000, o Banco Central do Brasil definiu que o 
número de dias úteis do ano é de 252 dias. A taxa equivalente 
diária no regime de juros compostos com 252 dias úteis por ano 
é 0,0005837 ou 0,05837% ao dia útil.
Exercício 6.5
No dia 1 de fevereiro de 2005, a operação foi fechada com 
taxa diária 0,066509%. Calcule a taxa equivalente anual.
i=(1+id)
252–1
i=(1+0,00066509)252–1
i=0,1824008
Resposta: a taxa equivalente anual no regime de juros 
compostos considerando 252 dias úteis por ano é 0,1824 ou 
18,24% ao ano de 252 dias úteis.
Exercício 6.6
A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. 
em determinado instante. Qual a taxa acumulada para um ano?
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i=(1+im)
12–1
i=(1+0,042)12–1
64% a.a.
Exercício 6.7
A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% 
a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa 
acumulada para um ano?
Capitalizar as seguintes taxas:
• 2,3 % ao mês para um ano:
 ia=(1+0,023)
12–1 = 31,37% a.a.
• 0,14% ao dia para 23 dias:
 id=(1+0,0014)
23–1 = 3,27% para 23 dias.
• 7,45% ao trimestre para um ano:
 ia=(1+0,0745)
4–1 = 33,30% a.a
• 6,75% ao semestre para um ano:
 ia=(1+0,0675)
2–1= 13,96% a.a.
Exercício 6.8
Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os 
seguintes prazos:
• 1 mês:
im = + −( , )1 0 34 1
1
12 = 2,47% a.m.
• 1 quadrimestre:
iq = + −( , )1 0 34 1
1
3 = 10,25% a.q.
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• 1 semestre:
 is = + −( , )1 0 34 1
1
2 = 15,76% a.s.
• 5 meses:
 im = + −( , )1 0 34 1
5
12 = 12,97% para 5 meses.
• 10 meses:
 im = + −( , )1 0 34 1
10
12
 = 27,62% para 10 meses.
Exercício 6.9
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral 
equivalentes a 25% ao ano?
Solução:
Taxa de juros equivalente mensal:
i = 25% ao ano;
q = 1 ano (12 meses)
i12 121 0 25 1= + −,
i12 12125 1= −,
i12=1,877% a.m.
Taxa de juros equivalente trimestral:
q = 1 ano (4 trimestres)
i4 4 1 0 25 1= + −,
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i4 4 125 1= −,
i4=5,737% a.t.
7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR 
DENTRO”
Desconto simples racional, também chamado de desconto 
“por dentro”, assume os conceitos e relações básicas de juros 
simples.
Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital 
(ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do 
desconto (número de períodos em que o título é negociado 
antes de seu vencimento), tem-se abaixo a expressão de juros 
simples:
Dr = C x i x n
Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de 
valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, 
obtém-se:
Dr = N – Vr
Sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou 
montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na 
data da operação. Como:
V C
N
i nr
= =
+ ×1
Algebricamente, obtém-se o valor do desconto racional a 
juros simples:
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D N
N
i n
N i n N
i n
N N i n N
i nr
= −
+ ×
= + ×( ) −
+ ×
= + × × −
+ ×1
1
1 1
D
N i n
i nr
= × ×
+ ×1
O valor descontado é obtido pela seguinte expressão:
Vr = N – Dr
V N
N i n
i n
N i n N i n
i n
N N i n N i n
i nr
= − × ×
+ ×
= + ×( ) − × ×
+ ×
= + × × − × ×
+ ×1
1
1 1
V
N
i nr
=
+ ×1
No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. 
A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de 
todo o período do desconto.
Exemplo 7
Seja um título de valor de $ 3.500,00 vencível em um ano, que 
está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 
48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto e o valor descontado.
Solução (graficamente):
N=$3.500,00Vr
i=48% a.a.
4% a.m.
0 10 12 (meses)
Desconto: D
N i n
i nr
= × ×
+ ×1
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 Dr =
× ×
+ ×
= =3 500 00 0 04 2
1 0 04 2
280 00
1 08
259 26
. , ,
,
,
,
$ ,
Valor descontado: Vr = N – Dr
 Vr = 3.500,00 – 259,29 = $ 3.240,71
ou V
N
i nr
=
+ ×1
 Vr = + ×
=3 500 00
1 0 04 2
. ,
,
 $ 3.240,71
Para o devedor, $ 259,26 representa o valor que está deixando 
de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido 
do pagamento (valor descontado) é de $ 3.240,71.
Exemplo 7.1
Determinar a taxa mensal de desconto racional de um 
título negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor de 
resgate é $ 28.800,00 e valor atual na data do desconto é de $ 
25.235,10.
Solução: sabe-se que no desconto racional o desconto é 
aplicado sobre o valor atual dotítulo, ou seja, sobre o capital 
liberado.
Dr = Vr x i x n e i
D
V n
r
r
=
×
i
Vr
= −
×
= =28 800 00 25 235 10
3
1 563 90
48 872 20
0 047
25 23510
. , . , . ,
. ,
,
. ,
008
 ou 
4,708% a.m.
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8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU 
“POR FORA”
Esse tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre 
o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior 
volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada 
pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em 
curto prazo.
O valor desse desconto (desconto por fora) DF no regime de 
juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do 
título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada 
na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o 
desconto (n). Isto é:
DF = N x d x n
O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, 
é obtido:
VF = N – DF
VF = N – N x d x n
VF=N(1–d x n)
Exemplo 8
Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título 
negociado 90 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de 
resgate igual a $ 27.500,00 e valor atual na data do desconto 
de $ 21.225,10.
Solução: 
 
N=$27.500,00VF=$21.225,10
t – 3 t (meses)
n = 3 meses
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DF = N – VF
DF = 27.500,00 – 21.225,10 ⇒ DF = $ 6.274,90
DF = N x d x n
6.274,90 = 27.500,00 x d x 3
6.274,90 = 82.500,00 x d
d = =6.274,90 
82 500 00
0 07606
. ,
, ou 7,606% ao mês
Exemplo 8.1
Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de 
R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, à taxa de 
desconto de 0,2% a.d.?
Db = ?
N = R$ 100,00
i = 0,2% a.d. = 0,002 a.d.
n = 60 dias
Db = N . i . n
Db = 100,00 x 0,002 x 60
Db = R$ 12,00
O valor do desconto bancário é de R$ 12,00.
Exercício 8.2
Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer 
em 03 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num 
banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o 
valor de resgate do título.
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N = R$ 7.500,00
C = ?
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
n = 74 dias
C = N (1 – i . n)
C = 7.500,00 × − ×

1
0 025 74
30
,
C = 7.500,00 x (1 – 0,061667)
C = 7.500,00 x 0,938333
C = 7.037,50
O valor do resgate é R$ 7.037,50.

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