5 Resmat2 - caps 5 e 6

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Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas 
 
5.1 – Introdução 5.1 – Introdução 
 
Este capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planas Este capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planas 
 
Chama-se grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas 
ortogonais ao plano da estrutura. 
 
Para validade dessa definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o 
efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano ortogonal a 
estrutura. 
 
 
5.2 - Estaticidade de grelhas planas 
 
Define-se grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular a 
seu plano. Tendo em vista essa definição, supondo-se que o plano da grelha seja o plano xy, 
seu equilíbrio será regido pelas três equações da Estática abaixo: 
 
∑∑ == 0VFz Æ Somatório das forças perpendiculares ao plano nulo 
0=∑ xM Æ Somatório dos momentos em torno do eixo x nulo 
0=∑ yM Æ Somatório dos momentos em torno do eixo y nulo 
 
Uma grelha será então isostática quando houver apenas três incógnitas a determinar. Os tipos 
mais comuns de grelhas isostáticas são os indicados na figura abaixo: 
 
y 
P1
P2
P1
Vd
d c 
q 
c 
a b 
Ma d 
b 
a 
x 
z P2q 
 
 
 
Ta 
 
 
Va Va Vb 
Na grelha engastada, as reações serão o momento torçor, o momento fletor e a reação vertical 
no engaste. 
 
Na grelha com 3 apoios, as incógnitas serão as reações verticais em cada apoio. 
 
Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas com 1 ou mais 
apoios são hiperestáticas. 
 
Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com 3 apoios colineares são hipostáticas. 
Ultima atualização em 29/6/2007 65 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
d 
a 
Vb
b 
c 
Ve
Vc
 
 
 
 
 
 
 
 
Olhando a figura acima, verifica-se que não é possível equilibrar a estrutura. Aplicada uma 
força em d, não há como tornar nulo o momento em torno do eixo b-c. 
 
 
5.3 - Reações de apoio 
 
A principal diferença no cálculo de reações de apoio de grelhas e de pórticos é com relação ao 
somatório dos momentos. 
 
Enquanto em pórticos o somatório dos momentos é calculado usando a distância de 
cada força ao ponto, em grelhas o somatório dos momentos é função das forças e suas 
distâncias em relação ao eixo considerado. 
 
O exercicio 2 dos itens 1.5 e 2.4 apresenta o cálculo das reações de apoio e esforços seccionais 
de uma grelha engastada. 
 
No caso de uma grelha de 3 apoios como a da figura a seguir onde todas as barras possuem 
comprimento Lx (na direção x) e Ly (na direção y), pode-se calcular as reações de apoio da 
seguinte forma: 
 
 021 =⋅++=++=∑ xdbaz LqPPVVVF 
 
012 =−−+=∑ − yydyyacb LPLVLPLVM 
 
0
2
3
2 2
=⋅+−⋅=∑ − xxaxxba LPLVLqLM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z P2
d 
q 
P1
Vd
Vb
c 
b 
a 
Va
 
 
5.4- Diagramas de esforços 
 
Conhecendo as reações de apoio, passemos à determinação dos esforços solicitantes numa 
seção genérica S de uma grelha e ao traçado de seus respectivos diagramas. Pode-se afirmar 
que, numa seção genérica de uma grelha, tendo em vista a natureza das cargas atuantes, 
podem atuar três tipos de esforços seccionais: esforço cortante Q; momento fletor M e 
momento torçor T. 
 
66 
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano 
Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos, os esforços seccionais numa 
grelha são determinados, para cada seção transversal, considerando-se todas as cargas e 
reações aplicadas na estrutura, localizadas em um dos lados da seção considerada. Além disso, 
para traçado de diagramas, também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como 
uma viga biapoiada, desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes. 
Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos, os esforços seccionais numa 
grelha são determinados, para cada seção transversal, considerando-se todas as cargas e 
reações aplicadas na estrutura, localizadas em um dos lados da seção considerada. Além disso, 
para traçado de diagramas, também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como 
uma viga biapoiada, desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes. 
 
