01 Erros e medidas

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Universidade Federal de Alagoas 
Instituto de Física 
Laboratório de ensino 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Laboratório 
Profª Maria Cristina Hellmeister 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió – AL 
Agosto – 2013 
RELATÓRIO 
 
O que é? - A descrição de um trabalho realizado. 
Para que serve? - Registrar e/ou divulgar um trabalho realizado. 
É interessante notar que o relato de um trabalho científico, de um projeto de engenharia, ou 
simplesmente de um experimento de laboratório de disciplina de graduação pode ser dividido 
nas seguintes partes: 
 
 Título; 
 Objetivos; 
 Material utilizado; 
 Fundamentação; 
 Procedimento; 
 Conclusão. 
 
Título: Todas as coisas tem nome para serem identificadas, existe a necessidade de 
identificação do seu trabalho. 
Objetivo: Deve mostrar a finalidade do seu experimento. 
Material Disponível: A descrição do material com as suas características principais. É útil no 
julgamento de decisão do método utilizado para chegar ao objetivo de seu trabalho. 
Fundamentação: Uma descrição fenomenológica dos conceitos envolvidos no experimento 
com suas principais relações. É útil para a compreensão dos procedimentos adotados para 
chegar ao objetivo de seu trabalho. 
Procedimento: Nesta parte devem ser apresentados os resultados das suas medidas (tabelas, 
gráficos, cálculos, etc.) e uma descrição de como e porque foram feitas. Uma das razões desta 
descrição é melhor avaliar a precisão dos resultados do seu trabalho. 
Conclusão: É nesta parte que se deve apresentar uma discussão sobre seus resultados, os 
métodos de medida utilizados, tendo em vista o objetivo do seu trabalho. 
 
OBJETIVOS DO LABORATÓRIO 
 
 Este curso foi preparado com intuito de orientar os alunos a adquirirem conhecimentos 
sobre física experimental, visando especificamente: a compreensão dos conceitos 
fundamentais, a medição das grandezas relacionadas com esses conceitos, interpretação e 
representação correta dessas medidas. 
 O texto dessa apostila está dividido em duas partes. Na primeira, o aluno terá 
conhecimento sobre algarismos significativos, medidas, erros, desvios, incertezas como 
também o tratamento adequado para representar corretamente os resultados dos experimentos, 
quer seja uma única medida ou de um conjunto de medidas. A segunda parte visa familiarizar 
o aluno na construção de gráficos, linearização de curvas e a determinação da dependência 
funcional entre as grandezas medidas a partir do conhecimento dos dados experimentais. 
 Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos básicos para que ele 
possa expressar corretamente as medidas e resultados de suas experiências, assim como 
discuti-los com um mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista numérico como 
conceitual. 
 
 
ELEMENTOS DA TEORIA DE ERROS E MEDIDAS 
 
I – INTRODUÇÃO 
 
 Toda operação de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de 
instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes instrumentos. 
Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra através de uma régua; é 
preciso saber expressar corretamente essa medida e avaliar adequadamente a sua incerteza, 
que vem das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do próprio 
experimentador. Assim a experiência mostra que sendo uma medida repetida várias vezes 
com as mesmas precauções pelo mesmo observador ou observadores diferentes, os resultados 
achados não são, em geral idênticos. Muitas vezes efetuam-se diversas medidas de uma 
mesma grandeza; neste caso a melhor maneira de expressar o valor desta grandeza será 
através do valor médio dos dados. A incerteza destas grandezas será obtida por um tratamento 
estatístico elementar. 
 Há grandezas ainda que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como áreas, 
volume, densidade, etc. Assim são feitas várias medidas e através de fórmulas matemáticas ou 
físicas determina-se a grandeza desejada. É claro que, em geral, cada termo da fórmula está 
afetado de uma incerteza e que todas elas interferirão no valor final da grandeza. Observamos 
que as incertezas se propagam e o processo de cálculo para determiná-las denomina-se 
propagação de incertezas. 
 
II – ERROS E DESVIOS 
 
Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situações são possíveis: 
 
1. O valor da grandeza já é conhecido com exatidão – Ex. A soma dos ângulos internos de 
um triângulo. 
2. O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor adotado como 
“melhor” – Ex. A aceleração da gravidade num determinado local. 
3. O valor da grandeza não é conhecido – Ex. O comprimento de uma barra, o volume de 
uma esfera, etc. 
 
