Cálculo2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
1
Suma´rio
1 Integrais Impro´prias 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Integrais Impro´prias com Extremos de Integrac¸a˜o Infinitos . . . . . . . . 7
1.3 Integrais Impro´prias com Extremos de Integrac¸a˜o Finitos . . . . . . . . . 13
1.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Exerc´ıcios - Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Aplicac¸a˜o da Integrac¸a˜o Impro´pria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Densidade de Probabilidade Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Densidade de Probabilidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.3 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.4 Exerc´ıcios - Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Integrais Eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.1 Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.2 Func¸a˜o Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.3 Aplicac¸a˜o das func¸o˜es Gama e Beta no ca´lculo de integrais. . . . . . . . . 32
1.7.4 Sugesta˜o de Leitura para Estudo das Integrais Eulerianas . . . . . . . . . . 34
1.7.5 Exerc´ıcios - Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 As Coordenadas Polares 36
2.1 Relac¸o˜es entre coordenadas polares e cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Equac¸o˜es polares e gra´ficos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
2.4 Utilizando a tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Sugesta˜o de Leitura e Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Exerc´ıcios - Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 A´reas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Sugesta˜o de Leitura e Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Exerc´ıcios - Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 A Topologia dos Espac¸os Reais n-Dimensionais 54
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 O espac¸o euclidiano n-dimensional Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Regio˜es limitadas em Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Exerc´ıcios - Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Reais 65
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Func¸o˜es de n varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Curvas de Nı´vel e Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Exerc´ıcios - Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Limite e Continuidade em Espac¸os n-Dimensionais 78
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Limite de func¸a˜o de va´rias varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Exerc´ıcios - Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 DERIVADAS PARCIAIS 87
6.1 Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial e definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 As equac¸o˜es das retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3
6.4 O plano tangente e a Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7 Diferenciais e erros na linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.7.1 Exerc´ıcios - Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.8.1 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.8.2 Maximizac¸a˜o da Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.8.3 O vetor gradiente como vetor normal ao plano tangente . . . . . . . . . . . 104
6.8.4 Importaˆncia do vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.8.5 Exerc´ıcios - Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.9 Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.1 Exerc´ıcios - Lista 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.10 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.10.1 Interpretac¸a˜o geome´trica do Me´todo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 116
6.10.2 O Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.10.3 Exerc´ıcios - Lista 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Integrais Mu´ltiplas 119
7.1 Integrais Duplas em retaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.1 Revisa˜o da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.2 Volume e integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Integrais Duplas sobre regio˜es gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Propriedades da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.1 Mudanc¸a para coordenadas em uma integral dupla . . . . . . . . . . . . . 135
4
PREFA´CIO
A primeira edic¸a˜o destas notas foi feita no ano de 2012, quando comecei a ministrar aulas de
Ca´lculo 2, a alunos do segundo per´ıodo de Engenharia, no campus de Campo Moura˜o, Parana´.
A motivac¸a˜o ao preparo destas notas inicialmente foi facilitar e agilizar a apresentac¸a˜o dos
conteu´dos em sala de aula, ja´ que a ementa e´ extensa e o nu´mero de aulas do curso bem reduzido.
Logo, este material foi elaborado com o intuito de proporcionar ao aluno um melhor acompanha-
mento da aula e consiste somente de algumas anotac¸o˜es para serem utilizadas durante as aulas.
Sem preocupac¸o˜es em copiar definic¸o˜es e enunciados espera-se que o aluno possa se concentrar
nas demonstrac¸o˜es e resoluc¸a˜o de exemplos e exerc´ıcios que sera˜o feitas em sala.
O Cap´ıtulo 1 trata das Integrais Impro´prias e das Integrais Eulerianas, ferramentas ba´sicas
que podera˜o ser empregadas na Probabilidade e na resoluc¸a˜o de integrais mu´ltiplas.
No Cap´ıtulos 2, apresentaremos as Coordenadas Polares e suas relac¸o˜es com as Coordenadas
Cartesianas. Sera˜o analisadas equac¸o˜es e gra´ficos polares que posteriormente sera˜o utilizados no
Cap´ıtulo 7.O Cap´ıtulo 3 traz a Topologia dos Espac¸os Reais n-Dimensionais, fazendo um pre´vio estudo
das regio˜es bidimensionais que constituira˜o o domı´nio das func¸o˜es de n-Varia´veis reais.
Os Cap´ıtulos 4 e 5 se ocupam das func¸o˜es z = f(x, y), do ponto de vista alge´brico, nume´rico,
visual e comportamental com o apoio das curvas de n´ıvel ja´ apresentadas no curso de Geometria
Anal´ıtica e do ca´lculo de limites.
O Cap´ıtulo 6 e´ um breve Curso de Ca´lculo Diferencial das func¸o˜es de n-Varia´veis Reais,
abordando as derivadas parciais, as te´cnicas de derivac¸a˜o, as derivadas direcionais e os valores
extremos. Para aplicac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial, sa˜o utilizados as Aproximac¸o˜es Lineares, o
Vetor Gradiente, As Derivadas de Segunda Ordem e os Multiplicadores de Lagrange.
Finalmente, o Cap´ıtulo 7 se encarrega do estudo das Integrais Mu´ltiplas, estendendo a ideia
de integrais definidas para integrais duplas e triplas de func¸o˜es de duas ou treˆs varia´veis. Essas
ideias sa˜o utilizadas para calcular volumes, a´reas de regio˜es bidimensionais e a´reas de superf´ıcies.
Ale´m das coordenadas polares apresentadas no Cap´ıtulo 2, introduziremos dois novos sistemas
de coordenadas no espac¸o tridimensional: as coordenadas cil´ındricas e as coordenadas esfe´ricas,
5
visando a simplificac¸a˜o do ca´lculo de integrais triplas em certas regio˜es so´lidas.
Agradec¸o a participac¸a˜o e parceria dos alunos das Engenharias nos projetos desenvolvidos
nas APS e deixo registrado na capa destas notas, algumas das obras modeladas no decorrer
destes semestres. Fico muito grata em ver o empenho, a motivac¸a˜o e amadurecimento ma-
tema´tico adquirido na modelagem alge´brica e computacional de superf´ıcies tridimensionais do
nosso cotidiano. Estes projetos tem evidenciado a relac¸a˜o existente entre a teoria e a pra´tica.
Espero que os projetos a serem desenvolvidos neste semestre auxilem no preparo profissional
do futuro engenheiro e que o fruto destas pesquisas estejam futuramente em publicac¸o˜es e eventos,
evidenciando novas possibilidades de ensino e aprendizagem nas Engenharias.
Agradec¸o tambe´m aos discentes pela utilizac¸a˜o destas notas e aguardo eventuais correc¸o˜es e
ou sugesto˜es de aprimoramento.
Sara Coelho da Silva
Campo Moura˜o, 2013.
6
Cap´ıtulo 1
Integrais Impro´prias
1.1 Introduc¸a˜o
No estudo das integrais definidas,
∫ b
a
f(x)dx, assumimos o intervalo [a, b] com extremos a, b
limitados. Ale´m disso, assumimos que a func¸a˜o f(x) ≤ k, para todo x ∈ [a, b]. Portanto, a
integral definida,
∫ b
a
f(x)dx foi analisada somente para x em um intervalo limitado e f(x) sem
descontinuidades infinitas.
Neste cap´ıtulo estenderemos o conceito de integral definida para intervalos infinitos e tambe´m
para os casos onde f tem descontinuidade infinita no intervalo de integrac¸a˜o. Nestes casos, tal
integral sera´ denominada integral impro´pria.
1.2 Integrais Impro´prias com Extremos de Integrac¸a˜o In-
finitos
Caso 1: O extremo superior de integrac¸a˜o e´ infinito.
Definic¸a˜o 1.1 Se f for cont´ınua para todo x ≥ a enta˜o,∫ +∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx
se esse limite existir.
Caso o limite exista, dizemos que a integral impro´pria converge, e caso na˜o exista, a integral
impro´pria diverge.
7
Exemplo 1.1 Consideremos o problema de encontrar a a´rea da regia˜o limitada pela curva
y = e−x, pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = b; onde b > 0.
Figura 1.1: Integral definida
Se A unidades de a´rea for a a´rea da regia˜o, podemos determinar o valor de A usando integral
definida:
A =
∫ b
0
e−xdx = −
∫ b
0
eudu = −eu ∣∣b0 = −e−b + e0 = −e−b + 1
Considere enta˜o que o valor de b possa ser ilimitado, ou seja, b pode crescer sem limitac¸a˜o.
Calcule
∫ +∞
0
e−xdx e interprete-a geometricamente.
Resoluc¸a˜o:
∫ +∞
0
e−xdx = lim
b→+∞
(∫ b
0
e−xdx
)
= lim
b→+∞
(1− e−b) = lim
b→+∞
1− lim
b→+∞
1
eb
= 1
Figura 1.2: Integral impro´pria convergente
8
Exemplo 1.2 Verifiquemos se e´ poss´ıvel indicar um nu´mero para representar a medida da a´rea
A da regia˜o a` direita da reta x = 1, abaixo do gra´fico de y =
1
x
e acima do eixo x.
Resoluc¸a˜o:
∫ +∞
1
1
x
dx = lim
b→+∞
∫ b
1
1
x
dx = lim
b→+∞
(
ln x
∣∣b
1
)
= lim
b→+∞
( ln b− ln 1 ) = +∞
Figura 1.3: Integral impro´pria divergente
Como o limite na˜o existe, na˜o e´ poss´ıvel indicar um nu´mero para representar a medida da
a´rea A.
Exemplo 1.3 A integral impro´pria
∫ ∞
0
sen(x)dx divergente, pois
∫ +∞
0
sen(x)dx = lim
b→+∞
∫ b
0
sen(x)dx = lim
b→+∞
(−cos(x) ∣∣b0 ) =
= lim
b→+∞
(−cos b+ cos 0 ) = lim
b→+∞
(−cos b+ 1 )
Como cos(b) oscila entre −1 e 1 na˜o tendendo a um valor fixo, lim
b→+∞
cos b na˜o existe. Por-
tanto, a integral impro´pria e´ divergente.
9
Exerc´ıcio 1.1 Avalie
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx e interprete geometricamente.
Resposta:
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx =
pi
2
Exerc´ıcio 1.2 Calcule a integral, se ela convergir:
∫ +∞
0
xe−xdx
Resposta:
∫ +∞
0
xe−xdx = 1
10
Caso 2: O extremo inferior de integrac¸a˜o e´ infinito.
Definic¸a˜o 1.2 Se f for cont´ınua para todo x ≤ b enta˜o,
∫ b
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx
se esse limite existir.
Exemplo 1.4 Calcule e interprete geometricamente
∫ 3
−∞
1
(4− x)2dx, se ela convergir.
Resoluc¸a˜o: ∫ 3
−∞
1
(4− x)2dx = lima→−∞
(∫ 3
a
1
(4− x)2dx
)
Uma alternativa e´ utilizar a Mudanc¸a de Varia´vel:
u = 4− x, du = −dx, dx = −du
com extremos de integrac¸a˜o dados por:
x ∈ [ a, 3] e u = 4− x =⇒ u ∈ [ (4− a), 1]
O ca´lculo, enta˜o, e´ feita da seguinte forma:
lim
a→−∞
(∫ 3
a
1
(4− x)2dx
)
= lim
a→−∞
∫ 1
(4−a)
−du
u2
= − lim
a→−∞
∫ 1
(4−a)
u−2du =
= − lim
a→−∞
u−1
−1
∣∣1
4−a = lim
a→−∞
1
u
∣∣1
4−a = lim
a→−∞
[
1− 1
4− a
]
= 1
Portanto, a integral impro´pria
∫ 3
−∞
1
(4− x)2dx = 1 e´ convergente e sua interpretac¸a˜o geome´trica
e´ dada pela pela a´rea representada abaixo:
Figura 1.4: Integral impro´pria com extremo inferior de integrac¸a˜o infinito.
11
Caso 3: Ambos os extremos de integrac¸a˜o sa˜o infinitos.
Definic¸a˜o 1.3 Se f for cont´ınua para todo x ∈ R e c for um nu´mero real qualquer, enta˜o∫ ∞
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ c
a
f(x)dx+ lim
b→∞
∫ b
c
f(x)dx
se esses limites existirem.
Observac¸a˜o 1.1 A definic¸a˜o acima independe do valor de c, costumamos tomar c = 0
Exemplo 1.5 Calcule a integral, se ela convergir:
∫ ∞
−∞
xdx.