A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página 
anterior. 
A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página 
anterior. 
 
 
 29/6/2007 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
qLx
Vb
Vd
P1
P2
T 
M 
-P2Lx/2 
-(Vd-P2)Ly
(Vd-P2)Ly
P2Lx/2 P2Lx/2 
(Vd-P2)Ly
Vd
VaLy
qL2x/8 
Va
 
Observações importantes: 
 
As convenções correspondem ao apresentado no item 2.3. 
 
Para o cálculo dos momentos fletores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou do 
outro da seção multiplicadas pela distância na direção paralela a barra. 
 
Para o cálculo dos momentos torçores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou 
do outro da seção multiplicadas pela distância na direção perpendicular a barra. 
 
 
Ultima atualização em
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Recordando 4 – Pórticos x Grelhas 
 
Abaixo apresenta-se um resumo comparativo entre pórticos planos e grelhas planas: 
 
 
Pórticos planos 
 
Equações de equilíbrio 
0=∑ xF 
0=∑ yF 
0=∑ zM 
 
Esforços atuantes 
Normal 
Cortante 
Momento Fletor 
Momento Torçor 
 
Cálculo das reações 
o somatório dos momentos é calculado usando 
a distância de cada força ao ponto 
considerado. 
 
Grelhas planas 
 
Equações de equilíbrio 
0=∑ zF 
0=∑ xM 
0=∑ yM 
 
Esforços atuantes 
Normal 
Cortante 
Momento Fletor 
Momento Torçor 
 
Cálculo das reações 
o somatório dos momentos é função das 
forças e suas distâncias em relação ao 
eixo considerado. 
 
5.5- Exercícios resolvidos 
 
1) Traçar os diagramas de esforços para a grelha engastada abaixo: 
 
VA = 10kN 
 
Esforço cortante: 
Barra a-b: 4kNL à direita: +4kN 
Barra d-e: 6kNL à esquerda: -6kN 
Barra e-f: 10kNL à esquerda: -10kN 
Barra g-h: 2kNL à direita: +2kN 
Barra g-d: 2kNL à frente: -2kN 
Barra d-a: 4kNL atrás : +4kN 
MAy=6kN 
MAx=52kN 
68 
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano 
Barra i-e: 2kNL à frente: -2kN Barra i-e: 2kNL à frente: -2kN 
Barra e-c: 2kNL atrás : +2kN Barra e-c: 2kNL atrás : +2kN 
 
Momento fletor: Momento fletor: 
Barra a-b: Barra a-b: 
Em a: 4 x 2 kNm -8kNm (tração superior) Em a: 4 x 2 kNm -8kNm (tração superior) 
Em b: 4 x 0 kNm 0 Em b: 4 x 0 kNm 0 
Barra g-h: Barra g-h: 
Em g: 2 x 2 kNm -4kNm (tração superior) Em g: 2 x 2 kNm -4kNm (tração superior) 
Em h: 2 x 0 kNm 0 Em h: 2 x 0 kNm 0 
Barra c-e: Barra c-e: 
Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) 
Em c: 2 x 0 kNm 0 Em c: 2 x 0 kNm 0 
Barra e-i: Barra e-i: 
Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) 
Em i: 2 x 0 kNm 0 Em i: 2 x 0 kNm 0 
Barra a-d: Barra a-d: 
Em d: 4 x 3 kNm -12kNm (tração superior) Em d: 4 x 3 kNm -12kNm (tração superior) 
Em a: 4 x 0 kNm 0 Em a: 4 x 0 kNm 0 
Barra d-g: Barra d-g: 
Em d: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em d: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) 
Em g: 2 x 0 kNm 0 Em g: 2 x 0 kNm 0 
Barra d-e: Barra d-e: 
Em d: (4 + 2) x 2 kNm +12kNm (tração inferior) Em d: (4 + 2) x 2 kNm +12kNm (tração inferior)Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) 
Barra e-f: Barra e-f: 
Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) 
Em f: (4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior) Em f: (4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior) 
 