Quando valor obtido para uma grandeza difere do seu valor real (verdadeiro) (item 1), 
dizemos estar afetado de um erro. Matematicamente: 
 
ERRO = │VALOR MÉDIO - VALOR REAL│ 
(Valor em módulo) 
 
Quando o valor obtido difere do valor adotado como o melhor (item 2), dizemos estar afetado 
de um desvio. Então: 
 
DESVIO = │VALOR MÉDIO - VALOR REAL│ 
(Valor em módulo) 
 
Embora conceitualmente haja diferença entre erro e desvio, matematicamente são 
equivalentes. A partir deles define-se desvio (ou erro) relativo e percentual, sendo que este 
último permite avaliar melhor o resultado de uma experiência. 
 
DESVIO RELATIVO = 
 
 
 
DESVIO PERCENTUAL = (DESVIO RELATIVO) x 100% 
 
Exemplo: Ao determinar a aceleração da gravidade, onde g é 9,80m/s
2
 um experimentador 
obteve 10,04 m/s
2
. Determine: 
 
 DESVIO =____________ 
 DESVIO RELATIVO = _______________ 
 DESVIO PERCENTUAL =______________ 
 
Para avaliação dos resultados, qual deles nos dá uma informação mais objetiva? 
 
 
III – ALGARIMOS SIGNIFICATIVOS 
 
 Seja AB o comprimento de uma barra medida em uma régua centimetrada. 
 
Se três experimentadores fossem anotar o comprimento AB, por exemplo: 
 
AB = 12,8 cm (exp. 1) 
AB = 12,7 cm (exp. 2) 
AB = 12,6 cm (exp. 3) 
 
Algum desses valores estaria errado? Se um quarto experimentador avaliasse 12,75cm, em 
que sentido se poderia atribuir a esse resultado? 
 Medindo-se com régua centimetrada tem sentido avaliar décimos (isto é, milésimos), 
mas é discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações menores. Em medições, 
é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do 
instrumento. 
A B 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
 Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala está fora dos limites de 
percepção da maioria dos seres humanos. 
 Na medida do segmento AB, observamos que existe uma divergência entre os três 
observadores na avaliação da fração da menor divisão da escala do instrumento (nos 
algarismos ou dígitos 8, 7 e 6), na qual reside a dúvida ou incerteza da medida, enquanto que, 
os dígitos 1 e 2 que constituem o número 12 são isentos de dúvidas. 
 
AB = 12,8 cm AB = 12,6cm AB = 12,7cm 
 
 
 
 
 
 
OS ALGARISMOS CORRETOS (NÃO DUVIDOSOS) E TAMBÉM O ALGARISMO 
DUVIDOSO (UM SÓ), CONSTITUEM OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE 
UMA MEDIDA. 
 
EXERCÍCIO 1: Quantos são os algarismos significativos das seguintes medidas? 
a) 12,6 cm b) 9 cm c) 2 cm 
 
d) 12,6 x 10
-5
 m e) 1,2 x 10
3
 m. 
 
OS DÍGITOS DE UM NÚMERO CONTAM-SE DA ESQUERDA PARA A DIREITA, 
A PARTIR DO PRIMEIRO NÃO NULO, SÃO SIGNIFICATIVOS TODOS OS 
CORRETOS, TAMBÉM O PRIMEIRO ALGARISMO DUVIDOSO E MAIS 
NENHUM. 
 