Resoluc¸a˜o: Da Definic¸a˜o 1.3, com c = 0, temos:∫ ∞
−∞
xdx = lim
a→−∞
∫ 0
a
xdx+ lim
b→∞
∫ b
0
xdx =
= lim
a→−∞
[
1
2
x2
]0
a
+ lim
b→+∞
[
1
2
x2
]b
0
=
= lim
a→−∞
(
−1
2
a2
)
+ lim
b→+∞
(
1
2
b2
)
Como nenhum dos dois limites existe, a integral impro´pria diverge.
Geometricamente, podemos constatar que abaixo do gra´fico da reta f(x) = x ha´ uma a´rea
infinita se consideramos, o domı´nio de f sendo o intervalo R = [−∞,+∞].
Figura 1.5: Integral impro´pria divergente com extremos de integrac¸a˜o infinitos
Observac¸a˜o 1.2 Na˜o utilizamos o limite de lim
a→∞
∫ a
−a
f(x)dx para estudar a convergeˆncia de
uma integral impro´pria quando ambos os extremos de integrac¸a˜o sa˜o infinitos. No caso anterior,
obter´ıamos lim
a→∞
∫ a
−a
xdx = 0, mas a integral impro´pria e´ divergente.
12
1.3 Integrais Impro´prias com Extremos de Integrac¸a˜o Fi-
nitos
Se o integrando tiver uma descontinuidade infinita no extremo inferior ou superior da integrac¸a˜o,
a integral e´ dita impro´pria e sera´ calculada como nos casos anteriores, usando limite.
Definic¸a˜o 1.4Se f for cont´ınua para todo x ∈ (a, b], e se lim
x→a+
f(x) = ±∞ enta˜o,
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
se esse limite existir.
Exemplo 1.6 Determine a medida da a´rea da regia˜o limitada pela curva cuja equac¸a˜o e´ y =
1√
x
,
pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = 4.
Figura 1.6: Integral impro´pria com extremos de integrac¸a˜o finitos
Resoluc¸a˜o: ∫ 4
0
1√
x
dx = lim
t→0+
∫ 4
t
1√
x
dx = lim
t→0+
∫ 4
t
x−
1
2dx =
= lim
t→0+
x
1
2
1
2
∣∣x=4
x=t = lim
t→0+
2
√
x
∣∣x=4
x=t = lim
t→0+
4− 2
√
t = 4
13
Exerc´ıcio 1.3 Calcule a integral, se ela for convergente:
∫ 1
0
x ln xdx.
Figura 1.7: Integral impro´pria dada por uma a´rea abaixo do eixo x.
Resposta:
∫ 1
0
x lnxdx = −1
4
14
Definic¸a˜o 1.5 Se f for cont´ınua para todo x ∈ [a, b), e se lim
x→b−
f(x) = ±∞ enta˜o
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx
se esse limite existir.
Se existir uma descontinuidade infinita num ponto interior ao intervalo de integrac¸a˜o, a
existeˆncia da integral impro´pria sera´ determinada a partir da definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 1.6 Se f for cont´ınua para todo x ∈ [a, b], exceto em c, onde a < c < b e se
lim
x→c
|f(x)| =∞ enta˜o,
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→c−
∫ t
a
f(x)dx+ lim
s→c+
∫ b
s
f(x)dx
se esses limites existirem.
Se
∫ b
a
f(x)dx for uma integral impro´pria, ela sera´ convergente se o limite correspondente
existir, caso contra´rio ela sera´ divergente.
Exemplo 1.7 Calcule a integral se ela for convergente:
∫ 2
0
dx
(x− 1)2 .
Figura 1.8: Integral impro´pria com descontinuidade infinita em c = 1 ∈ [0, 2]
Resoluc¸a˜o:
∫ 2
0
dx
(x− 1)2 =
∫ 1
0
dx
(x− 1)2 +
∫ 2
1
dx
(x− 1)2 = limt→1−
∫ t
0
dx
(x− 1)2 + lims→1+
∫ 2
s
dx
(x− 1)2
15
Usando a Mudanc¸a de Varia´vel:
u = x− 1, du = dx,
e considerando os novos extremos de integrac¸a˜o:
u = −1 .. (t− 1) e u = (s− 1) .. 1,
nas respectivas integrais, temos:
∫ 2
0
dx
(x− 1)2 = limt→1−
∫ t−1
−1
u−2du+ lim
s→1+
∫ 1
s−1
u−2du =
= lim
t→1−
u−1
−1
∣∣t−1−1 + lim
s→1+
u−1
−1
∣∣1
s−1 =
= lim
t→1−
−1
u
∣∣t−1−1 + lim
s→1+
−1
u
∣∣1
s−1 =
= lim
t→1−
− 1
t− 1 +
1
−1 + lims→1+ +
1
1
+
1
s− 1 =
= +∞− 1 + 1 +∞ = +∞
Portanto, a integral e´ divergente.
16
Exerc´ıcio 1.4 Calcule a integral impro´pria mista, se ela for convergente:
∫ +∞
1
dx
x
√
x2 − 1 .
Figura 1.9: Integral impro´pria mista.
Resposta:
∫ +∞
1
dx
x
√
x2 − 1 =
pi
2
1.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudo
• Leithold, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 1. 3a Ed.. Sa˜o Paulo:
Harbra, 1994. Sec¸o˜es 11.3 e 11.4
• Stewart, J.; Ca´lculo.Volume 1. 5a Ed.. Sa˜o Paulo: Thomson Learning, 2006. Sec¸a˜o
7.8.
17
1.5 Exerc´ıcios - Lista 1
I− Resolva as integrais impro´prias com um extremo de integrac¸a˜o infinito e conclua se a integral
diverge ou converge.
1.
∫ ∞
7
1
(x− 5)2dx; Resposta:
1
2
2.
∫ 0
−∞
e5xdx; Resposta: 1
5
3.
∫ ∞
1
x2
(x3 + 8)
dx; Resposta: diverge
4.
∫ −2
−∞
1
x4
dx; Resposta: 1
24
5.
∫ ∞
0
xe−2xdx; Resposta: 1
4
6.
∫ ∞
3
1
(2x− 1)2dx; Resposta:
1
10
7.
∫ ∞
1
x2
(x3 + 2)2
dx; Resposta: 1
9
8.
∫ ∞
0
2xe−3xdx; Resposta: 2
9
9.
∫ ∞
1
xex
2
dx; Resposta:diverge
10.
∫ ∞
0
x.sen(x)dx; Resposta: diverge
11.
∫ ∞
0
e−xdx; Resposta: 1
12.
∫ ∞
−∞
x cos(x)dx; Resposta: diverge
13.
∫ ∞
√
3
3
x2 + 9
dx; Resposta: pi
3
14.
∫ ∞
e
1
x(ln(x))2
dx; Resposta: 1
15.
∫ ∞
1
ln(x)dx; Resposta: diverge
18
16.
∫ ∞
−∞
sen(x)dx; Resposta: diverge
17.
∫ ∞
−∞
x(1 + x2)−1dx; Resposta: diverge
18.
∫ 0
−∞
1
(x− 1)2dx; Resposta: 1
19.
∫ 0
−∞
x2ex
3
dx; Resposta: 1
3
20.
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx; Resposta: π
21.
∫ ∞
1
1
1 + x2
dx; Resposta: pi
4
22.
∫ ∞
0
x2e−xdx; Resposta: 2
23.
∫ ∞
1
1
x
√
1 + x2
dx; Resposta: ln(
√
2 + 1)
24.
∫ ∞
0
1
3
√
x
dx; Resposta: diverge
II− Analise a continuidade da func¸a˜o do integrando com relac¸a˜o aos extremos de inte-
grac¸a˜o para calcular a integral impro´pria com extremos finitos ou infinitos.
25.
∫ 1
0
dx√
1− x ; Resposta: 2
26.
∫ 16
0
dx
x
3
4
; Resposta: 8
27.
∫ −3
−5
xdx√
x2 − 9 ; Resposta: −4
28.
∫ 4
0
xdx√
16− x2 ; Resposta: 4
29.
∫ 4
2
dt√
16− t2 ; Resposta:
pi
3
30.
∫ 1
−4
dz
(z + 3)3
; Resposta: divergente.
19
31.
∫ pi
2
pi
4
sec(θ)dθ; Resposta: divergente.
32.
∫ 0
−2
dx√
4− x2 ; Resposta:
pi
2
33.
∫ +∞
0
dx
x3
; Resposta: divergente.
34.
∫ pi
2
0
tg θ dθ; Resposta: divergente.
35.
∫ pi
2
0
dy
1− sen y ; Resposta: divergente.
36.
∫ 4
0
dx
x2 − 2x− 3 ; Resposta:divergente.
37.
∫ +∞
2
dx
x
√
x2 − 4 ; Resposta:
pi
4
38.
∫ +∞
0
ln(x)dx; Resposta: divergente.
39.
∫ 2
0
dx√
2x− x2 ; Resposta: π
40.
∫ 0
−2
dw
(w + 1)
1
3
; Resposta: 0
41.
∫ 1
−1
dx
x2
; Resposta: divergente.
42.
∫ 2
−2
dx
x3
; Resposta: divergente.
43.
∫ +∞
0
e−
√
x
√
x
dx; Resposta: 2
44.
∫ 2
1
2
dz
z(lnz)
1
5
; Resposta: 0
20
1.6 Aplicac¸a˜o da Integrac¸a˜o Impro´pria
Uma aplicac¸a˜o de integral impro´pria com um extremo de integrac¸a˜o infinito envolve o ca´lculo
de probabilidades.
A probabilidade de um evento ocorrer e´ um nu´mero no intervalo fechado [0, 1]. Se houver
certeza de que um evento ocorrera´, a probabilidade e´ 1; se o evento nunca ocorrer, enta˜o sua
probabilidade sera´ 0. Quanto mais certeza tivermos de que um evento ira´ ocorrer, mais pro´xima
de 1 sera´ sua probabilidade.
Suponha que o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de uma determinada situac¸a˜o seja o
conjunto de todos os nu´meros x num intervalo I. Por exemplo, se x representar quantos minutos
algue´m espera ate´ vagar um lugar em um determinado restaurante, podemos determinar qual a
probabilidade de que uma pessoa tenha de esperar de 20 a 30 min por uma mesa. Para tanto, a
necessidade de se obter uma func¸a˜o densidade de probabilidade, estas func¸o˜es sa˜o obtidas
atrave´s de experieˆncias estat´ısticas e podem ser calculadas fazendo uso do Ca´lculo Nume´rico.
Definic¸a˜o 1.7 Uma func¸a˜o densidade de probabilidade e´ uma func¸a˜o f cujo domı´nio e´ o con-
junto R e que satisfaz duas condic¸o˜es:
a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R b)
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
1.6.1 Densidade de Probabilidade Exponencial
Dado k > 0, considere a func¸a˜o densidade exponencial definida por:
f(x) =
{
ke−kx, se x ≥ 0
0, se x < 0
Figura 1.10: Densidade de Probabilidade Exponencial
21
Para verificar se f e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade, vejamos se ela satisfaz as duas
condic¸o˜es da Definic¸a˜o 1.7.
1. Se x < 0, f(x) = 0; se x ≥ 0, f(x) = ke−kx, e como k > 0, ke−kx > 0.
2.
∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ 0
−∞
f(x)dx+
∫ +∞
0
f(x)dx =
∫ 0
−∞
0 dx +
∫ +∞
0
ke−kxdx =
= 0+ lim
b→+∞
[
−
∫ b
0
e−kx(−kdx)
]
= lim
b→+∞
[−e−kx]b
0
= lim
b→+∞
(−e−kb+1) = lim
b→+∞
(− 1
ekb
+1) = 1
Definic¸a˜o 1.8 Se f for uma func¸a˜o densidade de probabilidade, enta˜o a probabilidade de
que um evento ira´ ocorrer no intervalo fechado [a, b] sera´ denotada por P ([a, b]) e dada
por:
P ([a, b]) =
∫ b
a
f(x)dx
Exerc´ıcio 1.5 Para determinado tipo de bateria, a func¸a˜o densidade de probabilidade de x horas
seja o tempo de vida u´til de uma bateria escolhida ao acaso e´ dada porf(x) =


e
−x
60
60
, se x ≥ 0
0, se x < 0
Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
a) entre 15 e 25 horas (Resposta: 0, 120) b) Pelo menos 50 horas (Resposta: 0, 435)
22
1.6.2 Densidade de Probabilidade Uniforme
A densidade de probabilidade uniforme e´ uma func¸a˜o que tem valor constante em um certo
intervalo [a, b] e e´ nula fora deste intervalo. f(x) =
{ 1
b− a, a ≤ x ≤ b
0, x /∈ [a, b]
Facilmente verifica-se que a func¸a˜o f satisfaz as duas condic¸o˜es da Definic¸a˜o 1.7.