52 
8 4 
12 +8 
2 4 12 
6 +6 +6 
6 6 
6 10 12 
-4 2 
2 4 2 
 
Momento torçor: 
Barra a-b: 0 
Barra c-e: 0 
Barra e-i: 0 
Barra g-h: 0 
Barra a-d: 4 x 2 kNm +8kNm 
Barra d-g: 2 x 2 kNm -4kNm 
Barra d-e: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm 
Barra e-f: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm 
Ultima atualização em 29/6/2007 69 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
5.6- Exercícios propostos 
 
1 – Classificar as grelhas quanto à estaticidade e traçar os diagramas de esforços solicitantes 
para as grelhas isostáticas: 
 
a) b) c) 
 
 
d) e) f) 
 
 
g) h) i) 
 
 
j) l) m) 
 
70 
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano 
 
n) o) n) o) 
 
 
5.7- Respostas dos exercícios propostos 
 
1 – 
a) isostática 
Q M T 
 
2 
0,5 0,5 2 
2 
6 
2 
2 
-6 
6 
 
b) hiperestática c) hipostática d) hiperestática 
 
e) isostática 
Q M T 
6 
 
2 
0,5 12 
2 
4 
6 6 -6 
+6 3,75 
2,25 
2 2 9 
15 
Ultima atualização em 29/6/2007 71 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
f) hipostática g) hipostática h) hiperestática 
 
i) isostática 
Q M T 
 
2 
12 
12 
12 
1 
2 2 1 6 6 
4 
4 
2 
3 +6 
1 -6 
5 
8 
 
j) hiperestática 
 
l) isostática 
 
Q M T 
 
26 6 
2 
0,5 2 
-6 8 2 
6 6 
6 2 2 +6 +6 
2 2 
 
 
m) hipostática n) hipostática o) hiperestática 
 
72 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 6 – Treliças isostáticas planas 
 
6.1 – Introdução 
 
Este capítulo será dedicado ao estudo das treliças isostáticas. 
 
Chama-se treliça a estrutura constituída exclusivamente por barras retas birrotuladas 
e sob carregamento aplicado apenas nas rótulas. 
 
As treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso pequeno em relação ao que seria 
necessário para uma viga vencer a mesma distância. No entanto, as treliças funcionam 
baseadas em sua disposição de barras e dimensões e tendem a exigir uma altura estrutural 
maior. Costumam ser muito adotadas em coberturas e passarelas. 
 
Em geral as barras de uma treliça são finas e podem suportar pequena carga lateral. Todas as 
cargas são, portanto, aplicadas às juntas e não às barras. 
 
Embora as barras sejam unidas por meio de conexões pivotadas ou soldadas, costuma-se 
considerar que as barras são unidas através de pinos; logo, as forças que atuam em cada 
extremidade de uma barra reduzem-se a uma única força sem nenhum momento 
 
 
6.2 - Treliças planas 
 
São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas 
extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. 
Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas 
apenas por forças normais. 
 
Hipóteses de Cálculo: 
 
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito 
(rótulas). 
2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 
3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas 
extremidades. 
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal. 
 
Na realidade as ligações entre as barras não são rótulas perfeitas, sendo esta uma simplificação 
de cálculo. 
 
Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um 
ponto, os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras 
devido à rigidez dos nós). 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 73 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
6.3- Estaticidade de treliças planas 
 
Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, 
pode-se determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras. 
 
A condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça plana seja isostática é: 
 
2n = b + v 
 
 
Onde: 
n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; 
b = número de barras da treliça; 
v = número total de reações dos vínculos externos; 
 
b + v indica o número de incógnitas do problema. 
2n indica o número de equações do problema. O somatório de forças verticais e horizontais 
em cada nó deve ser nulo, gerando com isso 2 equações por nó. 
 
No caso de treliças espaciais utiliza-se 3n, pois o número de equações por nó passa a 
ser 3 para considerar o equilíbrio das forças em 3 direções. 
 