IV – MEDIDAS E INCERTEZASPara estudar um fenômeno físico é preciso adotar um procedimento que se possa 
repetir e variar tantas quantas forem necessárias, até que se tenha reunido certa quantidade de 
dados experimentais. Esses dados são obtidos através do processo de medidas. A importância 
Algarismos duvidosos 
(sempre o último à direita) 
desses processos e muitas vezes sua complexidade tornam o ato de medir uma tarefa 
fundamental e frequentemente nada simples. 
 Nenhuma medida pode ser considerada absolutamente precisa. Por exemplo, o valor 
atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vácuo é: 
 
c = (2,99792458 ± 0,00000004) x 10
8
 m/s 
 
Isto significa que, apesar das sofisticadas técnicas empregadas e do esforço de muitos 
cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4 m/s na velocidade da luz. 
 Na obtenção de uma medida podem ocorrer dois tipos de erros: o aleatório e o 
sistemático. Este último deve ser evitado de todas as formas; um instrumento mal calibrado 
ou com defeito, um experimentador que repete erro na operação, de interpretação ou de leitura 
ou de fatores externos ao laboratório, como fenômenos climáticos, são fontes de erros 
sistemáticos que devem ser controlados pelo experimentador. O erro aleatório decorre de 
flutuações dos resultados das medidas em torno de um valor médio, essas flutuações 
acarretam uma imprecisão para mais ou para menos nesse valor. Qual é, então, o valor de uma 
grandeza que se quer medir? Nem sempre a resposta é simples e em parte a solução deste 
problema está num estudo mais profundo da teoria de erros. Apesar de caber nesta disciplina a 
análise mais geral deste problema, podemos convencionar critérios para obter um valor 
confiável da grandeza a ser medida. 
 Para escrever o resultado final da medição de uma grandeza, adotaremos a forma: 
 
(valor mais provável ± incerteza) x 10
N
 unidades de grandeza 
 
“A incerteza estimada será escrita com no máximo um algarismo significativo” 
 Se o experimentador realizar apenas uma medida da grandeza, o valor mais provável 
desta será a própria medida. A incerteza estimada dependerá da forma como foi construído o 
instrumento de medidas. Se o instrumento não permitir avaliar o algarismo duvidoso, a 
incerteza estimada será a menor divisão na escala do instrumento. 
Exemplo. Um estudante fez um experimento onde o intervalo de tempo num cronômetro 
eletrônico. A figura abaixo mostra o valor no cronômetro. 
 
7 9 6 ms 
 
A medida é expressa como 
 
(796 ± 1) ms ou (796 ± 1) x 10
-3
 s 
 
 Se for possível avaliar o algarismo duvidoso, a incerteza estimada será adotada como a 
metade da menor divisão da escala do instrumento. 
Exemplo: Um estudante mede o comprimento de um pêndulo simples, em relação ao centro 
de massa, como o indicado abaixo. A medida é expressa como: 
 
(774,3 ± 1) ms ou (77,43 ± 0,05) ms 
 
 
 
 Se o experimentador tiver um conjunto de medidas, o valor mais provável da grandeza 
será a média aritmética 〈 〉 das medidas. 
 
〈 〉 ∑
 
 
 
 
 
 
e a incerteza estimada poderá ser obtida, de uma maneira mais apurada, através da média 
aritmética dos desvios absolutos: 
 
〈 〉 ∑
 
 
 
 
 
 
X CM 
77 78 
onde 
 〈 〉 
 
EXERCÍCIO 2: Determinar a força eletromotriz de uma pilha elétrica e a sua incerteza (ver 
tabela 01 abaixo). 
 
Tabela 01 
Ordem de 
medida 
EM (V) │EM - <E>│ 
1 1,55 
2 1,56 
3 1,57 
4 1,54 
5 1,55 
6 1,56 
7 1,53 
8 1,54 
9 1,55 
10 1,54 
11 1,55 
12 1,57 
13 1,56 
14 1,55 
15 1,54 
 
 
V – PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS 
 
 Nem sempre é possível determinar certas medições diretamente; para determinar a 
densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu volume, que por 
sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas medidas estarão afetadas 
de incertezas que na, determinação da densidade, se propagarão e darão origem a uma 
incerteza na densidade. 
 Inicialmente vamos uniformizar a nossa linguagem; ao invés de erros, desvios e 
incertezas, utilizaremos apenas incertezas, que nos parece mais abrangente. Quanto à 
representação matemática, para grandezas tais como X, Y, T, V, etc. representaremos suas 
incertezas por ΔX, ΔY, ΔT, ΔV, etc. e consequentemente suas incertezas relativas por: ΔX/X, 
ΔY/Y, ΔT/T, ΔV/V, etc. 
 
