Lista de exercícios pórticos

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Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 4 – Diagramas de esforços em pórticos planos 
 
4.1 – Pórticos planos 
 
Este capítulo será dedicado ao estudo dos quadros ou pórticos planos. 
 
Chama-se pórtico plano a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas 
contidas no próprio plano da estrutura. 
 
Para validade desta definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o 
efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano da 
estrutura. 
 
 
4.2– Equações de equilíbrio em pórticos planos 
 
As equações de equilíbrio estático disponíveis para determinação de reações de apoio em 
pórticos planos, considerando-se que não há cargas nem reações na direção transversal ao 
plano da estrutura (plano xy), são as três equações a seguir: 
 
∑∑ == 0VFy ? Somatório das forças verticais nulo 
∑∑ == 0HFx ? Somatório das forças horizontais nulo 
0==∑∑ Pz MM ? Somatório dos momentos em qualquer ponto nulo 
 
Como já vimos no item 3.6, cada rótula existente no quadro plano, interceptando uma de suas 
barras ou posicionada em um de seus vértices, representa uma seção onde o momento fletor é 
conhecido e igual a zero. A cada rótula corresponde, portanto, uma equação adicional ao 
sistema das três equações de equilíbrio, a qual envolve parte das cargas atuantes e das reações 
de apoio a determinar. 
 
Assim, a existência de uma rótula acrescenta uma equação ao sistema de equações de 
de equilíbrio, permitindo ampliar o número de incógnitas que podem ser determinadas 
pelo sistema de equações disponível e mantendo a condição de isostaticidade do quadro. 
 
 0 ? momento fletor produzido pelas forças ligadas a rótula por um lado ou pelo =RotM
outro é nulo, 
 
 
Calculadas as reações de apoio em um quadro plano, a determinação dos esforços seccionais 
nas sucessivas seções transversais, bem como o traçado de seus diagramas, se faz exatamente 
obedecendo-se aos mesmos princípios apresentados no estudo de vigas isostáticas, sendo 
também válidos todos os artifícios aplicáveis a cada caso de carregamento que se apresente. 
As convenções de sinais podem ser observadas no item 2.3 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 43 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
4.3– Pórticos planos simples 
 
Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, os quais chamaremos de 
quadros simples. Estes quadros são resolvidos sem a necessidade de decomposição em partes 
menores. 
As principais diferenças entre os tipos de quadros simples estão relacionadas ao cálculo das 
reações de apoio. Uma vez determinadas estas reações, o traçado dos diagramas se dá de 
forma muito semelhante ao que já foi apresentado sobre vigas isostáticas. Os itens abaixo 
apresentam de forma resumida estas diferenças no cálculo das reações de apoio para cada um 
dos quatro tipos. 
 
4.3.1 – Quadro biapoiado 
 
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro 
gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático 
são suficientes para sua resolução. 
 
 
 + = 3 incógnitas ? 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.b). 
 
 
 
A partir do cálculo das reações apresentadas na figura acima, é possível traçar os diagramas de 
esforço normal, cortante e momento fletor. A forma de traçar os diagramas em vigas já foi 
apresentada no quadro Sabendo Mais 8. O quadro Sabendo Mais 11 apresenta algumas 
considerações adicionais sobre os diagramas de esforços em pórticos. 
 
 
44 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
 29/6/2007 45 
 
 
Quadro 11 – Considerações adicionais sobre diagramas em quadros 
Sabendo+ 
 
Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra e as 
extremidades de cada barra; 
 - Nos trechos entre estes pontos, verificar quais as forças na direção da 
barras ligadas ao trecho por um lado OU pelo outro e verificar se estão 
“entrando” no trecho (compressão) ou “saindo”do trecho (tração). 
 - Traçar os diagramas, observando que o lado para o qual marcamos os 
valores é indiferente, interessando apenas o sinal (compressão negativo 
e tração positivo). 
 
Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita em barras horizontais e inclinadas 
e de baixo para cima em barras verticais, plotar, a partir do eixo da 
estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida 
em que forem surgindo, de acordo com o que já foi apresentado no 
quadro 8. 
 - Deve-se considerar, em cada nó, o efeito das forças transmitidas 
naquele ponto proveniente das outras barras. 
 
Momento Fletor: Observar que marcar as extremidades de cada barra significa que em 
cada nó teremos 2 ou mais pontos de momentos fletores a serem 
calculados, dependendo do número de barras que chega ao nó. 
 - No cálculo dos valores, verificar que os momentos calculados por um 
lado OU pelo outro da seção devem considerar todas as forças ligadas a 
seção pelo lado considerado. 
 