Quando a densidade de probabilidade de uma varia´vel e´ uniforme, dizemos que a varia´vel e´
uniformemente distribu´ıda.
Exemplo 1.8 Um certo sinal de traˆnsito permanece fechado durante 40 segundos de cada vez.
Um motorista chega ao cruzamento e encontra o sinal fechado. Use a densidade de probabilidade
uniforme para calcular a probabilidade de que o motorista tenha que esperar pelos menos 15
segundos ate´ o sinal abrir.
Resoluc¸a˜o:
Seja x a varia´vel associada ao tempo de espera. Como todos os tempos de espera entre 0
e 40 segundos sa˜o igualmente prova´veis, a varia´vel x e´ uniformemente distribu´ıda no intervalo
0 ≤ x ≤ 40. Portanto, a densidade de probabilidade correspondente e´:
f(x) =
{ 1
40
, se 0 ≤ x ≤ 40
0, para qualquer outro valor
e a probabilidade desejada e´:
P (15 ≤ x ≤ 40) =
∫ 40
15
1
40
dx =
x
40
∣∣40
15 =
40− 15
40
=
5
8
= 62.5%.
1.6.3 Sugesta˜o de Leitura e Estudo
• Hoffmann, L. D.,Bradley, G. L., ; Ca´lculo: Um Curso Moderno e Suas Aplicac¸o˜es.9a
Ed.. Rio de Janeiro: L.T.C, 2008. Sec¸a˜o 6.3.
• Leithold, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 1. 3a Ed.. Sa˜o Paulo:
Harbra, 1994. Sec¸a˜o 11.3.
• Stewart, J.; Ca´lculo.Volume 1. 5a Ed.. Sa˜o Paulo: Thomson Learning, 2006. Sec¸a˜o
8.5.
23
1.6.4 Exerc´ıcios - Lista 2
1. Para um certo tipo de laˆmpada, a func¸a˜o densidade de probabilidade de que que x horas
seja o tempo de vida u´til de seu bulbo, escolhido ao acaso, e´ dada por
f(x) =
{ 1
40
e
−x
40 , se x ≥ 0
0, se x < 0
Ache a probabilidade de que o tempo de vida u´til de um bulbo escolhido ao acaso:
(a) esteja entre 40 e 60h, Resposta:≈ 0.145
(b) seja de pelo menos 60h. Resposta:≈ 0.223
2. Em uma certa cidade, a func¸a˜o densidade de probabilidade de que xmin seja a durac¸a˜o de
uma chamada telefoˆnica escolhida ao acaso, e´ dada por
f(x) =
{ 1
3
e
−x
3 , se x ≥ 0
0, se x < 0
Ache a probabilidade de que uma chamada telefoˆnica escolhida ao acaso dure:
(a) entre 1min e 2min; Resposta:≈ 0.20
(b) pelo menos 5min. Resposta:≈ 0.189
3. Seja f(x) =
{
0.006x(10− x), x ∈ [0, 10]
0, x /∈ [0, 10]
(a) Verifique que f e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade.
(b) Calcule P ([4, 8]). Resposta:≈ 0.544
24
4. Em geral, a me´dia de qualquer func¸a˜o densidade de probabilidade f e´ definida como
µ =
∫ +∞
−∞
xf(x)dx.
A me´dia pode ser interpretada como o valor me´dio a longo prazo da varia´vel aleato´ria
x. Tambe´m pode ser interpretada como uma medida de centralidade da func¸a˜o densidade
de probabilidade. Na sec¸a˜o 8.5 do Livro Ca´lculo, Volume 1, James Stewart, 5a Edic¸a˜o,
prova-se que para a func¸a˜o densidade de probabilidade descrita exponencialmente,
f(t) =
{
0, se t < 0
ce−ct, se t ≥ 0
a me´dia µ =
1
c
e, assim, conhecendo a me´dia, a func¸a˜o densidade de probabilidade e´ dada
por:
f(t) =
{
0, se t < 0
µ−1e
−t
µ , se t ≥ 0
Suponha que o tempo me´dio de espera para um cliente ser atendido pelo funciona´rio da
firma para a qual ele esta´ ligando seja 5min.
(a) Calcule a probabilidade da chamada ser respondida durante o primeiro minuto.
Resp:≈ 0.18
(b) Calcule a probabilidade de o consumidor esperar mais que cinco minutos para ser aten-
dido. Resposta:≈ 0.37
5. A gerente de um restaurante fast-food determina que o tempo me´dio de espera de seus
clientes para serem atendidos seja de 2.5 minutos.
(a) Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar por mais de 4 minutos. Resp:≈ 0.20
(b) Calcule a probabilidade de um cliente ser servido dentro dos primeiros 2 minutos.
Resposta:≈ 0.55
25
(c) A gerente quer fazer uma propaganda dizendo que se o cliente na˜o for atendido dentro
de um certo nu´mero de minutos ele recebera´ um hambu´rguer de grac¸a. Mas ela na˜o quer
dar hambu´rgueres gra´tis para mais que 2% de seus clientes. O que deve dizer a propaganda?
Resposta: Se na˜o for servido dentro de 10min voceˆ ganha um hambu´rguer.
6. Um certo sinal de traˆnsito permanece fechado durante 45 segundos de cada vez. Um mo-
torista chega ao cruzamento e encontra o sinal fechado. Considerando a densidade de
probabilidade uniforme:
f(x) =
{ 1
45
, x ∈ [0, 45]
0, x /∈ [0, 45]
calcule:
(a) a probabilidade de que o motorista tenha que esperar pelo menos 15 segundos ate´ o sinal
abrir. Resposta:≈ 0.666
(b) A probabilidade de que o sinal abra apo´s um intervalo de menos de 15 segundos.
Resposta:≈ 0.333
(c) A probabilidade de que o sinal abra apo´s um intervalo de tempo entre 5 e 10 segundos.
Resposta:
1
9
≈ 0.1111
(d) o valor esperado ou a me´dia da func¸a˜o densidade de probabilidade, dado por:
E(X) =
∫ +∞
−∞ xf(x)dx.
Resposta: 22.5 s
26
1.7 Integrais Eulerianas
O matema´tico su´ıc¸o Leonhard Euler (1707-1783) foi o pesquisador matema´tico mais produtivo
de todos os tempos. Trouxe contribuic¸o˜es para matema´tica, f´ısica, engenharia e astronomia.
Euler definiu duas func¸o˜es especiais nomeadas como func¸a˜o Gama e func¸a˜o Beta, hoje
chamadas de Integrais Eulerianas. Em nosso estudo utilizaremos estas func¸o˜es para o ca´lculo
de integrais de complicada resoluc¸a˜o por me´todos convencionais.
1.7.1 Func¸a˜o Gama
Definida por Euler, a func¸a˜o Gama representada por Γ(n) e´ dada pela integral impro´pria
Γ(n) =
∫ ∞
0
xn−1e−xdx
Teorema 1.1 A func¸a˜o euleriana Γ(n) =
∫ ∞
0
xn−1e−xdx e´ tal que:
1. Γ(1) = 1
2. Γ(n+ 1) = nΓ(n), ∀n ∈ R∗
3. Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n!, ∀n ∈ N
demonstrac¸a˜o:
1- Γ(1) =
∫ ∞
0
x1−1e−xdx =
∫ ∞
0
e−xdx = lim
b→+∞
−e−x ∣∣x=bx=0 = lim
b→+∞
− 1
eb
+ 1 = 1
2- Γ(n+ 1) =
∫ +∞
0
x(n+1)−1e−xdx =
∫ +∞
0
xne−xdx = lim
b→+∞
[∫ b
0
xn︸︷︷︸
u
e−x︸︷︷︸
dv
dx
]
=
= lim
b→+∞
[
−xn.e−x ∣∣x=bx=0 − ∫ b
0
−e−x.n.xn−1dx
]
=
= −

 limb→+∞ b
n
eb︸︷︷︸
ց0
−0

+ limb→+∞n
∫ b
0
xn−1e−xdx = n
∫ +∞
0
xn−1e−xdx = nΓ(n)
27
3- Usando que Γ(1) = 1 e Γ(n+ 1) = nΓ(n) garantimos a seguinte recorreˆncia:
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1!
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2Γ(2) = 2 = 2!
Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3Γ(3) = 3.2! = 3!
Γ(5) = Γ(4 + 1) = 4Γ(4) = 4.3! = 4!
Γ(6) = Γ(5 + 1) = 5Γ(5) = 5.4! = 5!
...
Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n!, para todo n ∈ N
Observac¸a˜o 1.3 Na demonstrac¸a˜o de 2 utilizamos lim
b→+∞
bn
eb
= 0. Esta fato, pode ser verificado
para os dois casos:
• Se n > 0 podemos utilizar um argumento geome´trico: quando b → +∞, a func¸a˜o eb cresce
mais rapidamente do que bn → +∞.
Figura 1.11: Argumento geome´trico do crescimento das func¸o˜es poteˆncia e exponencial
Logo, se o denominador cresce mais rapidamente enta˜o a frac¸a˜o
bn
eb
→ 0.
28
• Se n < 0, n = −k, k > 0. Enta˜o, lim
b→+∞
bn
eb
= lim
b→+∞
b−k
eb
= lim
b→+∞
1
bk.eb
= 0.
Teorema 1.2 Para 0 < n < 1, obte´m-se a relac¸a˜o dos complementos dada por:
Γ(n).Γ(1− n) = π
sen(nπ)
Para demonstrac¸a˜o deste teorema faz-se necessa´rio o uso de conceitos do Ca´lculo 3, mais
precisamente a ana´lise de se´ries. Portanto, nesta disciplina utilizaremos o resultado sem de-
monstra´-lo.
Observac¸a˜o 1.4 Usando os Teoremas 1.1 e 1.2 podemos mostrar que,
1. Γ(1
2
) =
√
π
2. Γ(3
2
) =
√
π
2demonstrac¸a˜o: Do Teorema 1.2 temos: Γ
(
1
2
)
.Γ
(
1− 1
2
)
=
π
senpi
2
. Ou seja,
Γ
(
1
2
)
.Γ
(
1
2
)
= π =⇒
(
Γ
(
1
2
))2
= π =⇒ Γ
(
1
2
)
=
√
π.
Por outro lado, o Teorema 1.1 garante que: Γ
(
3
2
)
= Γ
(
1 +
1
2
)
=
1
2
Γ
(
1
2
)
=
√
π
2
.
Exerc´ıcio 1.6 Calcule Γ
(
5
2
)
,Γ
(
7
2
)
e Γ
(
13
2
)
.
Resposta: Γ
(
5
2
)
= 3
√
pi
4 ,Γ
(
7
2
)
= 15
√
pi
8 e Γ
(
13
2
)
= 10.395
√
pi
64
29
Observac¸a˜o 1.5 Para n < 0, usaremos a relac¸a˜o Γ(n) =
Γ(n+ 1)
n
obtida do Teorema 1.1.
Observac¸a˜o 1.6 Usando a observac¸a˜o anterior, obtemos Γ
(
−1
2
)
= −2√π.
De fato,
Γ
(
−1
2
)
=
Γ
(
−1
2
+ 1
)
−1
2
= −2Γ
(
1
2
)
= −2√π.
Exerc´ıcio 1.7 Determine os valores de: Γ
(
−3
2
)
e Γ
(
−5
2
)
.
Resposta: Γ
(−32) = 4√pi3 e Γ (−52) = −8√pi15
1.7.2 Func¸a˜o Beta
A func¸a˜o Beta, tambe´m definida por Euler, e´ dada por:
β(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx
Exemplo 1.9 β(1, 2) = β(2, 1)
De fato,
β(1, 2) =
∫ 1
0
x0(1− x)1dx =
∫ 1
0
(1− x)dx = x− x
2
2
∣∣1
0 =
1
2
E por outro lado,
β(2, 1) =
∫ 1
0
x(1− x)0dx =
∫ 1
0
xdx =
x2
2
∣∣1
0 =
1
2
30
Teorema 1.3 A func¸a˜o euleriana β(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx e´ tal que:
1. β(m,n) = β(n,m),
2. β(m,n) = 2
∫ pi
2
0
(senθ)2m−1(cosθ)2n−1dθ
demonstrac¸a˜o:
1. Fazendo x = 1− y temos: dx = −dy com y decrescendo de 1 a 0.
Logo,
β(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx = −
∫ 0
1
(1− y)m−1yn−1dy =
−
[
−
∫ 1
0
yn−1(1− y)m−1dy
]
=
∫ 1
0
yn−1(1− y)m−1dy = β(n,m).