A) Incerteza devido à soma ou subtração 
 
Suponha que vamos determinar a grandeza, 
 
S = A + B + C +… 
 
para qual a foram feitas a seguintes medidas: 
 
A ± ΔA; B ± ΔB; C ± ΔC; etc. 
 
Como determinar S? Para simplificar, adotaremos o critério mais desfavorável, isto é, vamos 
supor que todas as incertezas tenham o mesmo sinal, então obteremos: 
 
ΔS = ΔA + ΔB + ΔC +… 
 
Exemplo: Na determinação do perímetro de u quadrilátero mediram-se seus lados a, b, c e d 
com instrumentos diferentes: 
 a = (2,03 ± 0,02) cm 
 b = (4,1 ± 0,2) cm 
 c = (0,842 ± 0,001) cm 
 d = (1,26 ± 0,03) cm 
o perímetro será: 
p = a + b + c + d 
 
então, 
 
p = 2,03 + 4,1 + 0,842 + 1,26 = 8,232 cm 
 
a incerteza será: 
 
Δp = Δa + Δb + Δb + Δd 
portanto, 
 
Δp = 0,02 + 0,2 + 0,001 + 0,03 = 0,251 cm 
 
O resultado de perímetro será expresso como: 
 
p = (8,232 ± 0,251) cm ou p = (8,2 ± 0,3) cm 
 
 Observe que em nossos cálculos, propositalmente, colocamos grandezas com números 
de algarismos significativos diferentes. Como a incerteza será representada por um e somente 
um algarismo significativo, que atua no duvidoso, é ela quem comandará o número de 
algarismos significativos no resultado final. 
 
B) Incerteza devido a outras operações 
 
 Para Calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicações, divisões, 
potenciação e/ou radiciação como em Y = K ∙ ap ∙ bq ∙ cr 
 
Usaremos a seguinte expressão, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para verificar o resultado acima, lembre que o diferencial de uma função Y = Y(a, b, c) é 
dado pro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que após dividirmos ambos os lados por Y e tomarmos os módulos, da origem a expressão 
para a incerteza estimada. 
 
Exemplo: Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: 
 
r = (2,02 ± 0,03) cm, h = (8,432 ± 0,005) cm. 
 
Sabemos que V = πr2h, então: 
 
V = 3,14 (2,02)
2
 (8,432) = 108,0346 cm
3 
 
De acordo com a primeira expressão, já que Δπ = 0 por ser constante, temos: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
ΔV = V∙0,0303 = 108,0346∙0.0303 = 3,2734 cm3 
 
Teremos então, 
 
V = (108 ± 3) cm
3
 
 
EXERCÍCIO 3: Num tubo capilar de raio r, um líquido de densidade ρ e tensão superficial Y, 
devido a capilaridade, ergue-se de uma altura h, tal que, Y =(r ∙ h ∙ g)2, onde g é a 
aceleração da gravidade. Dados obtidos: 
 
 r = (0,030 ± 0,001) cm 
 h = (5,000 ± 0,005) cm 
 g = 9,81 (adotado como exato) 
 ρ = 1000 kg/m3 (adotado como exato) 
 
Determine a tensão superficial. 
 
 
 
 
VI – GRÁFICOS 
 
 Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a maneira de como 
uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relação à outra propriedade ou 
quantidade. Por exemplo: 
“De que modo a variação do comprimento de um pêndulo simples afeta o seu período ou 
como se comporta a força de atrito entre duas superfícies relativamente à força normal 
exercida por uma superfície sobre a outra?” 
 Tais variáveis podem convenientemente tratadas pelo método gráfico no sentidode 
ilustrar e sintetizar suas relações. 
 As leis físicas expressam relações entre quantidades de grandezas físicas. Estas 
relações podem ser expressas de três modos: 
 
a) Em palavras, formando as sentenças conceituais; 
b) Em símbolos matemáticos em forma de equações; 
c) Em representações pictóricas conhecidas como gráficos. 
 