 
 
Os diagramas para o quadro biapoiado são apresentados a seguir. 
 
D.N. D.Q. D.M. 
 
 
Observação: Para os sinais e lados de traçado do diagrama de esforços normais ficarem 
compatíveis com os de esforços cortantes, consideramos o lado esquerdo das barras verticais 
como positivo e o lado direito como negativo. 
 
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4.3.2– Quadro engastado 
 
Os quadros engastados apresentam as 3 reações de apoio proveniente do engaste. Desta forma, 
as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução. 
 
 
 = 3 incógnitas ? 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.c). 
 
 
A partir destas reações é possível traçar os diagramas apresentados a seguir. 
 
D.N. D.Q. D.M. 
 
 
46 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
4.3.3– Quadro Triarticulado 4.3.3– Quadro Triarticulado 
 
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do 
segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para 
sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional 
(momento fletor na rótula nulo). 
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do 
segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para 
sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional 
(momento fletor na rótula nulo). 
 
 
 
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 + = 4 incógnitas ? 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 Rótula = uma equação adicional ? 0=RotM 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações em quadros triarticulados é apresentado a seguir: 
 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) em cada apoio do 2º gênero. Deve-se descobrir as 
quatro incógnitas do problema: 
 
VA ? Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
HA ? Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda (?) 
VB ? Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
HB ? Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (?) 
 
Utilizando as quatro equações disponíveis: 
Ultima atualização em
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⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=+−⋅=
=−=−⋅−−−⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅===
=⋅++=+=
=+=
−
=
=
=
∑∑
∑
∑
0435,16
0666634335,1325,464663230:0
163264:0
12:0
1
1
1
BBDROT
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
BA
n
i
i
HVM
VVMMz
kNVVY
kNHHX
 
 
Logo: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=→=+−=+⋅−=
=→=
=+
=+
− kNHHHM
kNVV
kNVV
kNHH
BBBDROT
BB
BA
BA
6042441139
11666
16
12
 
 
Então: 
kNV
kNH
A
A
5
6
=
=
 
 
A partir destas reações de apoio e possível traçar os diagramas de esforços atuantes: 
D.N. D.Q. 
D.M. 
48 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
 
Observações: 
 
 - Neste exemplo o apoio B não se encontra alinhado com a rótula nem na direção 
vertical nem na horizontal. Quando algum apoio se encontra alinhado com a rótula, 
torna-se mais fácil obter imediatamente uma das reações de apoio através da 
equação da rótla. 
 
 - Para o traçado dos diagramas de esforços normal e cortante da barra inclinada, 
basta considera-la uma vigar inclinada com o total do carregamento ligado pela 
esquerda aplicado ma extremidade esquerda e o total do carregamento a direita 
aplicado na extremidade direita. 
 
 Faz-se então a decomposição destas forças para auxiliar o traçado direto dos 
diagramas. 
 
 
4.3.4– Quadro biapoiado com rótula e tirante (ou escora) 
 
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro 
gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático 
são suficientes para sua resolução. 
 
Quando se inclui em um quadro biapoiado uma rótula e um tirante (ou escora), o quadro 
permanesse isóstático. Como isso ocorre? 
 
 
 
 + = 3 incógnitas ? 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 Rótula = uma equação adicional ? 0=RotM 
 
 Tirante = uma incógnita adicional ? ?=TirN 
 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 49 
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Considando uma barra descarregada e rotulada em suas extremidades, os esforços 
cortante e de momento fletor nesta barra são nulos, havendo apenas esforço normal. 
Quando este esforço é de tração chama-se a barra de tirante e quando o esforço é de 
compressão a barra é denominada escora. 
 
O valor do esforço normal no tirante (ou escora) torna-se mais uma incógnita do problema. 
Desta forma, a rótula adicional fornece mais uma equação (momento fletor na rótula nulo).a 
fim de garantir a isostaticidade da estrutura. 
 
Para o cálculo das três reações nos apoios, procede-se como em um quadro biapoiado padrão 
(item 4.3.1). A equação da rótula é utilizada para a determinação do esforço normal no tirante. 
O cálculo deste esforço normal é feito substituindo o tirante por duas forças opostas de mesmo 
módulo aplicadas onde ficavam as extremidades do tirante. 
 