2. Fazendo x = sen2θ obtemos: dx = 2senθ.cosθdθ, θ ∈ [0, pi
2
].
Substituindo em β(m,n) resulta:
β(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx = 2
∫ π
2
0
(sen2θ)m−1(cos2θ)n−1senθ.cosθ dθ =
= 2
∫ π
2
0
(senθ)2(m−1)(cosθ)2.(n−1)senθ.cosθ dθ =
= 2
∫ π
2
0
(senθ)2m−2(cosθ)2n−2senθ.cosθ dθ =
= 2
∫ π
2
0
(senθ)2m−1(cosθ)2n−1dθ.
31
Teorema 1.4 A func¸a˜o euleriana β(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx e´ tal que
β(m,n) =
Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)
, ∀m,n > 0
Para demonstrac¸a˜o deste teorema necessitamos de conceitos de Ca´lculo 2 ainda na˜o estudados,
mais precisamente a integral dupla em coordenadas polares. Portanto, neste momento utilizare-
mos o resultado sem demonstra´-lo.
Exemplo 1.10 β(5, 3) =
Γ(5).Γ(3)
Γ(8)
=
4!2!
7!
=
4!2!
7.6.5.4!
=
2
7.6.5
=
1
7.3.5
=
1
105
.
1.7.3 Aplicac¸a˜o das func¸o˜es Gama e Beta no ca´lculo de integrais.
Podemos utilizar as integrais eulerianas para verificar a convergeˆncia ou divergeˆncia de algumas
integrais impro´prias. No caso, das integrais impro´prias convergentes, o ca´lculo sera´ muito mais
simples fazendo uso das integrais eulerianas. Veja alguns exemplos:
Exemplo 1.11
∫ +∞
0
x3e−xdx.
Resoluc¸a˜o:
∫ +∞
0
x3e−xdx = Γ(4) = 3! = 6.
Exemplo 1.12
∫ +∞
0
x6e−2xdx.
Resoluc¸a˜o: Utilizando a Mudanc¸a de Varia´vel: y = 2x, dy = 2dx obtemos:
∫ +∞
0
x6e−2xdx =
1
2
∫ +∞
0
(y
2
)6
.e−ydy =
1
2
1
26
∫ +∞
0
y6.e−ydy =
1
27
Γ(7) =
1
27
6! =
45
8
32
Exemplo 1.13
∫ 1
0
x5(1− x)4dx
Resoluc¸a˜o:
∫ 1
0
x5(1− x)4dx = β(6, 5) = Γ(6).Γ(5)
Γ(11)
=
1
1260
Exemplo 1.14
∫ +∞
0
√
ye−y
3
dy
Resoluc¸a˜o: Usando a Mudanc¸a de Varia´vel: x = y3, obtemos:
y = x
1
3 =⇒ dy = 1
3
x−
2
3dx
Assim, ∫ +∞
0
√
ye−y
3
dy =
∫ +∞
0
y
1
2 e−y
3
dy =
1
3
∫ +∞
0
x
1
6 e−x.x−
2
3dx =
1
3
∫ +∞
0
x
1
6
− 2
3 e−xdx =
1
3
∫ +∞
0
x−
3
6 e−xdx =
1
3
∫ +∞
0
x−
1
2 e−xdx =
1
3
Γ
(
1
2
)
=
√
π
3
Exemplo 1.15
∫ 1
0
x2ln(x)dx
Resoluc¸a˜o:
Fazendo a Mudanc¸a de Varia´vel: y = −ln(x), teˆm-se:
−y = ln(x) =⇒ e−y = x =⇒ x2 = e−2y e dx = −e−ydy
Para obter os novos extremos de integrac¸a˜o, observe que x varia de 0 a 1 e y = −ln(x).
Portanto,
• Se x = 1 temos y = 0;
• Se x → 0 enta˜o y → +∞.
33
Substituindo estes dados, resulta:
∫ 1
0
x2ln(x)dx =
∫ 0
+∞
e−2y(−y).(−e−y)dy = +
∫ 0
+∞
e−3y(y)dy = −
∫ +∞
0
e−3y(y)dy
Usando enta˜o uma nova Mudanc¸a de Varia´vel: z = 3y, obteˆm-se:
∫ 1
0
x2ln(x)dx = −
∫ +∞
0
e−3y(y)dy = −1
3
∫ +∞
0
(
1
3
z
)
.e−zdz = −1
9
∫ +∞
0
z.e−zdz = −1
9
Γ(2) = −1
9
.
Exemplo 1.16
∫ +∞
0
3−4x
2
dx
Resoluc¸a˜o:
Inicialmente, vamos reescrever a integral impro´pria para obter uma integral euleriana:∫ +∞
0
3−4x
2
dx =
∫ +∞
0
(
eln(3)
)(−4x2)
dx =
∫ +∞
0
e(−4ln3.x
2)dx
Usando enta˜o a Mudanc¸a de Varia´vel: z = 4ln3.x2, obtemos:
x2 =
1
4ln3
z =⇒ x = z
1
2
2
√
ln3
=⇒ dx = 1
4
√
ln3
z−
1
2dz
Finalmente substituindo, resulta:∫ +∞
0
3−4x
2
dx =
∫ +∞
0
e(−4ln3.x
2)dx =
1
4
√
ln3
∫ +∞
0
e−z.z−
1
2dz =
=
1
4
√
ln3
∫ +∞
0
z−
1
2 .e−z.dz =
1
4
√
ln3
Γ
(
1
2
)
=
√
π
4
√
ln3
1.7.4 Sugesta˜o de Leitura para Estudo das Integrais Eulerianas
Spiegel, M.; Wrede, R.C. Theory and Problems of Advanced Calculus. 2a Ed.New
York:McGRAW-HILL, 2002.
34
1.7.5 Exerc´ıcios - Lista 3
Utilize os Teoremas 1.1 e 1.3 para calcular:
1.
Γ(3).Γ(2.5)
Γ(5.5)
.
2.
6Γ
(
8
3
)
5Γ
(
2
3
)
3.
∫ pi
2
0
sen6θdθ.
4.
∫ pi
2
0
cos4θdθ.
5.
∫ pi
2
0
sen4θ cos5 θdθ
6.
∫ pi
2
0
sen3θ cos2 θdθ
7.
∫ 1
0
dx√
−ln(x)
8.
∫ 1
0
x4(lnx)3dx
GABARITO
1.
16
315
2.
4
3
3.
5π
32
4.
3π
16
5.
8
315
6.
3π
8
7.
√
π 8.− 6
625
35
Cap´ıtulo 2
As Coordenadas Polares
Neste cap´ıtulo estudaremos as coordenadas polares e sua relac¸a˜o com as coordenadas cartesianas.
Voceˆ vera´ que as coordenadas polares tornam as equac¸o˜es de algumas curvas mais simples, o que
e´ muito u´til no ca´lculo de algumas integrais mu´ltiplas.
Definic¸a˜o 2.1 Fixada uma origem O e um raio inicial a partir de O. Enta˜o, cada ponto
P (x, y) pode ser localizado associando a ele um par de coordenadas polares (r, θ), no qual r
fornece a distaˆncia orientada de O a P e, θ da´ o aˆngulo entre o eixo x positivo e o segmento OP.
Estendemos o significado das coordenadas polares para r negativo usando: (−r, θ) = (r, θ + π).
36
Exemplo 2.1 Plote os pontos cujas coordenadas polares sa˜o dadas por: A(1, 0), B(−1, 0), C(2, pi
4
),
D(−1, pi
4
), E(2, pi
3
), F (−2, pi
2
) e G(−2,−pi
2
).
2.1 Relac¸o˜es entre coordenadas polares e cartesianas
A relac¸a˜o entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser vista a partir da figura abaixo, na
qual o ponto P possui coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ):
x = rcosθ, y = rsenθ, r2 = x2 + y2, tgθ =
y
x
37
Exemplo 2.2 Converta o ponto (2, pi
3
) de coordenadas polares para cartesianas.
Soluc¸a˜o: Como r = 2 e θ = pi
3
, as relac¸o˜es descritas anteriormente fornecem:
x = r cosθ = 2 cos
π
3
= 2 .
1
2
= 1
y = r senθ = 2 sen
π
3
= 2 .
√
3
2
=
√
3
Portanto, o ponto e´ (1,
√
3) nas coordenadas cartesianas.
Exemplo 2.3 Represente o ponto com coordenadas cartesianas (1,−1) em termos de coordena-
das polares, utilizando as relac¸o˜es estabelecidas.
Soluc¸a˜o: Escolhendo r positivo e usando a relac¸a˜o ja´ estabelecida, temos:
r =
√
x2 + y2 =
√
12 + (−1)2 =
√
2
tg θ =
y
x
= −1
Como o ponto (1,−1) esta´ no quarto quadrante, podemos escolher θ = −π
4
ouθ =
7π
4
.
Enta˜o uma resposta poss´ıvel e´ (
√
2,−pi
4
); e outra e´ (
√
2, 7pi
4
).
2.2 Equac¸o˜es polares e gra´ficos cartesianos
No estudo das integrais duplas as regio˜es com fronteira curvil´ınea descritas por equac¸o˜es car-
tesianas sera˜o descritas por equac¸o˜es polares, utilizando as relac¸o˜es ja´ estabelecidas na sec¸a˜o
anterior. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 2.4 Encontre uma equac¸a˜o polar para:
a) a reta R = {(x, y) : y = x}.
Soluc¸a˜o:
y
x
= 1 =⇒ tg θ = 1 =⇒ θ = π
4
.
Resposta: R =
{
(r, θ) : θ =
π
4
}
.
38
b) a circunfereˆncia C = {(x, y) : x2 + y2 = 1}.
Soluc¸a˜o:
x2 + y2 = 1 =⇒ r2 = 1
Escolhendo r positivo, temos: r = 1.
Resposta: C = {(r, θ) : r = 1}.
c) a circunfereˆncia C = {(x, y) : x2 + (y − 3)2 = 9}.
Soluc¸a˜o:
(r2 cos2θ) + (r senθ − 3)2 = 9 =⇒ r2 cos2θ + r2 sen2θ − 6 r senθ + 9 = 9
=⇒ r2 − 6 r senθ = 0 =⇒ r2 = 6 r senθ
Resposta: C = {(r, θ) : r2 = 6 r senθ} .
Exerc´ıcio 2.1 Substitua as equac¸o˜es polares a seguir por equac¸o˜es cartesianas equivalentes e
construa os gra´ficos associados.
a) A = {(r, θ) : r = 5 cos θ}.
Resposta: A = {(x, y) : x2 + y2 − 5x = 0}.
b) B = {(r, θ) : rcosθ = −4}.
Resposta: B = {(x, y) : x = −4}.
c) C = {(r, θ) : r2 = 4rcosθ}.
Resposta: C = {(x, y) : (x− 2)2 + y2 = 4}.
d) D = {(r, θ) : r2 = 6r senθ}.
Resposta: D = {(x, y) : x2 + (y − 3)2 = 9}.
e) E =
{
(r, θ) : r2 = 2
242
22sen2θ+42cos2θ
}
.
Resposta: E = {(x, y) : x2
22
+ y
2
42
= 1}.
39
2.3 Curvas Polares
O gra´fico de uma equac¸a˜o polar r = f(θ), ou mais genericamente, F (r, θ) = 0, consiste em
todos os pontos P que teˆm pelo menos uma representac¸a˜o (r, θ) cujas coordenadas satisfac¸am a
equac¸a˜o.
Algumas equac¸o˜es envolvendo r e θ podem ser combinadas para definir regio˜es. Veja o exemplo
abaixo.
Exemplo 2.5 R =
{
(r, θ) : 1 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ pi
2
}
e´ uma regia˜o com fronteira circular.
Exibimos a seguir um teste que nos auxiliara´ no esboc¸o gra´fico de curvas polares.