A escolha do meio (ou meios) para expressar as relações entre grandezas depende do uso que 
se pretende fazer destas relações. Particularmente, analisaremos a terceira representação. 
Para representar graficamente a relação entre duas variáveis deve-se observar os seguintes 
pontos: 
 
a) No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente; no eixo vertical (ordenada) 
é lançada a variável dependente. Evite tomar margens do papel como eixos. 
b) Em geral a curva deve cobrir pelo menos três quartos do papel. Em muitos casos não é 
necessário ou possível que a interseção dos eixos represente simultaneamente o valor zero. 
c) Escolha as escalas de forma que as divisões principais possam ser facilmente subdivididas. 
A escala do eixo vertical não necessita ser a mesma do eixo horizontal. 
d) Se os valores forem excessivamente grandes ou pequenos utilizar um artifício que permita 
usar um ou dois dígitos para indicar os valores das divisões principais. Pode-se usar um fator 
multiplicativo como 10
-2
, 10
-3
, etc., à direita da escala. 
e) Escreva em cada eixo o título, ou seja, o nome da grandeza e sua unidade, separados por 
vírgula ou parênteses. 
f) Localizar o ponto e não escreva no eixo o valor relativo ao ponto localizado, se estiver fora 
da divisão adotada na escala. 
g) A representação gráfica de uma grandeza é feita por 
uma barra de incerteza que é um pequeno segmento de 
reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro 
deve estar contido. Se houver incerteza nos dois eixos 
a grandeza será representada por uma cruz cujos 
braços serão as barras de incertezas, como mostra a 
figura. 
h) O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor forma aos dados 
experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. Unir pontos experimentais 
com traços retos implica em que a relação entre duas grandezas tenha forma quebrada o que, 
exceto circunstâncias especiais, é pouco provável ocorrer. 
i) Se for preciso desenhar várias curvas na mesma folha, faça a distinção das curvas por 
símbolos diferentes (círculos, quadrados, triângulos, etc.), ou utilize cores diferentes ou ainda 
linhas deferentes (pontilhadas, interrompidas, etc.). 
 
VII – AVALIAÇÃO DE INCERTEZAS EM GRÁFICOS 
 
 A representação gráfica, como vimos, tem a sua importância, no sentido de ilustrar e 
sintetizar as relações entre as variáveis de grandezas representativas de um fenômeno. Estas 
variáveis a serem plotadas em papel gráfico, podem originar-se de: 
 
a) Medições diretas através de instrumentos de medição. 
b) Derivadas de medições diretas, mediante operações matemáticas. 
 
De qualquer forma, as variáveis vêm afetadas de incertezas (precisão experimental, desvios 
provenientes de propagação, etc.). Essas incertezas podem ser representadas, graficamente, 
por uma barra de incerteza, que é um segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor 
verdadeiro está contido. 
Os dados emersos de um gráfico virão, portanto, afetados de incertezas. Como avaliá-los? 
Concentraremos no caso específico de um gráfico linear cujo coeficiente angular tem 
significado físico, e muitas vezes representa a quantidade procurada em ensaios 
y 
x 
experimentais. Para uma melhor avaliação, o experimentador deve tomar alguns cuidados 
iniciais, ou seja: 
 
 Ter certeza que a curva traçada representa mais de ¾ do papel gráfico, para uma melhor 
visualização do comprimento das barras de incerteza. 
 Desprezar pontos que fogem consideravelmente da tendência geral, derivados de erros 
grosseiros. 
 
A) Coeficiente angular: avaliação de sua incerteza 
 
a) Traçar duas retas paralelas que contenham a maioria das barras de incertezas, formando 
uma figura retangular. 
b) Traçar duas retas que corresponderão às diagonais da figura retangular, nos pontos ABCD. 
c) Determinar seus coeficientes angulares. 
 
A média aritmética entre esses dois coeficientes angulares dará a reta média e a metade do 
intervalo entre esses coeficientes dará a incerteza angular. 
Exemplificando: Vamos supor que o gráfico construído foi para determinar o coeficiente 
angular K de uma reta. 
 
 
 
Da figura, temos que: 
Reta BC = Kmax 
 
Reta AD = Kmin 
 
Inclinação máxima 
Inclinação mínima 
D 
B 
A 
X 
C Y 
O coeficiente angular da reta média será: 
 
〈 〉 
 
 
 
 
e a sua incerteza 
 
 
 
 
 
logo: 
 
 (〈 〉 ) unid. arbt. 
 
