Lista de Exercícios - Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

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GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA LINEAR - GA21NB
Professor: Geovani Raulino
Lista de exerc´ıcios 5 - Espac¸os Vetoriais e Transformac¸o˜es Lineares
1. Mostre que o conjunto dos polinoˆmios reais de grau menor ou igual a n e´ um espac¸o vetorial,
com as seguintes operac¸o˜es: Sejam p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, q(x) = b0 + b1x +
b2x
2 + ...+ bnx
n polinoˆmios e β ∈ R, definimos
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x
2 + ...+ (an + bn)x
n.
βp(x) = (βa0) + (βa1)x+ (βa2)x
2 + ...+ (βan)x
n.
2. Mostre que o conjunto todas as func¸o˜es reais, denotado por F (R,R), e´ um espac¸o vetorial
com as seguintes operac¸o˜es: Sejam f(x), g(x) func¸o˜es e α ∈ R, definimos
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(α.f)(x) = α.f(x)
3. Seja o espac¸o vetorial V = R2. Mostre que W = {(x, 0)/x ∈ R} e´ subespac¸o vetorial de V .
4. Seja V o espac¸o vetorial dos polinoˆmios p(x) = a0 +a1x+a2x
2 + · · ·+anxn, com coeficientes
reais. Determine se S e´ ou na˜o subespac¸o de V , sendo que S consiste de todos os polinoˆmios
com coeficientes inteiros.
5. Expresse o polinoˆmio t2 + 4t− 3 como combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios t2− 2t+ 5, 2t2− 3t
e t+ 3.
6. Verifique se v = (1,−2, 5) em R3 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de u = (1,−3, 2),
w = (2,−4,−1) e t = (1,−5, 7).
7. Prove que os vetores (1, 2, 3,−4), (−1, 2, 5,−6) e (8,−3, 1,−6) sa˜o linearmente independen-
tes.
8. Determine se sa˜o LD ou LI.
(a) {1 + 2x, 1 + x, 1− x} ⊂ P2
(b) {1, x2, x2 + 4} ⊂ P2
(c) {1, sen2(x), cos2(x)} ⊂ F(R;R)
9. Mostre que {(1, 2, 4), (2, 1, 3), (4,−1, 1)} na˜o e´ um conjunto de geradores do R3.
10. Mostre que os polinoˆmios 1− t3, (1− t)2, 1− t, 1 geram o espac¸o dos polinoˆmios de grau ≤ 3.
1
11. Determine se os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de M(2, 2). Em caso afirmativo exiba
uma base.
(a) V =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1}
(b) V =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b = a+ d e c = a}
12. Determine se:
(a) (1, 0, 6) ∈ [(1, 0, 1), (1, 2, 1)]
(b) (1,−2, 1) ∈ [(1, 0, 1), (1, 2, 1)]
(c) (2
3
, 1,−1, 2) ∈ [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
(d) (0, 0, 1, 1) ∈ [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
13. Determine uma base para o espac¸o gerado pelos vetores dados:
(a) W = [(1,−3, 0), (−2, 9, 0), (0, 0, 0), (0,−3, 5)]
(b) V = [(1, 0,−2), (3, 2,−4), (−3,−5, 1)]
(c) Y = [(1, 0,−3, 2), (0, 1, 2,−3), (−3,−4, 1, 6), (1,−3,−8, 7), (2, 1,−6, 9)]
(d) U =
[[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]]
14. Considere β = {1, 1− x, x2 − 1}. Determine:
(a) [q]β onde q(x) = x
2 − x
(b) [p]β onde p(x) = x
2 + x+ 1
15. Quais sa˜o as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
2
16. Verifique quais das func¸o˜es abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares:
(a) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x− y, 1)
(b) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x2 + 2y, y)
(c) T : R2 → R tal que T (x, y) = x
(d) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x+ 2y, x− y)
17. Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e
T (1, 0, 0) = (3, 4).
(a) Determine T (x, y, z).
(b) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2).
(c) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0).
18. Determine o nu´cleo, a imagem e suas respectivas dimenso˜es em cada caso:
(a) T : R3 → R4 definida por T (x, y, z) = (x− y,−y − z, y − x, y + z);
(b) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x− y, z + 2x, 2y + z);
19. Determine dim(Im(T )) sabendo que:
(a) T : R5 → R4 com dim(ker(T )) = 3
(b) T : R5 → R7 com T injetiva.
20. Determine dim(ker(T )) sabendo que:
(a) T : V → W com T sobrejetiva, dim(V ) = 5, dim(W ) = 3
(b) T : R4 → R4 sabendo que existe a inversa de T .
21. Considere T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (4x− y + 2z,−2x+ y
2
− z), determine se:
(a) (1, 2) ∈ Im(T ) (b) (1, 4, 0) ∈ ker(T ) (c) (0, 2, 2) ∈ ker(T )
22. Encontre um operador linear T : R3 → R3 tal que o nu´cleo e´ gerado por (1, 2,−1) e (1,−1, 0).
23. Dada a transformac¸a˜o T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+ y, x, 2y), determine:
(a) O nu´cleo, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o. T e´ injetora? Justifique.
(b) A imagem, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o. T e´ sobrejetora? Justifique.
24. Dada a transformac¸a˜o T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x− y + z), determine:
(a) O nu´cleo, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o. T e´ injetora? Justifique.
(b) A imagem, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o. T e´ sobrejetora? Justifique.
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