Teste de simetria para gra´ficos polares
1. Um gra´fico polar G descrito por uma equac¸a˜o E e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo x se:
(r, θ) ∈ G =⇒ (r,−θ) ∈ G.
ou ainda, se (r, θ) satisfaz a equac¸a˜o E enta˜o, (r,−θ) satisfaz a equac¸a˜o E tambe´m.
40
2. Um gra´fico polar G descrito por uma equac¸a˜o E e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y se:
(r, θ) ∈ G =⇒ (r, π − θ) ∈ G.
ou ainda,se (r, θ) satisfaz a equac¸a˜o E enta˜o, (r, π − θ) satisfaz a equac¸a˜o E tambe´m.
3. Um gra´fico polar G descrito por uma equac¸a˜o E e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem se:
(r, θ) ∈ G =⇒ (r, θ + π) ∈ G
ou ainda, se (r, θ) satisfaz a equac¸a˜o E enta˜o, (r, θ + π) satisfaz a equac¸a˜o E tambe´m.
Exemplo 2.6 Represente geometricamente as seguintes curvas:
a) r = 1− cosθ
Resoluc¸a˜o:
Primeiro, testaremos as simetrias:
r − 1 + cos(−θ) = r − 1 + cos(θ) = 0 =⇒ (r,−θ) ∈ G
cos(π − θ) 6= cos(θ) =⇒ (r, π − θ) /∈ G
e ainda,
cos(θ + π) 6= cos(θ) =⇒ (r, θ + π) /∈ G
41
Portanto, esta curva e´ sime´trica somente em relac¸a˜o ao eixo x. Logo, basta estudarmos o com-
portamento da curva nos dois primeiros quadrantes, ou seja, 0 ≤ θ ≤ π.
θ 0 π/3 π/2 2π/3 π
1− cosθ 0 1/2 1 3/2 2
b) r = cos2θ
Resoluc¸a˜o:
Primeiro, testaremos as simetrias:
cos(−2θ) = cos(2θ) = r =⇒ (r,−θ) ∈ G
cos(2(π − θ)) = cos(2π − 2θ) = cos(2θ) = r =⇒ (r, π − θ) ∈ G
e ainda,
cos(2(θ + π)) = cos(2θ + 2π) = cos(2θ) = r =⇒ (r, θ + π) ∈ G
Portanto, esta curva e´ sime´trica em relac¸a˜o ao eixo x, ao eixo y e em relac¸a˜o a` origem. Logo,
basta estudarmos seu comportamento no primeiro quadrante, ou seja, 0 ≤ θ ≤ π
2
.
Observe que,
42
• θ = 0 =⇒ r = cos2θ = 1 e,
• θ → π
4
temos r = cos2θ ց 0
• π
4
≤ θ ≤ π
2
=⇒ r = cos2θ ց −1
Usando as simetrias, obtemos:
Uma outra maneira muito eficiente de obter o gra´fico de uma curva polar:
43
1. Fazer uma tabela de valores (θ, r), para r = f(θ)
2. Esboc¸ar o gra´fico cartesiano θ × r,
3. Utilizar o gra´fico cartesiano como um guia para esboc¸ar o gra´fico em coordenadas polares.
θ 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
r = cos(2θ) 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
44
2.4 Utilizando a tecnologia
Estas figuras podem plotadas no software Maple16, carregando inicialmente os pacotes de plo-
tagem with(plots); with(plottools); e usando o comando polarplot. Utilizando a janela de
Ajuda do Maple e digitando polarplot voceˆ pode encontrar va´rios exemplos de curvas polares.
Para os exemplos anteriores, as descric¸o˜es respectivas em Maple sa˜o:
polarplot(1-cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi, axis[radial] = [color = ”Black”]) e,
polarplot(cos(2*theta), theta = 0 .. 2*Pi, axis[radial] = [color = ”Black”]).
Se digitarmos,
polarplot(theta, theta = 0 .. 4*Pi, axis[radial] = [color = ”Black”])
obtemos a figura abaixo:
2.5 Sugesta˜o de Leitura e Estudos
• Leithold, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 1. 3a Ed.. Sa˜o Paulo:
Harbra, 1994. Sec¸o˜es 10.5 e 10.6.
• Stewart, J.; Ca´lculo.Volume 2. 2a Ed.. Sa˜o Paulo: T. Learning, 2012. Sec¸a˜o 10.3.
• Thomas, G.B; Ca´lculo. Volume 2. 12a Ed.. Sa˜o Paulo: Pearson, 2012. Sec¸o˜es 11.3 e
11.4.
45
2.6 Exerc´ıcios - Lista 4
1. Determine a equac¸a˜o polar do gra´fico dada a sua equac¸a˜o cartesiana.
a) x2 + y2 = a2
b) y2 = 4(x+ 1)
c) x2 = 6y − y2
d) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2)
2. Determine a equac¸a˜o cartesiana do gra´fico tendo a sua equac¸a˜o polar.
a) r2 = 2sen(2θ)
b) r2 = cos(θ)
c) r2 = θ
d) rcos(θ) = −1
e) r =
6
2− 3sen(θ)
Nos exerc´ıcios a seguir, esboce o gra´fico das regio˜es dadas em coordenadas polares.
3. a) θ = 2 e b) r = 2
4. a) rcos(θ) = 4 e b) r = 4cos(θ)
5. a) rsen(θ) = 2 e b) r = 2sen(θ)
6. a) r = 1 + sen(θ) e b) r = 2 + 2sen(θ)
7. a) r = 1 + cos(θ) e b) r = 2 + 2cos(θ)
8. r2 = 4cos(2θ)
9. r = 4sen(2θ)
10. Dada a equac¸a˜o (x2 + y2)2 = 8xy, escreva a equac¸a˜o na forma polar.
11. Determine a equac¸a˜o polar do gra´fico cuja equac¸a˜o cartesiana e´ x2 + y2 − 4x = 0.
46
GABARITO - LISTA 4
1.a |a| 1.b r = 2
1− cos(θ) 1.c r = 6sen(θ) 1.d r
2 = 4cos(2θ)
2.a (x2 + y2)2 = 4xy 2.b (x2 + y2)3 = x2 2.c y = xtg(x2 + y2) 2.d x = −1
2.e 4x2 − 5y2 − 36y − 36 = 0 10. r2 = 4sen(2θ) 11. r = 0 ou r = 4cos(θ)
47
2.7 A´reas e Comprimentos em Coordenadas Polares
Para ana´lise da a´rea de uma regia˜o cuja fronteira e´ dada por uma equac¸a˜o polar, precisamos
primeiramente relembrar que a´rea AS de um setor circular, pode ser deduzida por regra de treˆs
simples, envolvendo as a´reas relacionadas, AC e AS, e a medida em radianos do aˆngulo
central, que e´ 2 π rad para a´rea AC do c´ırculo e θ rad no setor circular de a´rea AS,. Veja:
2 π rad ←→ AC = π r2
θ rad ←→ AS
Portanto, a a´rea do setor circular e´ dada por: AS =
1
2
r2 θ.
Considere enta˜o, a regia˜o R ilustrada abaixo, limitada pela curva polar r = f(θ) r pelos retas
θ = a e θ = b, onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua e 0 ≤ b− a ≤ 2π.
Dividimos o intervalo [a, b] em subintervalos θ0, θ1, θ2, . . . , θn e larguras iguais a ∆θ. As retas
θ = θi dividem R em n regio˜es menores com aˆngulo central ∆θ = θi − θi−1.
48
Se escolhermos θ∗i no i-e´simo subintervalo [θi−1, θi], enta˜o a a´rea, enta˜o a a´rea ∆Ai da i-e´sima
regia˜o sera´ aproximada pela a´rea do setor de um c´ırculo com aˆngulo central ∆θ e raio f(θ∗i ).
Usando enta˜o, a fo´rmula para a´rea do setor circular deduzida anteriormente, temos:
∆Ai ≈ 1
2
[f(θ∗i )]
2.∆θ
e, assim, uma aproximac¸a˜o para a´rea A de R e´:
A =
n∑
i=1
1
2
[f(θ∗i )]
2.∆θ
Observamos que, esta aproximac¸a˜o melhora quando n→∞, ou seja,
A = lim
n→∞
n∑
i=1
1
2
[f(θ∗i )]
2.∆θ =
∫ b
a
1
2
[f(θ)]2dθ
Portanto, para o ca´lculo da a´rea A da regia˜o R limitada pelafunc¸a˜o cont´ınua r = f(θ) e pelas
retas θ = a e θ = b usamos a seguinte fo´rmula:
A =
∫ b
a
1
2
r2dθ, sendo r = f(θ) cont´ınua em [a, b].
49
Exemplo 2.7 Considere o c´ırculo de raio r = 2 representado pela regia˜o:
C = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Pela fo´rmula deduzida anteriormente, temos:
AC =
∫ 2pi
0
1
2
r2dθ =
∫ 2pi
0
1
2
22dθ = 4
∫ 2pi
0
1
2
dθ = 4
1
2
θ|2pi0 = 4π = π.22 = π r2
Exemplo 2.8 Para o ca´lculo da a´rea limitada por um lac¸o da rosa´cea de quatro pe´talas dada
no exemplo 2.6(b), observamos a figura:
A regia˜o e´ limitada pelo lac¸o direito r = cos(2θ) e pelas retas θ = −pi
4
ate´ θ = pi
4
. Dessa
50
forma, empregando a fo´rmula deduzida anteriormente, temos:
A =
∫ pi
4
−pi
4
1
2
r2dθ =
∫ pi
4
−pi
4
1
2
cos2(2θ)dθ =
∫ pi
4
0
cos2(2θ)dθ
Usando a Mudanc¸a de Varia´vel u = 2θ e a Parte (2) do Teorema 1.3 resulta:∫ pi
4
0
cos2(2θ)dθ =
1
2
∫ pi
2
0
cos2(u)du =
1
2
∫ pi
2
(sen(u))0.(cos(u))2du =
1
2
[
1
2
β
(
1
2
,
3
2
)]
,
pois,
2m− 1 = 0 ⇒ 2m = 1 ⇒ m = 1
2
2n− 1 = 2 ⇒ 2n = 3 ⇒ m = 3
2
Portanto, usando o Teorema 1.4 conclu´ımos:
A =
1
2
[
1
2
β
(
1
2
,
3
2
)]
=
1
4
Γ(1
2
).Γ(3
2
)
Γ(1)
=
1
4
.
√
π.
√
π
2
=
π
8
.
Exemplo 2.9 Para regia˜o R =
{
(r, θ) : 1 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ pi
2
}
definida no exemplo 2.5 te-
mos:
AR =
∫ pi
2
0
1
2
f(θ)2dθ −
∫ pi
2
0
1
2
g(θ)2dθ =
∫ pi
2
0
1
2
[f(θ)2 − g(θ)2]dθ =
1
2
∫ pi
2
0
[22 − 12]dθ = 1
2
∫ pi
2
0
[4− 1]dθ = 31
2
θ|
pi
2
0 =
3π
4
=
1
4
[AC2 − AC1 ]
O Exemplo 2.9 ilustra o procedimento para encontrar a a´rea da regia˜o limitada por duas
curvas polares. Em geral, se R e´ uma regia˜o, limitada pelas curvas r = f(θ), r = g(θ),
a = θ, b = θ, com f(θ) ≥ g(θ) ≥ 0 e 0 < b − a ≤ 2π. A a´rea A da regia˜o R e´ calculada
pela subtrac¸a˜o da a´rea dentro de r = g(θ) da a´rea dentro de r = f(θ), ou seja:
A =
∫ b
a
1
2
f(θ)2dθ −
∫ b
a
1
2
g(θ)2dθ =
1
2
∫ b
a
(
[f(θ)]2 − [g(θ)]2) dθ
51
Exerc´ıcio 2.2 Calcule a a´rea da regia˜o que esta´ dentro do c´ırculo r = −3cosθ e fora da cardio´ide
r = 1− cos(θ).
Resposta: A = pi.
2.8 Sugesta˜o de Leitura e Estudos
• Leithold, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 1. 3a Ed.. Sa˜o Paulo:
Harbra, 1994. Sec¸a˜o 10.7.
• Stewart, J.; Ca´lculo.Volume 2. 2a Ed.. Sa˜o Paulo: T. Learning, 2012. Sec¸a˜o 10.4.
• Thomas, G.B; Ca´lculo. Volume 2. 12a Ed.. Sa˜o Paulo: Pearson, 2012. Sec¸a˜o 11.5.