 Pela dificuldade que se tem para traçar a reta média achamos sempre preferível a 
determinação do coeficiente angular pela média dos coeficientes máximo e mínimo, como no 
exemplo acima. 
 É interessante observar, que muitas vezes as barras de incerteza são tão pequenas que, 
no gráfico reduzem-se no próprio ponto, mesmo, assim este processo para determinação do 
coeficiente angular pode ser aplicado. 
EXERCÍCIO 4: Determine a constante elástica de uma mola ideal, bem como a sua incerteza. 
Precisão do instrumento de medida (dinamômetro) igual a 0,5N. 
 
F (N) 4,1 7,9 12,2 15,8 20,1 23,7 30,9 32,4 
X (cm) 5 10 15 20 25 30 35 40 
 
 
VIII – DETERMINAÇÃO DA DEPENDÊNCIA FUNCIONAL A PARTIR DOS 
DADOS EXPERIMENTAIS 
 
 Feita a representação gráfica de duas grandezas, a análise do gráfico pode conduzir a 
uma relação matemática, embora isso nem sempre seja possível. Se o gráfico mostrar que tal 
relação existe, deve-se continuar a análise à procura do tipo de relação, ou seja, da forma que 
define a curva encontrada. 
 Uma norma do método analítico é que apenas duas grandezas podem ser relacionadas 
de uma só vez. Tanto o experimento como os dados devem ser ordenadas de modo a manter 
todas as variáveis constantes, exceto duas, estudando-se então a maneira como uma destas 
variáveis afeta a outra. 
 A equação que descreve uma curva desconhecida, nem sempre pode ser definida com 
exatidão. Relações do tipo 1/x e 1/√ facilmente podem ser confundidas num gráfico. Esta 
dificuldade desaparece quando se obtém uma linha reta. A linha reta é, portanto, a chave da 
análise gráfica. Ela pode ser identificada com segurança. O problema então é como lançar 
dados experimentais no gráfico para obter uma linha reta. Embora não exista um método 
geral, normalmente é preciso fazer algumas tentativas antes de obter-se um a solução. 
Falaremos aqui apenas do método gráfico, o mais facilmente aproveitável no laboratório no 
caso de duas grandezas Y e X, relacionadas por uma dependência funcional simples. 
A) Relações lineares 
 
Y = aX + b (equação de uma reta) 
 
 A equação acima mostra a dependência linear entre duas grandezas Y e X. Para X = 0 
o valor de Y intercepta o eixo y, definido a constante b. o quociente 
 
 
 define a constante a 
(inclinação da reta) e suas unidades são dadas pelo quociente das unidades de Y e X. Seja (X1, 
Y1), (X2, Y2) dois pontos quaisquer da reta, de modo que; 
 
Y2 = aX2 + b 
e 
Y1 = aX1 + b 
 
 A inclinação da reta é obtida subtraindo essas duas equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando a reta é traçada é sobre uma sucessão de pontos, deve-se escolher o traçado de 
modo a deixar alguns pontos acima e outros abaixo. Convêm, entretanto, tomar o cuidado de 
não converter a reta em alguma curva suave. 
 O exemploa seguir mostra como, a partir de gráficos construídos com dados 
experimentais, pode-se obter um a relação matemática entre as variáveis envolvidas no 
experimento. A figura abaixo representa o gráfico plotado da velocidade em função do tempo. 
A reta mostra a relação linear entre velocidade e tempo. 
 
A equação correspondente é, então, da forma: 
 
Y = aX + b ou V = b + at 
 
Onde as constantes a e b são: 
 
 a = coeficiente angular da reta (inclinação da reta) 
 b = coeficiente linear da reta (ordenada p/ abscissa zero, X = 0) 
 
 
A inclinação da reta (a) é obtida dos pontos A e B do gráfico. 
 