= 
 
N N 
VA ? Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
VB ? Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
HB ? Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (?) 
N ? Esforço normal no tirante, adotado inicialmente saindo do tirante (??) 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=+=
=−=+⋅⋅−⋅⋅===
=⋅=+=
==
−
=
=
=
∑∑
∑
∑
024
012442421220:0
1262:0
0:0
1
1
1
NM
VVMMz
kNVVY
kNHX
EROT
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
 
 
Logo: 
kNV
kNH
A
B
3
0
=
=
 
kNV
kNN
B 9
2
=
−=
 
 
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Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, 
puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em 
conseqüência dos momentos aplicados na rótula. 
Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, 
puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em 
conseqüência dos momentos aplicados na rótula. 
 
Observação: Como as barras estão puxando o tirante para fora, ele oferece uma reação, 
puxando as barras para dentro. Esta reação é representada pelas forças N. 
 
A convenção de sinais apresentada no item 2.3.1 afirma que o esforço normal é: 
 positivo na tração (forças “saindo da seção”) e 
 negativo na compressão (forças “entrando na seção”) 
 
 
 29/6/2007 51 
 
 
 
 
 
 
ds ds 
 
 
N(+) N(-)
No caso do tirante, apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é 
positivo pois as setas representam uma reação do tirante às ações por ele sofridas. 
 
Desta forma, em tirantes (ou escoras): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escora 
N(-) 
Tirante 
N(+)
 
A partir das reações de apoio e do esforço normal calculado, é possível traçar os diagramas de 
esforços atuantes: 
D.N. D.Q. 
Ultima atualização em
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D.M. 
 
Observações: 
 
- Verifica-se o efeito do tirante no traçado do diagrama de esforço normal (barra superior 
horizontal em compressão), no diagrama de cortante (barras verticais com cortante acima 
do tirante) e no diagrama de momentos fletores (variação do momento nas barras 
verticais). 
- O momento na rótula é sempre zero. No entanto, verifica-se no diagrama de momentos 
fletores a existência de momentos de valor 4kNm. A explicação para isso é a 
descontinuidade provocada pelos momentos aplicados em torno da rótula. O momento 
atinge um valor de 4kNm ao se aproximar da rótula, a carga-momento provoca uma 
descontinuidade fazendo o momento descer até zero. Após a rótula, onde o momento é 
nulo, surge uma nova descontinuidade provocada por outro momento aplicado. 
- No cálculo das reações de apoio, o efeito do tirante não é considerado pois as forças se 
anulam (representam um esforço interno e não uma solicitação externa). 
 
 
 
4.4– Pórticos planos compostos 
 
Assim como as vigas podem se associar formando vigas gerber, quadros que possuem 
estabilidade própria também podem servir como apoios para outros quadros ou vigas, 
formando um quadro composto. Nesse caso, para sua solução, a estrutura será também 
desmembrada em quadros que servem como apoio e outros quadros que neles se apoiam 
(todos isostáticos), recebendo os primeiros, além das cargas que lhes são diretamente 
aplicadas, as reações de apoio dos segundos, devidamente invertidas. A figura abaixo 
exemplifica o problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
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Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos quadros simples que o 
constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles sem estabilidade própria. Transferem-se então 
as reações de apoio invertidas para os quadros que lhes servem como apoio. Desta forma, os 
quadros que possuem estabilidade própria são os últimos a serem resolvidos pois seu 
carregamento depende das forças transmitidas pelas rótulas. 
 
Na decomposição deve-se verificar se cada um dos quadros simples pertence aos 4 tipos 
apresentados no item 4.3. 
 
4.5– Exercícios resolvidos 
 
Em desenvolvimento. 
 
Exercícios sugeridos do Sussekind. 
 
6.1 até 6.10 
6.13 até 6.28 
 
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4.6– Exercícios propostos 
 
1) Traçar os diagramas de esforços para as estruturas a seguir: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
54 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
d) 
 
 
2) Decompor os quadros compostos aseguir apresentando ordem de solução e transferência 
de cargas: 
 
a) 
 
 
3) Traçar os diagramas de esforços para os quadros compostos a seguir: 
a) 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 55 
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b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
56 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
e) e) 
 
 
 
4.7– Respostas dos exercícios propostos 
!) 
a) 
 
2.25 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 57 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
b) 
 
 
6.75 
c) 
 
 
0.5 
 
 
58 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
d) d) 
 
 
 
6.25 
2) 
a) 
 
 
 
1o 2o 
3o 
2o 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 59 
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3) 
a) 
 
2 
 
60 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
b) 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 61 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
c) 
 
 
 
4 
 
 
 
 
62 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
d) d) 
 
 
1.5 
Ultima atualização em 29/6/2007 63 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
e) 
 
64