52
2.9 Exerc´ıcios - Lista 5
1. Ache a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico da equac¸a˜o dada:
a) r = 3cosθ
b) r = 4cos(3θ)
2. Ache a a´rea da regia˜o que e´ limitada pelas curvas dadas e esta´ no setor especificado.
a) r = senθ, 0 ≤ θ ≤ pi
4
b) r = θ, 0 ≤ θ ≤ π
3. Esboce a curva e calcule a a´rea limitada por ela.
a) r = 2cos(3θ)
b) r2 = 4cos(2θ)
4. Encontre a a´rea da regia˜o dentro de um lac¸o da curva:
a) r = sen(2θ)
b) r = 1 + 2sen(θ) (lac¸o interno)
c) r = 3cos(2θ)
5. Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
a) r = 2cos(θ), r = 1
b) r = 4sen(θ), r = 2
c) r = 3cos(θ), r = 1 + cos(θ)
GABARITO - LISTA 5
1.a
9
4
π 1.b 4π 2.a
π
12 + 1
8
√
3
2.b
π3
6
3.a π 3.b 4 4.a
1
8
π 4.b π − 3
2
√
3 4.c
9
8
π
5.a
1
3
π +
1
2
√
3 5.b 4
π
3
+ 2
√
3 5.c π
53
Cap´ıtulo 3
A Topologia dos Espac¸os Reais
n-Dimensionais
3.1 Introduc¸a˜o
No Ca´lculo I e´ feita uma ana´lise pre´via da reta (propriedades dos nu´meros reais e ana´lise de
intervalos descritos por inequac¸o˜es) para enta˜o definir as func¸o˜es reais, limite, derivada e integral.
No caso bidimensional (em R2) ou mesmo no caso n-dimensional, sera´ utilizado o mesmo
procedimento: primeiro analisaremos os subconjuntos de R2(ou de Rn) para enta˜o definirmos as
func¸o˜es z = f(x, y) ou f(x1, x2, ..., xn) e darmos a noc¸a˜o de limite, derivada e integral de uma
func¸a˜o de duas ou mais varia´veis reais.
Portanto neste cap´ıtulo sera˜o apresentadas as seguintes noc¸o˜es topolo´gicas:
• regia˜o D no espac¸o n-dimensional;
• pontos interiores, exteriores ou pontos de fronteira de uma regia˜o D.
• regia˜o limitada, regia˜o fechada e regia˜o aberta.
3.2 O espac¸o euclidiano n-dimensional Rn
Definic¸a˜o 3.1 Se n e´ um nu´mero inteiro positivo, dizemos que uma sequeˆncia (x1, x2, ..., xn)
de nu´meros reais e´ uma n-upla ordenada e o espac¸o euclidiano n-dimensional e´ dado
por:
R
n = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}
54
Para n = 2, obtemos o espac¸o bidimensional R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}, tambe´m dito plano
cartesiano.
x
y
(x, y)
Para n = 3, obtemos o espac¸o tridimensional R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
No curso de A´lgebra Linear definimos duas operac¸o˜es ba´sicas em Rn :
a soma: u+ v = (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn),
o produto por escalar: k.u = k.(x1, x2, ..., xn) = (k.x1, k.x2, ..., k.xn)
que fazem de Rn um espac¸o vetorial.
Para darmos noc¸o˜es euclidianas (geome´tricas) a Rn definimos:
• o produto interno: < u, v >= x1.y1 + x2.y2 + ...+ xn.yn
• a norma de um vetor n-dimensional: ‖u‖ = √< u, u > e,
• a distaˆncia: d(u, v) = ‖u− v‖ .
Os subconjuntos de Rn sera˜o chamados de regio˜es e sera˜o denotados por D ⊂ Rn pois,
posteriormente sera˜o tomados como o domı´nio D de uma func¸a˜o de va´rias varia´veis. Para
55
representac¸a˜o geome´trica das regio˜es de R2 ou de R3 utilizaremos as noc¸o˜es dadas no curso de
Geometria Anal´ıtica.
3.3 Regio˜es limitadas em Rn.
Na reta real, se D e´ um conjunto limitado (|x| ≤ k, ∀ x ∈ D) enta˜o D esta´ contido em um
intervalo fechado I = [−k, k], pois −k ≤ x ≤ k, ∀ x ∈ D.
Generalizamos o conceito de conjunto limitado D ⊂ Rn usando a noc¸a˜o de bola aberta
B(a; r), bola fechada B[a; r] e esfera S[a; r] de centro a e raio r.
Definic¸a˜o 3.2 Dados o ponto a ∈ Rn e o nu´mero real r > 0. A bola aberta de centro a e raio
r e´ o conjunto:
B(a; r) = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}.
Para n = 1, a bola aberta de centro x0 e raio r e´ dada por:
B(x0; r) = {x ∈ R : |x− x0| < r} = {x ∈ R : −r < x− x0 < r}
B(x0; r) = {x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r} =]x0 − r, x0 + r[
Portanto,em R a bola aberta de centro x0 e raio r e´ um intervalo aberto.
Para n = 2, a bola aberta de centro (x0, y0) e raio r e´ dada por:
B((x0, y0); r) = {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r}.
Portanto,em R2 a bola aberta de centro (x0, y0) e raio r e´ constitu´ıda dos pontos ”internos”do
c´ırculo de centro (x0, y0) e raio r.
56
Definic¸a˜o 3.3 Dados o ponto a ∈ Rn e o nu´mero real r > 0. A bola fechada de centro a e
raio r e´ o conjunto:
B[a; r] = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ ≤ r}.
Para n = 1, a bola aberta de centro x0 e raio r e´ dada por:
B(x0; r) = {x ∈ R : |x− x0| ≤ r} = {x ∈ R : −r ≤ x− x0 ≤ r}
B(x0; r) = {x ∈ R : x0 − r ≤ x ≤ x0 + r} = [x0 − r, x0 + r]
Portanto,em R a bola fechada de centro x0 e raio r e´ um intervalo fechado.
Para n = 2, a bola fechada de centro (x0, y0) e raio r e´ dada por:
B((x0, y0); r) = {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ ≤ r}.
Portanto,em R2 a bola fechada de centro (x0, y0) e raio r e´ o c´ırculo de centro (x0, y0) e raio r.
Por sua vez definimos a esfera de centro a e raio r da seguinte forma:
Definic¸a˜o 3.4 Dados o ponto a ∈ Rn e o nu´mero real r > 0. A esfera de centro a e raio r e´
o conjunto:
S[a; r] = {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}.
Exerc´ıcio 3.1 Represente a esfera de centro a e raio r em R, em R2 e em R3.
Agora enta˜o podemos dar a noc¸a˜o de conjunto limitado em Rn.
57
Definic¸a˜o3.5 Um conjunto D ⊂ Rn e´ dito limitado quando esta´ contido em alguma bola
fechada B[a; r].
Observe que sendo D limitado temos:
D ⊂ B[a; r] ⊂ B[~0, k], k = r + ‖a‖
⇒ X ⊂ B[~0, k] ⇒ ‖x‖ ≤ k, ∀ x ∈ D.
Portanto podemos reformular a definic¸a˜o 3.5 da seguinte maneira:
D ⊂ Rn e´ dito limitado se, ‖x‖ ≤ k, ∀ x ∈ D.
Observac¸a˜o 3.1 O domı´nio das func¸o˜es que sera˜o tratadas no Cap´ıtulo 4 em alguns casos sera˜o
regio˜es limitadas. As regio˜es limitadas tambe´m sera˜o analisadas como domı´nio de integrac¸a˜o no
Cap´ıtulo 7.
Definic¸a˜o 3.6 Seja D ⊂ Rn. Dizemos que a = (x1, x2, ..., xn) ∈ D e´ ponto interior de D se
existir uma bola aberta de centro a e raio r contida em D.
O conjunto dos pontos interiores de D sera´ representado pela notac¸a˜o intD e chama-se
interior de D.
58
O conjunto D e´ dito aberto se D = intD.
Exemplo 3.1 O conjunto vazio e´ um conjunto aberto (por definic¸a˜o).
Exemplo 3.2 R2 e´ um conjunto ilimitado e aberto.
Exemplo 3.3 Toda bola aberta e´ um conjunto aberto.
Exemplo 3.4 Seja A = {(x, y) ∈ R2/ x ≥ 0 e y ≥ 0} na˜o e´ um conjunto aberto.
Observe que todo (x, y), com x > 0 e y > 0, e´ ponto interior de A.
No entanto,todo (x, y), com x = 0 ou y = 0, na˜o e´ ponto interior de A.
Portanto, intA = {(x, y) ∈ R2/ x > 0 e y > 0}.
Como intA 6= A, podemos concluir que A na˜o e´ aberto.
Definic¸a˜o 3.7 Seja A ⊂ Rn. Um ponto P ∈ Rn e´ dito um ponto de fronteira de A se toda bola
aberta centrada em P contiver pontos de A e pontos que na˜o esta˜o em A.
Os conjunto de todos os pontos de fronteira do conjunto A e´ chamado fronteira de A e e´
denotado por ∂ A.
Se todos os pontos da fronteira de A pertencem a A, dizemos que A e´ fechado.
59
Exemplo 3.5 Seja A = {(x, y) ∈ R2/ x > 2}.
Pela ana´lise geome´trica, observamos que ∂ A = {(x, y) ∈ R2/ x = 2}.
Portanto, A na˜o e´ fechado.
Exemplo 3.6 Em R2, a bola fechada de centro (x0, y0) e raio r e´ um conjunto fechado.
Para posteriormente definirmos o limite de uma func¸a˜o f(x, y) quando (x,y) tende a
a = (a1, a2) necessitamos da noc¸a˜o de ponto de acumulac¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.8 Seja D ⊂ Rn. Um ponto a ∈ Rn chama-se ponto de acumulac¸a˜o do conjunto
D quando toda bola aberta de centro a conte´m algum ponto de D, diferente de a. Noutros termos,
para todo r > 0, deve existir x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ ≤ r.
O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de D sera´ representado pela notac¸a˜o D, e chama-se
conjunto derivado de D.
60
Exemplo 3.7 Para D = R2, todo ponto de D e´ ponto de acumulac¸a˜o, portanto, D, = R2.
Exemplo 3.8 Para D = {(x, y) ∈ R2/ y = x+ 2} temos, D, = D.
Exemplo 3.9 Para D = {( 1
n
, 0) ∈ R2/ n ∈ N} temos, D, = {(0, 0)}.
3.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudos
• Guidorizzi, H. L. Um Curso de Ca´lculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
• Leithold, L.; O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 2. 3a Ed.. Sa˜o Paulo:
Harbra, 1994. Sec¸a˜o 16.2.
• Thomas, G.B; Ca´lculo. Volume 2. 12a Ed.. Sa˜o Paulo: Pearson, 2012. Sec¸a˜o 14.1.
61
3.5 Exerc´ıcios - Lista 6
1. Represente geometricamente D em R2 e identifique os conjuntos abertos, sendo:
a) D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4}
b) D = {(x, y) : x2 + y2 < 4}
c) D = {(x, y) : x > 0 e y > 0}
d) D = {(x, y) : x ≥ 0 e y ≥ 0}
e) D = {(x, y) : y = 2x+ 1}
f) D = {(x, y) : x2 + y2 + z2 = 4}
g) R2 −B[a, r], sendo a = (2, 3) e r = 2.
2. Represente geometricamente o conjunto D e determine D,.
a) D = {(1, 2), (−1, 0), (1, 3)}
b) D = {(x, y) : x > 0 e y > 0}
c) D = {( 1
n
, 1) : n ∈ N}
d) D = B(a, r), sendo a = (1, 2) e r = 2.
3. Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R2. Identificar os conjuntos abertos.
a) A = {(x, y) ∈ R2/ x2 − 4x+ y2 < 0}
b) B = {(x, y) ∈ R2/ x2 − 4x+ y2 ≥ 0}
c) C = {(x, y) ∈ R2/ |y| < 3}
4. Seja A = {(x, y) ∈ R2/ 2 < x < 3 e − 1 < y < 1}.
a) Representar graficamente o conjunto A, identificando se A e´ aberto.
b) Determinar a fronteira de A
5. Dar a fronteira dos seguintes subconjuntos do R2. Representar graficamente.
a) A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 < 4}
b) A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 ≤ 4}
c) A = {(x, y) ∈ R2/ 4x2 + y2 < 4}
d) A = {(x, y) ∈ R2/ y > 1
x
}
62
6. Classificar as afirmac¸o˜es em verdadeira ou falsa, justificando sua escolha com interpretac¸a˜o
geome´trica em cada caso.
a) P (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o do conjunto A = {(x, y) ∈ R2/ y > x}
b) Os pontos P (0, 4) e Q(2, 2) pertencem a` fronteira do conjunto
B = {(x, y) ∈ R2/ y > 4− x2}
c) P (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o da bola aberta B((0, 0), r), qualquer que seja r > 0.
d) Toda bola aberta e´ um conjunto aberto.
e) R2 e´ um conjunto aberto.
f) O conjunto {(x, y) ∈ R2/ x e y s~ao racionais } na˜o tem ponto de acumulac¸a˜o.
g) Todos os pontos de um conjunto aberto A sa˜o pontos de acumulac¸a˜o de A.
h) Se A e´ um conjunto aberto, nenhum ponto da fronteira de A pertence a A.
63
GABARITO - LISTA 6
1.a) D na˜o e´ aberto, 1.b) D e´ aberto,
1.c) D e´ aberto, 1.d) D na˜o e´ aberto,
1.e) D na˜o e´ aberto, 1.f) D na˜o e´ aberto,
1.g) D e´ aberto.
2.a) D, e´ vazio.
2.b) D, = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}
2.c) D, = {(0, 1)}
2.d) D, = B[a, r]
3.a) A e´ aberto 3.b) B na˜o e´ aberto, 3.b) C e´ aberto
4.a)A e´ aberto,
4.b) A fronteira de A e´ o retaˆngulo dos ve´rtices (2, 1), (3, 1), (3,−1) e (2,−1)
5.a)circunfereˆncia de raio 2, centrada em (0, 0)
5.b)circunfereˆncia de raio 2, centrada em (0, 0)
5.c) elipse centrada em (0, 0) e semi-eixos 1 e 2 paralelos aos eixos coordenados x e y,
respectivamente.
5.d) gra´fico da hipe´rbole y = 1
x
unido com o eixo dos y
6.a) Verdadeiro 6.b) Falso 6.c) Verdadeiro 6.d) Verdadeiro 6.e) Verdadeiro
6.f) Falso 6.g) Verdadeiro 6.h) Verdadeiro.
64
Cap´ıtulo 4
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Reais
4.1 Introduc¸a˜o
Nesta sec¸a˜o, definiremos func¸o˜es de mais de uma varia´vel independente e discutiremos formas
de representa´-las graficamente.
As func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais independentes sa˜o definidas da mesma forma que
as func¸o˜es de uma varia´vel. Os pontos no domı´nio sa˜o pares ordenados (triplas, qua´druplas, n-
uplas) de nu´meros reais, e os valores na imagem sa˜o nu´meros reais como trabalhado no Ca´lculo
I. Mas, diferentemente do Ca´lculo I, a representac¸a˜o gra´fica de uma func¸a˜o z = f(x, y) e´ feita
no espac¸o tridimensional.
Definic¸a˜o 4.1 Suponha D um subconjunto de R2. Uma func¸a˜o f de duas varia´veis em D e´
uma regra que associa a cada par ordenado de nu´meros reais (x, y) ∈ D um u´nico valor real
denotado por:
z = f(x, y)
65
O conjunto D e´ o domı´nio de f , ou seja,
Df = D,
e sua imagem e´ o conjunto de valores poss´ıveis de f , ou seja,
Imf = {f(x, y) ∈ R/ (x, y) ∈ Df}.
As varia´veis x, y sa˜o chamadas de varia´veis de entrada e/ou varia´veis independentes.
Ja´, a varia´vel de sa´ıda da func¸a˜o z e´ a varia´vel dependente.
Observac¸a˜o 4.1 Se a func¸a˜o f e´ dada por sua fo´rmula e seu domı´nio na˜o e´ especificado, fica
entendido como domı´nio de f o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressa˜o fornece
um nu´mero real bem definido.
Exemplo 4.1 Seja f a func¸a˜o de duas varia´veis reais a valores reais dada por
f(x, y) =
x+ y
x− y .
Esta func¸a˜o transforma o (x, y) no nu´mero real x+y
x−y .
a) Determine Df .
b) Calcule f(2, 3).
c) Calcule f(a+ b, a− b).
Resoluc¸a˜o: a) Df = {(x, y) : x− y 6= 0} = {(x, y) : x 6= y}
b) f(2, 3) = 2+3
2−3 =
5
−1 = −5.
c) f(a+ b, a− b) = 2a
2b
= a
b
.
66
Exemplo 4.2 Determine e represente graficamente o domı´nio da func¸a˜o f dada por
f(x, y) =
√
y − x+√1− y.
Resoluc¸a˜o:
Df = {(x, y) : y − x > 0, 1− y > 0} = {(x, y) : y > x , y < 1}
Exerc´ıcio 4.1 Determine o domı´nio e a imagem das seguinte func¸o˜es.
a) f(x, y) =
√
9− x2 − y2
b) f(x, y) =
√
xy
c) f(x, y) = ln(x+ y)d) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2)
e)f(x, y) = 1 + x2
f)f(x, y) = sen(x).
g) f(x, y) =
1
xy − 1 +
1
y + 1
Definic¸a˜o 4.2 Uma func¸a˜o com treˆs varia´veis, f , e´ uma regra que associa a cada tripla orde-
nada (x, y, z) em um domı´nio D ⊂ R3 um u´nico nu´mero real denotado por f(x, y, z).
Exemplo 4.3 Determine o domı´nio de f(x, y, z) = ln(z − y) + xy.sen(z)
Resoluc¸a˜o: Df = {(x, y, z) : z − y > 0} = {(x, y, z) : z > y}
67
4.2 Func¸o˜es de n varia´veis
Podemos considerar func¸o˜es com qualquer nu´mero de varia´veis.
Definic¸a˜o 4.3 Uma func¸a˜o com n varia´veis e´ uma regra que associa um u´nico nu´mero real
z = f(x1, x2, . . . , xn) a n-upla (x1, x2, . . . , xn) de nu´meros reais.
Por exemplo, se uma fa´brica de alimentos usa n ingredientes diferentes para manufaturar um
determinado alimento, o custo total dos ingredientes e´ uma func¸a˜o de n varia´veis x1, x2, . . . , xn :
C = f(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn
e´ uma func¸a˜o real cujo domı´nio e´ um subconjunto de Rn.
Exemplo 4.4 Fac¸a uma representac¸a˜o gra´fica do domı´nio da func¸a˜o
f(x, y, z) =
√
16− x2 − y2 − z2.
Resoluc¸a˜o:
4.3 Curvas de Nı´vel e Gra´ficos
Da mesma forma que no estudo das func¸o˜es de uma varia´vel, a noc¸a˜o de gra´fico desempenha um
papel importante no estudo das func¸o˜es de va´rias varia´veis. Isso ocorre principalmente para as
func¸o˜es de duas varia´veis, cujo gra´fico, em geral, representa uma superf´ıcie no espac¸o tridimen-
sional.
Em vista disso, quando se pretende ter uma visa˜o geome´trica da func¸a˜o, lanc¸a-se ma˜o de
suas curvas de n´ıvel, cuja representac¸a˜o geome´trica e´ sempre mais fa´cil de ser obtida do que o
gra´fico da func¸a˜o.
68
Definic¸a˜o 4.4 Seja k um nu´mero real. Uma curva de n´ıvel, Ck, de uma func¸a˜o z = f(x, y) e´
o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ Df , tais que f(x, y) = k. Assim, f e´ constante sobre cada
curva de n´ıvel.
Notac¸a˜o: Ck = {(x, y) ∈ Df/f(x, y) = k}.
Observac¸a˜o 4.2 Cada curva de n´ıvel f(x, y) = k e´ a projec¸a˜o, sobre o plano xy, da intersecc¸a˜o
do gra´fico de f com o plano horizontal z = k.
Exemplo 4.5 Dado f(x, y) =
√
x2 + y2, as curvas de n´ıvel de f sa˜o dadas por:
C1 = {(x, y) ∈ Df/
√
x2 + y2 = 1} = {(x, y) ∈ Df/x2 + y2 = 12} =.
C2 = {(x, y) ∈ Df/
√
x2 + y2 = 2} = {(x, y) ∈ Df/x2 + y2 = 22} =.
C3 = {(x, y) ∈ Df/
√
x2 + y2 = 3} = {(x, y) ∈ Df/x2 + y2 = 32} =.
Ck = {(x, y) ∈ Df/
√
x2 + y2 = k} = {(x, y) ∈ Df/x2 + y2 = k2} =.
Portanto, obtemos um conjunto de circunfereˆncias, representadas abaixo:
Definic¸a˜o 4.5 O conjunto dos pontos (x, y, z) no espac¸o onde uma func¸a˜o de treˆs varia´veis
independentes tem um valor constante f(x, y, z) = c e´ chamado de superf´ıcie de n´ıvel de f.
Em func¸o˜es de mais varia´veis, fica imposs´ıvel desenhar os ”espac¸os de n´ıvel”
Exerc´ıcio 4.2 Determine superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
Agora, definiremos o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis.
69
Definic¸a˜o 4.6 O gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis z = f(x, y) e´ o conjunto de todos os
pontos (x, y, z) ∈ R3, tais que (x, y) ∈ Df e z = f(x, y), ou seja,
Gf = {(x, y, z) ∈ R3/z = f(x, y), (x, y) ∈ Df}.
Exemplo 4.6 Dada a equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = a2, a ∈ R∗+, que representa uma esfera de raio a,
centrada na origem, definir func¸o˜es de duas varia´veis que representem hemisfe´rios.
Resoluc¸a˜o:
Podemos explicitar a varia´vel z, obtendo func¸o˜es da forma z = z(x, y). Temos, enta˜o, duas
func¸o˜es
z1 =
√
a2 − x2 − y2
z2 = −
√
a2 − x2 − y2
que representam o hemisfe´rio superior e inferior, respectivamente.
70
Analogamente, podemos definir
y1 =
√
a2 − x2 − z2
y2 = −
√
a2 − x2 − z2
que representam o hemisfe´rio a` direita e o hemisfe´rio a` esquerda, respectivamente.
O hemisfe´rio da frente e o de tra´s sa˜o definidos, respectivamente, por
x1 =
√
a2 − y2 − z2
x2 = −
√
a2 − y2 − z2.
Observac¸a˜o 4.3 1. O gra´fico de f : D ⊂ R2 −→ R e´ um subconjunto do R3. Uma curva de
n´ıvel e´ um subconjunto do domı´nio de f , portanto, do R2.
2. Para obtermos uma visualizac¸a˜o do gra´fico de f podemos trac¸ar diversas curvas de n´ıvel e
imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente.
Exemplo 4.7 1. Dado f(x, y) =
√
x2 + y2, determine:
a) Df e Imf .
71
b) Desenhe as curvas de n´ıvel.
c) Esboce o gra´fico.
2. Dado f(x, y) = x2 + y2, determine:
a) Df e Imf .
b) Desenhe as curvas de n´ıvel.
c) Esboce o gra´fico.
3. Dado f(x, y) = 1
x2+y2
, determine:
a) Df e Imf .
b) Desenhe as curvas de n´ıvel.
c) Esboce o gra´fico.
72
Observac¸a˜o 4.4 A representac¸a˜o geome´trica do gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis na˜o
e´ tarefa fa´cil.
Exemplo 4.8 As figuras abaixo apresentam os gra´ficos de algumas func¸o˜es de duas varia´veis.
73
Exerc´ıcio 4.3 Desenhe as curvas de n´ıvel das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = 6− 3x− 2y
b) f(x, y) = x2 + y2
c) f(x, y) = 8− x2 − 2y
Exerc´ıcio 4.4 Fac¸a a representac¸a˜o geome´trica do gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = 3
b) f(x, y) = 6− 3x− 2y
c) f(x, y) = x2 + y2
d) f(x, y) = −x2 − y2
e) f(x, y) =
√
9− x2 − y2
1. Para consultar as respostas dos exerc´ıcios propostos, pesquise as refereˆncias das quais
os exerc´ıcios foram selecionados:
4.4 Sugesta˜o de Leitura e Estudos
• Stewart,J.,Ca´lculo. Volume 2. 5aEd.. Sa˜o Paulo:Thompson Learning, 2006.Cap´ıtulo
14.