 
 
 
 
( )
( )
 
 
que é a aceleração da gravidade g, e a constante b é o valor da velocidade para t = 0, ou seja, a 
velocidade inicial v0. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
t (s)
V 
(m
/s)
Δx = 4,6 - 5 
Δv = 60 - 20 
v = 15 + 9,8t 
b = v0 = 15 m/s 
 
Logo, a equação a reta no gráfico é: 
 
v = b + at = v0 + gt = 15 + 9,8t (m/s) 
 
 A partir da equação obtida, frequentemente, outras informações podem ser derivadas, 
através de processos matemáticos. Por exemplo: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Integrando, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
B) Relações não lineares 
 
 Como vimos, sempre que os pontos experimentais caem sobre uma linha reta, alei de 
variação que relaciona as quantidades físicas são facilmente deduzidas. Entretanto, quando os 
pontos experimentais não se ajustam a uma linha reta como frequentemente acontece, o 
problema torna-se um pouco mais difícil. 
 O método mais simples para encontrarmos as leis de variação entre duas quantidades 
relacionadas entre si que obedecem as equações não lineares é o que consiste em transformar 
tais equações em lineares e fazermos o mesmo tratamento usado anteriormente para equações 
da reta. 
 
 
 Vamos supor que duas grandezas físicas obedeçam às seguintes leis de variação não 
linear: 
 
a) Y2 = a + bX3 
 
Se fizermos Y
2
 igual a uma nova variável (v) e X
3
 igual a (u) a equação tornar-se-á: 
 
v = a + bu 
 
que é uma equação linear, portanto, o gráfico de v∙u será linear e todo tratamento relatado 
anteriormente pode ser empregado aqui. 
 
b) Y = AXB 
 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados da relação teremos: 
 
loga Y = loga (AX
B
) = loga A + loga (X
B
) = loga A + Bloga X 
 
Fazendo loga Y = Y’; loga A = A’; e loga X = X’; teremos: 
 
Y’ = A’ + BX’, 
 
que é uma equação linear. 
 
Δx = x – x0 
Δy = y – y0 
b 
x0 x 
y0 
y 
y = ax + b 
 
Gráfico – função linear 
c) Y = AeBX 
 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados dessa equação teremos: 
 
loga Y = loga (Ae
BX
) = loga A + Bloga (e
X
) = loga A + (Bloga e)X 
 
Fazendo loga Y = Y’; loga A = A’; X = X’ e sabendo que loga e é uma constante, teremos 
então: 
Y’ = A’ + Bloga (e) X’ 
 
que é uma equação linear. 
 
 
IX – ESCALA REGULAR E ESCALA LOGARÍTMICA 
 
 Neste item desenvolveremos algumas noções básicas sobre escalas, principalmente a 
logarítmica, usa no papel log-log e no papel mono-log. 
A) Escala regular 
 
O exemplo mais comum de um papel para gráficos com escala regular é o 
milimetrado. Neste tipo de papel os traços são igualmente espaçados – tanto no eixo das 
ordenadas como no eixo das abscissas – podendo este espaçamento ser em mm, cm, m, etc. 
 Durante a representação de grandezas físicas neste tipo de papel, faz-se corresponder o 
valor da grandeza a ser representada com uma das distâncias entre os traços. Deste modo, 
cada intervalo corresponde a uma distância fixa em cada eixo. 
 
B) Escala logarítmica 
 
 Vamos começar a incursão no assunto através do papel log-log (ou di-log). 
 
B.1 – Algumas características 
 
a) A origem não é no ponto (0,0), mas sim no ponto (1,1) podendo deslocar o eixo de um 
ciclo a mais ou a menos de acordo com os dados experimentais. (Lembrem que na origem log 
x = 0, log y = 0 → x = 1, y = 1.) 
b) Em ambos os eixos a escala é sempre a mesma, ou seja, ela é fixada no próprio papel. 
c) Se o primeiro ciclo vai de 1 (10
0
) até 10 (10
1
), o segundo ciclo vai de 10 (10
1
) até 100 (10
2
) 
e assim por diante, pois em cada ciclo os números variam de um fator de dez. 
d) A distância entre os pontos de 1 a 2 no primeiro ciclo, é a mesma de 10 a 20 no segundo, 
de 100 a 200 no terceiro e assim por diante. 
e) Não é necessário calcular o logaritmo dos números, pois o papel já se apresenta na escala 
logarítmica. 
 