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de 
incógnitas. Exemplo: 
 
 
 
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é 
deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob 
carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático. 
 
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente. 
 
 
6.4- Método dos nós 
 
O método mais prático e usual para a solução de treliças isostáticas é o método dos nós. 
Consiste em determinar os esforços normais em cada barra da treliça através do somatório das 
forças transmitidas por cada barra a um nó específico. Desta forma, em cada nó teremos as 
equações: 
 
74 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
 29/6/2007 75 
0=∑ zF e 0=∑ yF 
 
Os passos a serem seguidos no método dos nós são resumidos abaixo: 
 
 
1º - Começar por nós com apenas 2 incógnitas (duas barras de esforço normal desconhecido 
ou 2 reações de apoio); 
 
2º - verificar a inclinação das barras (e vetores de forças correspondentes) que chegam 
ao nó analisado; 
 
3º - resolver as duas equações de equilíbrio do nó analisado para definir os esforços 
normais (incógnitas) em cada uma das duas barras; 
 
4º - transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras. 
 
5º - voltar ao 1º passo até que todas os esforços estejam definidos. 
 
 
 
6.5- Simplificação de treliças isostáticas 
 
Observe o nó abaixo: 
 
Verifica-se que em um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três 
barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), a barra não paralela (1) terá esforço nulo. 
Isso ocorre porque o somatório das forças na direção perpendicular as barras 2 e 3 deve ser 
nulo e a única força existente nesta direção se encontra na barra 1. 
 
As barras que atendem as condições abaixo podem ser eliminadas antes do início da resolução 
da treliça. 
 
a) pertencer a um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras 
sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), 
 
b) ser a única barra não paralela as outras 2. 
 
Após a eliminação de cada barra é possível reavaliar a treliça para verificar se outras barras 
passaram a atender estas condições. 
 
 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
6.6 – Convenção de sinais 
 
O método dos nós avalia o esforço que cada barra transfere para os nós analisados, desta 
forma, os vetores representados durante a resolução correspondem as reações das barras ao 
esforço sofrido por elas.Logo, no caso de barras de treliças, observa-se a mesma 
convenção de sinais adotada para tirantes e escoras. 
 
Verifica-se que apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é positivo 
pois as setas representam uma reação do barra às açõespor ela sofridas. Ou seja, a barra está 
puxando os nós pois está sendo tracionada. 
 
Desta forma, em barras de treliças: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N(-) N(+) 
 
 
6.7- Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular os esforços e reações de apoio para a treliça isostática abaixo: 
 
Como a treliça possui apenas 3 reações de apoio, podemos resolvê-la de forma mais rápida 
partindo do cálculo das reações de apoio. 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
↑=
↑−=→=−⋅−⋅==
↑=+=
→==
∑∑
∑
∑
=
=
=
kNV
kNVVMMz
kNVVY
kNHX
A
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
A
n
i
i
25,1
25,0045,0212:0
5,1:0
5,0:0
1
1
1
 
 
76 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
Nó A: 
 
 
 
Barra 1: compressão 
 
Barra 4: compressão 
 
 
 
Nó B: 
 
 
 
Barra 9: compressão 
 
Barra 8: nula 
 
 
 
 
 
Nó C: 
 
Barra 3: tração 
 
 
Barra 2: compressão 
 
Nó F: 
 
Barra 7: tração Barra 6: compressão 
 
 
Nó E: 
 
 
Barra 5: Compressão 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 77 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
6.8- Exercícios propostos 
 
1) Calcular os esforços e reações de apoio para as treliças isostáticas abaixo usando qualquer 
método de resolução: 
a) 
 
b) 
 
78 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 79 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
80 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
i) 
 
j) 
 
l) 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 81 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
6.9- Respostas dos exercícios propostos 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
82 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
d) 
 
 
e) 
 
f) 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 83 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
84 
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano 
j) 
 
l) 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 85