• Thomas, G.B; Ca´lculo. Volume 2. 12a Ed.. Sa˜o Paulo: Pearson, 2012. Cap´ıtulo 14.
74
4.5 Exerc´ıcios - Lista 7
I- Determine o domı´nio de f e estipule a imagem de f, sendo:
1. f(x, y) = x2e3xy
2. f(x, y, z) = e
√
z−x2−y2
3. f(x, y) = ln(25− x2 − y2 − z2)
II- Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o.
4. f(x, y) =
√
x+
√
y
5. f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
6. f(x, y) =
x− 3y
x+ 3y
7. f(x, y) =
3x+ 5y
x2 + y2 − 4
8. f(x, y) =
√
y − x . ln(y + x)
9. f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
10. f(x, y) +
√
y − x− 2
11. f(x, y) =
(x− 1)(y + 2)
(y − x)(y − x2)
12. f(x, y) =
√
(x2 − 4)(y2 − 9)
13. f(x, y) =
1
ln(4− x2 − y2)
III- Esboce o gra´fico da func¸a˜o dada.
14. f(x, y) = y
15. f(x, y) = 1− x− y
16. f(x, y) = cos(x)
17. f(x, y) = 1− x2
18. f(x, y) = 3− x2 − y2
19. f(x, y) = 4x2 + y2 + 1
20. f(x, y) =
√
16− x2 − 16y2
21. f(x, y) =
√
x2 + y2
75
IV- Fac¸a um esboc¸o de 04 curvas de n´ıvel da func¸a˜o:
22. f(x, y) = xy
23. f(x, y) = x2 − y2
24. f(x, y) = y − ln(x)
25. f(x, y) =
√
x+ y
26. f(x, y) = x− y2
27. f(x, y) = x+ y − 1
28. f(x, y) = y − x
29. f(x, y) = 4x2 + 9y2
30. f(x, y) = 16− x2 − y2
31. f(x, y) =
1√
16− x2 − y2
32. f(x, y) = ln(x2 + y2)
33. f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1)
34. f(x, y) = ln(9− x2 − y2)
V- Utilize o Exemplo 4.8 para realizar a classificac¸a˜o exigida abaixo:
35. Fac¸a uma classificac¸a˜o dos parabolo´ides (el´ıpticos ou circulares) indicando tambe´m se
houve translac¸a˜o com relac¸a˜o a um dos eixos. Para tanto, esboce treˆs curvas de n´ıvel e fac¸a a
representac¸a˜o gra´fica de:
a) z = 2x2 + 2y2
b) z = −2x2 − 2y2
c) z = x2 + y2 + 1
d) z = x2 + y2 − 1
e) z = 1− x2 − y2
f) z = (x− 1)2 + (y − 2)2
g) z = 1− (x− 1)2 − (y − 2)2
h) z = x2 + 2y2
76
VI- Esboce curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o:
36. f(x, y) = x2 + 9y2
37. f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2
38. f(x, y) = y2
39. f(x, y) =
√
y
40. f(x, y) = 4− x2 − y2
41. f(x, y) = 4x2 + y2
42. f(x, y) =
√
x2 + y2 + 4
43. f(x, y) =
√
x2 + y2 − 4
VII- Aplique o estudo das curvas de n´ıvel na situac¸a˜o descrita abaixo:
44. Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T (x, y) no ponto
(x,y). as curvas de n´ıvel deT sa˜o chamadas isote´rmicas porque todos os pontos em uma
isote´rmica teˆm a mesma temperatura. Fac¸a o esboc¸o de algumas isote´rmicas
se a func¸a˜o temperatura for dada por:
T (x, y) =
100
1 + x2 + 2y2
VII- Esboce, separadamente, 03 superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o:
45. f(x, y, z) = x+ 3y + 5z
46. f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2
47. f(x, y, z) = x2 − y2 + z2
48. f(x, y, z) = x2 + y2
49. f(x, y, z) = x2 − y2
50. f(x, y, z) = y2 + z2
OBSERVAC¸O˜ES IMPORTANTES:
1. Para consultar as respostas dos exerc´ıcios propostos, pesquise as refereˆncias da Sugesta˜o
de Leitura e Estudos.
2. Utilize o software Maple16 para ana´lise dos gra´ficos e das curvas de n´ıvel.
3. DATA DA ENTREGA DA RESOLUC¸A˜O DOS EXERCI´CIOS:
15 e 16 DE AGOSTO.
77
Cap´ıtulo 5
Limite e Continuidade em Espac¸os
n-Dimensionais
5.1 Introduc¸a˜o
O objetivo deste cap´ıtulo e´ verificar se dado um ponto de acumulac¸a˜o (a, b) ( fronteira ou interior
do domı´nio de f) existe um u´nico nu´mero real L tal que os valores das imagens f(x, y) ficam
muitos pro´ximos de L quando os pontos do domı´nio (x, y) se aproximam do ponto de acumulac¸a˜o
(a, b) por qualquer caminho contido no domı´nio da func¸a˜o f. Portanto, se o limite L existir
poderemos obter valores f(x, y) ta˜o pro´ximos de L quanto desejarmos, desde que tomemos (x, y)
suficientemente pro´ximos de (a, b).
5.2 Limite de func¸a˜o de va´rias varia´veis
Definic¸a˜o 5.1 Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis e (a, b) um ponto de acumulac¸a˜o (fronteira
ou interior) do domı´nio D. Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) e´ L e
78
escrevemos:
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
se para todo nu´mero ǫ existir um nu´mero correspondente δ > 0 tal que |f(x, y)− L| < ǫ sempre
que (x, y) ∈ D e ‖(x, y)− (a, b)‖ < δ.
Sucintamente, em notac¸a˜o matema´tica temos:
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L ⇐⇒ ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 talque : ‖(x, y)− (a, b)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− L| < ǫ
Observac¸a˜o 5.1 A definic¸a˜o de limite aplica-se tanto a pontos de fronteira como a pontos
interiores do domı´nio de f. A u´nica exigeˆncia e´ que (a, b) seja ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio
D, ou seja, existem infinitos pontos (x, y) ∈ D nas proximidades de (a, b). E como para func¸o˜es
reais podemos observar que, lim
(x,y)→(a,b)
x = a; lim
(x,y)→(a,b)
y = b e lim
(x,y)→(a,b)
k = k, ∀ k ∈ R.
Teorema 5.1 (Propriedades dos limites de func¸o˜es de duas varia´veis)
Sejam L,M e k nu´meros reais e lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L e lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y) = M. Enta˜o, as
seguintes regras sa˜o verdadeiras:
(1)Regra da Soma: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y) + g(x, y)) = L+M
(2)Regra da Diferenc¸a: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y)− g(x, y)) = L−M
(3)Regra da produto: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y).g(x, y)) = L.M
(4)Regra da multiplicac¸a˜o por constante: lim
(x,y)→(a,b)
(kf(x, y)) = kL, ∀ k ∈ R.
(5)Regra do quociente: lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
g(x, y)
=
L
M
=,M 6= 0
(6)Regra da poteˆncia: Se r e s forem inteiros sem nenhum fator comum e s 6= 0,
79
lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y))
r
s = L
r
s desde que L
r
s seja um nu´mero real.
Exemplo 5.1 Calcule
a) lim
(x,y)→(1,2)
(3x− 4y)
b) lim
(x,y)→(0,0)
ex + ey
cos(x) + sen(y)
c) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,1)
x− xy + 3
x2y + 5xy − y3
e) lim
(x,y)→(3,−4)
√
x2 + y2
Exemplo 5.2 Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x2 − xy√
x−√y , analisando inicialmente o domı´nio da func¸a˜o
f(x, y) =
x2 − xy√
x−√y .
Observac¸a˜o 5.2 Prova-se a existeˆncia de um limite determinando δ dependente de ǫ satisfa-
zendo a definic¸a˜o (4.1).
Exemplo 5.3 Prove por definic¸a˜o que:
a) lim
(x,y)→(1,2)
(3x− 4y) = −5.
b) lim
(x,y)→(1,3)
(2x+ 3y) = 11.
c) lim
(x,y)→(0,0)
4xy2
x2 + y2
= 0.
Observac¸a˜o 5.3 A definic¸a˜o (4.1) diz que a distaˆncia entre f(x, y) e L se torna arbitrariamente
pequena se tomarmos (x, y) muito pro´ximo de (a, b). A definic¸a˜o refere-se somente a` distaˆncia
entre (x, y) e (a, b); na˜o se refere a` direc¸a˜o de aproximac¸a˜o. Portanto, se o limite existe, f(x, y)
deve se aproximar do valor limite L independentemente do modo como (x, y) se aproxima de
(a, b). Assim, se acharmos no domı´nio D dois caminhos diferentes de aproximac¸a˜o ao longo dos
quais f(x, y) tenha limites diferentes, podemos concluir que na˜o existe lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y).
80
Teorema 5.2 Se existem subconjuntos C1 e C2 no domı´nio D de f(x, y) tais que, lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) =
L1 pelo caminho C1 e lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L2 pelo caminho C2, com L1 6= L2, enta˜o na˜o existe
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y).
Exemplo 5.4 Mostre que na˜o existe os limites a seguir:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x− y
x+ y
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4
Teorema 5.3 Se f e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel, cont´ınua num ponto a, e g(x, y) uma func¸a˜o
tal que lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = a, enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
(f ◦ g)(x, y) = f(a), ou seja,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(g(x, y)) = f( lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y)).
Exemplo 5.5 Calcule lim
(x,y)→(1,2)
ln(x2 + xy − 1).
Teorema 5.4 (Teorema do Confronto) Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para
0 < ||(x, y)− (x0, y0)|| < r e se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L = lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) enta˜o
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L.
81
5.3 Continuidade
Assim como para func¸o˜es de uma u´nica varia´vel, a continuidade e´ definida em termos de limites.
Definic¸a˜o 5.2 Uma func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua no ponto (a, b) se
1. f(a, b) existe;
2. lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) existe;
3. lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b) existe.
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua quando e´ cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio.
Exemplo 5.6 Verifique se a func¸a˜o a seguir e´ cont´ınua no ponto (0, 0):
a) f(x, y) =


3xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =


xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
Observac¸a˜o 5.4 Sejam f(x, y) e g(x, y) cont´ınuas em (x0, y0) e seja k uma constante. Segue
das propriedades dos limites que f + g, kf e fg sa˜o, tambe´m, cont´ınuas em (x0, y0). Ale´m disso,
se g(x0, y0) 6= 0, enta˜o fg sera´, tambe´m cont´ınua em (x0, y0).
Teorema 5.5 Suponhamos que g e´ cont´ınua em (x0, y0) e f e´ cont´ınua em g(x0, y0). Enta˜o, a
func¸a˜o composta f ◦ g e´ cont´ınua em (x0, y0).
82
5.4 Exerc´ıcios - Lista 8
Exerc´ıcio 5.1 Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:
a) lim
(x,y)→(1,2)
(2xy + x2 − x
y
)
b) lim
(x,y)→(2,−1)
x+ y − 2
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
√
x− 1
x2y2 + xy − 1
d) lim
(x,y)→(0,0)
(
√
x2 + 1−√xy
e) lim
(x,y)→(+∞,+∞)
(
1
x+ y
− 10)
f) lim
(x,y)→(0,1)
x2 + y2 − xy + 7
x3 + y3 − 7 )
Exerc´ıcio 5.2 Mostrar que os limites seguintes na˜o existem:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
2x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x− y
2x+ y
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
3xy
4x2 + 5y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − 4y2
x2 + y2
g) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x3 + y2
h) lim
(x,y)→(0,0)
y4 + 3x2y2 + 2yx3
(x2 + y2)2
83
i) lim
(x,y)→(1,0)
(x− 1)2y
(x− 1)4 + y2
Exerc´ıcio 5.3 Verificar se os seguintes limites existem:
a) lim
(x,y)→(0,0)
2y
x+ y
b) lim
(x,y)→(0,0)
−x2y
2x2 + 2y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x3 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
5y − x
2x− y
e) lim
(x,y)→(0,0)
x3 − y3
x2 + y2
Exerc´ıcio 5.4 Verificar a existeˆncia dos limites das seguintes func¸o˜es quando (x, y) tende ao
ponto indicado:
a) f(x, y) =

 xsen(
1
y
), se y 6= 0
0, se y = 0
; P (0, 1)
b) f(x, y) =
x2(y − 1)2
x4 + (y − 1)4 ; P (0,