B.2 – Gráfico retilíneo no papel log-log 
 
 O papel log-log é aquele que apresenta escala logarítmica nas duas dimensões, isto é, tanto 
no eixo das ordenadas quanto no eixo das abscissas. 
 A representação da relação entre duas grandezas, neste tipo de papel, pode resultar uma 
curva qualquer. No caso particular da curva mais simples, isto é, segmento de reta, pode-se 
facilmente determinar a correspondente equação matemática. A equação da reta será 
 
y = ax + b 
 
onde Y = log (y); X = log (x) e B = log (b). Y e X são grandezas plotadas nos eixos das 
ordenadas e no das abscissas, respectivamente, a e b são constantes. A equação que representa 
uma reta no papel di-log é: 
 
log y = alog x + log b 
 
que pode ser modificada aplicando a transformação logarítmica inversa para y = bx
a
 que é a 
função y = f(x) procurada. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
 
Se a função é y = bx
a, a constante “b” será igual a y para x = 1. 
 
y = b(1)
a
 = b 
 
ou então da equação, log (y)= alog (x) + log (b) 
 
x = 1 → log (y) = alog (1) + log (b) = log (b) 
 
log (y) = log (b) → y = b 
 
Como se pode observar no gráfico do papel di-log procura-se o valor de y para x = 1 e 
desta forma encontra-se, neste caso, y = b = 80. 
 
 
 
Para determinar a constante a, basta tomar dois pontos quaisquer da reta. Sejam (x1,y1) e 
(x2,y2) dois pontos pertencentes a reta dada pela equação: 
 
log y = alog x + log b 
 
então, 
 
log y2 = alog x2 + log b 
log y1 = alog x1 + log b 
 
Como as escalas das ordenadas e das abscissas são iguais, podemos medir com uma régua 
as variações Δlog y = Δy e Δlog x = Δx e obter o valor da constante a. 
 
 
 
 
 
 
Do gráfico do papel di-log temos que, Δy = 5,9 cm e Δx = 9,8 cm, portanto, a = 0,6 e a 
equação para y será: 
y = 80
0,60
 
 
que é a função procurada. 
 A determinação de coeficiente angular torna-se bastante simples quando em ambos os 
eixos a escala é a mesma, como no caso do papel di-log, e o procedimento é o adotado na 
determinação da constante acima. 
 
C) PAPEL MONO-LOG 
 
 Em geral o papel mono-log apresenta o eixo das ordenadas em escala logarítmica e o 
eixo das abscissas em escala regular. Neste caso pode-se atribuir origem igual a ZERO 
quando da graduação do eixo das abscissas, enquanto que para o eixo das ordenadas 
prevalecem as normas da escala logarítmica. 
 Neste papel, quando os pontos plotados estiverem alinhados (linha reta) a função pode 
ser uma exponencial da forma: 
 
y = ae
bx 
 
onde a e b são constantes positivas ou negativas e e = 2,718… (base do logaritmo neperiano). 
A razão de uma função exponencial transparecer como uma reta (função linear) no papel 
mono-log é pelo seguinte: 
 
log y = log a + bx log e 
ou 
log y = │blog e│ + log a 
 
onde a constante │blog e│ é o coeficiente angular e a constante log a é o coeficiente linear da 
reta. 
 Podemos observarque a variável dependente (eixo das ordenadas) varia 
logaritmicamente enquanto a variável independente (eixo das abscissas) varia linearmente. 
Para se determinar a função exponencial, devemos determinar os valores das constantes 
a e b. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
Como a função exponencial é y = ae
bx
 observa-se que para x = 0 tem-se que y = ae
b0
 = y = ae
0
 
= 
1a 
 = a. Portanto, determina-se a procurando-se o valor de y = a para x = 0, então do 
gráfico do papel mono-log, a = 23,2. 
 
 
 
Para se determinar a constante b toma-se dois pontos quaisquer, que pertençam a reta do 
papel mono-log, (t1,I1) e (t2,I2) onde, 
 
log I2 = (blog e) t2 + log a 
log I1 = (blog e) t1 + log a 
 
subtraindo as equações tem-se 
 
 
 ( )
 
 
do gráfico no papel mono-log, b = -1,4 x 10
-3
 s
-1
. 
Substituindo a e b na equação y = ae
bx
 tem-se 
 
I = 23,2exp(-1,4∙10-3t) 
que é a função procurada.